《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

第二章二次函数

2.4二次函数的应用

第2课时

一、教学目标

1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值．

2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力．

二、教学重点及难点

重点：1．探索销售中的最大利润问题．

2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力．

难点：运用二次函数的知识解决实际问题．

三、教学用具

多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资源

《生产服装》动画，，.

五、教学过程

【情境导入】

【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。

服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润．

师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容．

设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣．

【探究新知】

教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元．

那么销售量可表示为

13

5000500

0.1

x

-

⎛⎫

+⨯

⎪

⎝⎭

件．所以销售额为

13

5000500

0.1

x

x

-

⎛⎫

+⨯

⎪

⎝⎭

；

所获利润

13

5000500(10)

0.1

x

y x

-

⎛⎫

=+⨯-

⎪

⎝⎭

．

整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000．

答：厂家批发单价是12元时可以获利最多．

设计意图：培养学生把文字语言转化为数学符号的能力．

议一议在本章开始“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x （棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000．（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．

（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？

师生活动：教师出示问题，学生画出函数的图象并回答问题．

解：（1）列表：

描点、连线，如下图所示，由图象知，当0≤x≤10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加；当x≥10时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少．

（2）由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时，都可以使橙子的总产量在60400个以上．

设计意图：进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题.通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【典例精析】

例某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？

旅馆的客房

师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，师生共同完成解题过程．

解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房日租金总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440．

∵x≥0，且120-6x＞0，∴0≤x＜20．当x=2时，y最大=19440．

这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）．

因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．

【课堂练习】

1．某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位每天可全部租出，若每张床位每天的收费每提高2元，则相应地每天就减少了10张床位的租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使每天租出的床位少且总租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）．

A．14元B．15元C．16元D．18元

2．某产品进货单价为90元，按每个100元售出时，每周能售出500个，如果这种商品的销售单价每上涨1元，其每周的销售量就减少10个，那么为了获得最大利润，其销售单价应定为（）．

A．130元B．120元

C．110元D．100元

3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售

出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？

4．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．

（1）请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；

（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y= -10x+500．

（1）设李明每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．

参考答案

1．C．2．B．

3．销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．

4．解：（1）因为单价上涨x元后，每件商品的利润是(80+x-60)元，每月售出的件数为(300-10x)件，所以y与x之间的函数关系式为y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6 000．（2）将y=-10x2+100x+6 000配方，得y=-10(x-5)2+6250．

因为a=-10＜0，所以y有最大值．因为300-10x≥0，且x≥0，

所以0≤x≤30．所以当x=5时，y有最大值，最大值为6 250．

所以当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6 250元．

5．解：（1）由题意，得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)= -10x2+700x-10 000．

当x=

700

35

22(10)

b

a

-=-=

⨯-

时，w有最大值，符合题意，

所以当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

（2）由题意，得-10x2+700x-10 000=2 000．

解这个方程，得x1=30，x2=40．

答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．