解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形

【考纲说明】

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

【知识梳理】

一、正弦定理

1、正弦定理：在△ABC 中，R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB

C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c

A B C R R R

=

== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）

2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C

++====++.

3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC

abc S ah ab C ac B bc A R A B C R

∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理

1、余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=⇔bc

a

c b A 2cos 2

2

2

-+=

B ac a c b cos 22

2

2

-+=⇔ca

b a

c B 2cos 2

2

2

-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=⇔ab

c b a C 2cos 2

22-+=

2、余弦定理可以解决的问题：

（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.

图1 图2 图3 图4

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角

相对于某一正方向的水平角（如图3）.

4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）

【经典例题】

1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）

A ．

7

25

B ．725

-

C ．725

±

D ．

2425

【答案】A 【解析】

85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，

所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525

B B

C B B ≠∴=

==-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==

75A ∠=o ，则b =

( )

A ．2

B ．4

＋ C ．4

— D

【答案】 A

【解析】0

sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304

A ==+=+=

由a c ==

可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2

B =

由正弦定理得1

sin 2sin 2a

b B A

=

⋅==,故选A

3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )

A ．-

12 B ．1

2

C ． -1

D ． 1 【答案】D

【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2

sin cos sin =，

∴1cos sin cos cos sin 2

2

2

=+=+B B B A A .

4、（2012福建文）在ABC ∆中,

已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.

【解析】由正弦定理得

sin 45AC AC =⇒=︒

5、（2011北京）在ABC 中，若1

5,,sin 43

b B A π

=∠=

=，则a = . 【答案】

3

2

5 【解析】：由正弦定理得

sin sin a b A B =又1

5,,sin 43b B A π=∠==

所以5,13sin 34

a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a

b

c ,且35

cos ,cos ,3,513

A B b ===则c =______ 【答案】14

5

c =