第7章第23讲尺规作图

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2.4 用尺规作图课件课件

2.下列属于尺规作图的是( B ) A.用量角器画一个角等于30°
B.用圆规和直尺作线段AB等于已知线段a C.用三角板作线段AB的垂线
D.用刻度尺画一条线段等于3 cm
选做题
3.如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
(不用写作法，保留作图痕迹)
解:作∠COD=∠A, 并在∠COD的内部作∠DOE=∠B，则∠COE就是所求作的角.
用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作：作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．
作法
（1）作射线O'A'
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； O
（3）以点O'为圆心，以OC长为半
作法与示范径画弧，交O'A'于点C'；
O
（4）以点C'为圆心，以CD长为半
选做题
2.如图，已知α和β（α＞β），求作∠AOB，使∠AOB=α-β.
做法：（1）作射线__O_A_____; （2）以射线OA为一边作∠AOC=___∠__α__；（3）以____O___为顶点，以射线_O_C_____为一边，在∠AOC的内部作 ∠BOC=__∠__β___，则___∠__A_O_B____就是所求的角。
B
D’ D
是一个正方形
课堂总结尺规作角
基本工具
圆规无刻度直尺
尺规判断两个角的大小
用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍
基本步骤：一线三弧
画弧必备条件
圆心半径
作业布置
必做题
1．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是( D )

《尺规作图》PPT)

2、用尺规作图的方法作出∠BAC的平分线？
B A
D C
思考：
根据作图，你能证明所作射线AD，就是∠BAC的角平分线吗？
证明：
由作图过程知：
B A C D
AB＝AC，BD＝CD
又∵AD＝AD
∴△ABD≌ △ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD
∴AD是∠BAC的平分线
2.画出图中三角形三个内角的角平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
尺规作图：作图时限定使用的工具只能是圆规和没有刻度的直尺.
1. 画线段
已知：线段MN＝a，求作一条线段等于a.
a
M N
（1）先画射线AC；
（2）用圆规量出线段MN 的长；
（3）在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段
AB 就是所要画的线段.
a
M N A B C
3. 画线段的垂直平分线
已知：线段AB ，画出它的垂直平分线.
A
Bபைடு நூலகம்
（1）分别以A、B 两点为圆心，以大于AB 线段一半的长为半径画弧，两弧交于C、D 两点；（2）过C、D 两点作直线，即为所求作线段AB 的垂直平分线. C
A
D
B
2. 画角
如图，已知∠AOB ，求作一个角等于∠AOB. B
O
A
（1）画射线O′A′；
（2）以点O 为圆心，以适当长为半径画
（第 2 题）
练习2：如图,求作一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
P
O C●
D●
A
弧，交OA 于C ，交OB 于D ；
B D O′
O
C
A
A′

第二十三讲尺规作图(原卷版)

第二十三讲尺规作图命题点1 五种基本尺规作图类型一判定作图结果1．（2022•德州）在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC 大小关系的是（）A．B．C．D．2．（2022•益阳）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等3．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（）A．B．4C．6D．4．（2022•长春）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A．AF＝BF B．AE＝ACC．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC 5．（2022•威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．6．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．类型二根据作图步骤进行计算、证明或结论判断7．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C 为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ 分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD的长为（）A．4B．5C．6D．7 8．（2022•黄石）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为11cm，则△ABC的周长为（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 9．（2022•资阳）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；第三步：作射线AF交BC于点M；第四步：过点M作MN⊥AB于点N．下列结论一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA 10．（2022•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（）A．B．C．D．11．（2022•聊城）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAQ＝40°B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°12．（2022•百色）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B＝45°B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD 13．（2022•营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）A．BD＝BC B．AD＝BD C．∠ADB＝108°D．CD＝AD 14．（2022•鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°15．（2022•枣庄）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D 为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF 分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝．16．（2022•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是．类型三依据要求直接作图17．（2022•淮安）如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．18．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．19．（2022•宁夏）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．20．（2022•赤峰）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．类型四转化类作图21．（2022•陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）命题点２无刻度直尺作图类型一网格中作图22．（2022•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．23．（2022•江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．类型二根据图形性质作图24．（2022•湖北）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．25．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为．26．（2022•绥化）已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．27．（2022•扬州）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O 作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）。

