2015年中考专题训练之梯形的存在性问题
二次函数综合(动点)问题——梯形存在问题培优教案(横版)
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练一练：已知 A（0，5）和 B（－2，3） ，则线段 AB 的中点坐标是 (4)如图：PG∥X 轴，QG∥Y 轴，P 点的横坐标为 为 ，则线段 PG= （三）求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算； （2）割补法； （3）铅垂高法； 如图， 过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的 “水 平宽” （a） ，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高” （h） ．我们可得出一种计算 1 三角形面积的新方法：S△ABC= ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 2 A 铅垂高
教学过程
一、课堂导入
如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为 A（2，3） 、B（-3，-2） ，C（7，0） ，现要在 y 轴上 找到一点 D，使得这四个点构成的四边形是梯形，那么点 D 的坐标_______________________________.
问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作 一点，使得四边形是梯形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？
二次函数综合（动点）问题——梯形存在问题
适用学科 适用区域
初中数学 全国新课标
适用年级
初中三年级
课时时长（分钟） 60 分钟
1、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
知识点
2、梯形性质 3、梯形模型探究
一、 知识与技能 教学目标
1、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质； 2、掌握梯形的性质； 3、会对梯形模型进行探究，分类讨论不同的情况。
二、 过程与方法
1、首先要掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质，因为梯形存在问题是在二次函数
梯形存在性问题
梯形存在性问题解析（二）（1）定方向：梯形；直角梯形；等腰梯形； （2）定分类：过确定的三点构造梯形，即过每个顶点做对边的平行线；直角梯形要围绕直角做平行线,等腰梯形在平行线的基础上要利用圆规截取两腰相等。
（2）定解法：代数法求解联立两个解析式求交点，几何法寻找代求点的横纵坐标之间的关系。
（4）定结果：将结果汇总。
【典型例题】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OA 、OC 分别与x 轴、y 轴重合，OC AB //,,21245,90==∠=∠BC BCO AOC 点C 的坐标为()018-，. （1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D,交y 轴于点E ,且.2,4BD OD OE ==求直线DE 的解析式；（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ,使以Q P E O 、、、为顶点的四边形是菱形?若存在请写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由。
解：(1)过点B 作x BF ⊥轴交于点F. 12,212,45==∴==∠︒BF CF BC BCOC 的坐标为()0,18-，B ∴的坐标为()12,6-.(2) .560,6).12,6(),12,0(22=+==∴-AB OA B AB B A .5432,2==∴=OB OD BD OD OB 的解析式为∴-=.2x y 设D 的坐标为()x x 2,-.即可求出点D 的坐标为)8,4(-D .所以直线DE 的解析式为4+-=x y 。
(3) 结论：存在．设直线y=﹣x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，EF=4．如答图2所示，有四个菱形满足题意．①菱形OEP1Q1，此时OE 为菱形一边．则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF ﹣P1E= 4﹣4．易知△P1NF 为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=P1F=4﹣2；设P1Q1交x 轴于点N ，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，又ON=OF ﹣NF= 2， ∴Q1（2，﹣2）； ②菱形OEP2Q2，此时OE 为菱形一边．此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（﹣2，2）；③菱形OEQ3P3，此时OE 为菱形一边．此时P3与点F 重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；④菱形OP4EQ4，此时OE 为菱形对角线．由菱形性质可知，P4Q4为OE 的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=﹣x+4，得P4横坐标为2，则P4（2，2），由菱形性质可知，P4、Q4关于OE 或x 轴对称，∴Q4（﹣2，2）．综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形；点Q 的坐标为：Q1（2，﹣2），Q2（﹣2，2），Q3（4，4），Q4（﹣2，2）． 【例2】如图1-1，四边形ABCD 是直角梯形，.28cm 24AD ,90,cm BC B BC AD ===∠︒，∥点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点后，另一个点也随之停止运动。
