高斯光束学习笔记
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电动力学四七(高斯光束)
2 f 2 = ikf '
2 fg = ikg '
7
若这两方程有解， 若这两方程有解，就表示我们所设的尝试解 是一个正确的解。这解与横截面坐标x， 有 是一个正确的解。这解与横截面坐标 ，y有 关的部分完全含于高斯函数中， 关的部分完全含于高斯函数中，其他因子仅 的函数。 为z的函数。 的函数
1 f (z ) = 2i A+ z k
2 θ≈ kw0
∆k⊥⋅w=Ο(1)，表示波的空间分布宽度与波失横向宽度 ， 之间的关系，是波动现象的一个普遍关系。 之间的关系，是波动现象的一个普遍关系。只有无限 宽度的平面波才具有完全确定的波矢，任何有限宽度 宽度的平面波才具有完全确定的波矢， 的射束都没有完全确定的波矢 .
16
以上我们分析了一种最简单的波模。 以上我们分析了一种最简单的波模。射束还可以 有其他波模。有些波模的径向分布不是简单高斯函数， 有其他波模。有些波模的径向分布不是简单高斯函数， 另一些波模不具有轴对称性。 另一些波模不具有轴对称性。这些波模的特点都是在 横截面上含有一些波节（场强为零之点）， ），因而在横 横截面上含有一些波节（场强为零之点），因而在横 截面上光强显示出明暗相间的图样。 截面上光强显示出明暗相间的图样。正如在波导中的 一般波动中波模的叠加一样， 一般波动中波模的叠加一样，一般射束也可以分解为 各种波模的叠加。 各种波模的叠加。具体情况系下产生的射束的形状由 激发条件决定。 激发条件决定。
则f(z)可写为 可写为
2iz f (z ) = 2 1 − 2 w (z ) kw0 1
高斯函数为
e − f ( z )( x
2
+y
2
x2 + y2 2iz ) = exp − 1 − 2 2 w (z ) kw0
3.10_高斯光束的传输与透镜变换
二、高斯光束通过薄透镜的变换
联系：如果ω0→0（即f→0），或（l-F）2＞＞f2，
则有： l ' F F 2 lF F 2 F 2 lF
lF
lF
lF
即：
1 lF 1 1 l ' lF F l
1 1 1 l l' F
这正是几何光学成像公式。
（l-F）2＞＞f2，意味着物高斯光束束腰与透镜后焦 面相距足够远。
1. 普通球面波
V的符号规定： 如果像点在透镜右方，v取正号； 如果像点在透镜左方，v取负号。 一个薄透镜的作用，是将距它u处的物点O聚成像
点O’，u与v满足： 1 1 1 uv F
二、高斯光束通过薄透镜的变换
1. 普通球面波 由于R1=u，R2=-v，则有：
111
R1 R2 F
一个薄透镜的作用，是将它左侧的曲率半径 为R1的球面波改造成右侧的曲率半径为R2的球面 波，R1与R2满足上式。
(z) 0
1 (
z )2 f
0
1
z
2
(02
)2
可见：
①高斯光束R(z)的变化规律与普通球面波不同；
②对高斯光束，除R(z)的变化，还有ω(z)的变化。
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
R(z1)
z
f2 z
z 1 (02 )2 z
(z) 0
1 (
z f
)2
0
1 z2( )2 02
一、高斯光束在空间的传输规律
即：
q(z) q(0) z q(z1) q(0) z1 q(z2 ) q(0) z2 q(z2 ) q(z1) (z2 z1)
与普通球面波在形式上是相同的。
10第二章-5 高斯光束的基本性质及特征参数
§2.9 高斯光束的基本性质及特征参数 • 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
c r2 r2 z 00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2R f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
0
§2.11 高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
•目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0 F一定时， 0随l变化的情况
l<F，
0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，
1
2 0 1 F 2
0 k 0
1 f 1 F
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律
• 用q参数分析高斯光束的传输问题
一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L • 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式) 1 1 1 R2 R1 F AR B
f ,0
2 0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面的曲率半径
z 2 ( z) 0 1 ( ) f
f 2 z f f R R( z ) z[1 ( ) ] f ( ) z z f z z