尺规作图

尺规作图法一、作图法则：1．直尺没有刻度，只能用于连接两点之间的直线；2．圆规用于作已知半径的圆或弧。

二、作图公法：1．通过两已知点可以作一条直线；2．已知圆心和半径可作一圆；3．两已知直线，一已知直线和一已知圆，或两已知圆，如其相交，可求其交点。

三、作图成法：1．在已知射线上自端点起截一已知长度的线段；2．以一已知射线为一边，在指定的一侧作一已知大小的角；3．已知边长作正三角形；4．已知⑴三边（两边之和大于余一边）⑵两边及夹角⑶一边及两邻角（两角之和小于二直角）⑷两角及其中一角的对边（两角之和小于二直角）作三角形；5．作已知线段的中点；6．作已知线段的中垂线；7．作已知角的平分线；8．作已知弧的中点；9．过已知直线上一点作此线的垂线；10．过已知直线外一点作此线的垂线；11．过已知直线外一点作此线的平行线；12．已知斜边及一腰（斜边大于腰），作直角三角形；13．已知边长作正方形；14．已知弦及内接角，作弓形；15．作已知三角形的外接圆、内切圆、旁切圆；16．过圆上一点作此圆的切线；17．过圆外一点作此圆的切线；18．作两个已知圆的公切线；19．作已知圆的内接三角形、正方形、正六边形；20．作已知圆的外切三角形、正方形、正六边形；21．作一线段使等于已知n 条线段之和；22．作一线段使等于已知两条线段之差；23．作一线段使等于一已知线段的n 倍（n 是自然数）；24．n 等分已知线段；25．作一线段使等于已知线段的n 分之m ，（m 、n 都是自然数）；26．内分或外分一已知线段，使所得分比等于已知的两线段之比；27．按已知的n 条线段所组成的连比，将一已知线段分为n 段；28．作一线段x ，使有b a =x c，其中，a 、b 、c 都是已知线段；（比例第四项作图）29．作一线段x=ab ，其中，a 、b 都是已知线段；(比例中项作图)30．作一线段x=a p ，其中，a 是已知线段，p 是有理数。

《尺规作图》PPT优秀教学课件2

B’
C’
2、作一个角等于已知角 •已知： AOB(图1)
•求作： A`O`B`,使
A`O`B`= AOB
B
O
A
画一画
作法与示范
作法示范
（1）作射线O′A′：（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′ A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D ′ ；（5）过点D ′作射线O ′ B ′ .
• 这样作法正确吗？你应如何检验？
? OB • 写出证明∠AOB=ÐA ⅱ 的过程 .
随堂练习:
⑴已知∠ AOB，利用尺规作 ∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB.
α
B
β
O
感谢聆听，谢谢！
⑵已知角α，β(β＜α＜90°)求作一个角，使它等于α+β.
A
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
作业巩固
（一）阅读作业：通读教材，复习巩固用尺规作一个角等于已知角；（二）书面作业：P24 习题1.3
第1、2
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
尺规作图
基本作图教学目标： ⑴了解尺规作图的基本知识及步骤。
⑵了解作一个角等于已知角在尺规作图
中的简单应用。
课前预习
•在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图 . 其中,直尺是没有刻度的; •直尺的功能：可以在两点间连接一条线段，并向一方或两方延伸，因此可作线段、射线、直线。圆规的功能：以任意点为圆心，任意长为半径作一个圆或一段弧。基本作图 •最基本,最常用的尺规作图,称为 . •一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.