二次函数中的梯形、菱形存在性问题 学生版
二次函数中的梯形、菱形存在性问题学生版二次函数在数学中起着重要的作用。
学生在研究二次函数时，常常会遇到与梯形和菱形相关的问题。
本文将讨论二次函数中梯形和菱形的存在性问题。
梯形的存在性问题一个梯形是由两个平行线段和连接它们的两个非平行线段组成的四边形。
在二次函数中，存在一个梯形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个梯形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足梯形的定义。
在解决梯形的存在性问题时，我们可以利用二次函数的性质。
首先，如果一个函数的二次项系数为正，则函数图像是开口向上的抛物线。
这意味着我们可以通过选择x坐标值，使得对应的y坐标值形成一个梯形。
然而，如果二次项系数为负，则函数图像是开口向下的抛物线。
在这种情况下，我们无法找到一组值构成一个梯形。
菱形的存在性问题一个菱形是一个具有四个相等边长且相邻两边互相垂直的四边形。
在二次函数中，存在一个菱形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个菱形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足菱形的定义。
解决菱形的存在性问题与解决梯形的问题类似。
如果二次函数图像是对称的，即以y轴或x轴为对称轴，则可以找到一组值构成一个菱形。
这是因为对称性保证了相邻两边互相垂直，并且相等边长可以通过选择x或y坐标值来实现。
总的来说，在二次函数中，梯形和菱形的存在性问题取决于函数的性质。
通过了解二次函数的开口方向和对称性，我们可以判断是否存在满足梯形和菱形定义的点集。
中考数学专题复习——存在性问题
中考数学专题复习——存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。
人教版九年级数学上册22.3：二次函数与梯形的存在性问题 专题练习
二次函数的动点问题梯形的存在性问题技巧提炼1、（1）一组对边而另一组对边的四边形叫做梯形．（2）有一个角是的是直角梯形。
（3）两腰的梯形是等腰梯形。
对角线的梯形是等腰梯形。
2、梯形的存在性问题解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算精讲精练1．已知二次函数图象的对称轴为直线x＝2，经过两点（0，3）和（﹣1，8），并与x轴的交点为B、C（点C在点B左边），其顶点为点P．（1）求此二次函数的解析式；（2）如果直线y＝x向上或向下平移经过点P，求证：平移后的直线一定经过点B；（3）在（2）的条件下，能否在直线y＝x上找一点D，使四边形OPBD是等腰梯形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请简要说明你的理由．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+m，∵抛物线经过点（0，3）和（﹣1，8），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；（2）抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的交点为B（3，0）、C（1，0），顶点为P（2，﹣1）．由题意，设平移后直线为y＝x+b，由已知，﹣1＝2+b，解得b＝﹣3．∴直线y＝x平移后经过点P的直线为y＝x﹣3，当x＝3时，y＝0．∴直线y＝x﹣3经过点B（3，0）；（3）如图，过点D作DM⊥x轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N．在Rt△ONP中，OP2＝ON2+PN2＝5．∵点D在直线y＝x上，∴设点D的坐标为（x，x）．在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2＝（3﹣x）2+x2由OP2＝BD2得，（3﹣x）2+x2＝5，解得x1＝2，x2＝1．当x＝1时，四边形OPBD为平行四边形，舍去．∴x＝2．∴点D的坐标为（2，2）．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB＝2，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学复习指导：中考数学梯形存在性问题压轴题解析
中考数学梯形存在性问题压轴题解析模型一：梯形例1：如图，Ａ（10，0），B （4，-3）（1）求经过O 、B 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、B 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出梯形存在性问题分析思路定结果：三种情况汇总； 解法1： （1）x x y 45812-=情形一：B P ∥OA;四边形OBPA 为梯形。
B 、P 关于对称轴对称得：P （6，-3） 情形二：B A ∥OP;四边形OBAP 为梯形。
易证：△POC ∽△BADOC ADPC BD = OCPC 63=；PC OC 2= 则设P （2a ，a ）a a a 2454812⋅-⋅=7),(021==a a 舍去P （14，7）情形三：PA ∥OB;四边形OBAP 为梯形。
易证：△PA C ∽△BODAC ODPC BD = AC PC 43=；PC AC 34= 则设P （b 34，b ）3445)34(812b b b ⋅-⋅=12),(021==b b 舍去P （-6，12）综上所述：P （6，-3）、（14，7）、（-6，12解法2：情形三：PA ∥OB;四边形OBAP 为梯形。
直线OB 的解析式：x y 43-= 所以设PA 解析式：b x y +-=43直线PA 经过A （10，0）21543+-=x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2154345812x y x x y ⎩⎨⎧=-=126y x )(102舍去=x P （-6，12）练习1：已知),2(),,1(n B m A -是反比例函数xy 32=图象上的两个点． （1）求A 点和B 点坐标；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（过A 点作BC 的平行线：图1） （过C 点作AB 的平行线：图2、图3）答案：6D ⎛ ⎝⎭或(1D或(2D -． 点睛：为什么不过B 点作AC 的平行线呢？因为这条平行线与双曲线没有交点。