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i(m) 2 i 4 1 5
c r2 r2 z 00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2R f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
0
§2.11 高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
•目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0 F一定时， 0随l变化的情况
l<F，
0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，
1
2 0 1 F 2
0 k 0
1 f 1 F
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律
• 用q参数分析高斯光束的传输问题
一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L • 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式) 1 1 1 R2 R1 F AR B
f ,0
2 0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面的曲率半径
z 2 ( z) 0 1 ( ) f
f 2 z f f R R( z ) z[1 ( ) ] f ( ) z z f z z
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i(m) 2 i 4 1 5
第四章高斯光束光学详解
波动方程的近轴解
沿坐标z方向传播的高斯光束虽然不是平面波，但光波的复振幅 可以近似表达如下：
u(x, y, z) = U (x, y, z)eikz 式中 U (x, y, z) 为坐标轴z的缓慢变化的函数， k 为传播常数， eikz 表示沿坐标z方向迅速变化的相位项, U (x, y, z) 则为坐标z的
=
A0
W0 W (z)
exp[−
W
r
2
2
(
z)
]
exp[ikz
+
ik
r2 2R(z)
+
iφ ]
其中
W (z)
= W0[1+
(
z z0
)2 ]1/ 2
=
W0[1+
( λz πW02
)2 ]1/ 2
z点的光斑尺寸
R(z) = z[1+ ( z0 )2 ] = z[1+ (πW02 )2 ]
z
λz
z处的波阵面的半径
z = ±z0 φ(z) = ±π / 4
பைடு நூலகம்
z → ±∞ φ(z) → ±π / 2
高斯光束参数间的关系
光束尺寸 波面半径 可以得到
W (z)
=
W0[1+
(
z z0
)2 ]1/ 2
= W0[1+
λz
(
πW0
2
)2 ]1/ 2
R(z) = z[1+ ( z0 )2 ] = z[1+ (πW02 )2 ]
q(z)
2q(z)
当 ξ 为复数时上式仍然是亥姆霍兹方程的解，但具有非常不同的特性，
称为高斯光束，上式表示高斯光束的复数包络。
沿坐标z方向传播的高斯光束虽然不是平面波，但光波的复振幅 可以近似表达如下：
u(x, y, z) = U (x, y, z)eikz 式中 U (x, y, z) 为坐标轴z的缓慢变化的函数， k 为传播常数， eikz 表示沿坐标z方向迅速变化的相位项, U (x, y, z) 则为坐标z的
=
A0
W0 W (z)
exp[−
W
r
2
2
(
z)
]
exp[ikz
+
ik
r2 2R(z)
+
iφ ]
其中
W (z)
= W0[1+
(
z z0
)2 ]1/ 2
=
W0[1+
( λz πW02
)2 ]1/ 2
z点的光斑尺寸
R(z) = z[1+ ( z0 )2 ] = z[1+ (πW02 )2 ]
z
λz
z处的波阵面的半径
z = ±z0 φ(z) = ±π / 4
பைடு நூலகம்
z → ±∞ φ(z) → ±π / 2
高斯光束参数间的关系
光束尺寸 波面半径 可以得到
W (z)
=
W0[1+
(
z z0
)2 ]1/ 2
= W0[1+
λz
(
πW0
2
)2 ]1/ 2
R(z) = z[1+ ( z0 )2 ] = z[1+ (πW02 )2 ]
q(z)
2q(z)
当 ξ 为复数时上式仍然是亥姆霍兹方程的解，但具有非常不同的特性，
称为高斯光束，上式表示高斯光束的复数包络。
《电动力学第三版》chapter4_7高斯光束
面. 即在光束腰部处,波阵面是与z轴垂直的平面.
距腰部远处, 当 z k02 时, /2,因此在讨论
远处等相面时可略去 项. 远处等相面方程为
z x2 y2 常数 2z
1
由于当 z2>>x2＋y2时,
1x2z2y2
2
1x2 y2 2z2
等相面方程可写为
1
z1
x2 y2 z2
2
常数
或
r x2y2z2 常数
因此,在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面. 波 阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状 .
