含参函数的单调性习题
用导数研究含参函数的单调性典型题型(学生版+解析版)
用导数研究含参函数的单调性一、考情分析函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点.二、解题秘籍连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程f x =0的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据f x =0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是二次型1.若导函数是一次型,分类步骤是：①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②若有根,求出f x =0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；2.若导函数是二次型,分类步骤是：①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.下面我们根据f x =0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.类型一：f x 定义域不是R,f x =0可化为单根型一次方程思路：根据根是否在定义域内进行分类例1.讨论f x =x-1-a ln x的单调性类型二：f x 定义域不是R,f x =0可化为单根型类一次方程思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类例2.讨论f x =ax-1-aln x+1的单调性例3.讨论f x =14ax4-13x3+12ax2-x+1的单调性类型四：f x 定义域不是R,f x =0可化为单根型二次方程思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类例4.讨论f x =x+(1-a)ln x+ax+1的单调性类型五：f x 定义域为R, f x =0可化为双根型二次方程思路：根据根的大小进行分类例5.讨论f x =x2+ax+ae x的单调性类型六：f x 定义域不是R,f x =0可化为双根型二次方程思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类例6.讨论f x =12x2-a2+1a x+ln x的单调性类型七：f x 定义域是R,f x =0可化为双根型类二次方程思路：根据根的个数及根的大小进行分类例7.讨论f x =ax3-a+32x2+x-1的单调性类型八：f x 定义域不是R,f x =0可化为双根型类二次方程思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类例8.讨论f x =12ax2-a+1x+ln x的单调性类型九：f x =0先化为指数型方程,再通过拟合化为一次(或类一次)或二次(或类二次)方程例9.讨论f x =a x-2e x-12x-12的单调性类型十：f x =0先化为对数型方程,再通过拟合化为一次(或类一次)或二次(或类二次)方程例10.讨论f x =x2-2axln x-12x2+2ax+1的单调性三、典例展示例1.(2023届四川省内江市高三零模考试)已知函数f(x)=x+a ln x,a∈R(1)讨论f x 的单调性；(2)若不等式f x ≤x2+x对任意x∈(1,+∞)恒成立,求a的最大值．例2.(2022届湖北省部分学校高三下学期5月适应性考试)已知函数f x =x+1(ee x-ax2-4ax a∈R为自然对数的底数).(1)若a>0时,求函数f x 的单调区间.(2)是否存在实数a,使得x≥0时,f x ≥xe x+1-ax2+cos x-2ax恒成立？若存在,求出实数a的取值范围；若不存在,说明理由.例3.(2023届湖北省新高三摸底联考)已知a≥0,函数f x =ax+1+ax-ln x．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)如果我们用n-m表示区间m,n的长度,试证明：对任意实数a≥1,关于x的不等式f x <2a+1的解集的区间长度小于2a+1．例4.(2022届青海省西宁市高三下学期第三次模拟)已知函数f x =x ln x-a2x2-x+a a∈R.(1)讨论函数f x 在0,+∞上的单调性；(2)已知x1,x2是函数f x 的两个不同的极值点,且x1<x2,若不等式e1+λ<x1x2λ恒成立,求正数λ的范围.四、跟踪检测1.(2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底考试)已知函数f x =e x-ax+b．(1)当b=0时,讨论f x 的单调性；(2)当a>0时,若f x ≥0,求b的最小值．2.(2023届三省三校高三第一次联考)已知函数f(x)=(1-m)x-ln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m=0,设g x =f x +2-xe x在12,1上的最小值为n,求证：(n-3)(n-4)<0 .3.(2022届四川省内江市第六中学高三下学期仿真考试)已知函数f x =x -a -1 e x -x 2+2ax a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个,判断f m 的符号,并说明理由.①0<a <12,0<m <ln2；②1<a <2,1<m <2.4.(2022届华大新高考联盟名校高考押题卷)设函数f x =1+a ln x x,其中a ∈R .(1)当a ≥0时,求函数f x 的单调区间；(2)若f x ≤x 2,求实数a 的取值范围.5.(2022届湖北省卓越高中千校联盟高三高考终极押题卷)已知f x =a-1ln x+x+a x(1)若a<0,讨论函数f x 的单调性；(2)g x =f x +ln x-a x有两个不同的零点x1,x20<x1<x2,若g2x1+λx22+λ>0恒成立,求λ的范围．6.(2022届河南省许平汝联盟高三下学期核心模拟卷)已知函数f x =ln x-ax2+2a∈R.(1)讨论f x 的单调性；(2)若f x -2-ax≥0在x∈1,e上恒成立,求实数a的取值范围.7.(2022届广东省潮州市瓷都中学高三下学期第三次模拟)已知函数f x =2x3+31+mx2+ 6mx x∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f1 =5,函数g x =a ln x+1-f xx2≤0在1,+∞上恒成立,求整数a的最大值.8.(2022四川省资阳市高三第一次质量检测)已知函数f(x)=(x-a-1)e x-12ax2+a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(-∞,0)上只有一个极值,且该极值小于-e a-1,求a的取值范围.9.(2021重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试)已知函数f x =x+ln x-a x,g x =a-2xln x+ x.(1)讨论f x 的单调性；(2)若a∈1,4,记f x 的零点为x1,g x 的极大值点为x2,求证：x1<x2·10.(2021山东省烟台市高三高考适应性练习)已知函数f x =a x2-x-ln x a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)证明：当x>1时,2e x-1ln x≥x2+1 x2-x.用导数研究含参函数的单调性一、考情分析函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点.二、解题秘籍连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程f x =0的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据f x =0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是二次型1.若导函数是一次型,分类步骤是：①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②若有根,求出f x =0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；2.若导函数是二次型,分类步骤是：①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.下面我们根据f x =0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.类型一：f x 定义域不是R,f x =0可化为单根型一次方程思路：根据根是否在定义域内进行分类例1.讨论f x =x-1-a ln x的单调性分析：f x =x-ax x>0,f x =0根的情况转化为x-a=0x>0根的情况根据a是否在定义域0，+∞内进行分类答案：(1)a≤0,f x >0,f x 在0，+∞上是增函数；(2)a>0,f x 在0,a上是减函数,在a，+∞上是增函数.类型二：f x 定义域不是R,f x =0可化为单根型类一次方程思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类例2.讨论f x =ax-1-aln x+1的单调性分析：f x =ax-1-ax x>0,f x =0根的情况转化为ax-1-a=0在0，+∞上根的情况.步骤一：讨论a=0(无实根)；步骤二：讨论a<0,由ax-1-a=0得x=1-aa(不在定义域内)；步骤三：讨论a >0,根据1-a a是否在定义域内再分0<a <1,a ≥1.答案：(1)a =0,f x <0,f x 在0，+∞ 上是减函数；(2)a <0,f x <0,f x 在0，+∞ 上是减函数；(3)a >0(i )a ≥1, f x >0,f x 在0，+∞ 上是增函数；(ii )0<a <1,f x 在0,1-a a 上是减函数,在1-a a，+∞ 上是增函数.类型三：f x 定义域为R , f x =0可化为单根型类二次(或高次)方程思路：根据x 的系数符号进行分类例3.讨论f x =14ax 4-13x 3+12ax 2-x +1的单调性分析：f x =x 2+1 ax -1 ,因为x 2+1>0,f x =0根的情况转化为ax -1=0根的情况,步骤一：讨论a >0；步骤二：讨论a =0,注意此时ax -1=-1<0 ；步骤三：讨论a <0,注意不等式两边除以a ,不等式要改变方向.答案：(1)a >0时f x 在1a ,+∞ 上递增,在-∞,1a上递减；(2)a =0时f x 在-∞,+∞ 上递减；(3)a <0时f x 在1a ,+∞ 上递减,在-∞,1a上递增.类型四：f x 定义域不是R ,f x =0可化为单根型二次方程思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类例4.讨论f x =x +(1-a )ln x +a x +1的单调性分析：f x =x +1 x -a x 2x >0 ,因为x +1>0,f x =0根的情况转化为x -a =0在0，+∞ 上根的情况.步骤一：讨论a ≤0(x -a =0无实根)；步骤二：讨论a >0,由x -a =0得x =a ；答案：(1)a ≤0,f x >0,f x 在0，+∞ 上是增函数；(2)a >0,x >a , f x >0,f x 在a ,+∞ 上是增函数；x <a ,f x <0,f x 在0,a 上是减函数.类型五：f x 定义域为R, f x =0可化为双根型二次方程思路：根据根的大小进行分类例5.讨论f x =x 2+ax +a e x 的单调性分析：f x =x +2 x +a e x ,f x =0根的情况转化为x +2 x +a =0的根的情况,根据-a 与-2的大小进行讨论.步骤一：讨论a <2；步骤二：讨论a =2,注意此时x +2 x +a =x +2 2≥0；步骤三：讨论a >2.答案：(1)a <2,f x 在-∞,-2 ,-a ,+∞ 上是增函数,在-2,-a 上是减函数；(2)a =2,f x 在-∞，+∞ 上是增函数；(3)a >2, f x 在-∞,-a ,-2,+∞ 上是增函数,在-a ,-2 上是减函数.类型六：f x 定义域不是R ,f x =0可化为双根型二次方程思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类例6.讨论f x =12x 2-a 2+1a x +ln x 的单调性分析：f x =x -a x -1a x x >0 ,f x =0根的情况转化为x -a x -1a=0在0，+∞ 上根的情况.步骤一：讨论a <0(根不在定义域内).