最大公因数和最小公倍数2

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第二讲—最大公因数和最小公倍数(教案)

练习1：1个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？
练习2：把53块水果糖和49块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩3块，巧克力剩4块，这个组最多有几位同学？
重难点五：易混淆题型
例题1、把若干个长12厘米、宽9厘米的长方形拼成一个正方形，正方形边长至少是多少？至少需要多少个这样的长方形？
例题4从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆加上两端的两根一共是55根电线杆现在改成每隔60米安装一根电线杆除两端的两根不用移动外中途还有多少根不必移动
学生姓名：
科目：
年级
授课时间：2015年月日至
讲次：第讲
授课教师：老师
【教学目标】
1、认识和掌握公因数和公倍数的概念。
2、能准确求出几个数的最大公因数和最小公倍数。
重难点3：和公因数相关的应用题
例1、把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？
例题2、用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？
【巩固拓展】
1、把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？
例题4、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？
练习：学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？
例题5、每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？
12和30 52和12 35和25 24和36 51和17 91和26

最大公因数与最小公倍数(二)

分析：船的数量是：（9+6）÷（9-6）=5（条）
人的数量是：（5+1）×6=36（人）
2．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少枝？
分析：求最小公倍数
解：[2,3,4,5,6]=60
答：这盒钢笔最少有60支。
拓展演练
例1、用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？
答案：6块
例3、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为： “两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
例5、公路上一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距离原来是45米，现在要改成60米，可以有多少根不需要移动？
分析与解：根据题意可知：不需要移动的电线杆数，必须是处于45米与60米最小公倍数位置上的电线杆数，才能不需要移动；那就要先求出两种间距米数的最小公倍数，再求出公路总长，最后算一算公路总长里有几个最小公倍数，又因为起点的一根肯定是不动的，最后再加上起点的那根即可解决。
分析与解：由两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
可知另一个自然数是（6×72）÷18=24。
归纳总结
性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
பைடு நூலகம்
当堂演练
1.用长6厘米、宽4厘米的长方形瓷砖拼成一个最小的正方形，要用这样的瓷砖多少块？

2最大公因数与最小公倍数

[多選題][-].設a 、b 、c 均為整數，下列何者為真？ (A)若c|a 或c|b ，則c|ab (B)若a|c 且b|c ，則ab|c (C)若(a,c)=(b,c)，則a=b (D)若ab|c ，則a|c 且b|c (E)若c|a 且c|b ，則(a,b)|c 。

解答：AD.設a,b,c 都是異於零的整數，p 為質數，(a,b)表a 與b 的最大公因數，則下列何者恆成立？ (A)若(a,c)=1且b ∣c ，則(a,b)=1 (B)若(a,c)=1，則(a,b)=(a,bc) (C)若p ∣ab ，則p ∣a 或p ∣b (D)若(a,b)=1，則(a+b,a －b)=1 (E)若(a,b)=1，則(a －b,ab)=1。

解答：CDE.下列敘述何者正確？(a,b)表a 、b 之最大公因數。

(A)若(a,b)=1，則(a+b,ab)=1 (B)若(a,b)=1，則(a+b,a-b)=1 (C)若a|bc ，則a|b 或a|c (D)若(a,b)=1，則(2a,3b)=1 (E)若a|b,b|c ，則a|c 。

解答：ADE[計算題][-] .(1)試求最大公因數(713,1173)與最小公倍數[713,1173] (2)若(713,1173)=d ,試求一組整數m ,n ,使得713m +1173n =d .解答：23,36363,m=-23,n=14.設二自然數的和是528 ,最小公倍數是5797 ,求此二數.解答：341,187.兩個二位自然數最大公因數為12 ,其乘積為5040 ,求此二數.解答：60,84.設a,b 為二正整數,若2+b a =512++b a ,最小公倍數[a,b ]=144 ,最大公因數(a,b )>4 ,求二正整數a,b . 解答：a=72,b=16.設a ,b ∈N,a <b ,若(a ,b )+[a ,b ]=15 ,則數對(a ,b )共多少組?解答：2組.求最大公因數(540,504,810)與最小公倍數[540,504,810].解答：18,22680.二自然數a 與b ,其和為214,二者之最大公因數為14,設22b a +之最小值為)1010(1422r q p +⨯+⨯,其中p,q,r 為阿拉伯數碼,求p,q,r .解答：p=1,q=0,r=6.設a,b,c ∈N 且a+3b=2c ,22a +2c =32b ，又[a,b,c ]=300，求a,b,c 之值。