在远处(z >>k02)
z 2z
k0
波束的发散角由tan=/z
确定, 由上式得
2 k 0
注意当0愈小时,发散角愈大. 因此如果要求有良好 的聚焦(0小) ,则发散角必须足够大; 如果要求有良好的 定向(小) ,则宽度0不能太小.
例：0=1000时 , =(103/) rad.
偏离轴向的波矢横向分量为 kk ,满足 k =(1). 这
表示波的空间分布宽度与波矢横向宽度之间的关系 ,是波动现象 的一个普遍关系. 只有无限宽度的平面波才具有完全确定的波矢 , 任何有限宽度的射束都没有完全确定的波矢 .
以上我们分析了一种最简单的波模. 射束还可以有其他波模. 有些波模的径向分布不是简单高斯函数 ,另一些波模不具有轴 对称性. 这些波模的特点都是在横截面上含有一些波节(场强为 零之点) ,因而在横截面上光强显示出明暗相间的图样. 正如在 波导中的一般波动诗歌中波模的叠加一样,一般射束也可以分解 为各种波模的叠加. 具体情况系下产生的射束的形状由激发条 件决定.
g u0
1
2i kA
z
距腰部远处, 当 z k02 时, /2,因此在讨论
远处等相面时可略去 项. 远处等相面方程为
z x2 y2 常数 2z
1
由于当 z2>>x2＋y2时,
1x2z2y2
2
1x2 y2 2z2
等相面方程可写为
1
z1
x2 y2 z2
2
常数
或
r x2y2z2 常数
因此,在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面. 波 阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状 .
在远处(z >>k02)
z 2z
k0
波束的发散角由tan=/z
确定, 由上式得
2 k 0
注意当0愈小时,发散角愈大. 因此如果要求有良好 的聚焦(0小) ,则发散角必须足够大; 如果要求有良好的 定向(小) ,则宽度0不能太小.
例：0=1000时 , =(103/) rad.
偏离轴向的波矢横向分量为 kk ,满足 k =(1). 这
表示波的空间分布宽度与波矢横向宽度之间的关系 ,是波动现象 的一个普遍关系. 只有无限宽度的平面波才具有完全确定的波矢 , 任何有限宽度的射束都没有完全确定的波矢 .
以上我们分析了一种最简单的波模. 射束还可以有其他波模. 有些波模的径向分布不是简单高斯函数 ,另一些波模不具有轴 对称性. 这些波模的特点都是在横截面上含有一些波节(场强为 零之点) ,因而在横截面上光强显示出明暗相间的图样. 正如在 波导中的一般波动诗歌中波模的叠加一样,一般射束也可以分解 为各种波模的叠加. 具体情况系下产生的射束的形状由激发条 件决定.
g u0
1
2i kA
z
2.6 高斯光束基本性质及特征参数详解
a、光腰半径
x方向：m2 2m 102 02 y方向：n2 2n 102 02
b、z处光斑半径
x方向： m2z 2m 1z2 z2 y方向： n2z 2n 1z2 z2
(5) 远场发散角
x方向： m
lim
z
2m z
z
y方向：
n
lim
z
2n z
z
2m 1 2 0
2n 1 2 0
1
2
z
R
z 1
R z w2 z
2
1
00 x,
y, z
c
wz
exp
ik
r2 2
1
Rz
i w2 z
e
i
kztg
1
z f
1
qz
1
Rz
i
2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和 z
1
Rz
Re q1z
1
2 z
Im
q
1
z
特例：
自由空间为例
r2 Ar1 B1 近轴光 ,
2 Cr1 D1 r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
—ABCD公式
二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输规律的对应
描述 传播
普通球面波 曲率半径
R2
AR 1 CR 1
B D
高斯光束
2.9 高斯光束基本性质和特征参数
在高斯近似下，稳定腔和共焦腔都输出高斯光束，对方形镜和 圆形镜腔，分别是厄米—高斯(高阶或基模)和拉盖尔—高斯(高 阶或基模)光束。
11-12讲 高斯光束
+ z0 )
与上式相比，位相之差一常数。 与上式相比，位相之差一常数。 Z>0处波阵面是球面，曲率半径 处波阵面是球面， 处波阵面是球面
πW02 2 R ( z 0 ) = z 0 1 + ( ) > z0 > 0 zλ
x R(z) z W0 W(z0) y W(z) z
为有限大小的高斯光束，无论F 对w01为有限大小的高斯光束，无论 和z1如何取都不可能使 w02→∞，也不可能使 2→0，说明单个透镜不能将 高斯光束变换 ，也不可能使θ ， 成平行光束。 成平行光束。
方向性，提高准直性， 单透镜可以改善高斯光束的 方向性，提高准直性， 就有θ 尽可能使w 当w01 > w02，就有 2 <θ1,尽可能使 02达到极大值 尽可能使
x θ R(z) z W0 W(z0) y W(z) z
在z=0处，发散角为 ，光斑最小 0称为腰斑，远离腰束光斑逐 处 发散角为0，光斑最小W 称为腰斑， 渐增大， 增大而增大。 渐增大，W(z) 随z增大而增大。 增大而增大
dW ( z ) 2 zλ 2θ = 2 = πW0 dz
当z=0时，2θ=0，平面波 时 ，
平面波
A0 E(x, y,0) = A(x, y, z = 0) = e W0
r2 − 2 W0
表明和 ， 坐标相关的相位部分消失了 坐标相关的相位部分消失了， 的平面是等相位面， 表明和x，y坐标相关的相位部分消失了，即z=0的平面是等相位面， 的平面是等相位面 和平面光波一样， 和平面光波一样，振幅部分是高斯函数
W01 W02 = = 2 f W01 2 1 + ( )2 1+ ( ) F λF
W01
高斯光束的传输变换学习笔记
0
1
R1( z ) o