步骤二：讨论a >0(根据a ,1a的大小再分0<a <1,a =1,a >1)答案：(1)a <0,f x 在0，+∞ 上是增函数；(2)0<a <1,f x 在0,a ,1a ,+∞ 上是增函数,在a ,1a上是减函数；(3)a =1,f x 在0，+∞ 上是增函数；(4)a >1, f x 在0,1a ,a ,+∞ 上是增函数,在1a,a 上是减函数.类型七：f x 定义域是R ,f x =0可化为双根型类二次方程思路：根据根的个数及根的大小进行分类例7.讨论f x =ax 3-a +32x 2+x -1的单调性分析：f x =3x -1 ax -1 ,f x =0根的情况转化为3x -1 ax -1 =0根的情况.步骤一：讨论a =0(ax -1=0无实根)；步骤二：讨论a <0,此时13>1a ；步骤三：讨论a >0(根据13,1a的大小再分0<a <3,a =3,a >3)答案：(1)a =0,f x 在0，13 上是增函数,在13,+∞ 上是减函数；(2)a <0, f x 在0,1a ,13,+∞ 上是减函数,在1a ,13 上是增函数；(3)0<a <3,f x 在0,13 ,1a ,+∞ 上是增函数,在13,1a上是减函数；(4)a =3,f x 在-∞，+∞ 上是增函数；(5)a >3, f x 在0,1a ,13,+∞ 上是增函数,在1a ,13上是减函数.提醒：对于类二次方程,不要忽略对x 2项的系数为零的讨论类型八：f x 定义域不是R ,f x =0可化为双根型类二次方程思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类例8.讨论f x =12ax 2-a +1 x +ln x 的单调性分析：f x =x -1 ax -1 xx >0 ,f x =0根的情况转化为x -1 ax -1 =0x >0 根的情况.步骤一：讨论a =0(有1个根).步骤二：讨论a <0(1a 不在定义域内)步骤三：讨论a >0(1，1a 均在定义域内,根据1,1a的大小再分0<a <1,a =1,a >1)答案：(1)a ≤0,f x 在0,1 上是增函数,在1，+∞ 上是减函数；(步骤一二合并)(2)0<a <1,f x 在0,1 ,1a ,+∞ 上是增函数,在1,1a 上是减函数；(3)a =1,f x 在0，+∞ 上是增函数；(4)a >1, f x 在0,1a ,1,+∞ 上是增函数,在1a,1 上是减函数.类型九：f x =0先化为指数型方程,再通过拟合化为一次(或类一次)或二次(或类二次)方程例9.讨论f x =a x -2 e x -12x -1 2的单调性分析：f x =x -1 ae x -1 ,f x =0根的情况转化为x -1 ae x -1 =0根的情况.步骤一：讨论a ≤0(有1个根).步骤二：讨论a >0,f x =x -1 ae x -1 的拟合函数为y =x -1 x +ln a (根据1,-ln a 的大小再分0<a <1e ,a =1e ,a >1e)答案：(1)a ≤0,f x 在-∞,1 上是增函数,在1，+∞ 上是减函数；(2)0<a <1e ,f x 在-∞,1 ,-ln a ,+∞ 上是增函数,在1,-ln a 上是减函数；(3)a =1e ,f x 在-∞，+∞ 上是增函数；(4)a >1e , f x 在-∞,-ln a ,1,+∞ 上是增函数,在-ln a ,1 上是减函数.类型十：f x =0先化为对数型方程,再通过拟合化为一次(或类一次)或二次(或类二次)方程例10.讨论f x =x 2-2ax ln x -12x 2+2ax +1的单调性分析：f x =x -a ln x x >0 的拟合函数为x -a x -1 (根据a 与0,1大小分类)步骤一：讨论a ≤0(x -a >0).步骤二：讨论a >0, (再分0<a <1,a =1,a >1)答案：(1)a ≤0,f x 在0,1 上是减函数,在1，+∞ 上是增函数；(2)0<a <1,f x 在0,a ,1,+∞ 上是增函数,在a ,1 上是减函数；(3)a =1,f x 在0，+∞ 上是增函数；(4)a >1, f x 在0,1 ,a ,+∞ 上是增函数,在1,a 上是减函数.三、典例展示例1.(2023届四川省内江市高三零模考试)已知函数f (x )=x +a ln x ,a ∈R(1)讨论f x 的单调性；(2)若不等式f x ≤x 2+x 对任意x ∈(1,+∞)恒成立,求a 的最大值．【解析】 (1)f '(x )=1+a x =x +a xx >0 ,当a ≥0时,f '(x )>0恒成立,∴f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a <0时,令f '(x )>0得x >-a ,令f '(x )<0得0<x <-a ,∴f (x )在(-a ,+∞)上单调递增,在0,-a 上单调递减；综上所述：当a ≥0时, f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a <0时, f (x )在(-a ,+∞)上单调递增,在0,-a 上单调递减；(2)依题意得：f x ≤x 2+x 对任意x ∈(1,+∞)恒成立,等价于a ≤x 2ln x x >1 恒成立.令g x =x 2ln x x >1 ,则g 'x =2x ln x -x ln x 2=x 2ln x -1 ln x2,则当x >e 时,g 'x >0,当1<x <e 时,g 'x <0,又g 'e =0,∴g x 在1,e 上单调递减,在e ,+∞ 上单调递增,∴g x min =g e =2e ,∴a ≤2e ,即a 的最大值为2e .例2.(2022届湖北省部分学校高三下学期5月适应性考试)已知函数f x =x +1 e x -ax 2-4ax a ∈R (e 为自然对数的底数).(1)若a >0时,求函数f x 的单调区间.(2)是否存在实数a ,使得x ≥0时,f x ≥xe x +1-a x 2+cos x -2ax 恒成立？若存在,求出实数a 的取值范围；若不存在,说明理由.【解析】 (1)由题知f (x )=(x +2)e x -2ax -4a =(x +2)e x -2a ,①若0<a <12e2,则ln2a <-2,当x <ln2a 或x >-2时,f (x )>0,当ln2a <x <-2时,f (x )<0,∴f (x )在(-∞,ln2a ),(-2,+∞)上单调递增,在(ln2a ,-2)上单调递减；②若a =12e 2,则ln2a =-2,f (x )≥0,∴f (x )在(-∞,+∞)上单调递增；③若a >12e2,则ln2a >-2,当x <-2或x >ln2a 时,f (x )>0,当-2<x <ln2a 时,f (x )<0,∴f (x )在(-∞,-2),(ln2a ,+∞)上单调递增,在(-2,ln2a )上单调递减.综上所述,当0<a <12e 2时,f (x )的单调增区间为(-∞,ln2a ),(-2,+∞),单调减区间为(ln2a ,-2)；当a =12e 2时,f (x )的单调增区间为(-∞,+∞)；当a >12e2时,f (x )的单调增区间为(-∞,-2),(ln2a ,+∞),单调减区间为(-2,ln2a ).(2)设g (x )=f (x )-xe x -(1-a )x 2-cos x +2ax =e x -x 2-2ax -cos x (x ≥0),则g (x )=e x -2x -2a +sin x ,设h (x )=e x -2x -2a +sin x (x ≥0),则h (x )=e x +cos x -2,设m (x )=e x +cos x -2(x ≥0),则m (x )=e x -sin x >0,∴m (x )在[0,+∞)上单调递增,∴h (x )=m (x )≥m (0)=0,∴h (x )在[0,+∞)上单调递增,∴g (x )=h (x )≥h (0)=1-2a ,当a ≤12时,g (x )≥0,∴g (x )在[0,+∞)上单调递增,∴g (x )≥g (0)=0；当a >12时,g (0)=1-2a <0,令t (x )=e x -x 2(x >0),则t (x )=e x -2x >0(x >0),所以t (x )在(0,+∞)上单调递增,所以t (x )>t (0)=1,所以e x >x 2(x >0),所以g (6a )=e 6a -14a +sin6a >36a 2-14a -1,设φ(a )=36a 2-14a -1a >12 ,易知φ(a )在12,+∞ 上单调递增,∴φ(a )>36×14-14×12-1=1>0,即g (6a )>0,∴存在x 0∈(0,6a ),使g x 0 =0,当0<x <x 0时,g (x )<0,∴g (x )在0,x 0 上单调递减,此时,g (x )<g (0)=0,不符合题意；综上,存在实数a ,使得当x ≥0时,f (x )≥xe x +(1-a )x 2+cos x -2ax 恒成立,且实数a 的取值范围为-∞,12 .例3.(2023届湖北省新高三摸底联考)已知a ≥0,函数f x =ax +1+a x-ln x ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)如果我们用n -m 表示区间m ,n 的长度,试证明：对任意实数a ≥1,关于x 的不等式f x <2a +1的解集的区间长度小于2a +1．【解析】 (1)f x =ax +a +1x-ln x ,定义域为0,+∞ ,f x =a -a +1x 2-1x =ax 2-x -a +1 x 2=x +1 ax -a -1 x 2.若a =0,f x =-x +1 x 2<0恒成立,所以f x 在0,+∞ 上单调递减；若a >0,f x =a x +1 x -1-1a x 2,1+1a >0,当x ∈0,1+1a 时,f x <0；当x ∈1+1a ,+∞ 时,f x >0,所以f x 在0,1+1a 上单调递减,在1+1a ,+∞ 上单调递增．综上,a =0时,f x 在0,+∞ 上单调递减；a >0时,f x 在0,1+1a 上单调递减,在1+1a,+∞ 上单调递增．(2)令g x =f x -2a +1 =ax +a +1x -ln x -2a -1,则g 1 =0,因为a ≥1,由(1)知,g x 在0,1+1a 上单调递减,在1+1a ,+∞ 上单调递增,又1+1a >1,所以g 1+1a <0,令h a =g 2a +2 =2a 2-12-ln 2a +2 ,a ∈1,+∞ ,由h a =4a -22a +2=4a 2+4a -1a +1>0恒成立,所以h a 在1,+∞ 上单调递增．又e 3>16,所以e 316>1,即e 324>1．从而h 1 =32-ln4=ln e 324>0,所以h a >h 1 >0,即g 2a +2 >0．因为2a +2>2,1+1a <2,所以2a +2>1+1a ,所以存在唯一x 1∈1+1a ,2a +2 ,使得g x 1 =0,所以g x <0的解集为1,x 1 ,即f x <2a +1的解集为1,x 1 ,又1,x 1 的区间长度为x 1-1<2a +2 -1=2a +1,原命题得证．例4.(2022届青海省西宁市高三下学期第三次模拟)已知函数f x =x ln x -a 2x 2-x +a a ∈R .(1)讨论函数f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)已知x 1,x 2是函数f x 的两个不同的极值点,且x 1<x 2,若不等式e 1+λ<x 1x 2λ恒成立,求正数λ的范围.【解析】 (1)f x =x ln x -a 2x 2-x +a ,所以f x =ln x -ax ,令g x =ln x -ax ,故g x =1x -a =1-ax xx >0 .当a ≤0时,g x >0在0,+∞ 上恒成立,所以g x 在0,+∞ 上单调递增,即f x 在0,+∞ 上单调递增；当a >0时,令g x >0,得0<x <1a ,令g x <0,得x >1a ,所以g x 在0,1a 上单调递增,在1a ,+∞ 上单调递减,即f x 在0,1a 上单调递增,在1a,+∞ 上单调递减.综上所述：当a ≤0时,f x 在0,+∞ 上单调递增；当a >0时,f x 在0,1a 上单调递增,在1a,+∞ 上单调递减.(2)e 1+λ<x 1x 2λ等价于1+λ<ln x 1+λln x 2,由题意可知x 1,x 2分别是方程f x =0的两个根,即ln x -ax =0的两个根,即ln x 1=ax 1,ln x 2=ax 2,原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a x 1+λx 2 .因为λ>0,0<x 1<x 2,所以原式等价于a >1+λx 1+λx 2,又ln x 1=ax 1,ln x 2=ax 2,作差得,ln x 1x 2=a x 1-x 2 ,即a =ln x 1x 2x 1-x 2,所以原式等价于ln x 1x 2x 1-x 2>1+λx 1+λx 2,因为0<x 1<x 2,所以ln x 1x 2<1+λ x 1-x 2 x 1+λx 2恒成立.