最大公因数和最小公倍数

最大公因数和最小公倍数什么是最大公因数？最大公因数（GCD）是指两个或多个数中能够整除它们的最大正整数。

在数学中，最大公因数也被称为最大公约数或者最大公因子。

如何计算最大公因数？有多种方法可以计算最大公因数，其中最常用的方法是欧几里得算法。

这个算法基于如下的数学原理：两个整数a和b的最大公因数即为a除以b的余数c与b的最大公因数。

举个例子，假设我们要计算12和16的最大公因数。

我们可以通过以下步骤来执行欧几里得算法：1.令a等于较大的数字（16），令b等于较小的数字（12）。

2.用b除以a，并计算余数c。

在这种情况下，16除以12等于1，余数为4。

3.然后将b设置为a，而将c设置为新的b。

4.重复上述步骤，直到余数c为0。

此时，b即为最大公因数。

在这个例子中，最大公因数是4。

最大公因数的应用最大公因数在数学中有广泛应用。

例如，在分数运算中，我们可以通过求分子和分母的最大公因数来简化分数。

最大公因数还在密码学中发挥着关键作用。

一些加密算法，如RSA算法，依赖于对两个大质数进行运算，其中最大公因数的计算是一个关键步骤。

什么是最小公倍数？最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中能够被它们整除的最小正整数。

最小公倍数也被称为最小公倍数或者最小公倍数。

如何计算最小公倍数？有多种方法可以计算最小公倍数，其中一种常用的方法是通过最大公因数来计算。

假设我们要计算12和16的最小公倍数，我们可以使用以下公式：LCM(a,b) = (a * b) / GCD(a,b)在这个公式中，LCM表示最小公倍数，a和b分别表示两个数字的值，而GCD 表示最大公因数。

使用这个公式，我们可以计算出12和16的最小公倍数：LCM(12,16) = (12 * 16) / 4 = 48所以，12和16的最小公倍数是48。

最小公倍数的应用最小公倍数在数学和实际生活中都有应用。

例如，在时间单位转换中，我们可以通过求两个时间单位的最小公倍数来进行换算。

两数最大公因数和最小公倍数关系

两数最大公因数和最小公倍数关系好吧，今天咱们来聊聊数学里的两位“老朋友”：最大公因数和最小公倍数。

这两位，听起来有点严肃，但其实它们的关系可有趣了，像一对打打闹闹的兄弟，让我们慢慢来捋一捋。

你想想，最大公因数就像是最强的“拼图块”，它把两个数的共同因素都找出来，找出最大的那个。

而最小公倍数嘛，就像是“团结就是力量”，把两个数的共同倍数都找出来，最小的那个。

所以啊，这俩在一起，就像是麻辣火锅里的豆腐和牛肉，缺一不可。

想象一下，咱们有两个数字，嘿，假设是12和18。

先说最大公因数，咱们来找找这俩数字的“亲戚”。

12的因数是1、2、3、4、6、12，18的因数是1、2、3、6、9、18。

看吧，最大的共同因数就是6。

没错，6就是这俩数的“家长”，把它们紧紧联系在一起，真是个好家长啊，给它们找到了共同的根源。

再来看看最小公倍数，咱们要找的就是12和18的最小倍数。

12的倍数有12、24、36、48……18的倍数有18、36、54……你瞧，最小的共同倍数就是36！这就像是说，兄弟俩有了共同的“舞台”，在36这个时刻一起闪亮登场。

可能有的小伙伴就会问了，哎，这俩有啥关系呢？让我告诉你，最大公因数和最小公倍数之间有个神奇的关系，那就是：这俩数相乘等于最大公因数乘以最小公倍数。

也就是说，12乘以18，结果是216，而6乘以36也是216。

简直是巧合吧，像偶然间碰到的老友，仿佛命中注定要相遇。

数学里就是这么神奇，貌似毫不相干的东西，竟然可以联手搞出这么大的新闻。

我常常想，这就像人生一样。

有时候你觉得两个看似不搭界的人，竟然能在某个时刻产生奇妙的联系。

就像最大公因数和最小公倍数，都是为了更好地理解和解决问题。

听起来有点高大上，但其实就是把复杂的事情简单化，和朋友一起分享生活中的小乐趣。

说到这里，咱们不妨想想，生活中其实也充满了这样的例子。

比如说，团队合作，大家各自带着不同的技能，有的人擅长沟通，有的人擅长分析，结合起来就是最大的力量。

最小公倍数与最大公因数的求法

最小公倍数与最大公因数的求法最小公倍数和最大公因数，听起来像是数学课上那些让人头疼的概念，不过别担心，咱们轻松点儿聊聊。

最小公倍数，简称最小公倍数，其实就是找到几个数共同的倍数，越小越好。

就像找个大家都能接受的时间，约个饭局，大家都好安排。

比如，咱们找 4 和 6 的最小公倍数，4 的倍数有 4、8、12、16，6 的倍数有 6、12、18，嘿，12 是个大家都能接受的选择，最小公倍数就定了。

说到最大公因数，咱们就像在找一群人里能一起干活的那几个，大家干得最起劲儿。

最大公因数，就是能同时整除几个数的最大数。

比如说，8 和 12，这俩数的公因数有 1、2、4，4 就是最大的一个。

想象一下，四个人一起去旅行，大家都能住的地方，就是最大公因数，能同时容得下所有人的那个地方。

找最小公倍数的时候，最简单的办法就是把数列写出来，然后找出最小的那个。

不过，咱们也可以用一种更聪明的方法，叫做“分解质因数”。

这就像拆家，把数拆成最基本的元素。

比如，4 可以拆成2 × 2，6 拆成2 × 3，然后把所有质因数取个最大次数，比如这里的 2 最大出现 2 次，3 最大出现 1 次，最后把它们乘在一起，结果就是 12，哎，这方法简单又高效。

