高等数学山东科技大学(精)

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山东科技大学大一公共课高等数学试卷及答案

山东科技大学期末复习题及参考解答一.填空题1.设点)4,1,1(-A 在曲面),(:y x f z S =上.若3)1,1(=-'x f ,且),(y x f 在其定义域内任意一点),(y x 处满足方程),(),(),(y x f y x f y y x f x y x ='+',则曲面S 在A 点处的切平面方程为 03 =--z y x . 解:由题设有4)1,1(131=-'⋅-⋅y f ,即1)1,1(-=-'y f ,所以 0)4()1()1(3:=--+--z y x ΠT ,即03=--z y x .2.设2e ),,(yz z y x f x =,其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数,则 1 )1,1,0(=-'x f .解:1d de d )1,1,(d )1,1,0(0==-=-'==x xx x x x x f f . 3.曲线⎩⎨⎧==+-6022x z y x 在点)3,3,6(处的切线与Oz 轴正向的夹角为 6 π.解:曲线方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧-===662y z y y x ,6)(,1)(,0)(2-='='='y y y z y y y x ,于是=τ}23,21,0{2}3,1,0{=,23cos =γ,故π6γ=. 4.设n 是曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(P 处的外法向量,则函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数 711 =∂∂n u .解:令632),,(222-++=z y x z y x F ,则z F y F x F z y x 2,6,2='='=',于是n }1 ,3 ,2{=,其方向余弦为141cos ,143cos ,142cos ===γβα.又PPux∂==∂ 14886216122=+=∂∂PPy x yz y u, 1486222-=+-=∂∂PPzy x zu ,故711)14(141143148142146=-⋅+⋅+⋅=∂∂Pnu． 5.设22{(,)1}D x y x y =+≤,则235π(2sin 1)d 4Dx x y σ-++=⎰⎰.解: 2323(2sin 1)d d 2sin d d 1d DDDDDx x y x x y σσσσσ-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π123 00π5πcos d d 00ππ.44θθρρ=+++=+=⎰⎰. 6.交换二次积分的次序:d ),(d d ),(d d ),(d 222222 4 211 11 14 02⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+----=+y-y y x x x x y x f y y y x f x y y x f x .7.将直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下的三次积分:=⎰⎰⎰-----+----2222221 1 11 11 11d ),,(d d x x y x y x z z y x f y x ⎰⎰⎰2 02cos 022 0d sin )cos ,sin sin ,sin cos (d d πϕπϕϕϕθϕθϕθr r r r r f .8.设有曲线段⎩⎨⎧==ta y ta x L sin cos :(π≤≤t 0),则2 π s a =⎰.解:2 d ππL s a s a a a ==⋅=⎰⎰.9.设C 是圆周)1()1(222>=+-R R y x 的正向,则22 d d π 4C x y y x x y-=+⎰.解:因为当)0,0(),(≠y x 时,xQ y x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)4(4,故可在C 的内部作椭圆周2224:a y x l =+,且l 与C 同向,则⎰=+-C y x x y y x 224d d 222222 4d d 12(11)d ππ2l x y ax y y x a a a a a σ+≤-=+=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰. 10.设Ω是光滑闭合曲面∑所围成的空间域,其体积为V ,则沿∑外侧的积分3 d d )(d d )(d d )(V z y z x x z x y y x x z =-+-+-⎰⎰∑.解:V V z y z x x z x y y x x z 3d )111(d d )(d d )(d d )(=++=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑.11.若幂级数∑∞=-0)1(n n n x a 在1-=x 处收敛,在3=x 处发散,则其收 )3 ,1[ -=D .解:因为211=--≥R ,213=-≤R ,故2=R ,从而)3 ,1[-=D . 12.设xx x f --=41)(,则 3! )1()(n n n f =.解:因为!)1()(n fa n n =,故n n a n f !)1()(= )(N ∈n . 而∑∑∞=∞=++-=-=---=--=1011)1(31)1(3131113141)(n n nn n n x x x x x x x f , 所以n n n f 3!)1()(= )(N ∈n . 13. ch 2e e )!2(102x x n xx n n =+=-∞=∑.解:易知+∞=R .设=)(x S ∑∞=02)!2(1n n x n ,) ,(∞+-∞∈x ,1)0(=S .=')(x S ∑∞=--112)!12(1n n x n ,) ,(∞+-∞∈x ,0)0(='S . ='')(x S )()!22(1122x S x n n n =-∑∞=-,从而x x C C x S -+=e e )(21.由1)0(=S 及0)0(='S 得⎩⎨⎧=-=+012121C C C C ,解得2121==C C ,故x x S xx ch 2e e )(=+=-. 14.设)(x S 是⎩⎨⎧<≤<≤--=10 ,101 ,)(x x x x f 的以2为周期的Fourier 级数的和函数,则1 )7(, 21 )4(==-S S .解:(1)1011(4)(0),(7)(1)(1)1222S S S S S --++-====-===.15.微分方程0d )(d )1(32=++++y y y x x y 的通解为43 43C y y xy x =+++.解:0d d )d d (d 32=++++y y y y y x x y x , 0)4d()3d()d(d 43=+++y y xy x ,0)43d(43=+++y y xy x ,所以通解为C y y xy x =+++4343.16.用待定系数法求x x y y 2cos 34=+''的特解*y 时,应设]2sin )(2cos )[( x D Cx x B Ax x y +++=*.二.单项选择题1.设函数),(y x f z =在点M 的某邻域内有定义,下列结论正确的是( B )(A)若z 在点M 处沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处两个偏导数存在.(B)若z 在点M 处可微,则z 在点M 处的梯度存在.(C)若z 在点M 处沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处连续.(D)若z 在点M 处连续且沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处可微.2.设曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=+++z y x ,则P 点的坐标为( D )(A))2,1,1(-. (B))2,1,1(-. (C))2,1,1(--. (D))2,1,1(.解:因为点P ),,(z y x 处切平面的法向量}1,2,2{y x =n 平行于已知平面的法向量}1,2,2{1=n ,故有112222==y x ,于是得1==y x ,而211422=--=z ,因此P 点的坐标为)2,1,1(. 5.设),(y x f 在域}0,2),{(2>-≤≤=R x Rx y x y x D 上连续,则二重积分=⎰⎰Dy x y x f d d ),(( C )(A)⎰⎰-22 00 d ),(d x Rx Ry y x f x . (B)⎰⎰-22 0 0 d ),(d y R Rx y x f y .(C)⎰⎰--yy R R Rx y x f y 0 22d ),(d . (D)π2in 2π 04d (cos ,sin )d Rs f θθρθρθρρ⎰⎰.8.设有球面:S 1222=++z y x ,1S 是S 的上半部分的上侧,2S 是S 的下半部分的下侧,若=1I ⎰⎰1d d S y x z ,=2I ⎰⎰2d d S y x z ,则( B )(A)21I I <. (B)21I I =. (C)21I I >. (D)021=+I I . 解:=1I ⎰⎰1d d S y x z ⎰⎰≤+--=12222d d 1y x y x y x ,=2I ⎰⎰2d d S y x z ⎰⎰≤+----=12222d )d 1(y x y x y x ⎰⎰≤+--=12222d d 1y x y x y x 1I =.9.以下四式正确的是( B )(A)∑∞=-=+1)1()1ln(n n nn x x (11≤<-x ). (B)20π(1)1(2)!nn n n ∞=-=-∑. (C)x x n x n n n sin )!12()1(02=+-∑∞= (+∞<<∞-x ). (D)211π(1)0(21)!n n n n ∞+=-=+∑. 