17种排列组合方法【优质PPT】
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(最新整理)《排列组合专题》PPT课件
2021/7/26
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例9．有男女各五个人，其中有３对是夫妻，沿 圆桌就座，若每对夫妻都坐在相邻的位置，问有 多少种坐法？
设３对夫妻分别为Ａ和a,Ｂ和b,Ｃ和c，先让Ａ，Ｂ， Ｃ三人和另外４个人沿圆桌就座的方法为６！种．
又对上述每种坐法，a坐在Ａ的邻座的方式有左右两 种，b,c也如此．
所以共有６！＊２＊２＊２＝５７６０种．
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9－1=242(个)．
2021/7/26
12
例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
所以符合题意的个数为：
1× P18× P28＝448
2021/7/26
19
例4、用0、1、2、3、4、5六个数字，可以 组成多少个没有重复数字的三位偶数？
1.个位为0,十位为1、2、3、4、5中的一个，百位为剩下的 四个数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P15×P14
2.个位为2,百位为1、3、4、5中的一个，十位为剩下的四个 数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P14×P14
2021/7/26
10
例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
排列组合讲解ppt课件
知识铺垫
首先来了解下什么是两种计数原理?两种计数原理其实就是加法原理和乘法原 理，那么什么时候用加法?什么时候用乘法呢?标准就是判断你所要用的这种方 法能否独立完成一件事，如果可以那就用加法，如果不能那就用乘法。例如： 小王想要从甲到乙地，如果坐火车有3列车可选，如果做汽车有5班车可选，问 小王从甲到乙一共有多少种到达的方式?答案很显然是3+5=8，为什么用加法 呢?因为要完成的从甲地到乙地，首先3列火车可以独立完成，5班汽车也可独 立完成，每一种方式都能够独立完成这件事情则用加法。如果题目改成：小王 从甲到乙地，有3列火车可以从甲到丙地，有5班汽车可以从丙地到乙地，问小 王从甲到乙地一共有多少种方法?答案却为3×5=15，此时为什么用乘法了呢? 因为仅仅3列火车不能够独立完成小王从甲到乙地这件事情，要想完成还需要 从丙地中转后到乙地，所以分步完成用乘法。
例题展示
如果掌握了排列组合的题型特征和解题方法，你会发现这种题型还是 很好掌握的，希望同学们日后多多加强此类题型的练习，做到举一反 三。
谢谢
知识铺垫
为了方便各位更加深刻的理解和把握好两种计数原理，我们要从两道经典例题入手， 一起来看例题展示
例题展示
【例题1】小王外出游玩，准备选择一家宾馆进行入住，现在有7家经济型宾馆，5家 舒适型宾馆，3家豪华型宾馆可供小王选择，那么小王共有多少种不同的选择方式? A.12B.15C.18D.24 【答案】B 【中公解析】根据题目的描述可知，此题是在解决小王选择一家宾馆进行入住有多 少种不同的选择方式的事情。且小王可以选择3种类型的宾馆，如果只选择其中一种 类型的宾馆，比如选择豪华型宾馆能完成我们需要解决的事情，每一类选法都可完 成这件事情，故需分类。共有7+5+3=15种，答案为B。 【例题2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
17种排列组合方法
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 位奇数. 由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有___ 先排末位共有___ C3
甲乙
丙丁
由分步计数原理可得共有 种不同的排法
A
5 2 2 A2 A2 5
=480
五.不相邻问题插空策略 3.一个晚会的节目有 个舞蹈,2个相声,3个独唱, 一个晚会的节目有4 ,2个相声,3个独唱 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 分两步进行第一步排2个相声和3 A55 种， 有 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 4 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A6 不 同的方法.由分步计数原理, 同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序 4 5 共有 A5 A6 种
一 班
二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
十三.重排问题求幂策略(应弄清“谁”选择“谁”） 十三.重排问题求幂策略(应弄清“ 选择“ 例.把7名实习生分配到5个车间实习,共有多少种不 名实习生分配到5个车间实习, 同的分法？ 同的分法？ 完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法， 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法， 依此类推, 种不同的排法. 依此类推,由分步计数原理共有 57 种不同的排法. 例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人 名学生争夺5项冠军， 获得， 获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军， 可重复排列， 名学生看作7 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军 看作5 每个“ 种住宿法， 看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得7 原理得75种.
