选修4-5基本不等式
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.2 基本不等式
不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.2 基本不等式
栏 目 链 接
1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数
的最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定理 1. 如果 a， b∈R， 那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)． 思考 1
2 2
栏 目 链 接
3 2 也即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 x 答案： 1＋y2取得最大值 3 2 4 3 2 . 4
题型二
利用基本不等式证明不等式
2 2
1 例2 已知 a，b∈(0，＋∞)且 a＋b＝1，求证：(1)a ＋b ≥ ； 2 1 1 (2) 2＋ 2≥8.
a
b
≥ ab， 2 证明：由 a＋b＝1， a，b ，＋
栏 目 链 接
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
变 式 训 练
2 2 1 ＋ y y 1 x2＋ x2＋ ＋ 2 2 2 3 2 2 ＝ 2 ＝ ， 2 2 4
1＋y2 3 2 当且仅当 x ＝ ，即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 2
2
3 2 x 1＋y 取得最大值 . 4
2
栏 目 链 接
方法二 则x
6x 利用定理 1 有：x2＋32≥________，其中等号成立的
栏 目 链 接
3 条件是：x＝________.
2．定理 2. 如果 a ， b 是正数，那么 “＝”)． 思考 2 如果 x，y 是正数，那么
a＋b
2
≥ ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取
x2＋ y2
2
≥ ________ xy(当且
高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.2_基本不等式
7．函数 y＝x4x＋2 9(x≠0)有最大值________，此时 x＝________.
解析：∵x≠0，∴x2>0.
∴y＝x4x＋2 9＝x2＋1 x92≤2
1x2·x92＝16，
当且仅当 x2＝x92，即 x4＝9，x＝± 3时取等号，
即当 x＝± 3时，ymax＝16.
答案：16 ± 3
围是
()
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞)
D．[3lg 2，＋∞)
解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而 xyz≤x＋3y＋z3，∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2 (当且仅当 x＝y＝z＝2 时，等号成立)． 答案：B
4．设 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，令 x＝1a－11b－11c－1，
则 x 的取值范围为
()
A．0，18 C．[1,8)
1－a a·1－b b·1－c c＝b＋c·ca＋bca·a＋b
≥2
bc·2 ca·2 abc
ab＝8，
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0.
利用基本不等式证明不等式
[例 1] 已知 a，b，c 为正实数，且 abc＝1 求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. [思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应 用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 a＋b，b＋c，c＋ a 分别使用基本不等式，再把它们相乘． [精解详析] ∵a，b，c 为正实数， ∴a＋b≥2 ab＞0，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，∴x≥8.
答案：D
二、填空题
5．已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______． 解析：因为 x＞0，y＞0，
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞3．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+4．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >5．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 6．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >， 则22ac bc > 7．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（）A ．ac ＞bcB ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc8．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >09．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a b< B ．1133a b<C a b a b <-．2a ab <二、填空题13．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______．14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜． （224．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．比较log (1) n n +与()*(1)log (2),2n n n N n ++∈≥大小，并证明.26．（1）若0a >，0b >，求证：11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。
高中数学-选修4-5不等式的基本性质
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
性质7 如果 a > b>0, 那么an bn.(n N, n 1)
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 a b ab0 a b ab0 a b
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例4：已知12 a 60,15 b 36,求a b 及 a的取值范围。
b
例5：已知f (x) ax2 c,且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
选修4-5基本不等式
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
12
Q 1 (lg a lg b), R lg( a b) ，则（ B ）
2
2
A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
题型二：解决最大（小）值问题
结论：利用 a b 2 ab (a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
1.若a1, a2 , a3,an R ,
则a1 a2 a3 an nn a1 a2 an
当且仅当a1 a2 a3 an时取 号
4.若பைடு நூலகம், b R , 则
1
2
1
ab a b 2
ab
a2 b2 2
几何平均数 算术平均数 平方平均数 调和平均数
（当且仅当a=b时，取“=”号）
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：
算术平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？ 基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们
的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，
而基本不等式中a,b均为大于0的实数。 2、重要不等式与基本不等式的几个推广公式：
B、6 3 C、4 6 D、18 3
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x 3)的最小值
x3
例5、求函数 y x2 5 的最小值
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求
北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
选修4-5基本不等式
幂平均不等式在经济学、统计学和信息理论中有广泛应用， 特别是在估计期望值和方差时。
贝努利不等式
定义
对于任意实数$x_1, x_2, ..., x_n$，
有$(x_1 + x_2 + ... +
x_n)(frac{1}{n} + frac{1}{n} + ...