解:)1ln()1(1x n x n nn+-=-∑∞=, 20π(1)cos π1(2)!nnn n ∞=-==-∑, x xn x n n n sin )!12()1(02=+-∑∞=)0(≠x , 211π(1)sin πππ(21)!n nn n ∞+=-=-=-+∑. 10.设正项级数∑∞=1n n u 收敛,且n n nu ∞→lim 存在,则( A ) (A)n n nu ∞→lim 0=. (B)n n nu ∞→lim 0>. (C)n n nu ∞→lim 0<. (D)不能确定. 解:因为n n nu ∞→lim nu n n 1lim ∞→=存在且∑∞=1n n u 收敛,故必有01lim =∞→n u nn ,否则∑∞=1n n u 发散. 11.将bxa x x f +=)((0≠ab )展为x 的幂级数时,所展幂级数的收敛半径=R ( D )(A)a . (B)b . (C)a b . (D)ba .解:bx a x x f +=)(x ab a x --=11∑∞=-=0)(n n x ab a x ,当1<=-x a b x a b 即b a x <时,级数绝对收敛,当1>-x a b 即b a x >时级数发散,故ba R =. 12.微分方程xy y =' (0<x )满足初始条件e1)2(=-y 的解=y ( C )(A)C x +-22e. (B)22e x . (C)22ex - (D)22Cex -.解:C x +-22e和22Ce x -不是特解,22e x 不满足初始条件,故选(C).(或直接求解.)三.解下列各题1.设),(y x z z =是由方程zz y x e =++确定的隐函数,求22x z ∂∂. 解:将方程两边对x 求导得x z x z z ∂∂=∂∂+e 1,解得1e 1-=∂∂z x z ;两边再对x 求导得22222e )(e x z x z x z z z ∂∂+∂∂=∂∂,解得 22x z ∂∂32)e 1(e e 1)(e z zz z x z -=-∂∂=. 2.设),(y x z z =是由方程0),(2222=--z x x y F 确定的隐函数,且),(v u F 可微,试计算yz x x z y ∂∂+∂∂.解:2122F x F x F x '+'-=', 12F y F y '=',22F z F z '-=',故y z x x z y ∂∂+∂∂zxyF z F y x F z F F x y ='-'-+'-'+'--=21221222][2. 3.求xy y x z ++=222在闭域1:22≤+y x D 上的最大值与最小值.解:令⎩⎨⎧=+='=+='0204x y z y x z yx ,得惟一驻点)0,0(,且0)0,0(=z .在边界122=+y x ,即⎩⎨⎧==ty tx sin cos (π20≤≤t )上,函数化为t t t t t z z cos sin sin cos 2)(22++== 232sin 212cos 21++=t t (π20≤≤t ). 令02cos 2sin )(=+-='t t t z 得81π=t ,832π=t .2232321212121)8(+=++=πz , 2232321212121)83(-=+-+-=πz .经比较得223max +z ,0min =z .4.将44分成三个正数z y x ,,之和,使得函数22232z y x u ++=达到最小值. 解:此问题为:求22232z y x u ++=在044=-++z y x 下的最小值. 作=),,,(λz y x L )44(32222-+++++z y x z y x λ,(0,0,,≠>λz y x ).令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=+='=+='044 06 04 02z y x L z L y L x L z yx λλλλ,解得惟一驻点)8,12,24(.由于u 存在最小值(无最大值),故当8,12,24===z y x 时u 达到最小.5.在椭球面14222=++z y x 的第一卦限部分上求一点,使得椭球面在该点处的切平面在三个轴上的截距的平方和最小.解:设所求点为),,(z y x P .曲面在P 点的法向量}2,2,2{z y x =n ,切平面Π的方程为0)4(4222=++-++z y x Z z yY xX ,即14=++Z z yY xX .化为1411=++zZ y Y x X ,立即可得Π在三个坐标轴上的截距为z y x 4,1,1.于是问题归结为:求=u 2221611z y x ++(0,0,0>>>z y x )在条件14222=++z y x 下的最小值.作),,,(λz y x L λ+++=2221611zy x )14(222-++z y x (0,0,,≠>λz y x ).令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+-='=+-='=+-='014 0232 022022222333z y x L z x z L y y L x x L z y x λλλλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==⇒14 22 222z y x x z x y ,得惟一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===22121z y x . 由问题的实际意义知,点)2,21,21(即为所求的点.6.设三角形的周长为p 2,问三角形的三边各为多少时,才能使它绕自己的一边旋转所得的旋转体体积最大?解:设ABC ∆三边长分别为z y x ,,,则p z y x 2=++且绕其边AC 旋转(见图). 若记AC 上的高为h ,则ABC ∆的面积))()((21z p y p x p p yh S ---==,从而22))()((4y z p y p x p p h ---=;故旋转体体积=V 21π3y h =4π()()()3p p x p y p z y ---,其中p z y x 2=++ (0,0,0>>>z y x ).为简化计算,我们求函数y z p y p x p u ln )ln()ln()ln(--+-+-=在条件p z y x 2=++下的驻点.为此作辅助函数=),,,(λz y x L y z p y p x p ln )ln()ln()ln(--+-+-)2(p z y x -+++λ.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+--='=+---='=+--=' 0201011 01p z y x L zp L y y p L xp L z yx λλλλ得惟一驻点)43,21,43(p p p .由问题的实际意义知,)43,21,43(p p p 是V 在p z y x 2=++下的最大值点,即当p BC AB 43==,p AC 21=,且绕AC 旋转时,所得体积最大,3max π12V p =.7.用重积分表示并计算出由曲面222y x z +-=与22y x z +=所围立体的表面积.解:记1S :222y x z +-=,2S :22y x z +=,21S S S +=.在21,S S xOy 平面上的投影域均为1:22≤+y x D .y x S d d 2d 1=,2d d S x y =.故⎰⎰+++=Dy x y x S d )d 4412(22⎰⎰+=Dy x d d2 2πd d θρ⎰⎰1322π12π(14)1)126ρ=++=+.8.一质点在平面力场j i F y xx y )11(1232+-+=的作用下,沿曲线122+-=y y x 由点)0,1(A 运动到点)1,4(-B ,求力场所作的功.解:⎰⎰+-+=⋅=),( 232),( d )11(d 1d B A L B A L y y x x x y W s F . 因为xQx y y P ∂∂==∂∂32,故积分与路径无关,于是⎰⎰⎰--+-+=+-+=1 0 4 1 3)1,4( )0,1( 232d )1611(d 1d )11(d 1y y x x y y x x x y W 16132173215-=-=.9.计算曲线积分⎰-++L y yxy f y x x y xy f y 222d ]1)([d )(1,其中L 是经过)0,0(O , )32,3(A 和)2,1(B 三点的圆周上从A 点到B 点的一段劣弧,f 为可微函数.解: 因为x Q yxy f xy xy f y y P ∂∂=-'+=∂∂2321)()(,故积分与路径无关,于是选择沿⎪⎩⎪⎨⎧==x y x x C B A 2:),((x 从3变到1)积分得原式=⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++1 3 2222d 24]1)2(4[2)2(41x x x f x x x f x4d 13-==⎰x x .10.设S 是曲面1222=++z y x (0≥z )的下侧,求⎰⎰++Sy x z x z y z y x d d d d d d 333. 解:记1:22≤+y x σ,σ+=∑S ,∑所围域记为Ω.原式⎰⎰⎰⎰-=∑上内σ=⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω-++-122222d 0d )(3y x V z y x σπ2π12220 0 03d d sin d r r r θϕϕ=-⋅⎰⎰⎰6π5=-.11.计算y x z z f x z y z f z z y x I yy Sd d )e (d d )e (1d d 333⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰,其中S 是由曲面22y x z +=,221y x z --=和224y x z --=所围立体的表面外侧,f 具有连续导函数.解:记S 所围立体为Ω,由Gauss 公式得⎰⎰⎰Ω++=V z y x I d )(3222π 2π42240 0 13d d sin d r r r θϕϕ=⋅⎰⎰⎰93(2π5=. 12.