梯形性质及判定练习题
梯形性质及判定练习题梯形是一种四边形，其两边边平行，而另外两边不平行。
在本练题中，我们将探讨梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为梯形。
梯形的性质梯形具有以下性质：1. 两底角相等：梯形的两个底角（与较长边相对的两个角）是相等的。
两底角相等：梯形的两个底角（与较长边相对的两个角）是相等的。
2. 两腰相等：梯形的两条斜边（与底平行的两边）是相等的。
两腰相等：梯形的两条斜边（与底平行的两边）是相等的。
3. 对角线交点连线平分底角：梯形的对角线交点连线将底角平分。
对角线交点连线平分底角：梯形的对角线交点连线将底角平分。
4. 底角与顶角之和等于180度：梯形的底角和顶角之和总是等于180度。
底角与顶角之和等于180度：梯形的底角和顶角之和总是等于180度。
判定一个四边形是否为梯形要判定一个四边形是否为梯形，可以根据以下条件进行判断：1. 两对边平行：如果一个四边形的两对边都是平行的，那么它就是一个梯形。
两对边平行：如果一个四边形的两对边都是平行的，那么它就是一个梯形。
2. 底角相等：如果一个四边形的两个底角是相等的，那么它就是一个梯形。
底角相等：如果一个四边形的两个底角是相等的，那么它就是一个梯形。
如果一个四边形同时满足上述两个条件，那么我们可以确定它是一个梯形。
练题让我们来练一下判定一个四边形是否为梯形。
1. 判定以下四边形是否为梯形：*使用上述判定条件，来判断这个四边形是否为梯形，并解释理由。
*这个四边形是一个梯形。
它满足两对边平行的条件（上边和下边平行，左边和右边平行），同时底角相等。
2. 判定以下四边形是否为梯形：*使用上述判定条件，来判断这个四边形是否为梯形，并解释理由。
*这个四边形不是一个梯形。
虽然两对边平行（上边和下边平行，左边和右边平行），但底角并不相等。
练题结束。
通过不断练判定梯形的条件，我们可以更好地理解和应用梯形的性质。
数学平行四边形和梯形教学中遇到的问题及解决方法教案
数学学科是一门抽象的学科，对于很多学生而言，学习数学一直是一件极具挑战的事情。
在数学平行四边形和梯形的教学中，也存在许多问题和难点。
本文将就这些问题及解决方法进行探讨，以期帮助教师在教学中更好地解决这些难题，让学生更好地理解数学知识。
一、问题在数学教学中，教师经常会遇到许多学生在学习平行四边形方面存在以下几个问题：1. 对于平行四边形的定义不够清晰，无法理解平行四边形的基本概念。
2. 在多边形之间找不到共同点，无法知道哪个多边形是平行四边形。
3. 在解决平行四边形的相关问题时，无法准确运用平行四边形的性质，比如同底角、对顶角等。
在梯形的教学中，也存在一些问题：1. 梯形的定义不清楚，不知道何为梯形，以及何为等腰梯形。
2. 没有较好的方法去解决梯形中的相关问题。
二、解决方法1. 对于平行四边形的教学（1）定义清晰：定义是数学学习的基础。
在教学中，教师要明确平行四边形的定义，以便让学生能够了解到四边形如何并排放置，以及如何判断是否平行。
同时，教师也应该注重积累学生的专业词汇，并且用易懂的语言来解释专业术语，以加深学生对于平行四边形的理解。
（2）演示示例：教师通过画图和实物示例来演示平行四边形的基本概念，一方面能够体现出平行的特性，另一方面也可以生动形象地展现出平行四边形的基本性质，如相邻角互补等。
（3）注重知识点间的联系：在新知的学习中，教师要注重旧知和新知之间的联系，例如将平行四边形与平行线相联系，加深学生对基本概念的理解，从而更好地理解新概念。
2. 对于梯形的教学（1）定义明确：同样，了解梯形的定义非常重要。
在教学中，教师不但要让学生了解梯形的基本形状和性质，还应该让他们知道什么是等腰梯形。
（2）举例说明：教师要通过一些实例来说明梯形的基本形状和性质，这样学生才能够直观地理解梯形。
例如，教师可以拿一本书或者一些文具来示范，学生可对教师动手模仿，以更好的理解梯形的概念。
（3）题目练习：对于数学来说，只有多解题才可以加深对知识点的认识，加强理解。
专题训练5 梯形的存在性问题
专题训练五 梯形的存在性问题例1 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,－2)．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴； （2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P (t , 0)，且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值．专题直击如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,－2)．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴； （2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标．例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．专题直击如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．例3 如图，二次函数y ＝ax 2＋4的图像与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且cos ∠CAO ＝2． （1）求二次函数的解析式；（2）若以点O 为圆心的圆与直线AC 相切于点D ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形．．．．，若存在，请求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．专题直击如图，二次函数2144y x =-+的图像与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． 