&eq
(sqrt[n]{x_1x_2...x_n})^2$。
证明
利用数学归纳法和平方差公式。
切比雪夫不等式
定义
对于任意的非负随机变量 $X$ 和正实数 $t$，有 $P(|X| geq t) leq frac{mathbb{E}(X^2)}{t^2}$。
证明
利用数学归纳法和期望的性质。
赫尔德不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有 $left(frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}right)^n geq left(frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n}{n}right)$。
证明
利用数学归纳法和二项式定理。
柯西不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$，有 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
应用
贝努利不等式在概率论、统计学 和决策理论中有广泛应用，特别 是在处理期望值和方差时。
高考数学选修4-5复习《不等关系与基本不等式》
D．(12)a＜(12)b
【解析】 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较 大小，或用特殊值法判断．
a＞b 并不能保证 a，b 均为正数，从而不能保证 A，B 成 立．又 a＞b⇒a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 C 成立．
显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝(12)x 是减函数， 所以 a＞b⇔(12)a＜(12)b 成立． 【答案】 D
依题意bbaan＋n 1＝q3q＋3＋n－nd1－d1－1q＝641d＝26d， ③
由②知，q 为正有理数，
∴d 为 6 的因子 1,2,3,6 中之一，
因此由②③知 d＝2，q＝8，
故 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
≥100×2
2n－1·2n4－1＝400(n≥1)，
当且仅当 2n－1＝2n4－1，即 n＝2 时，ymin＝400(万元)，
由 5 000－400＝4 600(万元)， 所以第 2 年该县从这两个企业获得利润最少，还得另外 筹集 4 600 万元才能解决温饱问题．
(2)到 2017 年，即第 10 年，该县从这两个企业获利润：y ＝100×210－1＋400×(12)9
因 ab＝10，故 lg a＋lg b＝1，
只要证明lg
1 alg
b≥4(*)，
由 a＞1，b＞1，故 lg a＞0，lg b＞0，
所以
0＜lg
alg
b≤(lg
a＋lg 2
b)2＝(12)2＝14.
即(*)式成立．
原不等式 loga c＋logb c≥4lg c 得证．
本题证明把分析法、综合法融于一体，不仅证明不等式 经常遇到，在解决其他数学问题时也常常需要这样思考．
人教新课标A版选修4-5第一讲1.1.1不等式的基本性质
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
20
即
11
33
< <3.
答案:(27,56)
20
11
,3
<
<
84
28
,
典型例题领会
-21-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
题型四
反思本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严
格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
(6)如果 a>b>0,那么 > (n∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论根据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:① 作差;② 变形;③ 判断符号;④ 下结论.
典型例题领会
-5-
学习目标导引
-17-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
-18-
题型四
用作差法比较大小
【例 2】当 a≠0 时,比较(a2+ 2a+1)(a2- 2a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)
的大小.
分析:比较两个数(式)的大小,将两数(式)作差,若差值为正,则前者
大;若差值为负,则后者大.