计算⎰⎰∑++=y x z x z yz z y xz I d d d d d d 2,其中∑是球面4222=++z y x 介于平面3=z 和2=z 之间的部分,并取法向量与Oz 轴正向成锐角的那一侧.解:记3:=z S ;S ,∑在xOy 平面的投影域:xy D 122≤+y x ;S +∑所围域记为Ω,则 =I ⎰⎰⎰⎰-+∑下下上S S ⎰⎰⎰⎰⎰+++=ΩxyD V z z z σd )3(d )2(22π 10 04d d d 3πz θρρ=+⎰⎰π3π4π=+=.15.判断级数∑∞=-12!)e (n nn n n λλ（0≥λ）的敛散性. 解:因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=++∞→+∞→!)e ()1()!1()e (lim lim 21121n n n n a a n n n n n n n n λλλλ e)11(limλλ=+=∞→n n n, 故当1e<λ,即e <λ时,级数收敛,当e =λ时级数显然收敛; 当1e>λ,即e >λ时,级数发散.16.求幂级数∑∞=+02!21n n n x n n 的收敛域及和函数. 解:因为01!2)!1(21)1(lim lim 2121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n ,所以) ,(∞+-∞=D . =)(x S ∑∞=+02!21n n n x n n ∑∑∞=∞=+=020)()(2!2!1n n n n x n n x n=+=∑∞=122!e n n x t n n ∑∞=--+112)!1(e n n x t n n t ∑'∞=-+=12][)!1(e n n x n t t ∑'∞=--+=112][)!1(e n n x n tt t 22222e )421(e )(e ]e [e xtx txx x t t t t ++=++='+=,) ,(∞+-∞∈x . 17.将函数231)(2++=x x x f 展为)1(-x 的幂级数.解:231)(2++=x x x f x x x x +-+=++=2111)2)(1(1 )1(31)1(21-+--+=x x 311131211121-+--+=x x∑∑∞=∞=-----=003)1()1(312)1()1(21n nn n n n n n x x , n n n n n x )1)(3121()1(101---=+∞=+∑,)3 ,1(-∈x . 18.将π()2x x ϕ-=(π20<≤x )展为以2π为周期的Fourier 级数,并求级数∑∞=12cos n n nx 的和函数.解: (1)π()2x x ϕ-=在[0, 2π)上满足Dirichlet 条件,且2π0 01()d πa x x ϕ=⎰ 2π 0π1d 0π2x x -==⎰, 2π 0π1cos d π2n x a nx x -==⎰ 2π 2π0 011πcos d cos d 2π2πnx x x nx x -⎰⎰2π2π0 0sin 110sin d 02π[]x nx nx x n n =--=⎰ ( ,2,1=n ), 2π 0π1sin d π2n x b nx x -==⎰ 2π 2π0 011πsin d sin d 2π2πnx x x nx x -⎰⎰2π2π0 0cos 1110cos d 2π[]x nx nx x n n n-=-+=⎰ ( ,2,1=n ); 故∑∞=1sin ~)(n n nx x ϕπ,(0, 2π)20, 0x x -⎧⎪=⎨⎪=⎩. (2)设=)(x f ∑∞=12cos n n nx ,[0, 2π)x ∈,其中=)0(f 221π16n n∞==∑;因为=')(x f 1sin ππ222n nx x x n ∞=--=-=-∑,(0, 2π)x ∈,所以=)(x f ⎰'+xx x f f 0 d )()0(2222ππ2π36π64212x x x x +-=+-=,[0, 2π)x ∈. 19.设有微分方程)(2x y y ϕ=-',其中⎩⎨⎧><=1,01,2)(x x x ϕ.试求在) ,(∞+-∞内的连续函数)(x y y =,使之在)1 ,(-∞和) ,1(∞+内都满足所给方程,且满足条件0)0(=y .解: (1)当1<x 时,方程为22=-'y y ,通解为1e 21-=x C y ,由0)0(=y 得11=C ,所以1e 2-=x y . (2)当1>x 时,方程为02=-'y y ,通解为x C y 22e =.要使)(x y y =在1=x 处连续,必须)1e (lim e lim 21221-=-+→→x x x x C ,即1e e 222-=C ,于是得22e 1--=C ,所以x y 22e )e 1(--=.(3)补充定义=)1(y 1e 2-,则得在) ,(∞+-∞内的连续函数)(x y y =⎩⎨⎧>-≤--1x ,e )e (11,1e 222xx x 满足所给方程及初始条件.20.一质量为m 的汽艇以速度0v 行驶,在0=t 时刻关闭动力继续行驶.假定水对汽艇的阻力与行驶速度v 的n 次方成正比(n 为常数),求v 与关闭动力后行驶距离之间的函数关系.解:设经过t 时间后,行驶的距离为)(t x (0>t ),阻力n kv R -=(0>k ),由Newton 第二定律得 0)]([)(='+''n t x mk t x ,由题设有0)0(,0)0(v x x ='=.因为v t x =')(,所以xv v t x d d )(='',于是方程化为0d d 1=+-n v mk x v ,分离变量得x mk v v n d d 1-=-.(1)当2≠n 时,通解为C x mk n v n+=--22,由0)0()0(v x v ='=得n vC n -=-220,所以x n mk v v nn )2(202--=--,即)()2(220n n v v k n m x ----=; (2)当2=n 时,通解为x mk C v -=e,由0)0()0(v x v ='=得0v C =,故x mk v v -=e0,即vvkm x 0ln =.21.设)(x f 具有二阶连续导数,且积分y x f x y x f x f L x d )(d ])()(2[e '+-'-⎰λ (λ为常数)与路径无关,试求)(x f .解:因为积分与路径无关,故有xQyP ∂∂=∂∂,即)()()(2e x f x f x f x ''=-'-λ,整理得x x f x f x f λe )()(2)(=+'+''.0122=++r r ⇒121-==r r ,所以)(e 21x C C Y x +=-.当1-≠λ时,设x A y λe =*,代入原方程定出2)1(1λ+=A ,即2)1(e λλ+=*xy ,此时通解为=y )(e 21x C C x+-2)1(e λλ++x; 当1-=λ时,设xAx y λe 2=*,代入原方程定出21=A ,即2e 2xx y -*=,此时通解为=y )2(e 221x x C C x ++-.22.设高为)(t h 厘米(t 为时间,单位为小时)的雪堆,在融化过程中其侧面方程为)()(2)(22t h y x t h z +-=,其体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时? 解: 设雪堆的体积为V ,侧面积为S ,则 222 ()()23 0 01[()()]2ππd d d [()()]d ()24h t h t x y h t h t z V z x y h t h t z z h t +≤-==-=⎰⎰⎰⎰, ⎰⎰≤+'+'+=)(2122222d d 1t h y x yx y x z z S ⎰⎰≤+++=)(21222222d d )()(161t h y x y x t h y x2πd ()h t ρ=⎰213π()12h t =. 由题设知S tV 9.0d d -=,即23π()d ()4d h t h t t 213π()91012h t =-,于是 1013d (t)d -=t h , 故C t t h +-=1013)(,由130)0(=h 得130=C ,即 1301013)(+-=t t h .令0)(=t h 得100=t (小时),即高度为130厘米的雪堆全部融化需要100小时.23.求微分方程24d (2)d xy x x y y =- 的通解.解：方程可化为：31d 2d x x y x y y --=-，这是Bernoulli 方程.令1(1)2,z x x --==则方程化为线性方程 3d 42,d z z y y y-=- 44d d 34e2e d (2ln ),y yyy z C y y y C y ---⎡⎤⎰⎰=+-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 故通解为24(2ln ).x y C y =-24.求幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数. 解：易知收敛半径为+∞，设30(),(, ),(3)!nn x s x x n ∞==∈-∞+∞∑显然(0) 1.s =313211(),(0)0;(),(0)0;(31)!(32)!n n n n x x s x s s x s n n ∞∞--==''''''====--∑∑ 33310()();(33)!