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
排列组合课件
不相邻问题
将需要排列的元素按照一定的顺序排 列，如果元素之间没有间隔，则它们 是相邻的。
复杂排列组合问题解析
排列组合的顺序性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的顺序，不同的顺序会 产生不同的结果。
排列组合的可重复性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的重复使用，不同的重 复方式也会产生不同的结果。
常见排列组合问题解析
排列特点
与元素的顺序有关，是"有序"的。
组合定义与特点
组合定义
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元 素的一个组合。
组合特点
与元素的顺序无关，是"无序"的。
排列与组合的联系与区别
联系
都是从n个不同元素中取出m个元 素的不同方式。
区别
排列注重的是取出元素后，元素 的顺序是否相同；组合则不考虑 取出元素后的顺序。
排列组合课件总结
排列组合基础知识
排列组合课件应涵盖排列组合的 基本概念、公式和定理，帮助学
生建立正确的排列组合思维。
排列组合问题解析
通过典型例题的解析，让学生掌握 解决排列组合问题的方法和技巧， 提高解题能力。
排列组合应用实例
引入实际应用场景，让学生了解排 列组合在生活、科技、经济等领域 中的应用，增强学习的兴趣和动力 。
组合数公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等学科中，也是解 决实际问题的有力工具。
排列组合综合公式
排列组合综合公式定义
排列组合综合公式表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列和组合的个数，用符号 P(n,m)表示。
排列组合综合公式计算方法
排列组合综合公式可以表示为P(n,m)=A(n,m)+C(n,m)，即P(n,m)=n!/(n-m)!+C(n,m)。
将需要排列的元素按照一定的顺序排 列，如果元素之间没有间隔，则它们 是相邻的。
复杂排列组合问题解析
排列组合的顺序性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的顺序，不同的顺序会 产生不同的结果。
排列组合的可重复性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的重复使用，不同的重 复方式也会产生不同的结果。
常见排列组合问题解析
排列特点
与元素的顺序有关，是"有序"的。
组合定义与特点
组合定义
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元 素的一个组合。
组合特点
与元素的顺序无关，是"无序"的。
排列与组合的联系与区别
联系
都是从n个不同元素中取出m个元 素的不同方式。
区别
排列注重的是取出元素后，元素 的顺序是否相同；组合则不考虑 取出元素后的顺序。
排列组合课件总结
排列组合基础知识
排列组合课件应涵盖排列组合的 基本概念、公式和定理，帮助学
生建立正确的排列组合思维。
排列组合问题解析
通过典型例题的解析，让学生掌握 解决排列组合问题的方法和技巧， 提高解题能力。
排列组合应用实例
引入实际应用场景，让学生了解排 列组合在生活、科技、经济等领域 中的应用，增强学习的兴趣和动力 。
组合数公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等学科中，也是解 决实际问题的有力工具。
排列组合综合公式
排列组合综合公式定义
排列组合综合公式表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列和组合的个数，用符号 P(n,m)表示。
排列组合综合公式计算方法
排列组合综合公式可以表示为P(n,m)=A(n,m)+C(n,m)，即P(n,m)=n!/(n-m)!+C(n,m)。
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※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 容易产生重复和遗漏，应仔细分析重在哪里漏在 何处，因此必须掌握一些常用的解题方法.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队,共有_A__22 _
种排法，再排小集团内部共有__A_22 _A_22 __种排法，由分步
计数原理共有_A _22_A_2_2 A__22 种排法.
小集团
1524
3
九正难则反，等价转化策略
例.从1楼2楼有17级楼梯，上楼时可以一步一级，也一步 两级，若要求11步走完这楼梯则，则有多少种不同的走法
三.排列组合混合问题先选后排策略
例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒 至少装一个球,共有多少不同的装法?
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C__52 种
方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不
同的盒内有_A__44种方法.
C 根据分步计数原理装球的方法共有__52_A__44 种方法.
分析：由题意知，这11步中，6步，一步走两级，5步走 一级，因此，要确定一种走法只需确定这11步中哪6步
C 练走习两.级在即3×可4，的故方不格同中的，走从法A走为到B的最6短路径4有62多少种？ 11
B
C 3 35 7
A
十一.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？
先排末位共有_C__31
然后排首位共有_C __41
最后排其它位置共有_A__43
C
1 4
A
3 4
C
1 3
由分步计数原理得 C
1 3
C
1 4
A
3 4
=288
二. 合理分类与分步策略
例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有 多少选派方法?
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,3人
例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人
获得，获得冠军的可能的种数有
.
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军 看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得75种.