说到最大公因数，咱们同样可以用分解质因数的办法，先把每个数拆解成质因数，然后找出相同的部分。

就像寻找团队里最能干的那几个人，留住最牛的，最终把他们的力量汇聚起来。

比如 8 拆成2 × 2 × 2，12 拆成2 × 2 × 3，嘿，能一起干活的就是2 × 2，最后最大公因数就是 4，找个合适的地方，大家一起把事情做好。

当你在生活中碰到这些数学问题时，别觉得这难上加难。

找最小公倍数和最大公因数其实就像在生活中寻求平衡。

像朋友间的关系，偶尔得妥协，找到一个大家都满意的折中点，才能继续走得更远。

用数学的眼光来看，生活的方方面面都有这些公因数和倍数在潜藏，只是我们未必注意到罢了。

最大公因数和最小公倍数定义

最大公因数和最小公倍数定义最大公因数和最小公倍数是数学中两个重要的概念。

它们可以帮助我们解决许多实际问题，例如求解分数的最简形式、解决整数倍数关系等等。

本文将从定义、性质和求解方法等方面介绍最大公因数和最小公倍数的相关知识。

最大公因数定义两个或多个整数的最大公因数，简称最大公因数，是能够整除每一个给定整数的最大正整数。

最大公因数一般用符号“gcd”表示，例如gcd(a,b)表示整数a和b的最大公因数。

性质最大公因数有以下几个重要性质：1.gcd(a,b) = gcd(b,a)：最大公因数具有交换律。

2.gcd(a,b) = gcd(a-b,b)：欧几里得算法，也称为辗转相除法，利用这一性质求解最大公因数。

3.若c是a和b的公因数，且c是a和b的最大公因数，则c是a和b的最大公因数的倍数。

求解方法求解最大公因数有多种方法，这里介绍两种常用的方法：欧几里得算法和素因数分解法。

欧几里得算法欧几里得算法是一种通过不断求出两个数的余数来迭代计算最大公因数的方法。

算法的步骤如下：1.用较大的数除以较小的数，得到商和余数。

2.用较小的数除以余数，再次得到商和余数。

3.重复上述过程，直到余数为0为止。

4.最大公因数就是最后一次运算中的被除数。

例如，求解gcd(12, 8)：12 ÷ 8 = 1 余 48 ÷ 4 = 2 余 0最大公因数为4。

素因数分解法素因数分解法是通过将两个数分别分解成素数因子的乘积，并取两个数相同部分的乘积作为最大公因数。

算法的步骤如下：1.将两个数分别进行素因数分解，得到各自的素因子乘积。

2.取两个数相同部分的乘积作为最大公因数。

例如，求解gcd(12, 8)：12 = 2² × 38 = 2³相同部分为2²，最大公因数为4。

最小公倍数定义两个或多个整数的最小公倍数，简称最小公倍数，是能够同时整除每一个给定整数的最小正整数。

最小公倍数一般用符号“lcm”表示，例如lcm(a,b)表示整数a和b的最小公倍数。

第九讲最大公因数和最小公倍数(二)(学生)

最大公因数和最小公倍数（二）例1、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪块。

【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。

所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）解：（１）求90和42的最大公约数2 90 423 45 2115 7（90，42）＝60（2）求至少剪多少块正方形铁板90÷6＝1545÷6 ＝715×7＝105（块）答：至少可以剪105块正方形铁板。

练习1、把一块长90厘米宽35厘米的长方形铁板加工成边长是整厘米数。

并面积相等的最大正方形铁片。

并且无剩余，至少可以加工成多少块？2、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？3、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。

问：评出的优秀学生最多有几人？例2、求437和551的最大公约数。

分析：用较大的数除以较小的数，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数。

∴437和551的最大公约数为19。

练习：1、437与323的最大公约数是多少？2、24871和3468的最小公倍数是多少？3、254216933的最简分数是多少？例3、求289，3512，5615的最大公约数。

例4、求289，3512，5615的最小公倍数。

1、求2518、3527、509的最大公约数。

2、求2518、3527、509的最小公倍数。

3、苹果每个重283千克，梨每个重245千克，橘子每个重212千克。

如果苹果、梨、橘子的总重量都相等，苹果、梨、橘子最少各有多少个？思考题：1、动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。

最大公约数、最小公倍数(2)