(3)!n n n n x x s x s x n n ∞∞-=='''===-∑∑ 故得 ()()0,(0)1,(0)0,(0)0.s x s x s s s '''-=⎧⎨'''===⎩ 或 ()()()e ,(0)1,(0)0. x s x s x s x s s '''⎧++=⎨'==⎩（1）()()0,(0)1,(0)0,(0)0s x s x s s s '''-=⎧⎨'''===⎩的求解过程如下：3212,3123110,1,()e e .2x x r r r s x C C x C x -⎛⎫-===-∴=++ ⎪⎝⎭又21232311()e e ,22x x s x C C x C x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦21232311()e esin ,22x x s x C C C x -⎡⎤⎛⎫⎫''=+--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦于是由初始条件得121231231, 10,210,2C C C C C C ⎧+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪--=⎪⎩解得1231, 32,30.C C C ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以和函数212()e e c ,(,).33x x s x x x -=+∈-∞+∞（2）()()()e ,(0)1,(0)0 x s x s x s x s s '''⎧++=⎨'==⎩的求解过程如下：221,212110,()e sin .2x r r r S x C x C x -⎛⎫++==-±∴=+ ⎪⎝⎭因为i 1λω+=不是特征根，故设e x s A =，代入原方程，得1,3A =即1e ,3x s =于是2121()()()e e .3x x s x S x s x C x C x -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由(0)1s =得123C =，即2212()e +e .33x x s x C x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222111()e +e 332x x s x C x -⎡⎤⎫⎫'=-+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由(0)0s '=得20C =，所以和函数212()e e c ,(,).os 33x x s x x x -=+∈-∞+∞四.证明题2.若0lim =∞→n n na ,且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛,试证∑∞=1n n a 收敛. 证:记=n s 1n k k a =∑,=n σ∑=+-+nk k k ka a k 11])1[(, ,2,1=n ,则}{n σ收敛.=n σ )2(21a a -)23(32a a -+)34(43a a -+ +])1[(1+-++n n na a n 13212222+-++++=n n na a a a a 12+-=n n na s ,12121++=∴n n n na s σ.因为}{n σ收敛,所以要证}{n s 收敛,只需证}{1+n na 收敛.事实上,由0lim =∞→n n na 知0)1(lim 1=++∞→n n a n ,于是 =+∞→1lim n n na 0])1(1[lim 1=+++∞→n n a n n n . 因此}{n s 收敛,即∑∞=1n n a 收敛.(且∑∞=1n n a 21=∑∞=+-+11])1[(n n nna an .)3.若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径10=R ,则幂级数∑∞=0!n nn x n a 的收敛半径+∞=R . 证:因为10=R ,故对于)1 ,0(0∈x ,级数∑∞=00n n n x a 绝对收敛,从而}{0nn x a 有界,设M x a n n ≤0.于是),(∞+-∞∈∀x ,有nn n n nn n n x x n M x x n x a x n a 000!!!≤≤.而由比值法知,) ,(∞+-∞∈∀x ,∑∞=00!n nn x x n M 收敛,从而∑∞=0!n n n x n a 绝对收敛,故其收敛半径+∞=R .4.设)1(21,211nn n a a a a +==+(N ∈n ),试证:(1) nn a ∞→lim 存在; (2) ∑∞=+-11)(1n n naa收敛.证: (1))1(21,211n n n a a a a +==+1212≥+=nn a a (N ∈n ),即}{n a 有下界;又02121<-=-+nnn n a a a a ,即}{n a 单调递减,故n n a ∞→lim 存在. (2)因为}{n a 单调递减,所以11-+n n a a 0>,即∑∞=+-11)(1n n n a a是正项级数,又因为1≥n a ,所以11-+n n a a =111+++-≤-n n n n n a a a a a (N ∈∀n );而n n a ∞→lim 存在,故∑∞=+-11)(n n n a a 收敛,于是由比较判别法知,∑∞=+-11)(1n n n a a收敛.5.证明: (1)∑∞=+-1)(1ln 1n n n n收敛; (2)1ln 131211lim =++++∞→n n n . 证: (1)因为=+-≤n n n 1ln 10)11ln(1n n +-2211112o n n n n ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211,2o n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 而∑∞=121n n收敛,所以∑∞=+-1)(1ln 1n n n n 收敛.(2) ∑∞=+-1)(1ln 1n n n n ∑=∞→++-=nk n k k k1)(ln )1ln(1lim ]ln )1ln(1312ln 3ln 212ln 1[lim n n n n ++-+-++-+-=∞→ )]1ln(131211[lim +-++++=∞→n nn , 因为∑∞=+-1)(1ln 1n n n n收敛,即)]1ln(131211[lim +-++++∞→n n n 存在,故 0ln )1ln(131211lim =+-++++∞→nn n n , 即0ln )1ln(ln 131211lim =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++++∞→n n n n n ; 易知1ln )1ln(lim =+∞→n n n , 所以 =++++∞→nn n ln 131211lim 1ln )1ln(lim =+∞→n n n . 7. 12111,(2,3,4,).:n n n a a a a a n +-===+=设证明111,,2n n n x a x ∞-=<∑对于收敛().s x 并求其和函数解：111,2n n n x a x ∞-=<∑(1)先证:对于收敛.{}0,,n n a a >由题设知单调增从而112n n n n a a a a +-=+≤，即 2322123222222 (2,3,4,).n n n n n n a a a a a n -----≤≤≤≤≤== 易知2122n n n x∞--=∑的收敛半径为11,,22x ∀<于是2122n n n x ∞--=∑绝对收敛，即1222n n n x∞--=∑收敛；又11122,n n n n n n a xa xx----=≤故2122n n n x ∞--=∑绝对收敛，从而111,2n n n x a x ∞-=<∑对于收敛.（2）再求和函数111() ().2n n n s x a x x ∞-==<∑11111122()11[]n n n n n n n n n n s x a xa xa a x ∞∞∞---+-=====+=+-∑∑∑112112231111n n k m n n k m n n k m a x a xa xa x ∞∞∞∞---+-=====+-=+=+-∑∑∑∑11311111[()1]()k m k m k m a x x a x s x x xs x x x ∞∞--===+-=+---∑∑211(),0.x s x x xx-=-≠解之得21(),(0),1s x x x x=≠--又1(0)1,s a ==所以1,2x ∀<有1211() .1n n n s x a x x x∞-===--∑ 9.设正数列{}n a 单调递减，若级数1(1)nn n a ∞=-∑发散，则111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.证：因为0,n a >且{}n a ，故有极限，设lim ,n n a a →∞=则0.a ≥又因为1(1)n n n a ∞=-∑发散，故由Leibniz 判别法知0a ≠，即lim 0.n n a a →∞=>11lim lim 1,111n n n n a a →∞→∞⎛==<∴ +++⎝111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛. 10. 设0,n u ≠且lim 1,n n n u →∞=试证11111(1)n n n n u u ∞-+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑条件收敛.证：记1111(1),n n n n a u u -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由lim 1,n nn u →∞=知 111lim lim lim 2,11n n n n n n n n a n n n n n u u u u n n →∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭而11n n ∞=∑发散，故1n n a ∞=∑发散，即原级数不会绝对收敛. 因为11111(1)nk n kk k s u u -+=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑ 1122334111111111(1)n nn u u u u u u u u -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111(1),n n u u -+=+-且由1lim lim 1,1n n n n un u n→∞→∞==知1lim 0n nu →∞=，从而111lim(1)0,n n n u -→∞+-=故11lim ,n n s u →∞=即原级数收敛. 因此原级数条件收敛.。