1
1
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数学选修4-5学案 §1.1.2基本不等式(1)
§1.1.2基本不等式学案（1） 姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 初步掌握不等式证明的方法 ☻知识情景：1. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论4：可倒性：⇒>>0b a .2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)．☻建构新知：1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.证明: ∵2222()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立.∴222a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式) 如果,a b R ∈, 那么2a b+≥ 当且仅当a b =时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?20. 如何证明基本不等式?30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?40. 怎样用语言表述基本不等式?☆案例学习：例1在的条件下，，00>>b a 三个结论：其中正确的个数是（ ）①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，A ．0B ．1C ．2D ．3例2设,a R ∈b ，求证：(1) 22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭; (2) 222a b c ab bc ac ++≥++．例3 (1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ；(2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm 的面 积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．例5（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b xyx y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．§1.1.2基本不等式练习 姓名1. 若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 252. 对一切正整数n ， 不等式112bn b n +<-+恒成立，则B 的范围是（ ）3. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．aa a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2134. 若关于x 的方程94340x x a ++⋅+=()有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)-∞-+∞，，80B ．()-∞-，4C ．[)-84，D ．(]-∞-，8.5 设x y R 、∈+且xy x y -+=()1，则 （ ）A ．x y +≥+221()B ．xy ≤+21C ．x y +≤+()212D ．xy ≥+221().6 若011log 22<++aa a ，则a 的取值范围是.7 f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 .8 若1>a ，10<<b ，且log (21)1b x a ->，则实数x 的范围是 ．.9 函数221()1x x f x x ++=+的值域为 ．.10为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多 少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？.11 （1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取 值范围；（2） 是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．.12已知0,0,,a b a b >>的等差中项是21, 且11,a b a b αβ=+=+, 求αβ+的最小值.。
选修4-5高中数学基本不等式
数学·选修4－5(人教A版)1.1不等式1.1.2 基本不等式一层练习1．设x,y∈R,且x＋y＝5,则3x＋3y的最小值为( ) A．10 B．6 3C．4 6 D．18 3答案：D2．下列不等式一定成立的是( )A．lg(x2＋14)>lg x(x>0)B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)不等式和绝对值不等式解析：应用基本不等式：x ,y ∈R ＋,x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时,x 2＋14≥2·x ·12＝x ,所以lg x 2＋14≥lg x (x >0),故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确；由基本不等式可知,选项C 正确；当x ＝0时,有1x 2＋1＝1,故选项D 不正确．答案：C3．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2解析：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0,∴A 错误． 对于B,C,当a <0时,b <0时,明显错误． 对于D,∵ab >0,∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. 答案：D二层练习4．(2013·福建卷)若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2,＋∞) D．(－∞,－2]解析：利用基本不等式转化为关于x ＋y 的不等式,求解不等式即可． ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ,2x ＋2y ＝1, ∴22x ＋y ≤1, ∴2x ＋y ≤14＝2－2,∴x ＋y ≤－2,即(x ＋y )∈(－∞,－2]． 答案：D5．(2013·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当zxy取得最小值时．x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94解析：含三个参数x ,y ,z ,消元,利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ,y ,z ∈R ＋),∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ,即x ＝2y 时“＝”成立,此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2,∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时,x ＋2y －z 取最大值2. 答案：C6．(2013·山东卷)设正实数x 、y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当xyz取得最大值时,2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1. C.94D ．3解析：含三个参数x ,y ,z ,消元,利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0,y >0,z >0), ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx,即x ＝2y 时等号成立,此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2,∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1,∴当y ＝1时,2x ＋1y －2z 的最大值为1. 答案：B7．已知a >0,b >0,a ＋b ＝2,则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：∵a ＋b ＝2,∴a ＋b2＝1,∴1a ＋4b ＝1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立,故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 答案：C8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2,b >0,则12|a |＋|a |b 的最小值为________．