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
z2 z
曲率半径满足：
L
1 1 1 R2(z) R1(z) F
R2(z)
R1 R1 / F
1
1
1/
F
0
1
F
将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面
波的传播规律：
R2(
z)
AR1( z ) CR1( z )
B D
R1(z)
R2
i
2 1
R2为等相位面曲率半径，由球面 波球率半径的变换公式可得：
1 R1
1 F
i
2 1
1 q1( z )
1 F
高斯光束通过薄透镜的传输
通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，
可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R 相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半 径；
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用
光线矩阵表示出来：
q2(
z)
Aq1( z ) Cq1( z )
B D
由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的
具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述
一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将
主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
2
1
高斯光束的ABCD法则
3、用q参数表示
1 由q参数的定义： q(z)
1 R(z)
i
2(可z ) 知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
对⾼斯光束传输理论的⼀些学习笔记⾼斯光束传输理论研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道⾼斯光束在⾃由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后⾼斯光束如何变化。
⾼斯光束的传输规律激光光束具有⽅向性好的特点，光束的能量在空间的分布⾼度的集中在光的传播⽅向上，其光束具有⼀定的发散⾓，光束分布有着特殊的结构。
由球⾯波构成谐振腔产⽣的激光束，在它的横截⾯上，光强是以⾼斯函数型分布的，称为⾼斯光束。
⾼斯光束在光学设计中有着⼴泛的应⽤。
沿z 轴⽅向传播的基模⾼斯光束可以表⽰为如下的⼀般形式：-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω（1）其中E 0为常数因⼦，zf z z f f z f z f z z R R 22)(])(1[)(+=+=+==20)(1)(fzz +=ωω；222y x r +=；λπ2=k ；λπω20=f ；πλωf =0；（2）ω0为基模⾼斯光束的腰斑半径；f 为⾼斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的⾼斯光束等相位⾯的曲率半径；由上式我们可以看出，⾼斯光束具有下述基本性质：（1）基模⾼斯光束在横截⾯内的场振幅分布按⾼斯函数))(exp(22z r ω-所描述的规律从中⼼（即传输轴线）向外平滑地降落。
由振幅降落到中⼼值的1/e 的点所定义的光斑半径为22020)(1)(1)(πωλωωωz fz z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增⼤1)(2222=-f z z ωω在z=0处，0)(ωω=z ，为极⼩值。
双曲线的对称轴为z 轴，基模⾼斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲⾯为界的。
（2）基模⾼斯光束的相移相位因⼦由下式决定fzarctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ它描述⾼斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。
激光原理第三章
)
exp[i kr2 ] 2R(z)
（3-1-24)
c 式中 mn 是归一化常数。当m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-21），式
中
Hm
2x w(z)
H 和 n
2
y
w(z)
分别为m阶和n阶厄米多项式。
1、垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布
x, y, z k[z r 2 ] arctan( z )
2R(z)
w02
(3-1-22)
kz 它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后，其中 描述几
何相位为 移的
arctan( z )
w
2 0
kr 2
描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相
附加相位超前，因子 2R(z) 描述与径向有关的相移。
Apl
r,,
z
[
2r ]l w(z)
Llp
[
2r 2
w2 z]
exp
r w2
2
z
scionsll
（3-1-27)
式（3-1-27）表示沿径向r和p个节线圈，沿辐射角方向有l根节线。
TEM pl 模高斯光束的总相移为：
r,, z k(z r 2 ) (1 p 2l) arctan( z )
u0
x,
y,
z
{
w0
wz
exp
r w2
2
z
exp
ikz
z ar c tan(w02
激光基本知识-(9)高斯光束
双曲线顶点坐为 ±ω，0