令t =x 1x 2,t ∈0,1 ,则不等式ln t <1+λ t -1 t +λ在t ∈0,1 上恒成立,令m t =ln t -1+λ t -1 t +λ,又因为m t =1t -1+λ 2t +λ2=t -1 t -λ2 t t +λ 2,当λ2≥1时,可得t ∈0,1 时,m t >0,所以m t 在0,1 上单调递增,又因为m 1 =0,m t <0在0,1 上恒成立,符合题意；当λ2<1时,可得t ∈0,λ2 时,m t >0,t ∈λ2,1 时,m t <0,所以m t 在0,λ2 上单调递增,在λ2,1 上单调递减,又因为m 1 =0,所以m t 在0,1 上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e 1+λ<x 1x 2λ恒成立,只需满足λ2≥1,由于λ>0,所以λ≥1,即实数λ的取值范围为：1,+∞ .四、跟踪检测1.(2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底考试)已知函数f x =e x -ax +b ．(1)当b =0时,讨论f x 的单调性；(2)当a >0时,若f x ≥0,求b 的最小值．【解析】 (1)当b =0时,f x =e x -ax ,f x =e x -a ,当a ≤0时,f x =e x -a >0,f x 在R 上单调递增；当a >0时,令f x =0有x =ln a ,当x ∈-∞,ln a 时,f x <0,f x 单调递减,当x ∈ln a ,+∞ 时,f x >0,f x 单调递增.(2)当a >0时,由(1)若f x ≥0,则f ln a ≥0有解即可,即a -a ln a +b ≥0有解,即b ≥a ln a -a 有解,设g a =a ln a -a ,则g a =ln a ,故当0<a <1时,g a <0,g a 单调递减；当a >1时,g a >0,g a 单调递增.故g min a =ln1-1=-1,故当b ≥a ln a -a min =-1.故b 的最小值为-12.(2023届三省三校高三第一次联考)已知函数f (x )=(1-m )x -ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若m =0,设g x =f x +2-x e x 在12,1上的最小值为n ,求证：(n -3)(n -4)<0 .【解析】 (1)f (x )=1-m -1x =(1-m )x -1xx >0 .①当1-m ≤0,即m ≥1时：f (x )<0恒成立.故f (x )在(0,+∞)上单调递减.②当1-m >0,即m <1时：令f (x )<0,即(1-m )x -1x <0,解得：0<x <11-m ;所以f (x )在0,11-m上单调递减,在11-m ,+∞ 上单调递增.综上所述：当m ≥1时：f (x )在(0,+∞)上单调递减；当m <1时：f (x )在0,11-m 上单调递减,在11-m ,+∞ 上单调递增.(2)当m =0时,g x =x -ln x +2-x e x ,x ∈12,1 .g x =1-1x -e x +2-x e x =x -1x +1-x e x =1-x e x -1x .因为m x =e x -1x 在12,1 上单调递增,且m 12 =e -2<0,m 1 =e -1>0.所以必存在点x 0∈12,1 ,使g (x 0)=0,即e x 0=1x 0⇒x 0=-ln x 0且当x ∈12,x 0 时g (x )<0,当x ∈x 0,1 时g (x )>0,所以g (x )在区间12,x 0 上单调递减,在区间x 0,1 上单调递减.所以n =g x min =g x 0 =x 0-ln x 0+2-x 0 e x 0=2x 0+2-x 0x 0=2x 0+2x 0-1.x 0∈12,1 .又因n =2x 0+2x 0-1在12,1 上单调递减.所以2+2-1<n <2×12+2×2-1⇒3<n <4.故(n -3)(n -4)<0恒成立.3.(2022届四川省内江市第六中学高三下学期仿真考试)已知函数f x =x -a -1 e x -x 2+2ax a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个,判断f m 的符号,并说明理由.①0<a <12,0<m <ln2；②1<a <2,1<m <2.【解析】 (1)f x =(x -a )e x -2x +2a =(x -a )e x -2 ,令f x =0,则x =a 或ln2,若a =ln2,f x ≥0,所以函数f x 在R 上为增函数；若a >ln2,当x >a 或x <ln2时,f x >0,当ln2<x <a 时,f x <0,所以函数f x 在(-∞,ln2)和(a ,+∞)上递增,在(ln2,a )上递减；若a <ln2,当x >ln2或x <a 时,f x >0,当a <x <ln2时,f x <0,所以函数f x 在(-∞,a )和(ln2,+∞)上递增,在(a ,ln2)上递减；综上所述,当a =ln2时,函数f x 在R 上为增函数；当a >ln2时,函数f x 在(-∞,ln2)和(a ,+∞)上递增,在(ln2,a )上递减；当a <ln2时,函数f x 在(-∞,a )和(ln2,+∞)上递增,在(a ,ln2)上递减；(2)选①,当0<a <12,0<m <ln2时,由(1)知f x 在(0,a )上递增,在(a ,ln2)上递减,所以f (m )≤f (a )=-e a +a 2,令g (a )=e a -a -10<a <12 ,则g (a )=e a -1,当0<a <12时,g (a )>0,得函数g (a )在0,12上单调递增,所以g (a )>g (0)=0,即e a -a -1>0,则-e a <-a -1,所以f (a )=-e a +a 2<a 2-a -1=a -12 2-54<-1<0,所以f m <0.选②,当1<a <2,1<m <2时.由(1)得1<a <2时,f x 在1,a 上递减,在a ,2 上递增,又f 1 =-ae -1+2a =2-e a -1<0,f 2 =1-a e 2-4+4a <41-a -4+4a =0,所以当1<x <2时,f x <0,所以f m <0.4.(2022届华大新高考联盟名校高考押题卷)设函数f x =1+a ln x x ,其中a ∈R .(1)当a ≥0时,求函数f x 的单调区间；(2)若f x ≤x 2,求实数a 的取值范围.【解析】 (1)f (x )=1+a ln x x(x >0),f (x )=a -(1+a ln x )x 2=a -1-a ln x x 2.当a =0时,f (x )=a -(1+a ln x )x 2=-1x2<0恒成立,则f x 在0,+∞ 上为减函数,当a >0时,令f (x )>0,可得a -1-a ln x >0,则ln x <a -1a,解得0<x <e a -1a ,令f (x )<0,解得x >e a -1a ,综上,当a =0时,f x 的减区间为0,+∞ ；当a >0时,f x 的单调递增区间为0,ea -1a ,单调递减区间为e a -1a ,+∞ .(2)由f (x )≤x 2,可得x 3-a ln x -1≥0设g (x )=x 3-a ln x -1(x >0),则g (x )=3x 2-a x =3x 3-a x.①当a ≤0时,g x >0,g x 单调递增,而g 12=18-a ln 12-1=-78+a ln2<0,所以不满足题意,②当a >0时,令g (x )=3x 3-a x=0,解得x =3a 3,当x ∈0,3a 3 时,g x <0,g x 为减函数,当x ∈3a 3,+∞ 时,g x >0,g x 为增函数,所以g(x)≥g3a3=13+13ln3a-13a ln a-1.令h(a)=13+13ln3a-13a ln a-1(a>0),h (a)=13+13ln3-13(ln a+1)=13(ln3-ln a),当a∈0,3时,h a >0,h a 为增函数,当a∈3,+∞时,h a <0,g x 为减函数,所以h a ≤h3 =0,又g x ≥h a ≥0.则h a =0,解得a=3,所以实数a的取值范围是3 .5.(2022届湖北省卓越高中千校联盟高三高考终极押题卷)已知f x =a-1ln x+x+a x(1)若a<0,讨论函数f x 的单调性；(2)g x =f x +ln x-a x有两个不同的零点x1,x20<x1<x2,若g2x1+λx22+λ>0恒成立,求λ的范围．【解析】(1)f x 定义域为0,+∞f x =a-11x+1-ax2=x2+a-1x-ax2=x+ax-1x2ⅰ)0<-a<1即-1<a<0时,f x <0⇒-a<x<1,f x >0⇒0<x<-a或x>1ⅱ)-a=1即a=-1时,x∈0,+∞,f x ≥0恒成立ⅲ)-a>1即a<-1,f x <0⇒1<x<-a,f x >0⇒0<x<1或x>-a综上：-1<a<0时,x∈-a,1,f x 单调递减；0,-a、1,+∞,f x 单调递增a=-1时,x∈0,+∞,f x 单调递增a<-1时,x∈1,-a,f x 单调递减；0,1、-a,+∞,f x 单调递增(2)g x =a ln x+x,由题a ln x1+x1=0a ln x2+x2=0,0<x1<x2则a ln x1-ln x2=x2-x1,设t=x1x2∈0,1∴a=x2-x1ln x1-ln x2=x2-x1ln tg x =a x+1∴g2x1+λx22+λ=a2+λ2x1+λx2+1=x2-x1ln t⋅2+λ2x1+λx2+1=2+λ1-t2t+λln t+1>0恒成立t∈0,1,∴ln t<0∴2+λ1-t2t+λ+ln t<0恒成立设h t =2+λ1-t2t+λ+ln t,∴h t <0恒成立h t =1t -2+λ 22t +λ2=2t +λ 2-t 2+λ 2t 2t +λ 2=4t -1 t -λ24 t 2t +λ 2ⅰ)λ2≥4时,t -λ24<0,∴h t >0,∴h t 在0,1 上单调递增∴h t <h 1 =0恒成立,∴λ∈-∞,-2 ∪2,+∞ 合题ⅱ)λ2<4,t ∈0,λ24,∴h t >0,∴h t 在0,λ24上单调递增t ∈λ24,1 时,h t <0,∴h t 在λ24,1 上单调递减∴t ∈λ24,1 ,h t >h 1 =0,不满足h t <0恒成立综上：λ∈-∞,-2 ∪2,+∞6.(2022届河南省许平汝联盟高三下学期核心模拟卷)已知函数f x =ln x -ax 2+2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)若f x -2-a x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】 (1)f x 的定义域是0,+∞ ,f x =-2ax 2+1x.①当a ≤0时,f x >0恒成立,所以f x 在0,+∞ 上单调递增；②当a >0时,令f x =0,解得x =2a 2a 或-2a 2a (舍),令f x >0,解得0<x <2a 2a,令f x <0,解得x >2a 2a,所以f x 在0,2a 2a上单调递增,在2a 2a ,+∞ 上单调递减.(2)若f x -2-a x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,即ln x -ax 2-2-a x +2≥0在x ∈1,e 上恒成立.令g x =ln x -ax 2-2-a x +2,x ∈1,e ,则g x =1x -2ax -2-a =-2ax 2-2-a x +1x =-ax +1 2x -1 x.当a =0时,g x =ln x -2x +2,g e =ln e -2e +2=3-2e <0,不符合题意；当a >0时,g x <0在x ∈1,e 上恒成立,所以g x 在1,e 上单调递减,又g 1 =0,所以g e <g 1 =0,不符合题意；当a <0时,若-1a≤1,即a ≤-1,g x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,所以g x 在1,e 上单调递增,又g 1 =0,所以g x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,符合题意.若1<-1a <e ,即-1<a <-1e ,令g x >0,解得-1a <x <e ,令g x <0,解得1<x <-1a ,所以g x 在1,-1a 上单调递减,在-1a ,e 上单调递增,所以g x min =g -1a<g 1 =0,不符合题意；若-1a ≥e ,即-1e≤a <0,g x ≤0在x ∈1,e 上恒成立,所以g x 在1,e 上单调递减,又g 1 =0,所以g e <g 1 =0,不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是-∞,-1 .7.(2022届广东省潮州市瓷都中学高三下学期第三次模拟)已知函数f x =2x 3+31+m x 2+6mx x ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f 1 =5,函数g x =a ln x +1 -f x x 2≤0在1,+∞ 上恒成立,求整数a 的最大值.