解析：分a >0和a <0,去掉绝对值符号,用均值不等式求解． 当a >0时,12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4a ＋a b ≥54； 当a <0时,12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋⎝⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－14＋1＝34. 综上所述,12|a |＋|a |b 的最小值是34.答案：349．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2,b >0.则当a ＝______时,12|a |＋|a |b取得最小值．解析：利用已知条件将常数“1”代换,然后利用均值不等式求最值,同时对a 的正负进行分类讨论,得到a 的值． 由于a ＋b ＝2,所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b,由于b >0,|a |>0时,所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1,因此当a >0时,12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时,12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34,故12|a |＋|b |a 的最小值为34,此时⎩⎨⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.答案：－2三层练习10．若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy .则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6解析：将已知条件进行转化,利用基本不等式求解． ∵x >0,y >0,由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝153xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号),∴3x ＋4y 的最小值为5.答案：C11．(2013·上海卷)设常数a >0,若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立,则a 的取值范围是______．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞12．设x ,y ∈R 且xy ≠0,则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9,当且仅当x 2y 2＝12时,等号成立． 答案：913．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时,研究表明：当20≤x ≤200时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时,求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/时)．解析：(1)由题意：当 0≤x ≤20时,v (x )＝60；当20≤x ≤200时,设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎨⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎨⎧60，0≤x ≤20，13－x ，20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧60x ，0≤x ≤20，13x－x ，20<x ≤200.当0≤x ≤20时,f (x )为增函数,故当x ＝20时,其最大值为60×20＝1200； 当20<x ≤200时,f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝100003,当且仅当x ＝200－x ,即x ＝100时,等号成立．所以当x ＝100时,f (x )在区间(20,200]上取得最大值100003.综上,当x ＝100时,f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时．1．在公式a 2＋b 2≥2ab 及a ＋b 2≥ab 的应用中,应注意三点：(1)a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的,前者只要求a ,b 都是实数,而后者要求a ,b 都为正数,例如,(－1)2＋(－3)2≥2(－1)×(－3)成立,而－＋－2≥－－不成立．(2)关于不等式c ≥d 及c ≤d 的含义．不等式“c ≥d ”的含义是“或者c ＞d ,或者c ＝d ”,等价于“c 不小于d ”,即若c ＞d 或c ＝d 有一个正确,则c ≥d 正确．不等式“c ≤d ”读作c 小于或等于d ,其含义是“c <d 或者c ＝d ”,等价于“c 不大于d ”,即若c ＜d 或c ＝d 中有一个正确,则c ≤d 正确．(3)这两个公式都是带有等号的不等式,因此,对定理“当a ,b ∈R 时,a 2＋b 2≥2ab 当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义要搞清楚．它的含义是： ①当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ； ②当a 2＋b 2＝2ab 时,a ＝b ； ③当a ≠b 时,a 2＋b 2＞2ab ； ④当a 2＋b 2＞2ab 时,a ≠b .对基本不等式：a ,b 为正数,则a ＋b 2≥ab 当且仅当a ＝b 时等号成立,作类似理解．2．解题时要注意考查“三要素”：①函数中的相关项必须都是正数；②变形后各项的和或积有一个必须是常数；③当且仅当各项相等时,“＝”号才能取到,可简化为“一正二定三相等”．求函数最值时,常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形,使其满足条件,进而求出最值．有些题目,尽管形式上是x ＋p x型的式子,即两数之积为常数,但由于定义域的限制,不能使等号成立,如y ＝x ＋1x (x ≥5)的最小值,尽管x ＋1x ≥2,当x ＝1x 时,即x ＝1时取“＝”号,而x＝1不在其定义域[5,＋∞)内,因此不能使用基本不等式．这时可利用函数单调性来解：f (x )＝ax ＋bx (a ＞0,b ＞0),在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，b a ,⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b a ，0内是减函数,在 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫ba ，＋∞,⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a 内是增函数．函数图象如下图所示．另外,在证明或应用基本不等式解决一些较为复杂的问题时,需要同时或连续使用基本不等式,要注意保证取等号条件的一致性．。
教学设计 选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计
教学设计选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计本教学设计旨在帮助学生掌握不等式的基本性质，理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义。
教学目标包括理解不等式研究的基础，掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，分析法证明简单的不等式。
教学重点为应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
教学难点在于灵活应用不等式的基本性质。
引入部分介绍了现实世界中的不等关系，说明了本章知识的地位和作用。
不等式的基本性质部分分为六个小点，包括实数的运算性质与大小顺序的关系，对称性、传递性、可加性、可乘性、乘、开方法和倒数性质。
通过例题演示了“差比法”的应用，引导学生灵活运用不等式的基本性质。
本教学设计的目的是帮助学生全面掌握不等式的基本性质，理解实数大小的比较方法，能够应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
1.差比法和商比法是比较大小的常用方法。
差比法指如果A减去B大于0，则A大于B；如果A减去B等于0，则A 等于B；如果A减去B小于0，则A小于B。