最大公约数最小公倍数(2)例1 一次会餐供有三种饮料，平均每两人饮用一瓶椰汁，平均每三人饮用一瓶果汁，平均每四人饮用一瓶可乐．这次会餐共饮用这三种饮料65瓶，参加会餐的人数是多少人？例2 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳1.5米，黄鼠狼每次跳1米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始，猎人每隔1.2米设有一个陷阱，当他们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?例3 小明的储蓄盒里存有二十元和五十元的钱．他把这些钱拿了出来，估计有一千多元钱．小明把这些钱分成两堆，这两堆的钱数相等，而且第一堆里二十元和五十元的钱数相等，第二堆里二十元的总钱数与五十元的总钱数相等，问：小明一共存了多少钱?例4 在一根长木棍上，有二种刻度线，第一种刻度线将木棍分成12等分，第二种刻度线把木棍分成15等分，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段?例5 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少?1. 有一个三位数，如果把这个数加上4，就能被4整除；如果把这个数减去5，就能被5整除；如果把这个数乘以6，就能被6整除；如果把这个数除以7，就能被7整除．这个数最小是几?1．从一个三位数中，减去7，则能被7整除，减去8，则能被8整除；减去9，则能被9整除．这个三位数是多少?2. 有若干棵树苗，植树时，如果每行10棵，那么最后一行缺1棵；如果每行9、8、7、6、5、4、3、2棵，最后一行都缺一棵．这批树苗的数量在5000棵左右，这批树苗有多少棵？3．某班学生人数不超过60人，一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等．已知这次测验该班有71的学生得优，31的学生得良，21的学生及格，问该班不及格的学生有多少人？4. 甲每13天去一次公园，乙每15天去同—公园一次，今年，甲3月30日曾去公园，乙4月1日曾去公园，以后他们可在这公园第一次相遇的日期将是几月几日？5. 大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印．问，这个花圃的周长是多少米?6．已知甲、乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数.。

初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数(含答案)

初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数学习目标1.理解和掌握公因数与最大公因数的概念，并会求得两个数的最大公因数；2.理解和掌握互素的概念，掌握互素的两个数的特点；3.理解和掌握公倍数和最小公倍数的概念，并会求得两个数的最小公倍数；4.理解和掌握求三个数最小公倍数的方法.核心知识一、公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、如果2个整数只有公因数1，那么这两个数互素。

两数互素是指两个数的最大公因数是1这样一种关系。

它和素数、素因数是不同的概念，不要混淆。

判断：只有2个数都是素数才能互素，对吗？错。

比如：4和9。

两数互素，这两个数一般有以下四种情况；（1）素数和素数（19和23）；（2）素数和合数（13和14）；（3）合数和合数（21和22）；（4）1和任何正整数（1和100）3、求两个数最大公因数的常用方法有：列举法、分解素因数法、短除法。

运用规律法：规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是 1.如果两个数满足上面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数。

辗转相除法：求36和84的最大公因数3 36 84 236 720 12上面式子的意思是：84除以36，商是2（写在右边），36×2=72（写在被除数84下方），余数是12，再用36除以12，商是3（写在左边），12×3=36（写在被除数36下方），余数是0，这样，最后的除数12就是36和84的最大公因数。

像上面这种求两个数的最大公因数的方法就是辗转相除法。

求：280和160的最大公因数。

1 280 160 1160 1203 120 40120所以，280和160的最大公因数是40.求三个数的最大公因数：用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？你能用几种方法求解？你觉得哪种方法更快捷呢？用短除法求解可得：18、24、60的最大公因数是2×3=6，所以这个数最大是6.4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。

最大公因数与最小公倍数(2)

最大公因数与最小公倍数（2）知识要点两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

用字母表示为：（a,b ）×[a,b]＝ab复习1、一个六位数586□□□——————————能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个。

2、在□内填上合适的数字，使□679□————————能同时被8、9整除。

3、六位数15AB C6———————能被36整除，而且所得商最小，问A 、B 、C 的值各是多少？4、在□内填上适当的数字，使六位数1999□□￣￣￣￣￣￣￣￣能被66整除。

5、已知整数1x2x3x4x5￣￣￣￣￣￣￣￣￣能被11整除。

求所有满足这个条件的整数。

6、已知六位数□8919□￣￣￣￣￣￣￣￣能被33整除，那么这个六位数是多少？例题1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？2、已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？3、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是多少？4、两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？5、已知两个自然数的乘积是5766，它的最大公因数是31，这两个自然数分别是多少？6、用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？7、被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？8、一个人有1角，1元，拾元的钞票共18张，其中1角与拾元的钞票的张数之和与1元的钞票的张数相等，此人用这些钱买7角钱一袋的花生米，正好用完，他共有多少钱？9、一个学校有五年级的学生在200至300之间，在排成队列时，若3人一排余1人，5人一排余2人，7人一排余3人，该校共有五年级学生多少人？10、一支队伍不超过1000人，列队时按2人，3人，4人，5人和6人排一排，最后一排都缺1人，改为7人一排正好，这支队伍有多少人？11、爷爷对小明说：我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，在过若干年就是你的5倍，4倍，3倍，2倍。

学生版第七讲因数与倍数(公因数和公倍数(二)

第七讲因数与倍数（公因数和公倍数（二）【知识概述】这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。

定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d)=1。

定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。

即[a,b]×（a,b）=a×b。

定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。

例题精学例1252，其中一个数是28，另一个数是多少【思路点拨】设一个数为A显然，7和a互质，否则4就不是最大公因数，那么252=4×7×a，a=9，A=4×9=36。

另外，我们可以根据定理：[a,b]×（a,b)=a×b。

求得4×252÷28=36。

1.某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少2.甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。

3.四个连续奇数的最小公倍数为6435，这四个奇数中最大的一个为多少例2 两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。