山东科技大学微积分2013--2015,2017年考研专业课真题

4、 lim
x 0
x
0
arctan tdt x2
二、（本题包括 2 个小题，第 1 小题 15 分，第 2 小题 7 分，共 22 分）
1 2 2 , ( x, y ) (0,0) ( x y ) sin 2 1、设 f ( x, y ) ，试问在点处（注：（0,0） x y2 0 , ( x, y ) (0,0)
1 n f ( xi ) 。 n i 1
2、设 f ( x) 在 0, 1 上连续，在 0, 1 内可导，且 f (1) 0 。证明： 0, 1 ，使 f ( )
f ( )

。
一、（本题包括 4 个小题，每小题 7 分，共 28 分）求以下函数极限：
2 2

dy dy xy 。 dx dx
2、求微分方程 y 2 y 3 y 1 的通解。七、（本题包括 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 1、证明：若 f ( x) 在 a, b上连续，a x1 x2 xn b ，则 x1 , xn ，使 f ( )
1 x2 1 tan 1、 lim x x 1 x
x 1 2、 lim x x 1
x
3、 lim
1 1 x x 0 x e 1
x 2 t 0 e dt 4、 lim x 0
2
te
0
x
2t 2
dt
二、（本题包括 3 个小题，第 1、3 小题各 8 分，第 2 小题 12 分，共 28 分） 1、求函数 f ( x) xe 的带有皮亚诺型余项的 n 阶麦克劳林展开式。
山东科技大学 2013 年招收硕士学位研究生入学考试

高等数学难题解答3(山东科技大学泰山科技学院)

解若将函数进行奇延拓则傅里叶系数为 an0(n0 1 2 )
h 2(1cosnh) 2 2 bn f (x)sin nxdx sin nxdx 0 0 n
因此函数展开成正弦级数为
2 f (x) 1 cosnh sin nx n1 n
n 1 1 )k 2 lim 1 s 0 lim 1 ( 1 k n n n n n k 3 k 1
(2)
1 1 1 1 lim[2 3 4 9 8 27 (2n ) 3n ] n
解
1 1 1 1 23 49 827 (2n) 3n
5 求下列数项级数的和 (1) 解
n2 n 1 n!
n2 n(n 1) n n(n 1) n n ! n ! n ! n1 n1 n1 n1 n!
x

1 xn e 因为 n! n1
两边求导得 e n!xn1 ,再求导得

e e
根据比值审敛法
1 x2 1 当2
即 2 x 2 时
幂级数收敛当
1 2 x 1 时 2
幂级数发散
又当 x 2 时幂级数成为 n 是发散的
n 1

所以收敛域为
( 2, 2)
4 求下列幂级数的和函数 (1)
2n 1 x2(n1) n n 1 2
1 (1 1 )n2 n n n 1 3

的前n项部分和
因为
lim n n
级数因此
1 (1 1 )n2 lim 1 (1 1 )n e 1 所以由根值审敛法 n 3 n n 3 3n 1 (1 1 )n2 收敛从而部分和数列 { s } 收敛 n n n 3 n 1

高等数学难题解答1(山东科技大学泰山科技学院)