【解析】 (1)f x =6x 2+61+m x +6m =6x 2+1+m x +m =6(x +1)(x +m )若m =1时,f (x )≥0,f (x )在R 上单调递增；若m >1时,-m <-1,当x <-m 或x >-1时,f (x )>0,f (x )为增函数,当-m <x <-1时,f (x )<0,f (x )为减函数,若m <1时,-m >-1,当x <-1或x >-m 时,f (x )>0,f (x )为增函数,当-1<x <-m 时,f (x )<0,f (x )为减函数.综上,m =1时,f (x )在R 上单调递增；当m >1时,f (x )在(-∞,-m )和(-1,+∞)上单调递增,在(-m ,-1)上单调递减；当m <1时,f (x )在(-∞,-1)和(-m ,+∞)上单调递增,在(-1,-m )上单调递减.(2)由f (1)=2+3(1+m )+6m =5,解得 m =0,所以f (x )=2x 3+3x 2,由x ∈(1,+∞)时,ln x +1>0,可知g (x )=a (ln x +1)-2x -3≤0在(1,+∞)上恒成立可化为a ≤2x +3ln x +1在x ∈(1,+∞)上恒成立,设h (x )=2x +3ln x +1(x >1),则h (x )=2(ln x +1)-(2x +3)×1x (ln x +1)2=2ln x -3x (ln x +1)2,设φ(x )=2ln x -3x (x >1),则 φ (x )=2x +3x2>0,所以φ(x )在(1,+∞)上单调递增,又φ(2)=2ln2-32=ln16-32<0,φ52 =2ln 52-65=25ln 52-3 5>0,所以方程h (x )=0有且只有一个实根x 0,且 2<x 0<52,2ln x 0=3x 0,所以在(1,x 0)上,h (x )<0, h (x )单调递减,在x 0,+∞ 上,h (x )>0,h (x )单调递增,所以函数h (x )的最小值为h x 0 =2x 0+3ln x 0+1=2x 0+332x 0+1=2x 0∈4,5 ,从而a ≤2x 0,又a 为整数,所以a 的最大值为4.8.(2022四川省资阳市高三第一次质量检测)已知函数f (x )=(x -a -1)e x -12ax 2+a 2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(-∞,0)上只有一个极值,且该极值小于-e a -1,求a 的取值范围.【解析】(1)由题意,函数f (x )=(x -a -1)e x -12ax 2+a 2x ,可得f (x )=(x -a )e x -ax +a 2=(x -a )e x -a ,当a ≤0时,e x -a >0,令f (x )<0,解得x <a ；令f (x )>0,解得x >a ,故f (x )在(-∞,a )递减,在(a ,+∞)递增,当a >0时,令f (x )=0,解得x 1=a 或x 2=ln a ,设g (a )=a -ln a ,可得g (a )=a -1a,当a >1时,g (a )>0；当0<a <1时,g (a )<0,故g (x )min =g (1)=1>0,故a >ln a ,由f (x )>0,解得x >a 或x <ln a ,由f (x )<0,解得ln a <x <a ,故f (x )在(-∞,ln a )递增,在(ln a ,a )递减,在(a ,+∞)递增,综上可得：当a ≤0时,f (x )在(-∞,a )递减,在(a ,+∞)递增,a >0时,f (x )在(-∞,ln a )递增,在(ln a ,a )递减,在(a ,+∞)递增；(2)当a <0时,由(1)知,f (x )在(-∞,a )递减,在(a ,+∞)递增,故f x 极小值=f (a )=-e a +12a 3<-e a -1,解得a <-32,当0<a <1时,ln a <0,由(1)知f (x )在x =ln a 处取极大值,设h (a )=f (ln a )=(ln a -a -1)a -12a ln 2a +a 2ln a =a ln a 1-12ln a +a -a 2-a ,则h (a )=-12ln 2a +2a ln a -a ,因为0<a <1,可得ln a <0,所以h (a )<0,h (a )在(0,1)递减,所以h (a )>h (1)=-2>-e a -1,所以0<a <1不合题意,当a ≥1时,ln a ≥0,由(1)知f (x )在(-∞,0)递增,此时f (x )在(-∞,0)无极值,不符合题意,综上可得,实数a 的取值范围是(-∞,-32).9.(2021重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试)已知函数f x =x +ln x -a x,g x =a -2x ln x +x .(1)讨论f x 的单调性；(2)若a ∈1,4 ,记f x 的零点为x 1,g x 的极大值点为x 2,求证：x 1<x 2·【解析】(1)f x 的定义域为0,+∞ ,f ′x =1+1x +a x 2=x 2+x +a x 2,当a ≥0时,f ′x >0,f x 在0,+∞ 上单调递增：当a <0时,Δ=1-4a >0,f ′x =0在0,+∞ 上有唯一正根-1+1-4a 2,当x ∈0,-1+1-4a 2时,f ′x <0,单调递减；当x ∈-1+1-4a 2,+∞ 时,f ′x >0,f x 单调递增；综上,当a ≥0时,f x 在0,+∞ 上单调递增；当a <0时,f x 在0,-1+1-4a 2 上单调递减；在-1+1-4a 2,+∞ 上单调递增.(2)由(1)知,当a ∈1,4 时,f x 在0,+∞ 上单调递增,且f 1 =1-a <0，f 2 =2+ln2-a 2>0,所以f x 在0,+∞ 上有唯一零点x 1∈1,2 .又g ′x =-2ln x +a x -1,又a ∈1,4 ,由单调性运算性质可知,g ′x 在0,+∞ 上单调递减,且g ′1 =a -1>0，g ′4 =-2ln4+a 4-1<0,故存在x 0∈1,4 ,使得g ′x 0 =0,即a x 0=2ln x 0+1,当x ∈0,x 0 时,g ′x >0,g x 单调递减；当x ∈x 0,+∞ 时,g ′x <0,g x 单调递增；所以x 0是g x 唯一极大值点,所以x 0=x 2,故a x 2=2ln x 2+1,因此f x 2 =x 2+ln x 2-a x 2=x 2+ln x 2-2ln x 2-1=x 2-ln x 2-1.设h x =x -ln x -1,因为x ∈1,4 ，h ′x =1-1x >0,所以h ′x 在1,4 上单调递增,所以h x >h 1 =0.故有f x 2 >0=f x 1 ,又f x 在0,+∞ 上单调递增,所以x 1<x 2.10.(2021山东省烟台市高三高考适应性练习)已知函数f x =a x 2-x -ln x a ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性；(2)证明：当x >1时,2e x -1ln x ≥x 2+1x 2-x.【解析】(1)函数f x 的定义域为0,+∞ ,f x =a 2x -1 -1x =2ax 2-ax -1x.令g x =2ax 2-ax -1.①当a =0时,g x =-1<0,f x =g x x<0,故f x 在0,+∞ 单调递减；②当a ≠0时,g x 为二次函数,Δ=a 2+8a .若Δ≤0,即-8≤a <0,则g x 的图象为开口向下的抛物线且g x ≤0,所以f x ≤0,故f x 在0,+∞ 单调递减；若Δ>0,即a <-8或a >0,令g x =0,得x 1=a -a 2+8a 4a ,x 2=a +a 2+8a 4a.当a <-8时,g x 图象为开口向下的抛物线,0<x 2<x 1,所以当x ∈0,x 2 或x ∈x 1,+∞ 时,g x <0,所以f x <0,f x 单调递减；当x ∈x 2,x 1 时,g x >0,所以f x >0,f x 单调递增；当a >0时,g x 图象为开口向上的抛物线,x 1<0<x 2,所以当x ∈0,x 2 ,g x ≤0,所以f x <0,故f x 单调递减；当x ∈x 2,+∞ 时,g x >0,所以f x >0,f x 单调递增.综上,当a <-8时,f x 在0,a +a 2+8a 4a 和a -a 2+8a 4a ,+∞上单调递减,在a +a 2+8a 4a ,a -a 2+8a 4a上单调递增；当a >0时,f x 在0,a +a 2+8a 4a 单调递减,在a +a 2+8a 4a ,+∞上单调递增；当-8≤a ≤0,f x 在0,+∞ 单调递减;(2)由(1)知,当a =1时,f x 在0,1 单调递减,在1,+∞ 单调递增,因此对∀x >1恒有f x >f 1 ,即x 2-x >ln x .因为0<ln x <x 2-x ,若2e x -1≥x 2+1成立,则2e x -1ln x ≥x 2+1x 2-x 成立.令φx =e x -1-12x 2+1 x ≥1 ,则φ x =e x -1-x ,φ x =e x -1-1.因为x ≥1,所以φ x ≥0,所以φ x 在1,+∞ 单调递增,又φ 1 =0,所以当x ≥1时,φ x ≥0,所以φx 在1,+∞ 单调递增,又φ1 =0,所以对∀x >1恒有φx >φ1 =0,即2e x -1≥x 2+1.1ln x>1x2-x>0,由不等式的基本性质可得2e x-1ln x≥x2+1x2-x.当x>1时,0<ln x<x2-x,则。
(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc
1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。
含参函数的单调性讨论汇编
含参函数的单调性讨论汇编分类讨论问题的三大基本点包括：（Ⅰ）方程f'(x)=是否有根；（Ⅱ）如果方程f'(x)=有根，判断根是否在定义域内；（Ⅲ）如果根在定义域内且有两个，需要比较根的大小。
1.对于函数f(x)=axlnx-x+(a≠0)，讨论其单调性。
2.对于函数f(x)=e^(mx+x^2)，证明其在(-∞,0)上单调递减，在(0,∞)上单调递增。
3.对于函数f(x)=ex-ax-2，a∈R，讨论其单调性。
4.对于函数f(x)=ex-2ax，x∈[0,1]，a∈R，讨论其单调性。
5.对于函数f(x)=lnx+a(1-x)，a∈R，讨论其单调性。
6.对于函数f(x)=e^(-e^x+x)，（1）讨论其单调性；（2）设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值。
7.设函数f(x)=x+aln(x+1)，其中a∈R，求函数f(x)的单调区间。
8.对于函数f(x)=ln(x+a)+x，（1）讨论其单调性；（2）如果f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2.9.已知函数f(x)=1/(x^2+1)，讨论其单调性。
10.对于函数f(x)=lnx-ax+1/(x-a)ln(x/(x-a))，讨论其单调性，其中a≤1.11.对于函数f(x)=alnx-x+ax，a∈R，求其单调区间。
12.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)，其中a∈R，讨论其单调性。
13.设函数f(x)=x+ax+b，g(x)=ecx+d，如果曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2，（1）求a、b、c、d；（2）如果x≥-2，讨论函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性。
14.已知函数$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$，讨论$f(x)$的单调性。
首先求导数：$f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x-1$，令其等于0，得到$x=\ln\frac{1}{2}-\ln(a-2)$。
含参单调性讨论 解析版
x 1 x)2 ，
令 g(x) ln x x 1，所以 g(x) 1 1 1 x ，
x
x
当
x
0,
1 2
时，
g ( x)
0，
g(x)
单调递增，
g( x)max
g(1 2
)
ln
2
1 2
0，
即 h(x)
0
，所以 h(x)
x 1 x ln x
在
0,
1 2
单调递减，所以
h(
x)
min
h( 1) 2
【分析】（1）求出函数的导数，讨论 a 的取值情况，结合解不等式即可求得答案；
（2）根据所给范围，讨论 a 的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，即可求
得函数最小值.
【详解】（1）由题意得 f (x) 2x (2a 1) a (2x 1)(x a) ，
x
x
f (x) 定义域是{x | x 0} ，
当 0 a 1 时，由 f (x) 0 得 0 x a 或 x 1 ，
含参单调性讨论解析
一、解答题 1．讨论函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 的单调性
x
【答案】答案见解析
【分析】求导
f
x
ax
1 x
x2
1
，再分
a
0
，
a
0，1
，
a
1，
a
1，
讨论求
解.