陕西省2018年中考数学复习课件：第一编第23课时尺规作图.pptx

a b
求作：△ ． ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 尺规作图的五种基本作图的高AD=h
利用尺规作三角形利用尺规作圆及圆内接多边形
作法：作法：（1）作线段 BC=a，（2）作线段BC的垂直平分线MN，与线段BC交于点D；作线段 AB = c；（31. ）在 MN上截取 DA=h ，以A为圆心，以（42. ）连接 AB，AC， b为半径作弧，以B为圆心，以 a为半径作弧与前弧相交于C；则△ABC 是所求的等腰三角形． 3. 连接AC，BC。
c
《中考内参（数学）2018》配套课件
则△ABC就是所求作的三角形。
第23课时：尺规作图
1
2 3 4
尺规作图的概念
（3）作圆的内接正方形和正六边形。（1（）过不在同一直线上的三点作圆。 2）作三角形的内切圆。圆的内接正方形作法：先作圆的一条直径 AC，再过圆心 O作直径的垂线 BDB ，最后依次连已知：不在同一直线上的三点 A、、C（如图）已知：△ ABC（如图）
第23课时：尺规作图布置作业：
温馨提示：请完成本课时《课后达标作业》．
《中考内参（数学）2018》配套课件
•qLC0-8R425cbnmdswaqLC0-8R425cbnmd关于文化多样性，中国古代先贤早就提出了“和而不同”的思想。今天，在尊重文化多样性的基础上推动文化交流互鉴，既是发展本民族文化的内在要求，也是实现世界文化繁荣的必然选择。
例4（2017年，绥化市）如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B
之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离
之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P．（不写作法

2022年中考数学总复习第一部分考点指导第23节尺规作图

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（2）连接AB，AB′，AO′，OO′，求证：AO′平分∠BAB′.
解：由题可知 OA = OO′= AO′， ∴△AOO′是等边三角形， ∴∠OAO′ = 60°，由旋转得∠BAB ′= ∠OAO′= 60°， ∵∠AOB = 120°，OA = OB， ∴∠OAB = 30°， ∴∠BAO′= 30° = 1 ∠BAB′， 2 ∴A O′平分∠B A B ′.
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如图，将圆心角为 120°的扇形 AOB 绕着点 A 按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形 AO′B′，使得点 O′恰在AB 上. （1）求作点O′，并将扇形AO′B′补充完整.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程）
解：如答图，点O′和扇形AO′B′即为所求.
作一个角等于已知角（已知∠α）
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续表
①以 ∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于P，Q ②作射线O′A′ ③以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A′于点M ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧交③中所作的弧于点N ⑤过点N作射线O′B′，∠A′O′B′即为所求作的角
图示
要求（9）作圆的内接正方形
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续表
（10）作圆的内接正六边形
图示注：上表方法不唯一.
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练习
1.（2021广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是( C )
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2.（2021鄂州）已知锐角∠AOB = 40°，如图，按下列步骤作图： ①在 OA 边上取一点 D，以 O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交 OB 于点 C，
要求Байду номын сангаас

中考(甘肃)数学总复习课件：第23讲尺规作图(共26张PPT)

解如图所示.
考法1
考法2
考法3
考法4
方法点拨解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法.先作一个角等于已知角,即∠MBN=∠O,在边BN上截取 BC=a,以射线CB为一边,C为顶点,作∠PCB=2∠O,CP交BM于点 A,△ABC即为所求.
考法1
考法2
考法3
考法4
作三角形的外接圆确定一个圆的关键是:确定圆心和半径.三角形外接圆的圆心是三边中垂线的交点,半径是这点与某一个顶点之间的距离. 例3(2017江苏无锡)如图,已知等边△ABC,请用直尺(不带刻度) 和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹): (1)作△ABC的外心O; (2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F, 点H分别在边BC和AC上.
第23讲尺规作图
考点一
考点二
考点三
考点一尺规作图 1.尺规的含义 (1)几何中,直尺没有刻度,它的作用是:连接、画直线、画射线; (2)圆规的作用是:截取、画弧、画圆. 2.五种基本作图 (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作已知角的平分线; (4)作已知线段的垂直平分线; (5)过一点作已知直线的垂线. 3.尺规作图的一般步骤 (1)已知;(2)求作; (3)作法;(4)证明.
解面积最大的圆形花坛即△ABC的内切圆.如图,分别作∠BAC和 ∠ACB的平分线,交于点O,以O为圆心,以O到BC的距离为半径画圆即得.
考法1
考法2
考法3
考法4
方法点拨1.设△ABC的内切圆的半径为r,周长为p,则其面积 1 S= 2 pr,这个公式在关于三角形内切圆的有关计算中有重要的地位. 2.三角形能覆盖的最大的圆即其内切圆.