焦点坐标为F (0, ± πω02 ) λ
光能主要分布在双锥体内 NJUPT
高斯光束的基本性质
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
波面曲率半径
R(
z
)
= z 1
+
f z
2
= z 1
+
(
πω02 λz
)2
z
Z=0（束腰处） R(z) → ∞ z=0，ω0 (束腰处等相面为平面）
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω ′2 0
F 2ω 2
= (F − l )2 0+ f 2
（1） l < F
ω0′随 l 的减小而减小
当 l = 0 时：ω0′(min) =
ω0 =l′
1 + ( f )2 F
z
−ω0
F
毫弧度量级
θ0
=
lim
2ω ( z )
z
=
λ
2
πω0
=
λ
0.6367
ω0
=
2
λ = 1.128 πf
λ
f
NJUPT
总结: 基模高斯光束特点
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
θB
=
λ πω0
z
高斯光束
非均匀球面波
等相位面为球面； 其曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
高斯光束传输理论研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道高斯光束在自由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后高斯光束如何变化。
高斯光束的传输规律激光光束具有方向性好的特点，光束的能量在空间的分布高度的集中在光的传播方向上，其光束具有一定的发散角，光束分布有着特殊的结构。
由球面波构成谐振腔产生的激光束，在它的横截面上，光强是以高斯函数型分布的，称为高斯光束。
高斯光束在光学设计中有着广泛的应用。
沿z 轴方向传播的基模高斯光束可以表示为如下的一般形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω （1）其中E 0为常数因子，zf z z f f z f z f z z R R 22)(])(1[)(+=+=+==20)(1)(fzz +=ωω；222y x r +=；λπ2=k ；λπω20=f ；πλωf =0；（2） ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f 为高斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的高斯光束等相位面的曲率半径；由上式我们可以看出，高斯光束具有下述基本性质：（1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数))(exp(22z r ω-所描述的规律从中心（即传输轴线）向外平滑地降落。
由振幅降落到中心值的1/e 的点所定义的光斑半径为22020)(1)(1)(πωλωωωz fz z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增大1)(2222=-f z z ωω在z=0处，0)(ωω=z ，为极小值。
双曲线的对称轴为z 轴，基模高斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲面为界的。
（2）基模高斯光束的相移相位因子由下式决定fzarctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ它描述高斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。
激光原理：7-2高斯光束的传输规律
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
一、球面波的R参数 R(z)=z
R(z):等相位面曲率半径
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为 CA
B D
，则通过此元件
前、后的球面波R参数和高斯光束q参数满足关系。
R AR B CR D
q Aq B Cq D
R、q:通过元件前的参数 R、q:通过元件后的参数
q2 q1 L
近轴情况 R2 l2 发散(+) 会聚(-)
1 11 R2 R1 F
1 q2
1 R2
i
w22
1 11
R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
例1：某高斯光束共焦参数为f=1m，将焦距F=1m的凸 透镜置於其腰右方l=2m处，求经透镜变换后的像光束 的焦参数f及其腰距透镜的距离l。
7.2 高斯光束的传输规律
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离
R=R+L
传播L距离的光学变换矩阵
R 1 R L R L 0 R1
或 R=R(z)=z
R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
第7章 高斯光束
T
1 0
L 1
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
7.2 高斯光束的传输规律
2、通过透镜
q Fq Fq
1 0
透镜的光学变换矩阵
T
1
1
q
1 q 0 1 q 1
q 1 q
Fq F q
第7章 高斯光束
一、球面波的R参数 R(z)=z
R(z):等相位面曲率半径
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为 CA
B D
，则通过此元件
前、后的球面波R参数和高斯光束q参数满足关系。
R AR B CR D
q Aq B Cq D