如果D 为AC 的中点，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形．．．．，若存在，请求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．例4如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．专题直击如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A(1, 2)、C(2, 1)三点，AB⊥x轴于B，点P 为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．例5 如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3, 0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．专题直击如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3, 0)，D 为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6)．若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．例6 如图，已知二次函数y＝－x2＋2mx的图像经过点B（1,2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM上有点3(1,)2P，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．例7 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知△ABD 的面积为18． （1）求点B 的坐标； （2）如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ ＝CP ，求点P 的坐标．专题直击如图，已知抛物线21262y x x =-++与y 轴交于点C ，与x 轴的负半轴交于点A ，该抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ ＝CP ，求点P 的坐标．例8 如图，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝28cm．点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？例9如图，已知A、B是双曲线2上的两个点，A、B的横坐标分别为2和－1，yxBC⊥x轴，垂足为C．在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．例10如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；同时点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，DE交BC于点E．设P、Q运动的时间是t秒（t＞0），在运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．例11已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例12如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE//DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．备用图备用图例13 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0, 2)，对称轴为直线x＝1，对称轴交x轴于点E．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；（3）联结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．例14 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =++的图像与y 轴交于点A ，与双曲线8y x=有一个公共点B ，它的横坐标为4．过点B 作直线l //x 轴，与二次函数图像交于另一点C ，直线AC 的截距是－6． （原题图只有坐标系）（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC 的表达式；（3）平面内是否存在点D ，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例15 如图1，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM＝6，ON＝3，反比例函数6yx的图像与PN交于点C，与PM交于点D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB//CD；（2）在直角坐标平面内是否存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．图1。
梯形的存在性问题
直线AP的解析式 第三步，解方程组 抛物线的解析式
小结 几何法-----数形结合思想
1 x( x 10) 3 8 10 x 4 x1 6, x2 10
1 x( x 10) 3 8 x 6 x1 14, x2 0
小结
代数法： 容易理解， 几何法：
数形结合，
2 1 x 3
化简，得
于是，得x 6
3 所以D(6, ) 3
第三步 计算——几何定向，代数定位
△BCD是等边三角形 梯形的∠CDP不变 当M落在CB上时，
等腰梯形
小结 有更简单的方法吗？
当M落在OB上时， MM ' tan60 CM '
x 3 即 3 3 x( x 2 3 ) x 3 整理，得 3 ( x 3)2
1 约分，得 3 x 3
小结 有更简单的方法吗？
2
抛物线上是否存在一点D，使以A、B、C、 D为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求 出点D的坐标 .