【详解】解： f x 的定义域为 0， ，
f x a
1 x2
a 1 x
ax 2
a 1x 1
时，
f
x
0，
f
高考数学 大题小练3 含参数函数的单调性的问题【含答案】
高三文科数学大题小练3：含参数函数的单调性的问题1. 已知函数3211()(1)(21)332f x x a x a a x =-+-++)(R a ∈求函数)(x f 的单调区间． 【解析】函数)(x f 的定义域为(,)-∞+∞，2()(1)(21)(21)()f x x a x a a x a x a '=-+-+=--+令()0f x '=，得1x a =- ，221x a =+（1）当21a a +=- ，即13a =- 时， 21()()03f x x '=+≥，此时()f x 在(,)-∞+∞是增函数； （2）当21a a +>- ，即13a <- 时， 令()0f x '>，得21x a >+或x a <-；令()0f x '<，得21a x a -<<+所以，()f x 在(21,)a ++∞和(,)a -∞-上单调递增，()f x 在(,21)a a -+上单调递减；（3）当21a a +<- ，即13a >- 时， 令()0f x '>，得x a >-或21x a <+；令()0f x '<，得21a x a +<<-所以，()f x 在(,)a -+∞和(,21)a -∞+上单调递增，()f x 在(21,)a a +-上单调递减；综上所述： 当13a <-时，()f x 的递增区间为(21,)a ++∞和(,)a -∞-，递减区间为(,21)a a -+；当13a =-时，()f x 的递增区间为),0(+∞；当13a >-时，()f x 的递增区间为(,)a -+∞和(,21)a -∞+，递减区间为(21,)a a +-2. 设函数3211()232f x x x ax a =+--，讨函数()f x 的单调性 【解析】由已知，得()f x 的定义域为R ∵3211()232f x x x ax a =+--，2()2f x x x a '∴=+-，()0f x '=的判别式18a ∆=+ （1）当0∆=，即18a =-时，2211()()042f x x x x '∴=++=+≥，此时()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；（2）当0∆<，即18a <-时，211()()2024f x x a '∴=+-->恒成立， 此时()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；（3）当0∆>，即18a >-时，令()0f x '=，解得1x =2x =，并且12x x < ；令()0f x '>，解得x >x <；令()0f x '<，解得1122x ---<<.此时()f x 在1(,2--∞上是增函数，在11(,22--上是减函数，在,)+∞上是增函数. 综上所述，当18a ≤-时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当18a >-时，()f x 在1(,)2--∞上是增函数，在11(,22--+上是减函数，在,)+∞上是增函数. 3. 已知函数1()ln ()f x a x x a R x=-+∈，讨论()f x 的单调性． 【解析】由已知，得0x >，()f x 的定义域为(0,)+∞22211()1a x ax f x x x x++'∴=++=，设2()1g x x ax =++则 令()0f x '=，得()0g x =，其判别式24(2)(2)a a a ∆=-=+- （1）当0∆=，即2a =±时，222221(1)()0x x x f x x x ±+±'∴==≥，此时()f x 在(0,)+∞上是增函数；（2）当0∆<，即22a -<<时，()0f x '∴>恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）当0∆>，即2a >或2a <- 时，令()0g x =，解得，1x =，2x =；①当2a >时，10x =<，20x =<， 0x >Q ，()0f x '∴>，此时()f x 在(0,)+∞ 上是增函数②当2a <-时，10x =<，20x =>，因为0x > 令()0f x '>，解得x >；令()0g x <，解得0x << 此时()f x在(0,上是减函数，在,)+∞上是增函数. 综上所述，当2a ≥-时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当2a <-时，()f x在(0,上是减函数，在,)+∞上是增函数. 4. 已知函数21()(21)ln (1)2f x a a x x a x =-++-+)(R a ∈求函数)(x f 的单调区间． 【解析】函数)(x f 的定义域为),0(+∞，2(1)(21)(21)()()x a x a a x a x a f x x x-+-+--+'== 令()0f x '=，得1x a =- ，221x a =+由于0x > ，所以（1）当21a a +=-即13a =- 时，21()3()0x f x x+'=>，此时，)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增；（2）当21a a +>-即13a >- 时， ①当021013a a a ⎧⎪-≤⎪+>⎨⎪⎪>-⎩即0a ≥时令()0f x '>，得21x a >+ ；令()0f x '<，得021x a <<+即 ()f x 在(21,)a ++∞上单调递增，()f x 在(0,21)a +上单调递减. ②当021013a a a ⎧⎪->⎪+>⎨⎪⎪>-⎩即103a -<<时, 令()0f x '>，得21x a >+或0x a <<-；令()0f x '<，得21a x a -<<+即()f x 在(21,)a ++∞和(0,)a -上单调递增，()f x 在(,21)a a -+上单调递减(3)当21a a +<-即13a <-时， ①当021013a a a ⎧⎪->⎪+≤⎨⎪⎪<-⎩即12a <-时 令()0f x '>，得x a >- ；令()0f x '<，得0x a <<-即 ()f x 在(,)a -+∞上单调递增，()f x 在(0,)a -上单调递减. ②当021013a a a ⎧⎪->⎪+>⎨⎪⎪<-⎩即1123a -<<-时, 令()0f x '>，得x >或021x a <<+；令()0f x '<，得21a x a +<<-即()f x 在(,)a -+∞和(0,21)a +上单调递增，()f x 在(21,)a a +-上单调递减 综上所述： 当12a <-时，()f x 的递增区间为(,)a -+∞，递减区间为(0,)a -；当1123a -<<-时，()f x 的递增区间为(,)a -+∞和(0,21)a +，递减区间为(21,)a a +-；当13a =-时，()f x 的递增区间为),0(+∞；当103a -<<时，()f x 的递增区间为(21,)a ++∞和(0,)a -，递减区间为(,21)a a -+当0a ≥时，()f x 的递增区间为(,)a +∞，递减区间为(0,)a ；当0<a 时，函数)(x f 的单调递增区间为(21,)a ++∞，单调递减区间为(0,21)a +.。
高三数学专题含参函数的单调性
高三数学专题含参函数的单调性1.设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间．2.判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．3.已知函数f(x)＝x2＋2a ln x，(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为l，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．4.设函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)，其中a≥－1，求f(x)的单调区间．5.已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．试求f(x)的单调区间．6.讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．7.函数f(x)＝ax2－a－ln x，讨论f(x)的单调性．8.设函数f(x)＝(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．9.已知函数f(x)＝－a(x－ln x)．(1)当a＝1时，试求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≤0时，试求f(x)的单调区间．10.已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．11.设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.讨论f(x)在其定义域上的单调性．12.已知函数f(x)＝a ln x＋x2－(1＋a)x(x>0)，其中a为实数．求函数f(x)的单调区间．13.已知函数f(x)＝e x－ax＋a，其中a∈R，e为自然对数的底数．讨论函数f(x)的单调性，并写出对应的单调区间．14.已知函数f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－ln x(a∈R)．当a>0时，求函数f(x)的单调递减区间．15.设函数f(x)＝x2－m ln x(m>0)，求函数f(x)的单调区间．16.已知函数f(x)＝ax＋x2－x ln a(a>0且a≠1)，求函数f(x)的单调递增区间．17.已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．18.已知函数f(x)＝ax－e x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．19.已知函数f(x)＝ln x－ax－3(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．20.已知函数f(x)＝ln x－(a∈R)，试判断f(x)在定义域内的单调性．21.已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R. 讨论f(x)的单调性．22.已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．求函数f(x)的单调区间．23.设f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. 令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．24.设函数f(x)＝ax－2－ln x(a∈R)．(1)若f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为，求a的值；(2)当a>0时，求f(x)的单调区间．25.设函数f(x)＝.求函数f(x)在[0,2]上的单调区间．26.已知函数f(x)＝a e xx－2a e x－x2＋x.(1)求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调区间．27.已知m>0，讨论函数f(x)＝的单调性．答案解析1.【答案】解f′(x)＝3ax2＋1，若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾．若a＝0，则f(x)＝x，此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾．若a<0，则f′(x)＝3a(x＋)(x－)，综上可知，a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为(－∞，－)，(，＋∞)，增区间为[－，]．【解析】2.【答案】解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈(0,)时，f′(x)>0；当x∈[，＋∞)时，f′(x)≤0.故f(x)在(0,)上单调递增，在[，＋∞)上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在(0,)上单调递增，在[，＋∞)上单调递减．【解析】3.【答案】解(1)f′(x)＝2x＋＝，由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a<0时，f′(x)＝，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，]；单调递增区间是(，＋∞)．【解析】4.【答案】解由已知得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)且f′(x)＝(a≥－1)，①当－1≤a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝.f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：从上表可知，当x∈(－1，]时，f′(x)≤0，函数f(x)在(－1，]上单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增．综上所述：当－1≤a≤0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．当a>0时，函数f(x)在(－1，]上单调递减，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增．【解析】5.【答案】解f′(x)＝－1＋kx＝，x∈(－1，＋∞)．当k＝0时，f′(x)＝－，所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；在区间[0，＋∞)上，f′(x)≤0.故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是[0，＋∞)；当0<k<1时，由f′(x)＝＝0，得x 1＝0，x2＝>0，所以，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f′(x)>0；在区间[0，]上，f′(x)≤0.故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(，＋∞)，单调递减区间是[0，]；当k＝1时，f′(x)＝，故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)；当k>1时，f′(x)＝＝0，得x 1＝∈(－1,0)，x2＝0，所以在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；在区间[，0]上，f′(x)≤0，故f(x)的单调递增区间是(－1，)和(0，＋∞)，单调递减区间是[，0]．【解析】6.【答案】解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝，①当a＝0时，f′(x)＝，由f′(x)≥0，得x≥1；由f′(x)<0，得0<x<1.所以，f(x)在(0,1)内为减函数，在[1，＋∞)内为增函数；②当a>0时，f′(x)＝，因为a>0，所以－<0，由f′(x)≥0，得x≥1；由f′(x)<0，得0<x<1.所以，f(x)在(0,1)内为减函数，在[1，＋∞)内为增函数．综上所述，a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数；在[1，＋∞)内为增函数．【解析】7.【答案】解由f(x)＝ax2－a－ln x，得f′(x)＝2ax－＝(x>0)，当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数；当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±＝±，∴当x∈(0，)时，f′(x)<0，当x∈[，＋∞)时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，)上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，当a>0时，f(x)在(0，)上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．【解析】8.【答案】解(1)函数f(x)＝(x－1)3－ax－b的导数为f′(x)＝3(x－1)2－a，当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上递增；当a>0时，当x>1＋或x<1－时，f′(x)>0，当1－≤x≤1＋时，f′(x)≤0，可得f(x)的增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)，减区间为[1－，1＋]．【解析】9.【答案】解(1)当a＝1时，f′(x)＝－1＋，f′(1)＝0，f(1)＝e－1.∴方程为y＝e－1.(2)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(1－)，＝＝，当a≤0时，对于∀x∈(0，＋∞)，e x－ax>0恒成立，令f′(x)>0⇒x>1，令f′(x)<0⇒0<x<1，∴f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)．【解析】10.【答案】解(1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝＋1－，因此，f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1，又f(2)＝ln 2＋2，所以y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.(2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)，令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以，当x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数单调递增；②当a≠0时，由g(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x 1＝1，x2＝－1.(ⅰ)当a＝时，x 1＝x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0<a<时，x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；(ⅲ)当a<0时，由于－1<0，x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减；函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当0<a<时，函数f(x)在(0,1)和(－1，＋∞)上单调递减；函数f(x)在(1，－1)上单调递增．【解析】11.【答案】解f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2，由f′(x)＝0，得x 1＝，x2＝，x1<x2，∴由f′(x)<0，得x<或x>；由f′(x)>0，得<x<，故f(x)在(－∞，)和(，＋∞)上单调递减，在(，)上单调递增．【解析】12.【答案】解因为f′(x)＝＋x－(1＋a)＝(x>0)，①当a≤0时，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1，此时，函数f(x)的增区间是(1，＋∞)，减区间是(0,1)，②当0<a<1时，令f′(x)>0，得x>1或0<x<a；令f′(x)<0，得a<x<1，此时，函数f(x)的增区间是(1，＋∞)和(0，a)，减区间是(a,1)，③当a＝1时，f′(x)≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，此时，函数f(x)的增区间是(0，＋∞)，无减区间，④当a>1时，令f′(x)>0，得x>a或0<x<1；令f′(x)<0，得1<x<a，此时，函数f(x)的增区间是(a，＋∞)和(0,1)，减区间是(1，a)．【解析】13.【答案】解由函数f(x)＝e x－ax＋a，可知f′(x)＝e x－a，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；②当a>0时，令f′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a，故当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．