商比法指如果A和B都大于0，则A除以B大于1，则A大于B；如果A 除以B等于1，则A等于B；如果A除以B小于1，则A小于B。
2.在命题判断中，第一题中的命题错误，因为无法确定c 和d的大小关系；第二题中的命题正确，因为如果a除以b大于1，则a大于b；第三题中的命题错误，因为无法确定a和b的大小关系；第四题中的命题错误，因为无法确定c和d的大小关系；第五题中的命题正确，因为如果a小于b小于c，则a小于c。
3.在例3中，已知c大于a大于b大于0，可以通过分析得出证题思路。
因为a除以c大于b除以c，所以a减去b除以c减去b大于0，即(a-b)/(c-b)大于0.又因为c减去a除以c 减去b小于1，即(c-a)/(c-b)小于1.因此，可以得出a小于c乘以b除以a小于b小于c。
4.在例4中，已知-π/2小于等于α小于β小于等于π/2，需要求α加β除以α减去β除以2的范围。
选修4-5基本不等式
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，出下列不等式(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
a
ab
(3)(a b)(1 1) 4 ab
(4)a2
2
1 a2
2
2
其中成立的是 （1）（2）（3）(4)
等号能成立的是（1）（2）（3） 。 例2：若 a b 1, P lg alg b,
一、重要不等式：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、定理2（基本不等式）
如果a, b>0, 那么
a b ab
2
当且仅当a=b时，等号成立。
如果a,b都是正数，我们就称 a 为 ba,b的 2
ab叫做a,b的 几何平均数
B、6 3 C、4 6 D、18 3
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x 3)的最小值
x3
例5、求函数 y x2 5 的最小值
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1 x
1y的最小值
例7、 求函数 y 1 2x 3 的值域
x
题型四：利用基本不等式证明不等式
例8、已知x, y, z都为正数，且xyz( x y z) 1 求证: ( x y)( y z) 2
1.若a1, a2 , a3,an R ,
则a1 a2 a3 an nn a1 a2 an
当且仅当a1 a2 a3 an时取 号
4.若a, b R , 则
1
2
人教版高中数学选修4-5《1.2基本不等式》
人教A版高中数学选修4-5
探究:你能从几何的角度解释定理1吗?
思考：你能在这个图案中找 出关于图形面积之间的相等 或不等关系吗？
D
a b
2
2
b
G F E H
1、正方形ABCD的面 2 2 a b 积S=＿＿＿＿
C
２、四个直角三 角形的面积之和
A
a
S = 2ab
'
'
３、S与 S 有什么样
归纳整理，整体认识
本节课你有什么收获？
1、数学知识: 2、数学思想:整体思想、数形结合 3、数学方法:分析法
作业
问题1：跟同学一起讨论基本不等式的其他 几何解释
≥ D
O C
B
a
b
E
几何意义：半径不小于弦长的一半
拓展延伸
例 （1）用篱笆围一个面积为１００平方米的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？ 最大的面积是多少？
变式训练： 求证：（1）在所有周长相同的矩形中， 正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中， 正方形的周长最短.
下面讨论一下基本不等式的几何意义. 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过 点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、 A OD. ①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? ③OD与CD的大小关系怎样? OD=______ CD=______ OD_____CD
的不等关系？S>S′即
B
a b
2
2
最新人教版高中数学选修4-5《基本不等式》知识讲解
数学人教B 选修4-5第一章1.2 基本不等式1．了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值． 2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．探索并了解三个正数的算术—几何平均值不等式的证明过程． 4．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．1．定理1设a ，b ∈__，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当____时，等号成立．【做一做1】已知θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则sin θcos θ的最大值为__________． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式)(1)如果a ，b 为____，则a ＋b2≥ab ，当且仅当____时，等号成立．(2)称______为正数a ，b 的算术平均值，____为正数a ，b 的几何平均值．(3)基本不等式可用语言叙述为：两个正数的________大于或等于它们的__________．(1)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而(－1)＋(－4)2≥(－1)×(－4)不成立．(2)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式．“当且仅当a ＝b 时，等号成立”这句话的含义是“a ＝b ”是“＝”成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它，往往会导致解题错误．(3)由公式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 可得到结论：①a b ＋b a ≥2(a ，b 同号)；②21a ＋1b ≤ab≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b 是正数)．(4)定理中的a ，b 可以是数字，也可以是比较复杂的代数式． 【做一做2－1】下列不等式中正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2B ．若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC ．若x ＜0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D ．若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2【做一做2－2】若log 2x ＋log 2y ＝4，则x ＋y 的最小值是__________． 3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式或平均值不等式)(1)如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥____，当且仅当________时，等号成立．(2)称________为正数a ，b ，c 的算术平均值，______为正数a ，b ，c 的几何平均值． (3)定理3可用语言叙述为三个正数的____________不小于它们的________． 【做一做3】已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D ．[3lg 2，＋∞)4．定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1，a 2，a 3，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，并且当且仅当__________时，等号成立．【做一做4】若a ，b ，c ，d 是正数，则b a ＋c b ＋d c ＋ad的最小值为__________．答案：1．R a ＝b【做一做1】12 由a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，得ab ≤a 2＋b 22，∴sin θcos θ≤sin 2θ＋cos 2θ2＝12.当且仅当sin θ＝cos θ，即θ＝π4时等号成立．2．(1)正数 a ＝b (2)a ＋b2ab (3)算术平均值 几何平均值【做一做2－1】D 对于选项A ，当a ·b ＞0时，b a ＋ab≥2；对于选项B ，当x ＞1，y ＞1时，有lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；对于选项C ，当x ＜0时，x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－24＝－4. 