所以ABC的面积为
1 1 S | AC BC | 4 z 2 ( z 1) 2 4 2 2
令
dS 1 8z 2(z 1) 0 dz 4 4z 2 (z 1)2 4
1 z 得 5
所求点为 C(0, 0, 1 )
5
8 画出下列各曲面所围立体的图形
第五章疑难解答
1 已知点A(1, 0, 0)及点B(0, 2, 1) 试在z轴上求一点 C 使ABC的面积最小解设所求的点为C(0 0 z) 则 AC (1, 0, z) BC (0, 2, z 1) 因为
i j k 令 AC BC 1 0 z 2zi (z 1) j 2k ,所以ABC的面积为 0 2 z 1

x y z 1 4 2 2
(2)抛物柱面x21z 平面y0 z0及xy1
(3)圆锥面 z x2 y2 及旋转抛物面z2x2y2

7 已知点A(1, 0, 0)及点B(0, 2, 1) 试在z轴上求一点C 使ABC的面积最小
解设所求的点为C(0 0 z) 则 AC (1, 0, z) BC (0, 2, z 1)
因为
i j k AC BC 1 0 z 2zi (z 1) j 2k 0 2 z 1
s(0 1 1)(1 0 0)(0 1 1)
y z 1 0 设点(1, 1, 1)到直线的垂线交于点 ( x y z ) x 0 0 0 0 y z 1 0 因为点(x0 y0 z0)在直线 x 0 上
所以(x0 y0 z0)(0 y0 y01) 于是垂线的方向向量为 s1(1 y01 y0) 显然有ss 10 即

高等数学 - 山东科技大学泰安校区(泰山科技学院)就业信息网

解
r 2x x 因为 x 2 x2 y 2 z 2 r
u f (r) r x f (r) x x r
所以
2
r x r u x f (r) x f (r) r r 2 x2 f (r) x2 f (r) r x x2 r2 r3 r2
其在纵轴上的截距为yxy 因此由已知有
1 y 1 y yxyx 即 x
这是一个一阶线性方程其通解为
ye
x dx
1
[ (1)e

x dx
1
dx C] x( ln x C)
即方程的通解为yx(Cln x) 由于曲线过点(1 1) 所以C1 因此所求曲线的方程为yx(1ln x) 6 已知某车间的容积为30306m3 其中的空气含012%的 CO2(以容积计算) 现以含CO2004%的新鲜空气输入问每分钟应输入多少才能在30min后使车间空气中CO2的含量不超过006%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后以相同的流量排出) 解设每分钟应输入的空气为a m3 t时刻车间中CO2的浓度为x(t) 则车间中CO2的含量(以体积计算)在t时刻经过dt min的改变量为
即
(x)tan x(x)sec x
(x) e tan xdx( sec xe tan xdxdx C)
这是一个一阶线性方程其通解为 cos x(tan xC)sin xCcos x 在已知等式中令x0得(0)1 代入通解得C1 故
(x)sin xcos x
齐次方程y2yy0的通解为y(C1C2x)ex 因为f(x)cos x ii不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为 y*Acos xBsin x 代入原方程得 2Asin x2Bcos xcos x 比较系数得A0 B

05山东科技大学高等代数

二．（20 分）设 A 是 n 级方阵，证明：存在一个 n 级方阵 B 0 使 AB 0 的充分必要条件是 A 0 。三．（20 分） M n ( F ) 表示数域 F 上的全体 n 级方阵构成的线性空间，试证： 1． N 级对称矩阵的集合 W1 和 n 级反对称矩阵的集合 W2 都是 M n ( F ) 的线性了空间； 2． M n ( F ) W1 W2 四．（20 分）设
科目代码：401
请在答题纸（本）上做题，在此试卷及草入纸上做题无效！
山东科技大学 2005 年招收硕士学位研究生入学考试
高等代数试题
（共 2 页）
一．（共 70 分，每小题 14 分） 1．试确定 A，B，使得 x 1 是多少项式
f ( x) Ax n 1 Bx n 1(n 1)
为正定二次型 4．已知 a1a2…as 的秩为 r (r 0) ，证明：a1a2…as 中任意 r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。 5．设 T 是 R2 的一个线性变换，向量
中 A 是 V 上的任一正交变换。
a1
Ta1
e1
, e
1 0 2
,Ta
0 1 2
, a
0 1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

2 1
在变换 T 下的像是
2 3 ，试求：T 在基
0 1 下的矩阵。
第 1 页
第2页
的二重因式。 2．证明方阵 A 的最小多项式是唯一的。 3．证明实二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 5x12 x2 5x3 4 x1x2 8x1x3 4 x2 x3
1 4 2 A 0 3 4 0 4 3

山东科技大学数学分析考研真题2017—2019年

1、证明不等式：当 0 x 1， e2x 1 x ； 1 x
2、证明：若 f (x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) 0 ，则
ln 1
b f (x)dx 1
b
ln f (x)dx 。
ba a
ba a
五、定积分应用（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
求由曲线 y x(1 x) 与 x 轴围成的区域（1）绕 x 轴旋转一周所得旋
a
1 x
2、已知
x y
et et
cos t sin t
，求
d2y dx 2
。
三、计算下列积分（共 15 分，每题 5 分）
1、
e3x ex
1dx 1
，
2、 ln x 2dx ； x
n1
3、
1
ln[x]dx ，这里[x] 表
示不超过 x 最大整数。
四、证明不等式（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
六、幂级数问题（共 12 分，第 1 题 8 分，第 2 题 4 分）
x
n 1
1、求幂级数
n1 n(n 1)
(1 x 1) 的和函数。
1
2、求级数
n1 n(n 1)2n
的值。
七、多元函数的微分 (共 12 分) 已知函数
f
(x,
y)
x2y2
(x2
y2
3
)2
,
x2
y2
0
试证： f (x, y) 在 (0,0) 处连续且存在偏导数，
x2 y2 2z
z2
, 从 z 轴正向看去，取逆时针方向。
十一、曲面积分（共 12 分）计算第二型曲面积分

新版山东科技大学数学考研经验考研真题考研参考书

在决定考研的那一刻，我已预料到这一年将是怎样的一年，我做好了全身心地准备和精力来应对这一年枯燥、乏味、重复、单调的机械式生活。

可是虽然如此，我实在是一个有血有肉的人呐，面对诱惑和惰性，甚至几次妥协，妥协之后又陷入对自己深深的自责愧疚当中。

这种情绪反反复复，曾几度崩溃。

所以在此想要跟各位讲，心态方面要调整好，不要像我一样使自己陷入极端的情绪当中，这样无论是对自己正常生活还是考研复习都是非常不利的。

所以我想把这一年的经历写下来，用以告慰我在去年饱受折磨的心脏和躯体。

告诉它们今年我终于拿到了心仪学校的录取通知书，你们的付出和忍耐也终于可以扬眉了。

知道自己成功上岸的那一刻心情是极度开心的，所有心酸泪水，一扫而空，只剩下满心欢喜和对未来的向往。

首先非常想对大家讲的是，大家选择考研的这个决定实在是太正确了。

非常鼓励大家做这个决定，手握通知书，对未来充满着信念的现在的我尤其这样认为。

当然不是说除了考研就没有了别的出路。

只不过个人感觉考研这条路走的比较方便，流程也比较清晰。

没有太大的不稳定性，顶多是考上，考不上的问题。

而考得上考不上这个主观能动性太强了，就是说，自己决定自己的前途。

所以下面便是我这一年来积攒的所有干货，希望可以对大家有一点点小小的帮助。

由于想讲的实在比较多，所以篇幅较长，希望大家可以耐心看完。

文章结尾会附上我自己的学习资料，大家可以自取。

山东科技大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(710)数学分析和(835)高等代数参考书目为：1.《数学分析》（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社，2010年（第四版）2.《高等代数》，北京大学数学系，高等教育出版社，2003年（第三版）先说英语，最重要的就是两个环节：单词和真题。