【思路点拨】若（A，B）=d，可以假设A=ad，B=bd,那么a和b互质，即（a,b)=1。

在本题中，由于已知两数的最大公因数为5，故可设一个数为5a，另一个数为5b，(a,b)=1。

又因为这两个数的和为50，这样可以得到5a+5b=50，5（a+b)=50，a+b=10。

根据a与b互质，我们不难得到a=1,b=9或a=3，b=7。

这样可以求出这两个数是5×3=15和5×7=35或5×1=5或5×9=45。

它们的差也就好求了。

1.两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。

2.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。

3.两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少。

三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式

三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式公因数和最小公倍数是数学中基础的概念之一，它们在数论、代数、几何等多个领域中都有广泛的应用。

本文将探讨三个数的最大公因数（简称最大公约数）与最小公倍数之间的关系公式，进一步解析它们的数学特征和性质。

首先，我们先来看一下最大公约数和最小公倍数的定义及性质。

最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。

而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则表示能够被两个或多个整数整除的最小正整数。

我们用a、b和c表示三个整数，它们的最大公约数用符号gcd(a, b, c)表示，最小公倍数用符号lcm(a, b, c)表示。

首先，我们来探讨最大公约数和最小公倍数两者之间的关系。

可以通过以下公式来表示：gcd(a, b, c) * lcm(a, b, c) = |a * b * c|其中，|a * b * c|表示a、b和c的绝对值的乘积。

这个公式的证明可通过分解质因数的方法进行。

我们知道，任意一个整数都可以分解为若干个质数的乘积，而质数的定义是只能被1和自身整除的整数。

假设a、b和c的质因数分别为p1、p2、...、pn、q1、q2、...、qm和r1、r2、...、rk，其中p、q和r分别代表不同的质数。

由于质因数是唯一的，所以在a、b和c的质因数分解中，每个质因数只会出现一次。

那么，a、b和c的绝对值乘积即为p1^α1 * p2^α2 * ... *pn^αn * q1^β1 * q2^β2 * ... * qm^βm * r1^γ1 * r2^γ2* ... * rk^γk，其中α、β和γ表示不同质因数出现的次数。

接下来，我们来看最大公约数和最小公倍数的定义。

最大公约数表示同时整除a、b和c的最大正整数，即gcd(a, b, c) = p1^min(α1, β1, γ1) * ... * pk^min(αk, βk, γk)，其中min表示取最小值。

最大公倍数和最小公因数概念

最大公约数和最小公倍数一、最大公约数1. 最大公约数的定义：最大公约数，也被称为最大公因数，是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

例如，12和15的最大公约数是3。

2. 最大公约数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果gcd(a, b)存在，那么gcd(a, b)是唯一的。

（2）如果a和b都是合数，那么gcd(a, b)可能大于1。

（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。

即：a ×b = gcd(a, b) ×lcm(a, b)。

3. 最大公约数的求法：（1）辗转相除法：这是求最大公约数的一种常用方法。

它是通过不断将较大的数除以较小的数，同时记录余数，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。

例如，用辗转相除法求12和15的最大公约数：15÷12=1…3，12÷3=4…0，所以最大公约数是3。

（2）欧几里得算法：这是一种基于辗转相除法的更高效的算法，可以在对数时间内计算出最大公约数。

它的基本思想是：对于任意两个非负整数a和b，如果b是0，那么a就是最大公约数；否则，最大公约数就是a对b的余数和b的最大公约数。

例如，用欧几里得算法求12和15的最大公约数：gcd(12, 15)=gcd(15, 12%15)=gcd(15,3)=gcd(3, 0)=3。

二、最小公倍数1. 最小公倍数的定义：最小公倍数，也被称为最小公因数，是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。

例如，6和9的最小公倍数是18。

2. 最小公倍数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果lcm(a, b)存在，那么lcm(a, b)是唯一的。

（2）如果a和b都是合数，那么lcm(a, b)可能大于它们的最大公约数。

（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。

找最大公因数和最小公倍数的几种方法

找最大公因数和最小公倍数的几种方法最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们分别用于求两个或多个数之间的共同约数和共同倍数。

下面我将为你介绍最大公因数和最小公倍数的几种计算方法。

一、最大公因数的计算方法：1.1质因数分解法：最大公因数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的共同质因数，然后将这些质因数相乘得到最大公因数。

例如，求30和45的最大公因数：30=2×3×545=3×3×5它们的共同质因数是3和5，相乘得到最大公因数为151.2辗转相除法：辗转相除法又称为欧几里德算法，通过反复用两个数的较小数去除较大数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时较小的那个数就是最大公因数。

例如，求56和72的最大公因数：72÷56=1余1656÷16=3余816÷8=2余0因此，最大公因数为81.3短除法：短除法是一种直观简便的方法，它通过反复用一个数去除另一个数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时最后一次相除的除数就是最大公因数。

例如，求64和96的最大公因数：96÷64=1余3264÷32=2余0因此，最大公因数为32二、最小公倍数的计算方法：2.1质因数分解法：最小公倍数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的所有质因数，并将每个质因数的最大次数相乘得到最小公倍数。

例如，求6和10的最小公倍数：6=2×310=2×5它们的所有质因数是2、3和5，它们的最大次数分别是1、1和1，因此最小公倍数为2×3×5=30。

2.2公式法：最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公因数来计算。

例如，求12和15的最小公倍数：最大公因数为3，乘积为12×15=180最小公倍数=乘积÷最大公因数=180÷3=602.3短除法：短除法也可以用于计算最小公倍数。