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A
5 5
A
4 6
种
相 独 独独相
六.固定顺序问题用除法策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可
先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后
用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则
共有不同排法种数是：
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
解排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事；
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；确 定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序) 问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题
有__A _42_种,再排后4个位置上的特殊元素有__A__41 _种, 其有余__A的_4_2 A5_人_41 _A在_5_5 5种个.位置任意排列有__A_5_5 种,则共
前排
后排
八.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰 有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有 多少个？
甲乙 丙丁
A 由分步计数原理可得共有
5A
5
2 2
A
2 2
=480
种不同的排法
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A 素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A 好64 的不6
__C__96 __种分法.
一 二三四五 六 七 班 班班班班 班 班
十三.重排问题求幂策略(应弄清“谁”选择“谁”）
例.把7名实习生分配到5个车间实习,共有多少种不 同的分法？ 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5
种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法，
依此类推,由分步计数原理共有 5 7 种不同的排法.
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
个空隙中插入3个不亮的灯有__C __35 _种.
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，
A
3 3
2 插入法：先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其
余4四人依次插入共有4*5*6*7方法.
七.分排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排, 丁在后排,共有多少排法?
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅 子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两个特殊元素
为全能演员. 以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员
为标准进行研究. 只会唱的5人中没有人选上唱歌
C C 人员共有__32__32 种,只会唱的5人中只有1人选上唱 歌人员_C__15C__13C__24_种,只会唱的5人中只有2人选上
C C2 2
唱歌人员有___5_ 5 种，由分类计数原理共有
C C C C C C C ____32__32_+___15__13 __24 _+____52 __52 _种.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队,共有_A__22 _
种排法，再排小集团内部共有__A_22 _A_22 __种排法，由分步
计数原理共有_A _22_A_2_2 A__22 种排法.
小集团
1524
3
九正难则反，等价转化策略
例.从1楼2楼有17级楼梯，上楼时可以一步一级，也一步 两级，若要求11步走完这楼梯则，则有多少种不同的走法
三.排列组合混合问题先选后排策略
例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒 至少装一个球,共有多少不同的装法?
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C__52 种
方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不
同的盒内有_A__44种方法.
C 根据分步计数原理装球的方法共有__52_A__44 种方法.
分析：由题意知，这11步中，6步，一步走两级，5步走 一级，因此，要确定一种走法只需确定这11步中哪6步
C 练走习两.级在即3×可4，的故方不格同中的，走从法A走为到B的最6短路径4有62多少种？ 11
B
C 3 35 7
A
十一.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？
先排末位共有_C__31
然后排首位共有_C __41
最后排其它位置共有_A__43
C
1 4
A
3 4
C
1 3
由分步计数原理得 C
1 3
C
1 4
A
3 4
=288
二. 合理分类与分步策略
例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有 多少选派方法?
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,3人
例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人
获得，获得冠军的可能的种数有
.
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军 看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得75种.
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A
5 5
A
4 6
种
相 独 独独相
六.固定顺序问题用除法策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可
先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后
用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则
共有不同排法种数是：
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
解排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事；
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；确 定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序) 问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题
有__A _42_种,再排后4个位置上的特殊元素有__A__41 _种, 其有余__A的_4_2 A5_人_41 _A在_5_5 5种个.位置任意排列有__A_5_5 种,则共
前排
后排
八.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰 有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有 多少个？
甲乙 丙丁
A 由分步计数原理可得共有
5A
5
2 2
A
2 2
=480
种不同的排法
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A 素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A 好64 的不6
__C__96 __种分法.
一 二三四五 六 七 班 班班班班 班 班
十三.重排问题求幂策略(应弄清“谁”选择“谁”）
例.把7名实习生分配到5个车间实习,共有多少种不 同的分法？ 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5
种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法，
依此类推,由分步计数原理共有 5 7 种不同的排法.
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
个空隙中插入3个不亮的灯有__C __35 _种.
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，
A
3 3
2 插入法：先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其
余4四人依次插入共有4*5*6*7方法.
七.分排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排, 丁在后排,共有多少排法?
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅 子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两个特殊元素
为全能演员. 以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员
为标准进行研究. 只会唱的5人中没有人选上唱歌
C C 人员共有__32__32 种,只会唱的5人中只有1人选上唱 歌人员_C__15C__13C__24_种,只会唱的5人中只有2人选上
C C2 2
唱歌人员有___5_ 5 种，由分类计数原理共有
C C C C C C C ____32__32_+___15__13 __24 _+____52 __52 _种.