关于单词单词一定要会，不用着急做题，先将单词掌握牢，背单词的方式有很多，我除了用乱序单词，我还偏好使用手机软件，背单词软件有很多，你们挑你们用的最喜欢的就好，我这里就不做分享了。

多领域相互渗透的高等数学教学模式

用柱系定限都很简洁。又如三重积分中的“ 先二后一 ” 法在教材中有一个实方例已经讨论过，问如果把该题的被积函数改为关于的表试达式或关于Ｙ的表达式而积分区域不变。该题还能用此法
吗？实际上回答是显然的，只不过要用ｘｔｙｔ＝或＝不同的平面
ｆｐｏ８ｘｃｓ＝
ＩＪ
＝≈
【ｐｏｆｐｏｙｃｓｚｃｓ＝０＝０
Ｉ｝ｌＩｙ．
为了把工科数学这条生命线抓住，很多高校把数学实验
与数学建模分别作为独立课程开设起来。这样固然出发点是
｛ｐｉ或者｛ｐｉ与｛ｐｎｙｓ０＝ｎｚｓ０ｘｓ０：ｎ＝ｉ
主学习的方法，培养终身学习的意识．提高综合素质，增强社
来截椭球面而已。
※基金资助：山东科技大学“ 群星” 计划项目（Ｏ．１２１Ｎｑ０１０Ｊｘ。
ｓＥＥ＆ＴｃｃＩＮｃＥＨＮ。Ｌ。ＧＹＶｓ。Ｎ科技视界１４ｌＩ５
Ｓｉｃｃｅｅ＆ＴｅｈｏｏｙＶｓｎｎｃｎｌｇｉｏｉ
１高等数学课程知识点之间的渗透与提炼
本着以形成融传授知识和培养能力为一体的教学模式，深化以创新意识和实践能力培养为核心的教育理念构建以技术应用为主线、多学科渗透的立体式教学体系的指导思想，进行药理学教学研究。将德育教育、人文社科知识及医学相关知识渗透到教学中，激发学生涉猎知识的兴趣，教会自
会适应性。众所周知，高等数学的特点是知识点多而杂，现在定表义定理多、运算公式多、应用技巧强、知识点间逻辑关系密切等。我们很清楚。平时在做题应用时发现不少知识点与方法在课本中并没有提到。那是肯定的，知识无时无刻不在更新，简单的一本教材怎么可能把相关的所有知识点都包含其中呢？这就要求我们在学习当中尽可能地把书本上的知识深入理解，比较、多多联想，这才可能真正把书本知识用活。举例说明：高数（同济六版）下册总习题十一有一道题：

山东科技大学2009年数学专业考研数学分析真题

一．求极限（20分）：1、曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，证明：2)2(lim =∞→nnf n 。

2、求极限：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x cot 11lim 0。

3、求520)]cos(1[limxdtt x x ⎰-+→。

4、求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→32323212111lim n n n n n n nn 。

二．导数及高阶导数（20分）：1、设35x x x y ++=，求'y 。

2、已知xx y -=14，求)4()(>n yn 。

3、由方程⎰-=+x y dt t y x 022)cos(确定了y 是x 的函数，求dxdy 。

4、设)()('),('t f t tf y t f x -==，)('''t f 存在且)(''t f 不为零，求三阶导数33dxyd 。

三．证明题（17分）：1、设)(x f 在)0(],[>a b a 上连续，在),(b a 内可导。

证明：存在),(,b a ∈ηξ 使)('2)('ηηξf ba f +=。

2、证明：方程)2(11≥=+++-n x xx n n在)1,0(内必有惟一实根n x ，并求n n x ∞→lim 。

四．积分计算（18分）：1、计算不定积分：⎰+2)1(x e dx。

2、计算定积分：dx e x ⎰-2ln 01。

3、讨论反常积分)0()1)(1(02>++⎰∞+ααx x dx的敛散性，若收敛，求出其值。

五．解下列各题（30分）1、设22()z f x y =+ , 其中f 具有二阶导数, 求22zx∂∂, 2z x y ∂∂∂。

2、计算积分 (),lx y ds +⎰:l 顶点为(0,0), (1,0), (1,1)的三角形边界。

3、计算积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，∑为锥面22y x z +=在平面4=z 下方的部分，取外法线方向。

山东科技大学考研专业课真题_高等代数2014

一、计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1. 计算 4 级行列式的值：
1 2 3 4 2.
2 ห้องสมุดไป่ตู้ 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
3 2
求 g ( x) 除 f(x)的商 q ( x) 与余式 r ( x) 。其中 f ( x) x x x ，
g ( x) x 2 。
3. 求矩阵 A 的初等因子及若尔当（Jordan）标准形，其中矩阵 A 为：
A E 0 ， 3 A E 0 ，求 A 3E 的值。
二、(20分) 已知三平面方程
1 : x y 3z 8 2 : 2x y 2z 6 3 : 3x 2 y 3z
问： , 取何值时（1）三平面交与一点；（2）三平面无交点；（3）三平面相交于一条直线？（提示：三平面方程联立得非齐次线性方程组，方程
2
2. 对 n 阶方阵 A ，有 A 2 A 3E 0 ，求证
2
R ( A E ) R ( A 3E ) n 。
3. 证明：如果 ( x x 1) f ( x ) xg ( x ) ，则 f ( x) 与 g ( x) 一定不
2 3 3
互素。证明 4. 向量组 1 , 2 , r 线性无关，1 , 2 , r , 线性相关，可由 1 , 2 , r 线性表出并且表示法唯一。 5. 设与是复数域上线性空间 V 的线性变换，并且两者可交换，即。求证的特征子空间 V 是的不变子空间。 6.
2 0 1 A 0 2 0 。 2 2 1 1 1 0 4. 设 A 1 1 1 ，求 X 使 AX X A 。 0 1 1