求最大公因数和最小公倍数的方法

求最大公因数和最小公倍数的方法
一、求最大公因数的方法。

1. 辗转相除法。

辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公因数的一种常用方法。

具体步骤如下：
（1）用较大数除以较小数，得到余数；
（2）用较小数除以余数，再得到新的余数；
（3）继续用新的余数去除上一步的余数，直到余数为0；
（4）此时，除数就是最大公因数。

2. 素因数分解法。

素因数分解法是将两个数分别进行素因数分解，然后将它们共有的素因数相乘，即可得到最大公因数。

二、求最小公倍数的方法。

1. 素因数分解法。

求最小公倍数的一种常用方法是素因数分解法。

具体步骤如下：（1）将两个数分别进行素因数分解；
（2）将它们的素因数分别列出来；
（3）将它们共有的素因数和非共有的素因数分别相乘，即可得
到最小公倍数。

2. 最大公因数和最小公倍数的关系。

最大公因数和最小公倍数之间有着重要的数学关系，即两个数
的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

这一性质
在实际问题中有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解和运用最
大公因数和最小公倍数。

三、总结。

通过本文的介绍，我们了解了求最大公因数和最小公倍数的几种常用方法，包括辗转相除法、素因数分解法等。

这些方法在实际问题中有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解和运用最大公因数和最小公倍数。

希望本文能够对大家有所帮助，更好地掌握这一数学概念。

第五讲最大公因数与最小公倍数(二)解答【五竞】

第九讲最大公因数与最小公倍数(二) 知识导航因数和倍数在小学数学竞赛中占有重要的地位。

这一讲我们来继续学习有关因数与倍数更深入的知识，研究最大公因数、最小公倍数与原数的关系。

定理1:两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

即如果((a} b)=d，那(a÷d,b÷d)=1.定理2:两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。

(a，b)×[a,b」=ab.定理3:两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。

定理4:一个数的因数个数等于该数的相同质因数的个数加1的和的乘积。

如48=24×3,48的因数有(4+1)×(1+1)=10个。

典型例题例1:两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18,最小公倍数是216。

这两个数是多少?【分析】设这两个数为A和B，且A=18a,B=18b，a、b互质。

得18ab=216,ab=12.因为a与b互质且不成倍数关系，12=3×4.A=18×3=54; B=18×4=72;答：这两个数是54和72.例2:两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。

【分析】设这两个数为A和B，且A=13a,B=13b，a、b互质。

得13a×13b=2028,169ab=2028.ab=12,因为a与b互质且两个数小于150，12=3×4.A=13×3=39; B=13×4=52;答：这两个数是39和52.例3:两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少?【分析】设这两个数为A和B，且A=6a,B=6b，a、b互质。

根据最小公倍数是420，得6ab=420,ab=70.因为a与b互质，70=1×70=2×35=5×14=7×10.根据两数差是18得：6a-6b=18，a-b=3, a=10,b=7A=6×10=60; B=6×7=42;答：这两个数是60和42.例4:甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126。

