《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

第二章二次函数
2.4二次函数的应用
第2课时
一、教学目标
1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力．
二、教学重点及难点
重点：1．探索销售中的最大利润问题．
2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力．
难点：运用二次函数的知识解决实际问题．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资源
《生产服装》动画，，.
五、教学过程
【情境导入】
【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。

服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润．
师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容．
设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣．
【探究新知】
教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元．
那么销售量可表示为
13
5000500
0.1
x
-
⎛⎫
+⨯
⎪
⎝⎭
件．所以销售额为
13
5000500
0.1
x
x
-
⎛⎫
+⨯
⎪
⎝⎭
；
所获利润
13
5000500(10)
0.1
x
y x
-
⎛⎫
=+⨯-
⎪
⎝⎭
．
整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000．
答：厂家批发单价是12元时可以获利最多．
设计意图：培养学生把文字语言转化为数学符号的能力．
议一议在本章开始“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x （棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000．（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．
（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
师生活动：教师出示问题，学生画出函数的图象并回答问题．
解：（1）列表：
描点、连线，如下图所示，由图象知，当0≤x≤10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加；当x≥10时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少．
（2）由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时，都可以使橙子的总产量在60400个以上．
设计意图：进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题.通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【典例精析】
例某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
旅馆的客房
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，师生共同完成解题过程．
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房日租金总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440．
∵x≥0，且120-6x＞0，∴0≤x＜20．当x=2时，y最大=19440．
这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）．
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．
【课堂练习】
1．某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位每天可全部租出，若每张床位每天的收费每提高2元，则相应地每天就减少了10张床位的租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使每天租出的床位少且总租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）．
A．14元B．15元C．16元D．18元
2．某产品进货单价为90元，按每个100元售出时，每周能售出500个，如果这种商品的销售单价每上涨1元，其每周的销售量就减少10个，那么为了获得最大利润，其销售单价应定为（）．
A．130元B．120元
C．110元D．100元
3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售
出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？
4．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y= -10x+500．
（1）设李明每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．C．2．B．
3．销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．
4．解：（1）因为单价上涨x元后，每件商品的利润是(80+x-60)元，每月售出的件数为(300-10x)件，所以y与x之间的函数关系式为y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6 000．（2）将y=-10x2+100x+6 000配方，得y=-10(x-5)2+6250．
因为a=-10＜0，所以y有最大值．因为300-10x≥0，且x≥0，
所以0≤x≤30．所以当x=5时，y有最大值，最大值为6 250．
所以当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6 250元．
5．解：（1）由题意，得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)= -10x2+700x-10 000．
当x=
700
35
22(10)
b
a
-=-=
⨯-
时，w有最大值，符合题意，
所以当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得-10x2+700x-10 000=2 000．
解这个方程，得x1=30，x2=40．
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意，列出二次函数表达式，注意实际问题中自变量x的取值范围；（2）将二次函数表达式配方为顶点式的形式；
（3）根据二次函数的图象及其性质，在自变量的取值范围内求出函数的最值．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计
2.4二次函数的应用（2）
1．一般步骤。