R、q:通过元件前的参数 R、q:通过元件后的参数
q2 q1 L
近轴情况 R2 l2 发散(+) 会聚(-)
1 11 R2 R1 F
1 q2
1 R2
i
w22
1 11
R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
例1：某高斯光束共焦参数为f=1m，将焦距F=1m的凸 透镜置於其腰右方l=2m处，求经透镜变换后的像光束 的焦参数f及其腰距透镜的距离l。
7.2 高斯光束的传输规律
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离
R=R+L
传播L距离的光学变换矩阵
R 1 R L R L 0 R1
或 R=R(z)=z
R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
第7章 高斯光束
T
1 0
L 1
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
7.2 高斯光束的传输规律
2、通过透镜
q Fq Fq
1 0
透镜的光学变换矩阵
T
1
1
q
1 q 0 1 q 1
q 1 q
Fq F q
十七章--高斯光束的物理特性
然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
第三章--高斯光束及其特性讲解学习
1
11
R2(z) R1(z) f
R 2(z)C A R R 1 1 ( (z z) ) D B , C AD B 1 1 /f
0 1
反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系
§3.1 基模高斯光束
球面波的传播规律可以统一写成
R2
AR1 CR1
B D
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，传播规律由变换矩阵确定。
§3.1 基模高斯光束
高斯光束在其传输轴线附近 可近似看作是一种非均匀球面波 曲率中心随着传输过程而不断改变 振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性 等相位面始终保持为球面 强度集中在轴线及其附近
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： ➢ 用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
§3.1 基模高斯光束
11
q(z) R(z)i2(z)
q：复曲率半径
参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在
某位置处的q参数值，可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值
R 1 (z)R e[q (1 z)],2 1 (z) Im [q (1 z)]
用q0=q(0)表示z=0处的参数值，得出
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： ➢ 用q参数表征高斯光束
u 0 0 ( x ,y ,z ) c 0 0( 0 z ) e x p [ x 2 2 ( z y ) 2 ] e x p { i [ k ( z x 2 2 R ( z y ) 2 ) a r c t g z f] }
u 0 0 ( x ,y ,z ) c 0 0( 0 z ) e x p { i k x 2 2 y 2 [ R 1 ( z ) i 2 ( z ) ] } e x p [ i ( k z a r c t g z f ) ]
激光物理第1.3章 高斯光束
q1 Aq B 1
1 2
1 2
i
2 y2
e
Cq1 D Aq1 B
q1 Aq B e 1
1 2
2 y2 i q 2
(1.4.8)
Aq1 B q2 Cq1 D
推广到二维坐标的情况,得到:
(1.4.9)
（1.3.8）和(1.3.11)
k qz Qz
E0 e
r 2 i P z q z
(1.3.26)
得到两个方程:
d 1 qz 2 0 q 2 z dz 1
1 dPz i 0 q z dz
2 01 2 01
2
2
C
因为C点取在像方光腰 处，此时应有
1 Re 0 qC
由此即可解得
l2 f ( f l1 ) f
2 2 2 01 2
( f l1 )
2 f 201
(1.4.16)
1 1 i 2 q( z ) ( z ) ( z )
z = 0 ，ρ(0)→∞，
(0) 0
1 1 1 i q0 q( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 )
02 q0 i iz0
可将高斯光束表示为
0 E ( x , y , z ) E0 e z
z0 2 ( z ) z 1 z 2 0 2 z0 ，k
（1.3.19）
均匀介质中高斯光束的传 播特性
沿z轴方向传播的基模(m=n=0)高斯光束
1 2
1 2
i
2 y2
e
Cq1 D Aq1 B
q1 Aq B e 1
1 2
2 y2 i q 2
(1.4.8)
Aq1 B q2 Cq1 D
推广到二维坐标的情况,得到:
(1.4.9)
（1.3.8）和(1.3.11)
k qz Qz
E0 e
r 2 i P z q z
(1.3.26)
得到两个方程:
d 1 qz 2 0 q 2 z dz 1
1 dPz i 0 q z dz
2 01 2 01
2
2
C
因为C点取在像方光腰 处，此时应有
1 Re 0 qC
由此即可解得
l2 f ( f l1 ) f
2 2 2 01 2
( f l1 )
2 f 201
(1.4.16)
1 1 i 2 q( z ) ( z ) ( z )
z = 0 ，ρ(0)→∞，
(0) 0