§2最大公因数与最小公倍数——数论入门知识讲解系列

最大公因数与最小公倍数02-03最大公因数与最小公倍数

選擇1.題號：9302789 難易度：中能力指標：N-3-20 （）設L為180和126之最小公倍數，且L之標準分解式為2a×3b×5c×7d，則a＋b＋c＋d＝？(A) 5 (B) 6(C) 7 (D) 8《答案》B2.題號：9302790 難易度：難能力指標：N-3-20 （）設a、b為整數，a＝3×52×73，且(a , b)＝35，則b可以是下列哪一個數？(A) 65 (B) 70(C) 105 (D) 175《答案》B3.題號：9302791 難易度：易能力指標：N-3-20 （）若a＝23×5×7、b＝22×3×7，則(a , b)＝？(A) 22×3×5(B) 22×7(C) 23×3×5(D) 23×3×52×7《答案》B4.題號：9302792 難易度：易能力指標：N-3-20 （）設a＝23×32×5×13，則下列哪一個不是a的因數？(A) 23×3(B) 3×5×13(C) 23×3×52(D) 2×3×5×13《答案》C5.題號：9302793 難易度：易能力指標：N-3-20 （）21×32×53與22×32×5之最小公倍數等於多少？(A) 2×3×5(B) 2×32×5(C) 22×32×53(D) 34×54《答案》C6.題號：9302794 難易度：難能力指標：N-3-20 （）從10到50的整數中，以4除之餘2，以6除之餘2的有幾個？(A) 1個(B) 2個(C) 3個(D) 4個《答案》D7.題號：9302795 難易度：難能力指標：N-3-20 （）設a、b為整數，a＝15且[a，b]＝135，則b可以是下列哪一個數？(A) 33(B) 32×5(C) 3×52(D) 53《答案》A8.題號：9302796 難易度：難能力指標：N-3-20 （）已知P＝32×50×121、Q＝25×53×133，則下列何者正確？(A) 26×52為P與Q之公因數(B) 25×53為P與Q之最大公因數(C) (2×5×11×13)6為P與Q之公倍數(D)25×52×112×133為P與Q之最小公倍數《答案》C29. 題號：9302797 難易度：中能力指標：N-3-20（）兩數289和357的公因數共有多少個？(A) 1個 (B) 2個(C) 3個 (D) 4個《答案》B10. 題號：9302798 難易度：難能力指標：N-3-20（）已知P ＝24×33×53×11，P 的因數有160個，今將P 的因數由小到大依序排列為a 1＜a 2＜a 3＜……＜a 160，則下列敘述何者正確？甲：23×33×54為P 的因數乙：a 1＝2 丙：a 3＝3丁：a 160＝24×33×53×11 (A) 甲、乙 (B) 僅有甲 (C) 丙、丁 (D) 乙、丙《答案》C11. 題號：9302799 難易度：易能力指標：N-3-20（）52×7與22×52×73的最大公因數是下列哪一個？ (A) 1 (B) 52×7(C) 2×5×7 (D) 22×52×73 《答案》B12. 題號：9302800 難易度：中能力指標：N-3-20（）525和34300的最小公倍數為何？(A) 52×7 (B) 52×73 (C) 2×3×52×7(D) 22×3×52×73《答案》D13. 題號：9302801 難易度：易能力指標：N-3-20（）已知22×3與2×32的最大公因數為a ，最小公倍數為b ，則a ＋b 之值為何？ (A) 42 (B) 84(C) 48 (D) 222《答案》A14. 題號：9302802 難易度：難能力指標：N-3-20（）設二整數之公因數中有一為12，公倍數中有一為360，現已知其中一數為60，則另一數不可能為何？ (A) 24 (B) 36 (C) 63 (D) 72《答案》C15. 題號：9302803 難易度：中能力指標：N-3-20（）某工廠因機器運轉之因素，必須天天有人投入生產，於是採輪休制，康康每上班4天休息1天，軒軒每上班3天休息1天，若兩人8月1日同一天休息，則下列哪一日子也會同一天休息？ (A) 8月12日 (B) 8月13日 (C) 8月20日 (D) 8月21日《答案》D16. 題號：9302804 難易度：難能力指標：N-3-20（）525與34300的最大公因數是下列哪一個？(A) 1 (B) 175 (C) 210 (D) 102900《答案》B17. 題號：9302805 難易度：中能力指標：N-3-20（）已知23×3與2×33的最大公因數為a ，最小公倍數為b，則[a , b]＝？(A) 42 (B) 84(C) 108 (D) 216《答案》D18.題號：9302806 難易度：中能力指標：N-3-20 （）125和3430的最小公倍數為何？(A) 52×7(B) 52×73(C) 2×53×73(D) 22×3×53×73《答案》C19.題號：9302807 難易度：難能力指標：N-3-20 （）840、720、1200的公因數個數共有多少個？(A) 12個(B) 20個(C) 16個(D) 18個《答案》C20.題號：9302808 難易度：中能力指標：N-3-20 （）已知a＝2n×3×5，若40為a的因數，但48不是a的因數，則n＝？(A) 2 (B) 3(C) 4 (D) 5《答案》B21.題號：9302809 難易度：難能力指標：N-3-20 （）下列哪一組數的最大公因數不是174?(A) (2262 , 522)(B) (522 , 1914)(C) (2088 , 3654)(D) (1218 , 2088)《答案》C22.題號：9302810 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列哪一個分數是最簡分數？(A)11977(B)3926(C)1625(D)1421《答案》C23.題號：9302811 難易度：中能力指標：N-3-20 （）若a＝6×10×15，b＝8×12×15，則[a , b]＝？(A) 22×32×52(B) 25×32×52(C) 24×33×52(D) 28×34×53《答案》B24.題號：9302812 難易度：難能力指標：N-3-20 （）設a為2184與1764的最大公因數，則a的質因數個數為何？(A) 3個(B) 4個(C) 5個(D) 6個《答案》A25.題號：9302813 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列何者為最簡分數？(A)11934(B)143121(C)5738(D)5126《答案》D26.題號：9302814 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列敘述何者正確？(A) 任意兩個質數一定互質(B) 兩個連續整數的和一定是質數(C) 所有的整數不是質數就是合數4(D) 每個質數加上1一定是合數《答案》A27. 題號：9302815 難易度：易能力指標：N-3-20（）72與108的公因數共有多少個？(A) 7個 (B) 8個 (C) 9個 (D) 10個《答案》C28. 題號：9302816 難易度：易能力指標：N-3-20（）下列何者為32×7與3×52的公因數？(A) 3×5 (B) 3×7 (C) 5×7 (D) 3《答案》D29. 題號：9302817 難易度：中能力指標：N-3-20（）觀察下邊的短除法，判斷下列敘述何者正確？(A) c 是a 、b 的公因數 (B) g 是a 、b 的公因數 (C) h 是a 、b 的公因數(D) a×b ＝c×f×g×h《答案》A30. 題號：9302818 難易度：中能力指標：N-3-20（）有一個農場，原本預計在其周圍每隔8公尺立一根木樁來圍鐵絲網，後來發現木樁數目不夠，所以改成每12公尺立一根木樁，那麼每隔幾公尺就有一根木樁不必移動？(A) 8公尺 (B) 12公尺(C) 4公尺 (D) 24公尺《答案》D31. 題號：9302819 難易度：易能力指標：N-3-20（）李老師將一年十班的作業，按每6本一疊或每7本一疊，都會剛好疊完而沒有剩餘，則下列何者可能是該班的學生人數？(A) 36人 (B) 38人(C) 40人 (D) 42人《答案》D32. 題號：9302820 難易度：中能力指標：N-3-20（）已知甲、乙、丙三人分別每10天、20天、15天到圖書館一次，若某星期日三人同一天到圖書館，則下一次三人同一天到圖書館是星期幾？ (A) 星期一 (B) 星期二 (C) 星期三 (D) 星期四《答案》D33. 題號：9302821 難易度：中能力指標：N-3-20（）天文觀測中，某生發現甲恆星於3月3日出現後每隔4天會出現一次，乙恆星於3月10日出現後每隔9天會出現一次，已知3月19日甲、乙兩恆星會在何日同時出現？ (A) 4月1日 (B) 4月6日 (C) 4月24日 (D) 5月29日《答案》C34. 題號：9302822 難易度：易能力指標：N-3-20（）下列哪一組的兩個數互質？(A) 22×33×7、52×11×13 (B) 3×112×13、5×7×132 (C) 5×72×11、52×7×11 (D) 22×3×72、22×3×72《答案》A35.題號：9302823 難易度：易能力指標：N-3-20 （）在「25、26、27、28」四個數中，哪一個數與24互質？(A) 25 (B) 26(C) 27 (D) 28《答案》A36.題號：9302824 難易度：中能力指標：N-3-20 （）下列何者與600的最大公因數是20？(A) 225 (B) 340(C) 780 (D) 850《答案》B37.題號：9302825 難易度：易能力指標：N-3-20 （）下列何者為23×32×5、22×33×7與22×32×52的最大公因數？(A) 22×33(B) 22×32(C) 23×32(D) 23×33×5《答案》B38.題號：9302826 難易度：易能力指標：N-3-20 （）已知h＝24×32×72、k＝924，則[h，k]＝？(A) 22×3×7(B) 24×32×72×11(C) 24×32×11(D) 24×32×72×112《答案》B39.題號：9302828 難易度：中能力指標：N-3-20 （）有一個三角形公園，各邊的距離分別是150公尺、120公尺、90公尺，今小逸想在其周圍種樹，且希望相鄰的兩棵樹之間的距離相等。