【做一做2－2】4 由题意可知x ＞0，y ＞0，log 2xy ＝4， ∴xy ＝4.∴x ＋y ≥2xy ＝4，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 故x ＋y 的最小值为4.3．(1)3abc a ＝b ＝c (2)a ＋b ＋c 33abc (3)算术平均值 几何平均值【做一做3】B ∵x ，y ，z 是正数，∴xyz ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y ＋z 33＝23.∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． 4．a 1＝a 2＝…＝a n 【做一做4】4 由定理4可得，b a ＋c b ＋d c ＋ad ≥44b a ·c b ·d c ·a d＝4，当且仅当a ＝b ＝c ＝d时，等号成立．1．三个或三个以上正数的平均值不等式的应用条件是什么？剖析：“一正”：不论是三个数的平均值不等式或者n 个数的平均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc .取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分值相等． 2．如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法？剖析：为了使用基本不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22＋x 22，这样可满足不等式成立的条件，若变形为y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法满足了，这是因为取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 利用基本不等式比较大小【例题1】设a ，b ∈(0，＋∞)，试比较a ＋b 2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小，并说明理由．分析：解答本题应充分利用基本不等式及其变形，不等式的性质．反思：基本不等式有着重要的应用，在使用时还应记住重要的变形公式．如a ，b 是正数，且b ≥a 时，a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22≤b ，其中2ab a ＋b ＝21a ＋1b 为a ，b 的调和平均值，ab 为a ，b 的几何平均值，a ＋b 2为a ，b 的算术平均值，a 2＋b 22为a ，b 的平方平均值．要注意公式的推导和结论的运用：调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值．题型二 利用基本不等式求最值【例题2】(1)已知x ，y 是正数，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值；(3)已知x ＜54，求y ＝4x －1＋14x －5的最大值；(4)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值； (5)已知x 是正数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值； (6)θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最值．分析：根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．反思：解题时要注意考察“三要素”：(1)函数中的相关项必须都是正数；(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数；(3)当且仅当各项相等时，才能取到等号，可简化为“一正二定三相等”．求函数的最值时，常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出最值．题型三 基本不等式的实际应用【例题3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？分析：表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系列出函数表达式，再应用不等式求最值．反思：解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：①阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．②建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．③讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．④得出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论． 题型四 易错辨析易错点：利用基本不等式求最值时，应注意不等式成立的条件，即变量为正实数，和或积为定值，等号成立，三者缺一不可．【例题4】求函数y ＝1－2x －3x 的值域．错解：∵y ＝1－2x －3x ＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ，而2x ＋3x ≥22x ×3x ＝26，当且仅当2x ＝3x，即x ＝±62时，等号成立，故值域为(－∞，1－26]．错因分析：在应用基本不等式时未保证2x ，3x为正值这一条件成立．答案：【例题1】解：∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时取等号)，1a ＋1b ≥2ab， ∴ab ≥21a ＋1b＝2aba ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．又⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22.∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．综上，2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．【例题2】解：(1)因为x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·xy ＝3＋22，当且仅当2y x ＝xy，x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立．所以当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y取最小值3＋2 2.(2)xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝⎛⎭⎫5x ＋7y 22＝135×⎝⎛⎭⎫2022＝207， 当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，此时xy 取最大值207.(3)因为x ＜54，所以4x －5＜0，故5－4x ＞0.所以y ＝4x －1＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋4.因为5－4x ＋15－4x ≥2(5－4x )·15－4x＝2，所以y ≤－2＋4＝2.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．所以当x ＝1时，y 取最大值2.(4)a 1＋b 2＝a 2⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝2a ·12＋b 22≤22⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝324， 当且仅当a ＝12＋b 22，即a ＝32，b ＝22时，等号成立，此时a 1＋b 2有最大值324.(5)∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时，等号成立．∴y ≤239，即y max ＝239.(6)y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ) ≤12⎝⎛⎭⎫233＝427， 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时，等号成立．∴y max ＝239.【例题3】解：(1)由题意可设 3－x ＝kt ＋1(k ≠0)．将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3.当销售x 万件时，年销售收入为150%⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t .