【解析】14.【答案】解当a>0时，函数f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－ln x的导数f′(x)＝－ax＋1＋a－＝－(x>0)，当a＝1时，f′(x)≤0，f(x)递减；当a>1时，1>，f′(x)<0，可得x>1或0<x<；当0<a<1时，1<，f′(x)<0，可得0<x<1或x>.综上可得，a＝1时，f(x)的减区间为(0，＋∞)；a>1时，f(x)的减区间为(1，＋∞)，(0，)；0<a<1时，f(x)的减区间为(，＋∞)，(0,1)．【解析】15.【答案】解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上，函数f(x)的单调增区间是(，＋∞)，减区间是(0，)．【解析】16.【答案】解函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ax ln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.令h(x)＝f′(x)＝2x＋(ax－1)ln a，h′(x)＝2＋ax ln2a，当a>0，a≠1时，h′(x)>0，所以h(x)在R上是增函数，又h(0)＝f′(0)＝0，所以，f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，f′(x)<0的解集为(－∞，0)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．【解析】17.【答案】解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，若a≤0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，f′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．【解析】18.【答案】解∵f′(x)＝a－e x，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝ln a.由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞)．【解析】19.【答案】解由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－a，当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，]，减区间为(，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无减区间．【解析】20.【答案】解由题意得f(x)的定义域是(0，＋∞)且f′(x)＝，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－a]上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．【解析】21.【答案】解由f(x)＝a(x－ln x)＋(x>0)，得f′(x)＝a(1－)＋＝＋＝＝(x>0)．若a≤0，则ax2－2<0恒成立，∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；当a>0时，若0<a<2，当x∈(0,1)和(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈[1，]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；若a＝2，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；若a>2，当x∈(0，)和(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈[，1]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数．【解析】22.【答案】解f′(x)＝(x>0)，当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，减区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．【解析】23.【答案】解∵f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x(x>0)，∴g(x)＝f′(x)＝ln x－2ax＋2a，x>0，g′(x)＝－2a＝，当a≤0时，g′(x)>0恒成立，即得g(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a>0，x≥时，g′(x)≤0，函数为减函数，当0<x<时，g′(x)>0，函数为增函数，∴当a≤0时，g(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a>0时，g(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是[，＋∞)．【解析】24.【答案】解(1)函数的导数f′(x)＝a－，若f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为，则f′(e)＝a－＝，得a＝.(2)由f′(x)＝a－＝(x>0)，当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)随x变化情况如下表：由表可知，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数，所以，当a>0时，f(x)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，＋∞)．【解析】25.【答案】解f′(x)＝，当2－m≤0，即m≥2时，x∈[0,2]，f′(x)≥0，f(x)在[0,2]上单调递增；当0<m<2时，令f′(x)≤0，得0≤x≤2－m，令f′(x)>0，得2－m<x≤2，所以f(x)在[0,2－m]上单调递减，在(2－m,2]上单调递增；当m≤0时，f′(x)≤0，f(x)在[0,2]上单调递减．【解析】26.【答案】解(1)函数f(x)＝a e xx－2a e x－x2＋x的导数为f′(x)＝a(e x＋x e x)－2a e x－x＋1＝(x－1)(a e x－1)，可得f(x)在(2，f(2))处的切线斜率为a e2－1，切点为(2,0)，即有切线的方程为y－0＝(a e2－1)(x－2)，即为y＝(a e2－1)(x－2)．(2)由f(x)的导数为f′(x)＝(x－1)(a e x－1)，①当a＝0时，f′(x)＝－(x－1)，当x>1时，f′(x)<0，f(x)递减；当x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；②当a<0时，当x>1时，f′(x)<0，f(x)递减；当x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；③当a>0时，若a＝，则f′(x)＝(x－1)(e x－1－1)，f(x)在R上递增；若a>，则f′(x)>0，即为(x－1)(x－ln)>0，可得x>1或x<ln；f′(x)<0，即为(x－1)(x－ln)<0，可得ln<x<1；若0<a<，则f′(x)>0，即为(x－1)(x－ln)>0，可得x<1或x>ln；f′(x)<0，即为(x－1)(x－ln)<0，可得1<x<ln.综上可得，a≤0时，f(x)的增区间为(－∞，1)，减区间为(1，＋∞)；a＝时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；a>时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，(－∞，ln)，减区间为(ln，1)；0<a<时，f(x)的增区间为(ln，＋∞)，(－∞，1)，减区间为(1，ln)．【解析】27.【答案】解f′(x)＝，设g(x)＝－mx2－(m＋3)x－3，令g(x)＝0，得x 1＝－，x2＝－1.①当0<m<3时，x1<x2，x，f′(x)与f(x)的变化情况如下：∴f(x)在区间(－∞，－)，(－1，＋∞)上是减函数，在区间(－，－1)上是增函数．②当m＝3时，x1＝x2，在区间(－∞，＋∞)上，g(x)≤0，即f′(x)≤0，∴f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数．③当m>3时，x1>x2，x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下：∴f(x)在区间(－∞，1)，(－，＋∞)上是减函数，在区间(－1，－)上是增函数．【解析】。
导数讨论含参单调性习题含详细讲解问题详解
实用标准文案m(x + n)f(x) = lnx z g(x) = --- (m > 0)1.设函数X + 1 (D 当m = 1时，函数y = f(x)与y = g(x)在x = i 处的切线互相垂直，求n 的值:(2)若函数y = f(x)-g(x)在定义域不单调，求m-n 的取值国; 满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.2. 已知函数= (ax + l)lnx-ax + 3z a € R /g (x)^f(x)^导函数，e 为自然对数的底数. (1) 讨论g(x)的单调性； (2) 当a>e 时，证明：g(e _a)>0.(3) 当a>e 时，判断函数f(x)零点的个数，并说明理由. bf(x) = a(x + -)+ blnx3. 已知函数 x (其中，a,b 6 R).(1) 当b = -4时，若f(x)在其定义域为单调函数，求a 的取值围；(2) 当a = 7时，是否存在实数b,使得当xe ［e,e 2］时，不等式f(x)>0恒成立，如果存在, 求b的取值围，如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e = 2.71828 -).4. 已知函数g(x) = x 2+ ln(x + a)，其中a 为常数. (1) 讨论函数g(x)的单调性；g(xj + g(x 2) x x + x 2 > g( --------- )(2) 若g(x)存在两个极值点X/2,求证：无论实数a 取什么值都有2 2・5. 已知函数f(x) = ln(e x+ a) (a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g(x) = Xf(x) + sinx 是 区间【-1, 1］上的减函数.(1)求a 的值;(2)若g(x)<t 2+ Xt + l 在xEHL, 1］及入所在的取值国上恒成立，求t 的取值国:Inx 2—=x -2ex + m(3)讨论关于x 的方程f(x)的根的个数.(3)是否存在正实数6使得 2a xf(;)・f 声屮(寿 <0对任意正实数X 恒成立？若存在，求出文档大全实用标准文案6. 已知函数 f (x) = ax-\nx,F (x) = e x + ax ,其中 x>O,a <0.(1) 若/(X)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调性，数a 的取值围；(2) 若aw -oo,-—,且函数 g (x) = xe a ^1 - 2av+ f (x)的最小值为 M,求M 的X €-最小值.7. 已知函数 f(x) = e x+m -\nx.(1 )如X = 1是函数/(X)的极值点，数〃7的值并讨论的单调性/(X):(2)若X = A O 是函数/(X)的极值点，且f(x) > 0恒成立，数加的取值围(注：已知 常数a 满足<71116/= 1)・牙3(1) 当加=1 时，求证：-lvxS 0 时，f (x) < —:(2) 试讨论函数y = /(A )的零点个数.9. 已知£ 是自然对数的底数，F(x) = 2e'~1+x+liix,/(x) = d r(x-l) + 3.⑴设T(x) = F(x)-/(x),当0 = 1 + 2以时，求证：T(x)在(0,+oo)±单调递增;(2)若 Vx>l,F(x)>/(x),数a 的取值囤. 10. 已知函数 /(x) = e v+ax-2(1) 若a = -l 求函数/(%)在区间［-1,1］的最小值； (2) 若a G /?,讨论函数/(X)在(0,+co)的单调性； (3) 若对于任意的為,耳丘(°，+8)，且兀 <耳，都有xJ/CG + a ］ vxJ/Vj + a ］成立，求a 的取值囲。
单调性(含答案)
导数的单调性考点一：求单调区间1. 求单调区间：（1 )f （x ）=x 3－x 2－ x ； （2）13)(f 3+-=x x x ； （3）xx x 2)(f +=； （4）x x x ln 21)(f 2-=； （5）x x x ln 23)(f 2-=； 解：（1）f '（x ）=3（x+31）（x －1）∴f （x ）单增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）； （2））），单减：（，）和（，单增：（1,1-11--)1)(1(333)(2∞+∞∴+-=-='x x x x f ； （3）），和（），单减：（，）和（，单增：（定义域：10)0,1-11--)2)(2()(,0x 2∞+∞∴-+='≠x x x x f （4）定义域：x>0,xx x x x x x )1)(1x 11)(f 2+-=-=-='（，））；单减区间：（，单增区间：（1,01)(f ∞+∴x ；（5））），单减（，单增（，（定义域：33,033)(f )13)(1x 3226)(f 0,x ∞+∴+-=-='>x x x x x x ； 考点二.求含参函数的单调区间2.求单调区间：（1）已知函数2()2ln f x x a x =+．求函数()f x 的单调区间；解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．xa x x 22)(f 2+='： ①当-a 《0，即0a ≥时, ()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；②当-a>0,即0a <时2(()x x f x x '=． 函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞．(2)已知()1x f x e ax =--求()f x 的单调增区间； 解：∵ ()x f x e a '=-（1）若0a ≤，()0x f x e a '=->恒成立，即()f x 在R 上递增若0a >,()0x f x e a '=->,∴x e a >, ln x a >.∴()f x 的单调递增区间为(ln ,)a +∞ （3）已知函数x a a e e x f x x 2)()(--=，求()f x 的单调区间．解：)(22)(2222t e a at t a ae e x f x x x =--=--='，①若a a =-2，即a=0，函数()f x 在R 上单调递增， ②若a a >-2，即a<0，在))2ln(,0(a -单调递减，在)),2(ln(+∞-a 上单调递增． ③ 若a a <-2，即a>0,在)ln ,0(a 单调递减，在),(ln +∞a 上单调递增． (4)已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈．当12a ≤时，求()f x 的单调区间． 解： ∵11ln )(--+-=x a ax x x f ，∴211()a f x a x x -'=-+221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x当0a =时，()1, (0,)g x x x =+∈+∞－，∴(0,1)x ∈时，()0g x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减， (1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增，当0a ≠时，由()=0f x '，解得1211,1x x a ==-， ①若11a1=-，即12a =，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减， ②若11a1>-，即102a <<，在1(0,1), (1)a +∞－，单调递减，在1(1, 1)a －上单调递增． ③ 若11a 1<-，即a 21>（舍）或a<0,(0,1)x ∈时，()0g x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时函数()0f x '>，函数()f x 单调递增．（5）已知函数f(x)=(x -2)e x +a(x -1)2,讨论f(x)的单调性.解：(Ⅰ) f '(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x+2a ). x ∈R(1)当a ≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。
直击含参函数的单调性问题-2018版高人一筹之高三数学(文)二轮复习特色专题训练(word版含答案)
]一、单选题 1．若()()()21ln 21,2f x x b x =-++-+∞在上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A . [)1,-+∞ B . ()1,-+∞ C . (],1-∞- D . (),1-∞-【答案】C点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.2．若函数()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 取值范围是（ ）A . 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B . 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C . 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D . 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意得0{ 122a a>-≤- 或0a = 104a ∴≤≤，选C 点睛：二次函数的图象，主要有以下三个要点（1）开口（2）对称轴（3）特殊点（如与坐标轴的交点，顶点等）从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象与性质．3．若()3231f x x ax x =+++在定义域R 内为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A . []1,1- B. ⎡⎣C. ⎡⎣ D . []3,3-【答案】D【解析】由题可知()2'323f x x ax =++若()f x 在R 上为单调递增函数，则()'0f x ≥在R 上恒成立 ∴0∆≤，即[]3,3a ∈-故选D .点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路： （1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解； （2）将函数()f x 在某区间上单调递增转化为()0f x '≥（但不恒为0）在该区间上恒成立.二、填空题 4．若函数()21ln 2f x x a x =-在其定义域内的一个子区间()2,2a a -+上不单调，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)2,4【解析】20a -≥ 且由()022af x x x a a x=-=⇒=⇒-<<+' ，解得24a ≤< 点睛：函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 5．若函数()ln f x kx x =-在区间()2,+∞单调递增，则k 的取值范围是__________． 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点睛：本题主要考查的知识点是利用导数研究函数的单调性。
含参函数的单调性问题-高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第二册)
1.已知函数的单调性求参数
例4.函数f (x) x3 ax在区间(3,1)上不单调,求a的取值范围.