最大公因数-最小公倍数-练习题2

最大公因数和最小公倍数一、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数(1) 4和6的最大公因数是；最大公倍数是；(2) 9和3的最大公因数是；最大公倍数是；(3) 9和18的最大公因数是；最大公倍数是；(4) 11和44的最大公因数是；最大公倍数是；(5) 8和11的最大公因数是；最大公倍数是；(6) 1和9的最大公因数是；最大公倍数是；(7) 已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×7，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是；(8)已知A＝2×3×5×5，B＝3×5×5×11，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是。

1.在17、18、15、20和30五个数中，能被2整除的数是（）；能被3整除的数是（）；能被5整除的数是（）；能同时被2、3整除的数是（）；能同时被3、5整除的数是（）；能同时被2、5整除的数是（）；能同时被2、3、5整除的数是（）。

2.在20以内的质数中，（）加上2还是质数。

3.如果有两个质数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。

4.把330分解质因数是（）。

5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，百位上的数比十位上的数大9，这个数是（）。

6.在50以内的自然数中，最大的质数是（），最小的合数是（）。

7.既是质数又是奇数的最小的一位数是（）。

二、判断题1.两个质数相乘的积还是质数。

（）2.成为互质数的两个数，必须都是质数。

（）3.任何一个自然数，它的最大约数和最小倍数都是它本身。

（）4.一个合数至少得有三个约数。

（）5.在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。

（）6.12是36与48的最大公约数。

（）三、选择题1.15的最大约数是（），最小倍数是（）。

①1 ②3 ③5 ④152.在14＝2×7中，2和7都是14的（）。

①质数②因数③质因数3.有一个数，它既是12的倍数，又是12的约数，这个数是（）。

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把所有的除数和商乘起来．
用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数的计算方法：
用短除法求两个数的最大公因数或最小公倍数，一般都用两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。
把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的
最大公因数。把所有的除数和最后的两个商连乘起来
就得到这两个数的最小公倍数。作业：自己任意出2个非0自然数，求出它们的最大公因数和最小公倍数。
例题求28和42的最大公因数和最小公倍数
2 28 42 7 14 21 23
28和42的最大公因数 2×7＝14
28和42的最小公倍数 2×7×2×3＝84
总数
用短除的形式分解质因数，直到两个商是互质数为止．
把所有的除数乘起来．
求两个数的最小公倍数
同左
人教版五年级下册数学
.
用这一种方法还能求最小公倍数。短除法：求最大公因数
先同时除以公因数2 2 12 18
再同时除以公因数3 3 6 9
除到两个商，只
有公因数1为止.
23
商
把所有的除数连乘, 得到12和18的最大公因数是2×3 = 6 把所有的除数和最后的两个商连乘,
得到12和18的最小公倍数是： 2×3×2×3 = 36.
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