先热身 解读背景图
3 1 由y x x 1 ( x )( x 2) 2 2
2
1 知A( ,0), B(2,0), C (0,1) 2 1 因此 OA , OB 2, OC 1 2 OA OC 所以 OC OB
点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设P、 Q运动的时间是t秒（t>0）．
在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能， 求t的值 .
先读题
∠C＝90°，AC＝3，AB＝5 . 点P:C→A →C,全程为6,用时需6秒 点Q:A →B,全程为5,用时需5秒 设P、Q运动的时间是t秒（t>0）． DE垂直平分PQ
梯形性质与判定练习题
梯形性质与判定练习题1. 梯形的定义梯形是指有两个平行边的四边形。
它的两个平行边被称为底边，不平行的两边分别称为斜边。
除此之外，梯形还有以下一些性质和判定条件。
2. 梯形的性质性质1：对角线梯形的两条非平行边端点的连线成为梯形的对角线。
梯形的对角线互相垂直，并且两条对角线的交点是它们的中点。
性质2：底角和顶角梯形的底边上的两个角称为底角，不平行边上的两个角称为顶角。
底角和顶角互补，即它们的和等于180度。
性质3：等腰梯形如果梯形的两条斜边相等，则称该梯形为等腰梯形。
等腰梯形的底角和顶角也相等。
性质4：平行线分割比梯形的平行边上的两条线段被横截线分割，分割的线段比等于梯形两个相邻边的长度比。
3. 判定题请根据给出的图形，判断以下每个命题的真假。
1. 命题：梯形ABCD的底边AB与顶边CD平行。
2. 命题：梯形ABCD的底角A和顶角D互补。
3. 命题：梯形ABCD是等腰梯形。
4. 命题：梯形ABCD的横截线EF与底边AB的长度比等于横截线GH与顶边CD的长度比。
请在每个命题后面标记出正确（√）或错误（×）。
答案1. 命题：梯形ABCD的底边AB与顶边CD平行。
√√2. 命题：梯形ABCD的底角A和顶角D互补。
√√3. 命题：梯形ABCD是等腰梯形。
××4. 命题：梯形ABCD的横截线EF与底边AB的长度比等于横截线GH与顶边CD的长度比。
√√以上是关于梯形性质与判定的练习题。
希望对你的学习有所帮助！。
梯形的存在性问题解题策略
1 8
x(x
10)
3
x
6
x 0的几何意义是什么？
化简， 1(x得 1)01
8
2
于是，x得 14
所以 P(14,7)
梯形的存在性问题解题 第三步策计略算——几何定向;代数定位
③PA//OC
两直线平行;内错角相等
因此MP NC MA NA
设Px,1x(x10)
8
1 那么8
x(x10)
梯形的存在性问题解题 09河北26 策略
先读题
∠C＝90°;AC＝3;AB＝5 点P:C→A →C;全程为6;用时需6秒 点Q:A →B;全程为5;用时需5秒 DE垂直平分PQ 设P Q运动的时间是t秒t>0
在点E从B向C运动的过程中;四边形QBED能否成为 直角梯形 若能;求t的值
梯形的存在性问题解题 策略
2m 2 4 2m m6,P(6,12)
5 55
数形结合
梯形的存在性问题解题 等腰策梯形略是唯一的吗 怎么确定点P
以B为圆心;OA为半径画圆;与直线l有两个交点
梯形的存在性问题解题 等腰策梯形略是唯一的吗 怎么确定点P
BP=AO
梯形的存在性问题解题 等腰梯策形略;怎样求P
P(x,2x)
P AO B4 (x2)2( 2x4)242
3
10x 4
梯形的存在性问题解题 第三步策计略算——几何定向;代数定位
③PA//OC
1 8
x(x
10)
3
10 x 4
x 10的几何意义是什么？
化简， 1得 x3 84
于是，x得 6
所以 P(6,12)
梯形的存在性问题解题 小结 代策数略法很麻烦