尺规作图课件

尺规作图
课标要求:

1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线。 2.会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。 4.了解尺规作图的步骤，保留作图的痕迹，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
回顾作线段AB 的垂直平分线的步骤，思考下列问题： 1.作线段垂直平分线的依据是什么？
垂直平分线上的点到A、B两端点的距离相等
2.这种作图方法还有哪些作用？
确定线段的中点．
C B D
A
垂直平分线

什么是垂直平分线？过线段的中点，垂直这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线有哪些特征？ 1.线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
分析：因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上。作法： 1.以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC； 2.作DB的垂直平分线，即可找到点E．
已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是： A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，
1 C为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两 2
弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点
D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则

尺规作图复习课件

点E.
(保留作图痕迹,不写作法)
精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情
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十年真题再现
十年真题再现
教材知识网络
重难考点突破
-6-
7.1 尺规作图
精现
十年真题再现
教材知识网络
重难考点突破
-7-
7.1 尺规作图
(学用见P105~106)
求作的角
依据:三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对
应角相等;两点确定一条直线
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十年真题再现
教材知识网络
重难考点突破
-4-
7.1 尺规作图
3.作已知角
的平分线
尺
规
作
图
五
种
基
本
作
图
4.作线段的垂
直平分线
已知:∠AOB,求作:射线 OC,使∠AOC=∠BOC
作法:(1)以点 O 为圆心,适当长为半径作弧,交 OA 于点 D,交 OB 于点 E
定一条直线
精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情
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十年真题再现
教材知识网络
重难考点突破
-5-
7.1 尺规作图
(学用见P104)
命题点尺规作图[10年1考]
1.(2018·安徽第20(1)题)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径
为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交
年安徽的第20题考查了“角的平分线”的作法,并且与圆的相
关知识结合起来,这可能成为未来的一个重要考向.
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《尺规作图》课件

于C，交OB于D.
• 3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交
O`A`于C`.
• 4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D`.
• 5、经过点D`作射线O`B`，∠A`O`B`就是所求的角.
第六页，编辑于星期六：八点三分。
B D
B`
D`
O
C
A
O`
C` A`
• 证明：连结CD、 C`D`，由作法可知 • △C`O`D`≌△COD(SSS)， • ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等)， • 即∠A`O`B`=∠AOB.
AC＝MN，线段AC就是所要画的线段．
第四页，编辑于星期六：八点三分。
作一个角等于已知角
• 已知：∠AOB(如下页图) • 求作：∠A`O`B`，使∠A`O`B`=∠AOB
第五页，编辑于星期六：八点三分。
B D
B` D`
O
C
A
O`
C`
A`
• 1、作射线O`A`.
• 2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA
(3)以点D为圆心，以同样的长为半径在直线的同一侧画弧，
两弧交于点D；
(4)经过点C、D作直线CD．直线CD即为所求．
第十一页，编辑于星期六：八点三分。
②.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线 l于点A、B；
生活离不开数学
• A、B是两个村庄，要从灌溉
总渠引两条水渠便于灌溉，请你
选择最佳方案.
第十七页，编辑于星期六：八点三分。
已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠ α

尺规作图资料(完整)