析 : f (x) x3 ax在(3,1)上有增有减. f '(x) 3x2 a在(3,1)上有正有负. 解 : 依题意得f '(x) 3x2 a 0在(3,1)上有解. 即a 3x2在(3,1)上有解. 3x2 (3,27),a (3,27).
a 0是f (x) x3在(2,1)上递增,不合题意.a 0.
解 : f '(x) 3x2 a. 由题意得存在x (2,1), 使f '(x) 3x2 a 0.
即x (2,1)使a 3x2. x (2,1)时,3x2 [0,12). a 0.
1.已知函数的单调性求参数
例2.函数f (x) x3 ax在(2,1)内存在单调减区间,求a的取值范围.
1.已知函数的单调性求参数【类型一】
[练3]函数f (x) 1 x3 1 ax2 (a 1)x 1 在区间(1,4)上单调递减, 32
在(6, )上单调递增, 求实数a的范围.
(法2) 析 : f (x) x2 ax a 1 (x 1)[ x (a 1)],
依题意, 在 (1,4) 内 f (x) 0, 在 (6,) 内 f (x) 0，
法1:
f f
' (1) ' (3)
3k 27
0 k
得3 0
a
27
法2 : f '(x) 3x2 a 0在(3,1)上有解. 即a 3x2在(3,1)上有解. a 3x2 (3,27).
y f '(x)
法3 : 若f (x)在(3,1)单调递增,则f '(x) 3x2 k 0在(3,1)上恒成立. k 3 若f (x)在(3,1)单调递减,则f '(x) 3x2 k 0在(3,1)上恒成立. k 27
含参单调性讨论解析
【分析】（1）求出函数的导数，讨论 a 的取值情况，结合解不等式即可求得答案；
（2）根据所给范围，讨论 a 的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，即可求
得函数最小值.
【详解】（1）由题意得 f (x) 2x (2a 1) a (2x 1)(x a) ，
x
x
f (x) 定义域是{x | x 0} ，
2
2
当 a 1 时，单调递增区间是 (0, ) ； 2
当 0 a 1 时，单调递增区间是 (0,a) ， (1 , ) ；
2
2
当 a 0 时，单调递增区间是 (1 , ) . 2
（2）由（1）知 f (x) (2x 1)(x a) ，令 f (x) 0 ，得 x 1 , x a ，
.
即当
1a
x (0, e a )
时，
f
( x)
0，
f
(x) 单调递增，当
1a
x (e a , )
时，
f
( x)
0，
f
(x)
单
调递减；
②当 a 0 时 f (x) 1 0 ， f (x) 在 (0, ) 单调递增；
1a
1a
综上：当 a 0 时， f (x) 在 (0, e a ) 单调递增，在 (e a , ) 单调递减；
当 a 0 时， f (x) 在 (0, ) 单调递增.
（2）若
x
0,
1 2
时，都有
f
x
1，即
x 1 a
ln
x
1，即 a
x 1 x ln x
恒成立.
令 h(x)
x 1 x ln x
，则 a
h( x)min ， h(x)
含参函数的单调性问题
上 的 单 调 性.
1 3a 4 1 3a 4
函数f ( x) 1 （1 a) x x x 在（,
)上单调递增，
( 2)可导函数f ( x )在区间a , b上存在单增(减)区间
f ( x) 0( f ( x) 0)在区间a, b上有解
a, b
(3)可导函数f ( x )的单调区间是
a, b是f ( x) 0的两根.
合作探究
1 2
例3 已知函数f ( x) ln x，g ( x) ax 2 x, a 0
D
4.函数f ( x ) x 2 a ln x在(1,)上单调递增，则实数
a的取值范围为
(____)
A.a 1
B.a 1
C.a 2
D.a 2
2
5.已知函数f ( x) x ax x c, 且a f ( ).
3
3
x
(
2
)
若g(xFra bibliotek)
(
f
(
x
)
x
)
e
在 3,2上 单增 ， 求 实数
3
3
1 3a 4 1 3a 4
在（- ，
), (
,)上单调递减
3
3
2
3
1 3
变式训练2： 求函数 = − + 2 + 1, (
3
≤ 0)的单调区间.
当a 0时， f ( x)在(0, )上递增，在（ - ，
高三文科数学大题小练3：含参数函数的单调性的问题
高三文科数学大题小练3：含参数函数的单调性的问题1. 已知函数3211()(1)(21)332f x x a x a a x =-+-++)(R a ∈求函数)(x f 的单调区间． 【解析】函数)(x f 的定义域为(,)-∞+∞，2()(1)(21)(21)()f x x a x a a x a x a '=-+-+=--+令()0f x '=，得1x a =- ，221x a =+ （1）当21a a +=- ，即13a =- 时， 21()()03f x x '=+≥，此时()f x 在(,)-∞+∞是增函数； （2）当21a a +>- ，即13a <- 时， 令()0f x '>，得21x a >+或x a <-；令()0f x '<，得21a x a -<<+所以，()f x 在(21,)a ++∞和(,)a -∞-上单调递增，()f x 在(,21)a a -+上单调递减；（3）当21a a +<- ，即13a >- 时， 令()0f x '>，得x a >-或21x a <+；令()0f x '<，得21a x a +<<-所以，()f x 在(,)a -+∞和(,21)a -∞+上单调递增，()f x 在(21,)a a +-上单调递减；综上所述： 当13a <-时，()f x 的递增区间为(21,)a ++∞和(,)a -∞-，递减区间为(,21)a a -+；当13a =-时，()f x 的递增区间为),0(+∞；当13a >-时，()f x 的递增区间为(,)a -+∞和(,21)a -∞+，递减区间为(21,)a a +-2. 设函数3211()232f x x x ax a =+--，讨函数()f x 的单调性 【解析】由已知，得()f x 的定义域为R ∵3211()232f x x x ax a =+--，2()2f x x x a '∴=+-，()0f x '=的判别式18a ∆=+ （1）当0∆=，即18a =-时，2211()()042f x x x x '∴=++=+≥，此时()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；（2）当0∆<，即18a <-时，211()()2024f x x a '∴=+-->恒成立， 此时()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；（3）当0∆>，即18a >-时，令()0f x '=，解得1x =2x =，并且12x x < ；令()0f x '>，解得12x ->或12x -<；令()0f x '<x <<.此时()f x 在(,-∞上是增函数，在,上是减函数，在,)+∞上是增函数. 综上所述，当18a ≤-时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当18a >-时，()f x 在(,-∞上是增函数，在,上是减函数，在,)+∞上是增函数. 3. 已知函数1()ln ()f x a x x a R x =-+∈，讨论()f x 的单调性． 【解析】由已知，得0x >，()f x 的定义域为(0,)+∞22211()1a x ax f x x x x++'∴=++=，设2()1g x x ax =++则 令()0f x '=，得()0g x =，其判别式24(2)(2)a a a ∆=-=+- （1）当0∆=，即2a =±时，222221(1)()0x x x f x x x ±+±'∴==≥，此时()f x 在(0,)+∞上是增函数；（2）当0∆<，即22a -<<时，()0f x '∴>恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）当0∆>，即2a >或2a <- 时，令()0g x =，解得，12a x --=，22a x -=；①当2a >时，10x =<，20x =<， 0x >Q ，()0f x '∴>，此时()f x 在(0,)+∞ 上是增函数②当2a <-时，102a x --=<，202a x -+=>，因为0x > 令()0f x '>，解得2a x -+>；令()0g x <，解得02a x -<<. 此时()f x在(0,上是减函数，在,)+∞上是增函数. 综上所述，当2a ≥-时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当2a <-时，()f x在(0,2a -上是减函数，在(,)2a -+∞上是增函数. 4. 已知函数21()(21)ln (1)2f x a a x x a x =-++-+)(R a ∈求函数)(x f 的单调区间． 【解析】函数)(x f 的定义域为),0(+∞，2(1)(21)(21)()()x a x a a x a x a f x x x-+-+--+'== 令()0f x '=，得1x a =- ，221x a =+由于0x > ，所以（1）当21a a +=-即13a =- 时，21()3()0x f x x+'=>，此时，)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增；（2）当21a a +>-即13a >- 时， ①当021013a a a ⎧⎪-≤⎪+>⎨⎪⎪>-⎩即0a ≥时令()0f x '>，得21x a >+ ；令()0f x '<，得021x a <<+即 ()f x 在(21,)a ++∞上单调递增，()f x 在(0,21)a +上单调递减. ②当021013a a a ⎧⎪->⎪+>⎨⎪⎪>-⎩即103a -<<时, 令()0f x '>，得21x a >+或0x a <<-；令()0f x '<，得21a x a -<<+即()f x 在(21,)a ++∞和(0,)a -上单调递增，()f x 在(,21)a a -+上单调递减(3)当21a a +<-即13a <-时， ①当021013a a a ⎧⎪->⎪+≤⎨⎪⎪<-⎩即12a <-时 令()0f x '>，得x a >- ；令()0f x '<，得0x a <<-即 ()f x 在(,)a -+∞上单调递增，()f x 在(0,)a -上单调递减. ②当021013a a a ⎧⎪->⎪+>⎨⎪⎪<-⎩即1123a -<<-时, 令()0f x '>，得x >或021x a <<+；令()0f x '<，得21a x a +<<-即()f x 在(,)a -+∞和(0,21)a +上单调递增，()f x 在(21,)a a +-上单调递减 综上所述： 当12a <-时，()f x 的递增区间为(,)a -+∞，递减区间为(0,)a -；当1123a -<<-时，()f x 的递增区间为(,)a -+∞和(0,21)a +，递减区间为(21,)a a +-；当13a =-时，()f x 的递增区间为),0(+∞；当103a -<<时，()f x 的递增区间为(21,)a ++∞和(0,)a -，递减区间为(,21)a a -+当0a ≥时，()f x 的递增区间为(,)a +∞，递减区间为(0,)a ；当0<a 时，函数)(x f 的单调递增区间为(21,)a ++∞，单调递减区间为(0,21)a +.。
含参函数的单调性
例题：已知 f(x)＝ex－ax－1，求 f(x) 的单调增区间. 解: ∵f(x)＝ex－ax－1，∴ f′(x)＝ex－a. 当 a=0 时，f′(x)＞0 在R上恒成立；
当 a＜0 时，f′(x)＞0 在R上恒成立；
当 a＞0 时，令 f′(x)=0，得 ex=a，x=ln a， 当 x≥ln a 时，f′(x)≥0，f(x) 单调增.