由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，此时y max ＝42，∴当促销费投入为7万元时，企业的年利润最大．【例题4】正解：当x ＞0时，y ＝1－2x －3x＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时，等号成立．当x ＜0时，y ＝1＋⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·⎝⎛⎭⎫－3x ＝1＋26， 当且仅当－2x ＝－3x ，即x ＝－62时，等号成立．∴所求函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2C ．y ＝sin x ＋sec x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 D ．y ＝7x＋7－x2(2012·山东青岛一模)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．23若a ＞b ＞0，则a ＋1b (a －b )的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．64周长为l 的矩形的面积的最大值为__________，对角线长的最小值为__________．5若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则a 2＋b 2的最小值为__________，1a 2＋1b2的最小值为__________．答案：1．D 对于选项A ，需考虑x 的符号；对于选项B ，不能用基本不等式求最值，等号不成立；对于选项C ，x ＝π2时sec x 无意义．对于选项D ，y ＝7x ＋7－x ≥27x ·7－x ＝2，当且仅当7x＝7－x ，即x ＝0时，等号成立．2．C3．A ∵a ＞b ＞0，∴a ＋1b (a －b )＝(a －b )＋b ＋1b (a －b )≥33(a －b )·b ×1b (a －b )＝3，当且仅当a －b ＝b ＝1b (a －b )，即a ＝2，b ＝1时等号成立．4．l 216 24l 设矩形的两邻边长分别为x ，y ，则x ＋y ＝l 2，∴面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝l 216(当且仅当x ＝y 时取等号)，对角线长a ＝x 2＋y 2≥(x ＋y )22＝24l (当且仅当x ＝y 时取等号)．5．12 8 因为a ＞0，b ＞0，则a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 1a 2＋1b 2＝a 2＋b 2a 2b 2≥2ab ≥2⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝8，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．1设x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2答案：D ∵x ，y ∈(0，＋∞)，42x y+≤.44x y+＝10，∴xy ≤100. ∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.当且仅当x ＝4y ，即x ＝20，y ＝5时等号成立．2若a ＞b ＞1，P 1(lg lg )2Q a b ＝+，lg 2a b R +⎛⎫⎪⎝⎭＝，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q答案：B ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0且2a b+>∴Q ＝1(lg lg 2a b -P .R ＝lg 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭1(lg lg )2a b +＝Q ， ∴R ＞Q ＞P .3若x ＞0，则294x x+的最小值是( )A ．9B ．C ．13D ．不存在答案：B 因为x ＞0，所以294x x +＝2922x x x ++≥，当且仅当292=x x ，即x 时等号成立． 4已知不等式1()9a x y x y ⎛⎫+≥⎪⎝⎭＋对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 1()a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭＝1+ax ya y x ++≥1+a +＝2(当且仅当yx=)． ∵1()a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴2≥9.∴a ≥4.5若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是______．答案：[9，＋∞) t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥3， 则有t 2≥2t ＋3，即t 2－2t －3≥0.解得t ≥3或t ≤－1(不合题意，舍去)．3.∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．6若正实数x ，y ，z 满足x －2y ＋3z ＝0，则2y xz的最小值是______．答案：3 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝32x z +，代入2y xz，得229666=344x z xz xz xzxz xz +++≥，当且仅当x ＝y ＝3z 时取“＝”．7若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则11a b+的最小值是__________．答案：4 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(－1,2)． 又直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心(－1,2)， 所以－2a －2b ＋2＝0，化简得：a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)．所以111a b a b ab ab++==. 又2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以1114a b ab +=≥，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 8(2012·江苏徐州第一次质检)已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1·a 2·…·a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n.答案：证明：因为a 1是正数，所以2＋a 1＝1＋1＋a 1≥同理2＋a j ＝1＋1＋a j ≥j ＝2,3，…，n )，将上述不等式两边相乘，得(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n 因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立．9如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积． 答案：解：(1)设AN ＝x (x ＞2)，则ND ＝x －2.由题意，得ND AN DC AM =，∴23x x AM-=.∴3=2xAM x -.∴S 矩形AMPN ＝32xx x ⋅-＞32. ∴3x 2－32x ＋64＞0.∴(3x －8)(x －8)＞0. ∴2＜x ＜83或x ＞8. ∴AN 的长的范围是82,3⎛⎫⎪⎝⎭∪(8，＋∞)．(2)S 矩形AMPN ＝2233(2)12(2)1222x x x x x -+-+=-- ＝123(2)++122x x --≥， 当且仅当x ＝4时取“＝”．∴当AN 的长度为4米时，矩形AMPN 的面积最小，矩形AMPN 的最小面积为24平方米．10求函数y =a ＜b )的最大值． 答案：解：解法一：函数的定义域为[a ，b ]，y ＞0， 所以y 2＝b a -+2(b －a )，当且仅当=2a bx -时，等号成立． 所以y解法二：利用不等式22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.22=22y ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()22x a b x b a-+--≤=， 所以y 2≤2(b －a )，即y ≤当且仅当x －a ＝b －x ，即2b ax +＝时，等号成立，所以max y。
人教A版 选修4-5 基本不等式(经典)
3 3 3
当且仅当a b c时, 等号成立.
