4刚体-例题
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2 4 2
2vc d dt l sin
3(sin 3 sin 2 cos 2 cos ) g ac (1 3 sin 2 ) 2 4 6 cos 3 cos N m( g ac ) m g (1 3 sin 2 ) 2
Consider a simple rigid body consisting of two particles m separated by a massless （轻质）rod of length 2l. The midpoint of the rod is attached to a vertical axis（竖直轴） which rotates at angular speed w. The rod is skewed at an angle a as shown in the sketch. Please find the angular momentum of the system and the torque about the midpoint.
A点竖直速度为零：
C mg vc N A
l vc sin 2 1 I c ml 2 12
vc
2 l
3gl(1 cos ) sin vc 2 1 3 sin
2 2
dvc d 3gl(1 cos ) sin 2 d 2vc 2 dt d 1 3 sin dt
2
14.10(p413) 半径为r的匀质球体在半径为R的球形碗 内作无滑动的滚动。求球在碗底附近小幅度摆动的周期。
解法二：用能量守恒求解
即
上式求导可得
解法三：关于瞬心角动量定理
14.16(p413)将半径为r的小球轻轻搁在半径为R的静止大 球的顶端，小球就向下滚动。问小球滚到何处将飞离大球。
练习13.7(p528)：
镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉 子时与墙所作的角。
解：
m glsin I =? m g N m ay
m glsin / I 1 2 I m gl(1 cos ) 2
an y at N
mg 2l
质心加速度：
at l 2 a l
n
sin l 2 cos ay l
跳离时，N=0, 得：
m gl2 [2(1 cos ) cos sin 2 ] g I
1 4 2 2 I m(2l ) ml 3 3 得： cos 1 / 3
I A I c m a2
碰撞后机械能守恒：
h
1 I A 2 mgh 2 2 2mgh ( I c ma ) v0 a0 a I c ma (a h)
例题： 一质量为m,长为l的匀质细杆铅直地放置在光滑
的水平地面上。当杆由静止倒下时，求地面对杆端的支 撑力。
1 1 1 2 解： 2 mg (1 cos ) I c mv c 2 2 2
例6(p341/264)：质量为m的小球以速度v在水平冰面 上运动，撞在与小球运动方向垂直的一根横木一端，并 粘附在横木上。设横木的质量为M，长度为l。忽略冰面 摩擦，求解碰撞之后系统的运动情况。刚刚发生碰撞之 后横木上有一点是瞬时静止的，问该点在何处？
解答：
动平衡
练习14.18(p533)：
半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为 h<a的台阶发生非弹性碰撞。求球能翻越台阶的最小速度（假定在 碰撞点没有发生滑动）
wk.baidu.com
解：碰撞前后关于A点角动量守恒：
m v0 (a h) I c0 I A
w0 a
v0
A
0 v0 / a
2vc d dt l sin
3(sin 3 sin 2 cos 2 cos ) g ac (1 3 sin 2 ) 2 4 6 cos 3 cos N m( g ac ) m g (1 3 sin 2 ) 2
Consider a simple rigid body consisting of two particles m separated by a massless （轻质）rod of length 2l. The midpoint of the rod is attached to a vertical axis（竖直轴） which rotates at angular speed w. The rod is skewed at an angle a as shown in the sketch. Please find the angular momentum of the system and the torque about the midpoint.
A点竖直速度为零：
C mg vc N A
l vc sin 2 1 I c ml 2 12
vc
2 l
3gl(1 cos ) sin vc 2 1 3 sin
2 2
dvc d 3gl(1 cos ) sin 2 d 2vc 2 dt d 1 3 sin dt
2
14.10(p413) 半径为r的匀质球体在半径为R的球形碗 内作无滑动的滚动。求球在碗底附近小幅度摆动的周期。
解法二：用能量守恒求解
即
上式求导可得
解法三：关于瞬心角动量定理
14.16(p413)将半径为r的小球轻轻搁在半径为R的静止大 球的顶端，小球就向下滚动。问小球滚到何处将飞离大球。
练习13.7(p528)：
镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉 子时与墙所作的角。
解：
m glsin I =? m g N m ay
m glsin / I 1 2 I m gl(1 cos ) 2
an y at N
mg 2l
质心加速度：
at l 2 a l
n
sin l 2 cos ay l
跳离时，N=0, 得：
m gl2 [2(1 cos ) cos sin 2 ] g I
1 4 2 2 I m(2l ) ml 3 3 得： cos 1 / 3
I A I c m a2
碰撞后机械能守恒：
h
1 I A 2 mgh 2 2 2mgh ( I c ma ) v0 a0 a I c ma (a h)
例题： 一质量为m,长为l的匀质细杆铅直地放置在光滑
的水平地面上。当杆由静止倒下时，求地面对杆端的支 撑力。
1 1 1 2 解： 2 mg (1 cos ) I c mv c 2 2 2
例6(p341/264)：质量为m的小球以速度v在水平冰面 上运动，撞在与小球运动方向垂直的一根横木一端，并 粘附在横木上。设横木的质量为M，长度为l。忽略冰面 摩擦，求解碰撞之后系统的运动情况。刚刚发生碰撞之 后横木上有一点是瞬时静止的，问该点在何处？
解答：
动平衡
练习14.18(p533)：
半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为 h<a的台阶发生非弹性碰撞。求球能翻越台阶的最小速度（假定在 碰撞点没有发生滑动）
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解：碰撞前后关于A点角动量守恒：
m v0 (a h) I c0 I A
w0 a
v0
A
0 v0 / a