1 1 1 i q0 q( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 )
02 q0 i iz0
可将高斯光束表示为
0 E ( x , y , z ) E0 e z
z0 2 ( z ) z 1 z 2 0 2 z0 ，k
（1.3.19）
均匀介质中高斯光束的传 播特性
沿z轴方向传播的基模(m=n=0)高斯光束
第八章 高斯光束全
基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
２、w(z)和R(z)参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
w(z) w0
1
z2 f2
(f
z2 )
f
R(z) z f 2 z
３、q参数
(1)定义
1 q(z)
1 R(z)
i
w 2 (z)
1 R(z)
Re 1 q(z)
(2)计算 q(z) z if
T
1 F
1
R
1 1
R
0 R 1
R 1 R
FR F R
F
F
或
Ru
11 1 uv F
R v 1 1 1 R R F
R R
o u v o z
F
1 1 1 FR R R F FR
R FR FR
四、高斯光束q参数的传输规律
1、传播L距离
q q L
证 传播L距离的光学变换矩阵
q 1 q L q L 0q 1
共焦谐振腔
共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间， 其特点如下： 1）镜面较易安装、调整； 2）较低的衍射损耗； 3）腔内没有过高的辐射聚焦现象； 4）模体积适度；
共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器
共焦场等相面的分布
如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反
射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返
2
T P P
0
0 2
I (r)2 rdrd I (r)2 rdrd
1
exp
2 2 2
0 0
孔径半径a ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
２、w(z)和R(z)参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
w(z) w0
1
z2 f2
(f
z2 )
f
R(z) z f 2 z
３、q参数
(1)定义
1 q(z)
1 R(z)
i
w 2 (z)
1 R(z)
Re 1 q(z)
(2)计算 q(z) z if
T
1 F
1
R
1 1
R
0 R 1
R 1 R
FR F R
F
F
或
Ru
11 1 uv F
R v 1 1 1 R R F
R R
o u v o z
F
1 1 1 FR R R F FR
R FR FR
四、高斯光束q参数的传输规律
1、传播L距离
q q L
证 传播L距离的光学变换矩阵
q 1 q L q L 0q 1
共焦谐振腔
共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间， 其特点如下： 1）镜面较易安装、调整； 2）较低的衍射损耗； 3）腔内没有过高的辐射聚焦现象； 4）模体积适度；
共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器
共焦场等相面的分布
如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反
射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返
2
T P P
0
0 2
I (r)2 rdrd I (r)2 rdrd
1
exp
2 2 2
0 0
孔径半径a ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
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2( z )
2 0
1
z 20
2
2 0
1
z2
z
2 0
E(x, y, z) (x, y, z)e ikz
R(z)
z
1
20 z
2
z
1
z
2 0
z2
(z)
tan
1
z 20
tan
1
z z0
E0
0 (z)
exp
i
kz
(
z)
i
kr 2 2q(z)
•上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。
•为什么是这个解？还有其他解吗？
均匀介质中的高斯光束
高斯分布：
在统计学中更多的被称为正态分 布，它指的是服从以下概率密度 函数的分布：
f (x; , )
1
2
x 2
exp
2 2
E
E
0
0 (z)
exp
r2 2(z)
S' S
2
S
"S
(S S2
')2
0
得出 S " 0该微分方程的解为 S az ，ba、b为复常数
则 1 a q(z) az b
q
z
b a
z
q0
由p与q的关系得到 p ' i i q z q0
p
i
ln
1
z q0
C1
C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。
均匀介质中的高斯光束
高斯光束学习笔记
类透镜介质中的波动方程
从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性、无电荷分布介质中的波动
方程为：
u
2
v E
2
v E
t 2
若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率表达式带入其中可
以得到： 2 2ik ' kk 2r2 0
其中 (x, y, z为)修正因子，若假设其形式为：
E0
均匀介质中的高斯光束
远场发散角