若a, b, c R*,
a b c 3abc,
3 3 3
a b c 3 abc
3
Hale Waihona Puke abc abc 3
3
推广：n个正数的算术—几何平均不等式：
若a1 , a2 , a3 , , an R , 则 a1 a2 a3 an n a1a2 a3 an , n 当且仅当a1 a2 a3 an时, 等号成立.
2
6.a 2, b 3, 1 求a b 的最小值 (a 2)(b 3)
求下列式子的最大值
4 2
7. y x (2 x )(0 x 2)；
8.若θ为锐角，
2θ的最大值. 求y=sinθcos
9.已知a, b, c R ,
1 1 1 a 求证： b c 9 a b c
2 3
6S 6
6S 答 : 当长方体的长宽高都等 于 时 6 S 6S 体积的最大值为 36
小结：这节课我们讨论了： 一、利用基本不等式求某些函数的最值； 二、利用基本不等式证明不等式 注： 1、利用基本不等式求某些函数的最 值时“一正二定三相等”这三个条件缺 一不可； 2、不能直接利用定理时，要善于转化变 形，通过变形达到化归的目的； 3、多次运用基本不等式时注意等号成立 的条件。
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例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
1 ab Q (lg a lg b), R lg( ) ，则（ B ） 2 2 A、R P Q B、P Q 的几个推广公式：
1.若a1 , a2 , a3 , an R , 则a1 a2 a3 an n n a1 a2 an
当且仅当 a1 a2 a3 an时取 号
4.若a, b R , 则 2 1 1 a b
当且仅当a=b时，等号成立。
算术平均数
ab叫 做 a, b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？
基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们
的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，
而基本不等式中a,b均为大于0的实数。
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
1 x( x 3)的最小值 例4、 求函数 y x3
例5、求函数 y x 5 的最小值
2
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1 1 的最小值 x y
3 例7、 求函数 y 1 2 x 的值域 x
题型四：利用基本不等式证明不等式
且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x/2件货储存在
调和平均数
ab ab 2
a b 2
2
2
几何平均数 算术平均数
平方平均数
（当且仅当a=b时，取“=”号）
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
1 1 1 (1) a 2 (2)( a )( b ) 4 a a b 1 1 1 2 (3)( a b)( ) 4 (4)a 2 2 2 a b a 2 其中成立的是 （1）（2）（3）(4)
题型二：解决最大（小）值问题
结论：利用 a b 2 ab (a 0, b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
例8、已知 x , y, z都为正数，且 xyz( x y z ) 1 求证 : ( x y )( y z ) 2
题型五：基本不等式的实际应用
例9:一个商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件
分若干次等量进货（设每次进货x件），每进一次货运费50元 仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费 最省，每次进货量x应是多少？
第一讲 不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、定理2（基本不等式）
如果a, b>0, 那么
ab ab 2
a b 如果a,b都是正数，我们就称 为a,b的 2
练习：
1 1、当x>0时， 的最小值为 2 ，此时x= 1 x x
2、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0)
则x y 的最大值是
1 6
。
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小 值是（ D ） A、10 B、 6 3 C、4 6 D、18 3