综上：当 a≤0 时，f(x) 的单调增区间为 (－∞，＋∞)；
当 a＞0 时，f(x) 的单调增区间为 [ln a，＋∞)．
例题：已知函数 f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，其中 a∈R，求函数 f(x) 的单调增区间
解 f ( x ) x (a 1) x :
a
( x a )( x 1) 令f′(x)=0，得 x=a 或 x=1 x
含参函数的单调性
单调性求法
1、函数的单调性： 函数f(x)在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)为增函数；若f′(x)＜0，
则f(x)为减函数，若f′(x)＝0，则f(x)为常函数．
2、利用导数判断函数单调性的一般步骤： (1)求 f′(x)；（注意：一般有分式则通分，注意定义域范围） (2)在定义域内解方程 f′(x)=0，再在根的左右判断 f′(x) 的符号； (3)根据(2)的结果确定 f(x) 的单调区间．
当 a= 0 时，由 f′(x)＞0 得 x＞1 ，此时 f(x) 的单调增区间为 (1，＋∞)． 当 a＜0 时，由 ′(x)＞0 得 x＞1 ，此时 f(x) 的单调增区间为 (1，＋∞)．
导数之含参函数的单调性的分类讨论
高考数学微专题第 1 页 导函数三种含参的单调性讨论类型一：导函数为含参一次型的函数单调性针对通分后分子是一次型的，我们考虑能否参数取得某一个范围使得导数是大于0或者小于0恒成立，如果可以，再去讨论另外的范围。
这样做的好处是思路清晰，不会导致漏了讨论的范围。
例题1：已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论f(x)的单调性变式1：函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=，求函数的单调区间变式2：已知函数x e x f ax 3)(+=，求f(x)的单调区间变式训练3：已知函数2ln )(-+=x xa x f ，是否存在实数a,使得函数f(x)在],0(2e 上有最小值？若存在，求a 的值，若不存在，说明理由 类型二：导函数为含参二次型可因式分解的函数单调性针对求导后为含参二次型可因式分解的函数单调性，如果参数处在二次项系数，先讨论能否为0；再通过因式分解为两个因式的积。
接着首先讨论两根相等时，因为我们寻找了一种临界情况。
接下来就好确定分类标准了，这一点不可不知。
也会省去求不等式解集的麻烦。
例2：求函数2ln )1()(2ax x x a x f +--=的单调区间 变式1：已知函)(11ln )(R a xa ax x x f ∈--+-=，讨论f(x)的单调性 变式2：已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 。
讨论f(x)的单调性变式3：已知函数x x x f cos 2)(2+=，函数)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x（1）求曲线y=f(x)在点))(,(ππf 处的切线方程（2）令))(()()(R a x af x g x h ∈-=，讨论会h(x)的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值类型三：导函数为含参二次型不可因式分解的函数单调性导数含参二次型不可因式分解是我们遇到的第三种情况，我们依然遵循求导通分定义域的步骤书写大题过程。
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
m(x + n}f(x) - lnx T g(x) = --------- m > 0)1 •设函数x T .(1)当m= l|时，函数¥訂(刈与¥ =創刈在"1处的切线互相垂直，求n的值；(2)若函数¥“仪卜創对在定义域内不单调，求m-n的取值范围；2a 3K xf(T 他M f(—) < 0(3)是否存在正实数使得x 2a 对任意正实数K恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.2•已知函数fW = (^ + l)lnx-ax + 3f aG R,g(x)是f闵的导函数，*为自然对数的底数.(1)讨论：的单调性；(2)当白X时，证明：寓(3)当白X时，判断函数f凶零点的个数，并说明理由.bf(«) = + ) + blnx3.已知函数x(其中，忆b€R).(1)当b = Y时，若f")在其定义域内为单调函数，求臼的取值范围；(2)当：：八」时，是否存在实数H,使得当’■ ■时，不等式卜心■冷恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由(其中电是自然对数的底数，“ 2一7182旷).4 •已知函数gW = x2 + ln(x + a)|,其中臼为常数.(1)讨论函数•的单调性；S(Xj) +g(x?) x t +x z(2)若或叮存在两个极值点叫*刈，求证：无论实数臼取什么值都有 2 £ 2 .5 .已知函数肛"油盧2)(玄为常数)是实数集"上的奇函数，函数屮“用刈卡商帥是区间Il上的减函数.(1)求的值；(2)若恥；-「：在卜G 及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；Irx ?=x -2e* + m(3)讨论关于丸的方程f⑷的根的个数.6 •已知函数f x ax ln x, F x e x ax，其中x 0, a 0.(1)若f x和F x在区间0,ln3上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；(2) 若a最小值.1,二，且函数g x eax 1 xe 2 ax f x的最小值为M，求M的7.已知函数 f (x) e x m In x .(1)如x1是函数f(x)的极值点，求实数m的值并讨论的单调性 f (x)；(2) 若x x。
函数单调性(含参)讨论
一、解答题 1．已知函数 婈ࡩ반 ʍ 婈૬ࡩ ૬반૬ࡩ ࡩ
ଅ
讨论 婈ࡩ반的单调性；
提示：由题 ̵婈ࡩ반 ʍ ࡩ ૬ࡩ
，
2．已知函数 设函数
ࡩ ʍ
ࡩ ʍࡩ
提示：
ࡩ
lnࡩ，
̵
ࡩ ʍଅ
ࡩ ，求函数
ଅ ࡩ
ࡩ ʍ
ଅ
ࡩ
ࡩ 的单调区间；
ࡩ
婈
반．
ʍ
ࡩ
ࡩ
ࡩ
ଅ
ʍ
ࡩ ଅ ࡩ
ࡩ
ଅ
，
3． 已知函数 婈ࡩ반 ʍ lnࡩ 的单调性；
13．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ
提示： 婈ࡩ반 ʍ ࡩ૬ࡩ
ଅ ૬ࡩ
ࡩ ʍ ࡩ ૬ࡩ
ࡩ ,讨论 婈ࡩ반单调性; ，
14．已知函数 婈ࡩ반 ʍ lnࡩ 提示： ̵ ࡩ ʍ
ࡩ ࡩ
ଅ ࡩ
ࡩ
ࡩ婈
반.讨论 婈ࡩ반的单调性；
3
15．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ 提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ
ࡩ
ࡩ
lnࡩ婈
ଅ ࡩ
ʍ
ࡩ
반.讨论函数 婈ࡩ반的单调性；
ࡩ ࡩ ଅ
ࡩ
.
16．已知函数 婈ࡩ반 ʍ
ࡩ
提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ ଅ
ࡩ
lnࡩ
ࡩ ࡩ
ʍ
ࡩ
.求函数 婈ࡩ반的单调增区间；
ࡩ ࡩ
ࡩ
婈
반
17．已知函数 婈ࡩ반 ʍ 婈ଅ 提示：
̵婈ࡩ반 ʍ 婈； ࡩ ଅ반૬ࡩ
4
반． 讨论
的单调性；
2
11．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ
婈
提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ ଅ
ࡩ
ଅ반 婈 ࡩ
函数单调性常考题型含详解
函数单调性常考题型题型一：初等函数中含参数的单调性问题典例1、如果函数 在R 上是增函数，那么a 的取值范围______. 解：根据一次函数的性质，得到，即可求解实数a 的取值范围. 详解：由题意，函数 在R 上是增函数， 根据一次函数的性质，可得，解得即实数a【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及一次函数的性质，其中解答中根据一次函数的性质，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 变式题：1、已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.2、函数在上是增函数，在上是减函数，则_________．3、若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．4、若函数f （x [m，+∞）上为增函数，则实数m 的取值范围是_____． 题型二、函数单调性与不等式典例2、若函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(1)的实数x 的取值范围为________.【解析】先根据单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解：因为函数f(x)为R 上的减函数，所以由f(1)或故答案为：【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式、解分式不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.21()y a x b =-+210a ->21()y a x b =-+210a ->()223f x x ax =-++(),4-∞a 2()34f x x mx =-+[5,)-+∞(,5]-∞-(1)f -=2()(24)1f x ax a x =--+(1,5)0x <(,0)[1,)-∞⋃+∞变式题：已知是定义在上的增函数，若，则的取值范围是______________．题型三、复合函数的单调性典例3__________. 【解析】首先求出函数的定义域，令，分别求出的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调递增区间. 详解：因为，得，得或， 解得函数的定义域为. 令，在单调递增. 因为函数在单调递增， 在单调递增. 故答案为：【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题.变式题：1、若函数的单调递增区间是，则=________. 2在是增函数，则实数的取值范围是______.3、函数f （x ）=x|x|-4x 的单调递增区间是______．题型四、函数单调性概念拓展应用典例4、已知满足对任意都有成立，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意，函数在定义域R 上是增函数，故可得到，解出即可．【详解】 ()y f x =()2,2-112f m f m m ()f x 256t x x =-+256t x x =-+()f x 2560x x -+≥(2)(3)0x x --≥2x ≤3x ≥()f x (,2][3,)-∞⋃+∞256t x x =-+[0,)+∞256t x x =-+[3,)+∞[3,)+∞[3,)+∞()2f x x a =+a [)2,+∞a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩12x x ≠a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩02021a a a a ⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞。
含参数的函数单调性学习版试题 .ppt
例1、已知函数 f 式1、已知函数 f x ax ln x ，
讨论函数的单调区间.
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例2、已知函数 f x 1 x2 a 1x a ln x ，讨论函数
的单调性.
2
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变式2、已知函数f
x
1 2
x
2
a
1x
a
ln
x，讨论函数单调性.
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变式3、(2017年全国III卷,21题) 已知函数 f x ln x ax2 2a 1x ，讨论函数单调性.
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例3、（2017年全国1卷）已知函数 f x ae2x a 2ex x ，讨论
函数的单调性.
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三板斧解决含参数的函数单调性问题： 第一步：先求函数定义域，再求导 第二步： 1斧，最高次项系数含有参数，分类讨论 f x 0 是否有根. 2斧，若 f x 0 有根并判断根是否在定义域内. 3斧，若 f x 0 有两根 x1, x2 都在定义域内，则讨论两根大小. 第三步：写综上所述.
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导数专题------求函数的单调区间
1.设
()()2
56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点
()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.
2.设函数()()2
1x
f x x e kx =--(k ∈R ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
3.已知函数ln ()x
x k
f x e +=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
4. 的单调区间求设函数)(,0,ln )(2
2
x f a ax x x a x f >+-=
的单调区间和极值。
）求函数（处的切线的斜率；，在点（（时，求曲线当（设函数)(2))1(1)1)1(.
0),(,)1(3
1
).5223x f f x f y m m R x x m x x x f ==>∈-++-=。
的单调区间和极小值点
求函数其中
（已知函数
)
(
.0
,
ln
)
1(
2
1
)
.62
x
f
a
x
a
x
a
x
x
f>
+
+
-
=
的单调区间。
）求
（
处的切线方程
，
在点（
时，求曲线当
已知函数
)
(
2
))
1(
1
)
(
2 )1(
,
2
)
1
ln(
)
(
.72
x f
f
x
f
y
k
x
k
x
x
x
f
=
=
+
-
+
=
8. 的单调区间。
（
求
已知函数)
),
.(
)1
(
ln
)
(2x
f
R
a
ax
x
x
a
x
f∈
-
-
-
=
的单调区间。
讨论
已知函数)
(
),1
(,
ln
)
(
.9x
f
x
ax
x
x
x
f>
-
=。