从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利
长度之外，高斯光束迅速发散，定义当 z 时高斯光束振幅减小到最
大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：
lim (z) z z 0 z0
包含在全远场发散角内的光束功率占 高斯光束总功率的86.5%
kz k x2 y2 ; z R 2R
可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球面， 球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知：
z=0时，R(z) ,此时的等相位面是平面；
z 时， R(z) z ，
此时等相位面也是平面；
z z0时， R(z) 2z，0
曲线，在z=0时有最小值 0 ，这个位置
1/ e
被称为高斯光束的束腰位置。
Z
Z
均匀介质中的高斯光束
等相位面特性
从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：
(x,
y,
z)
kz
(z)
kr 2 2R(z)
k
z
r2 2R(z)
tan
1
z
2 0
将上式同标准球面波的总相移表达式比较：
exp
ln
1
i
z 20
1
(
1
z / 20)2
exp
i
tan
1
z 20
exp
kr 2 2(q0
z
)
exp
2 0
1
r 2
(z /
20
)2
2
z
1
ikr 2
(z /
20
)2
均匀介质中的高斯光束
人为定义以下参数：
将上述参数带入到光场的表达式，
整理可以得到光场的表达式：
将上述结果代入到 的表达式中有：
E0 exp
i
i
ln 1
z q0
K 2(q0
z)
r
2
(1)
满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以 得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：
q0
i
2 0
,
2
k
将q0的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：
此时的等相位面半径最小；
均匀介质中的高斯光束
瑞利长度
当光束从束腰传播到z z处0 时，光束半径 (z) ，2即0
光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，
从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记
作 。f
在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围
内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。
E0
0 (z)
exp
i
kz
(
z)
r
2
1 2(z)
ik 2R(
z)
z 0
20
E0
0 (z)
exp
r2
(z)
kr2 2R(z)
•该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖
关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。
均匀介质中的高斯光束
高斯光束基本特性
振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：
E
E0
0 (z)
exp
r2 2(z)
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。
将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离 r (定z)
义为该处的光斑半径。
1
由 (z) 的定义可以得到：2(z) z2 1 即光束半径随传输距离的变化规20律为z双20
exp
i
p(z)
k 2q(z)
r2
可得到简化的波动方程：
1 q(z)
2
1 q(z)
'
k2 k
0
p
'(
z)
i q(z)
均匀介质中的高斯光束
均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此 时简化波动方程为：
1 q2
1 q
'
0
引入一中间函数S，使 1 S '(z代) 入上式得到 q(z) S(z)
从瑞利长度表达式
z0
2 0
/可 以得出结论，高斯光束
的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。
均匀介质中的高斯光束
高斯光束的孔径
从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
则其光强分布为：
I
(r
)
I
0
exp
2r 2
2
A(r)
A0
exp
r2
2
考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一
高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中 曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴 线及其附近，且等相位面保持球面。
半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计
算可以得到不同孔径的功率透过率。
2
T P
P
0
0 2
I (r)2 rdrd I (r)2 rdrd
1
exp
2 2 2
0 0
孔径半径a ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只 要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透 过。