1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6：尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9：单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15：单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20：单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25：只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！. 五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为： 1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O⊙及'O ⊙外切.rr【分析】设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..1的直角三角.【解析】具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰.）⑷【例5】求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =； ⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙； ⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ， ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .al【分析】先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M . 1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)； ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ). 则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.NM P CB Al【例11】如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ．ACB图1A DB 图2C AD B图3C F E E图412ADC S AD h =△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD =△△．又∵点D 为边AB 的黄金分割点， ∴AD BDAB AD=．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． ∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． ⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等， ∴DEC FCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形， BDC BEFC S S =△四边形．又∵ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．M （答案图1）M （答案图2）。

中考数学复习课第23讲尺规作图课件

2. (2017·青海)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC. (1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD，BC于点E，
F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
(1)解：作图如解图； (2)证明：如解图，连接DF. ∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF. ∵EF垂直平分BD，AB＝AD， ∴BE＝DE，点A在直线EF上． ADE = FBE，在△ADE和△FBE中， DE = BE， AED = FEB， ∴△ADE≌△FBE(ASA)，∴AE＝EF. ∴BD与AF互相垂直且平分， ∴四边形ABFD为菱形．
3. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°. (1)求作⊙O，使圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C；(尺规作图，保留作
图痕迹，不写作法)
(2)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：(1)如解图，⊙O为所求作; (2)BC与⊙O相切，理由如下：连接OC，如解图， ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCB＝∠ACB－∠OCA＝120°－30°＝90°，
∴OC⊥BC，
∵OC是半径，∴BC与⊙O相切．
重点难点·讲透练活
考点例
尺规作图
如图，已知∠AOB，点M为OB上一点，在射线OA上求作一点C，使
MC⊥OA.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如解图所示，点C即为所求．
【方法指导】尺规作图时应注意以下几点： (1)一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论．

中考数学总复习(河南)课件：第23讲尺规作图

【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ＝∠BAQ，再由平行四边形的性质得出 CD∥AB ， BC ＝ AD ＝ 3 ， ∠BAQ ＝ ∠DQA ，故可得出 △AQD是等腰三角形，据此可得出DQ＝AD，求出DC，再根据平行四边形周长公式可得出结论．
【解析】∵由题意可知，AQ 是∠DAB 的平分线，∴∠DAQ＝∠BAQ.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA， ∴∠DAQ＝∠DQA，∴△AQD 是等腰三角形，∴DQ＝AD＝3.∵DQ＝2QC， ∴QC＝12DQ＝32，∴CD＝DQ＋CQ＝3＋32＝92，∴平行四边形 ABCD 周长为 2(DC＋AD)＝2×(92＋3)＝15.
2．(2014·河南 11 题 9 分)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以 B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M， N 两点； ②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB 的度数为__1_0_5_°___．
考点尺规作图及相关计算
【例1】(2017·成都)如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：① 以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以
M，N为圆心，以大于 M1 N的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP 射线，交边CD于点Q，若2DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长
为________． 15
交O′A于点M；
3．以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
4．过点N作射线O′B，则 ∠BO′A为所求角
2.尺规作图的四个步骤：已知、求作、作法、证明
其他尺规作图可通过五种基本作图组合而成，尺规作图类题目保留作图痕迹是重点．

尺规作图-中考复习

的垂线．
第十三章P61～P66；
(2)会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其北师：七下第二章P55～P60；
夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上
七下第四章P105～P107；
的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角华师：八上第13章P85～P91
三角形．
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(2)∵MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB．设DA＝DB＝x.在Rt△ACD中， ∵AD2＝AC2＋CD2， ∴x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5.∴BD＝5.
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4. 尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．
课标要求 (3)会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形． (4)在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.
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线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是( C )
A．① C．③
B．② D．④
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尺规作图
类型一按照明确指令，完成尺规作图 1. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°. (1)用尺规作图：在CA的延长线上截取AD＝AB，并连接BD；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)求∠BDC的度数．解：(1)如图，AD为所求作． (2)∠BDC＝22.5°.