华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)

，由
换可得
利用极坐标变
因此
2．设某流体的流速为 V＝（k，y，0），求单位时间内从球面 过球面的流量．
解：设流量为 E，则
的内部流
（其中
利用球坐标变换计算）
3．计算第二型曲面积分
其中 S 是平行六面体（0
≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c）的表面并取外侧为正向， f（x）、g（y）、h（z）为 S 上的连续
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第 22 章 曲面积分
§1 第一型曲面积分
1．计算下列第一型曲面积分：
，其中 S 为上半球面
，其中 S 为立体
的边界曲面；
，其中 S 为柱面
被平面 z＝0，z＝H 所截取的部分；
其中 S 为平面 x＋y＋z＝1 在第一卦限中的部分。
式知
且
同理
因此原积分＝0。 （2）记 L 为该椭圆的边界，则
其中 S 为所交椭圆面， 是 S 在 xy 面的投影。
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4．求下列全微分的原函数：
解：（1）因 d（xyz）＝yzdx＋xzdy＋xydz，故原函数为 u（x，y，z）＝xyz＋C （2）由于
解：因为
所以：
在点 O（0，0，0）：gradu＝（－4，2，－4）；在点 A（1，1，1）：gradu＝（0，8，
2）；
在点 B（－1，－1，－1）：gradu＝（－8，－4，－10）；
的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
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并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
其中 L 依正向进行。
解：因
故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得
1．若 解：由
§4 场论初步
计算 知
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2．求
在点 O（0，0，0），A（1，1，1），B（－1，
－1，－1）处的梯度，并求梯度为零之点。
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为
3．求密度为ρ的均匀球面 解：因
对于 z 轴的转动惯量 则
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4．计算
其中 S 为圆锥表面的一部分
这里θ为常数 解：由于
则
§2 第二型曲面积分
1．计算下列第二型曲面积分 其中 S 为由 x＝y＝z＝0，x＝y＝z＝a 六个平
函数。
解：设平行六面体在 yz，zx，xy 平面上的投影区域分别为
，则有
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4．设磁场强度为
，求从球内出发通过上半球面
的磁通量．
解：设磁通量为Φ，则
由轮换对称性，并利用球坐标变换，
有
故
§3 高斯公式与斯托克斯公式
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它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；
其中 L 为
x＝y 所交的椭圆的正向；
其中 L 是以 A（a，0，0），B（0，a，0），C
（0，0，a）为顶点的三角形沿 ABCA 的方向。
解：（1）记 L 为曲面 S：z＝1－x－y（x≥0，y≥0，x＋y≤1）的边界，由斯托克斯公
故原函数为
5．验证下列线积分与路径无关，并计算其值：
上。 解：（1）因
其中
在球面
所以所给路曲线积分与路径无关，从而
（2）因
所以所给曲线积分与路径无关，且
由于
和
在球面上，所以原式＝0。
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6．证明：由曲面 S 所包围的立体 V 的体积△V 为
1．应用高斯公式计算下列曲面积分：
其中 S 为单位球面
的外侧；
其中 S 是立方体 0≤x，y，z≤a 的表面的外侧；
其中 S 是锥面
与平面 z＝h 所围空间区域（0
≤z≤h）的表面，方向取外侧；
其中 S 是单位球面
的外侧；
其中 S 为上半球面
的外侧。
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都是常数，故
由高斯公
8．证明公式 向
证明：因
其中 S 是包围 V 的曲面，n 为 S 的外法线方
而
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则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得
因此公式成立。
9．若 L 是平面
上的闭曲线，它所包围区域的面积为 S，求
其
中 cosα，cosβ，cosγ为曲面 S 的外法线方向余弦。
证明：因
故原公式成立。
7．证明：若 S 为封闭曲面，l 为任何固定方向，则 外法线方向。
证明：设 n 和 l 的方向余弦分别是 cosα，cosβ，cosγ和
由第一、二型曲面积分之间的关系可得
其中 n 为曲面 S 的 则
由 l 的方向固定， 式得
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，