山东科技大学2018年全国硕士研究生招生考试数学分析试卷

山东科技大学2018年全国硕士研究生招生考试数学分析试卷一、极限问题（共20分，每小题10分）1、求极限20x →2、设 ,2,1(21,0,011=+=>>+n a a a a nn n σσ。

证明：数列{}n a 收敛，且其极限为σ。

二、一元函数的微分（共20分，每小题10分）1、已知222ln sin y y x +=，求22d ydx 。

2、设1cos , 0,(), 0,x x f x x x α-≥⎧=⎨<⎩问：当α为何值时？（1）在0x =连续；（2）在0x =可导,并求(0)f '。

三、一元函数的积分（共10分）求积分241cos2xdxxππ-⎰。

四、一元函数微积分及应用（共10分）设()f x 在[0,1]上可微且120(1)2()0f xf x dx -=⎰。

证明：()0,1ξ∃∈使得ξξξ)()('f f -=。

五、一元函数连续性和微积分（共15分）设()f x 连续，1()()g x f xt dt =⎰且0()limx f x A x→=（A 为常数）。

（1）求导函数()g x '；（2）讨论导函数()g x '在0x =处的连续性。

六、幂级数问题（共12分，第1题8分，第2题4分）1、求幂级数)11()1(11<<-+∑∞=-x n n x n n 的和函数。

2、求级数∑∞=+12)1(1n nn n 的值。

七、多元函数的微分(共12分)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(),(2222232222y x y x y x y x y x f 试证：),(y x f 在)0,0(处连续且存在偏导数，但不可微。

八、证明题（共15分，第1题8分，第2题7分）1、设),(ηξf 具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ηξff ,试证：函数)2,(22xy y x f z -=也满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yzx z 。

高等数学山东科技大学ppt课件

第二页，编辑于星期五：十三点三十分。
p＝6553（1＋e）
把e和 p解出，得到
所以e和满足方程
127 第四页，编辑于星期五：十三点三十分。 e 0.0096 第三页，编辑于星期五：十三点三十分。 13233 ＝6680（1－e）
（当＝）. －∞<t<+∞
（设当一直＝线离）极.＝点O的p6距6离8为0×0.9904＝6616公里.
第二章疑难解答
例1 直线的极坐标方程
设一直线离极点O的距离为，p从O到这直线的垂线
与极轴作成的角为θ，从图2.5可以看出，这直线上的点的特征是
ρ cos(θ- )＝ p
这就是直线的极坐标方程.
第一页，编辑于星期五：十三点三十分。
例2 地球卫星和宇宙飞船的运行轨道是圆锥曲线.一宇宙飞船
的运行轨道，近地点高度为175公里，远地点高度为302公里.
求这轨道的参数e，
p
解这轨道应是以地心为焦点的椭圆，椭圆上点离焦点最远的距离是302＋6378＝6680公里（6378公里是地球半径），最近的距离是175＋6378
＝6553公里.
p
从公式（3）看出，最远距离等于 1 e （当＝0），
最近距离等于
p 1 e
（当＝）.所以e和 p满足方程
p＝6680（1－e）
x x lt 一宇宙飞船的运行轨道，近地点高度0为175公里，远地点高度为302公里.
－∞<t<+∞ 从公式（3）看出，最远距离等于
y y mt 与极轴作成的角为θ，从图2. 0
第三页，编辑于星期五：十三点三十分。
这式子最初由匀速直线运动得出，但匀速直线运动只能得出半条直线，t的变化范围是0≤t<+∞，如果把t的变化范围扩大到－∞<t<+∞，就能得出整条直线.可见用参数方程时应该注意参数的变化范围.

山科大高等数学定积分题目

山科大高等数学定积分题目1.1 一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb aaf x dx F b F a F x =-=⎰。

其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。

例4.1．111)edx x⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x += 例4.2．3⎰ 解：原式tx t x =+-==112221121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰202sin πxdx x解：原式=⎰-202cos 21πx xd =⎰+-20202cos 21|2cos 21ππxdx x x=20|2sin 414ππx +=4π1.2 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。

例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=11221 1(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰ =11221 1(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=11221 1222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+011)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-= 3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aa f x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。

高等数学根据学生专业特点设置概念教学实例初探

垫
：
ＣｈｉｎａＥｄｕｃａｔｉｏｎｌｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ学根据学生专业特点设置概念教学实例初探
吕濯缨张来亮（山东科技大学公共课部数学教研室山东济南２５００３１）
，
即求．（ｆ）＝３７的解。于是求解上面的
可以将其看作可分离变量的微微分方程一章为例，针对经管类专业与理学生讲授了与其专业有关的经济学方面的微分方程，引出其概念，继而推导其解法如工类专业的不同特点，相应地给出该章概知识，让学生意识到高等数学课程在后续分方程，
“ 下午张某一直在办公室上班，５：００时打了四方面的效果也较为显著：（１）此例为推理个电话后离开办公室 ” 。从张某的办公室为ｐ（ｔ），则需要求出ｐ（Ｏ的具体表达式。问题，对于理工科学生很具有吸引力，易激
效果。
坚
：ｋｄｔｊ三二三！：：ｊ
７ ’ 一２１．１
，一２１．１
ＩｎｊＴ一２１１＝＋Ｉｎ１Ｃ＝，ｒｐ）一２１１＝Ｃｅ ”
从而得到Ｔ（ｔ１＝２１１＋（ ’ 。又根据
一
分析：以年为单位，设时刻的本息总额
由于ｔ时刻的本金没有取出也没有新的投到被害者家步行需５分钟，请根据上述信息发起学生的学习兴趣；（２）有助于学生理人，因此，ｒ时刻本息总额的变化率与ｔ时判断张某能否排除嫌疑。（下转１０８页）

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第二章疑难解答
例1 直线的极坐标方程
设一直线离极点O的距离为，p 从O到这直线的垂线
与极轴作成的角为θ，从图2.5可以看出，这直线上的点的特征是
ρ cos(θ- )＝ p
这就是直线的极坐标方程.
例2 地球卫星和宇宙飞船的运行轨道是圆锥曲线.一宇
宙飞船的运行轨道，近地点高度为175公里，程
p ＝6680（1－e）
p ＝6553（1＋e）把e和 p解出，得到
e 127 0.0096 13233
＝p6680×0.9904＝6616公里. 例3 直线的参数方程
x x0 lt －∞<t<+∞ y y0 mt
这式子最初由匀速直线运动得出，但匀速直线运动只能得出半条直线，t的变化范围是0≤t<+∞，如果把t 的变化范围扩大到－∞<t<+∞，就能得出整条直线.可见用参数方程时应该注意参数的变化范围.
度为302公里.求这轨道的参数e，p
解这轨道应是以地心为焦点的椭圆，椭圆上点离焦点最远的距离是302＋6378＝6680公里（6378公里是地球半径），最近的距离是175＋6378 ＝6553公里.
p
从公式（3）看出，最远距离等于 1 e （当＝0），
p
最近距离等于 1 e
（当＝