二次型与对称矩阵(新)

a1n
a2n
x1
X
x2
M M
M M
an1
an2
...
ann
xn
a11
XT
AX
(x1
,
x2
,
...,
xn)
a21 M
a12 a22 M
... ...
a1n a2n
x1 x2
M M
an1
an2
...
ann
xn
1 n
nn
n1
a11
XT
AX
(x1
,
x2
,
1 2 x1 x2
1 2
x1 x3
此二次型的矩阵为
0
A
1 2
1 2 2
1
223
1 2
x2
x1
2 x22
3 2
x2
x3
1 2 x3 x1
3 2
x2
x3
0
x32
1 2
3 2
0 是对称矩阵.
如
x12 x1 x2 3 x1 x3 2 x22
x12
1 2
x1 x2
3 2
x1 x3
对应的矩阵为 1
............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
aij a ji ( i, j 1, 2,..., n )
当 aij 是实数时, 称为实二次型. 本章只讨论实二次型.
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
Ch5 二次型 在平面解析几何中, 二次曲线的一般方程为:
a x2 2bx y c y22d x 2k y l 0
其中 a,b,c不全为零. 如 4x2 y2 8x 4 y 4 0 配方：
4( x2 2x1) ( y2 4 y 4) 4
4( x 1)2 ( y 2)2 4
令 x x 1 得 4x2 y2 4
ann
二次型
f
( x1,
x2 ,...,
xn的) 矩阵
矩阵A的秩称为二次型 f ( x1, x2 ,..., xn的) 秩.
如
x12
3 x1 x2
2 x22
x12
3 2
x1 x2
3 2
x2
x1
2
x22
它的矩阵为
A
1
3 2
3
22
如
x1 x2 x1 x3 2 x22 3 x2 x3 0 x12
a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn
a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
nn
aij xi x j
其中 aij
a ji
(i,
j
i1 j1
1,2,...,n )
称为一个n
元二次型,
简称为二次型.
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
y
y
2
x2 y2 1 是椭圆.
14
在空间解析几何中, 二次曲面的一般方程为:
a1 x2 a2 y2 a3z2 2b1 xy 2b2 yz 2b3 xz 2c1 x 2c2 y 2c3z d 0
其中 a1,a2 ,a3 , b1,b2 ,b3 不全为零. 如 x2 y2 z2 2x 2z 1 0 配方：
x2 2x 1 y2 z 12 1
( x 1)2 y2 z 12 1 是球面.
§5.1 基本概念
(一) 二次型及其矩阵
定义5.1 含有n个变量x1, x2,..., xn 的二次齐次 多项式
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn
1
1 2
3 2
1 2
x2
x1
2 x22
0 x2
x3
是对称矩阵.A 2
wk.baidu.com
3 2
2 0
0
0
3 2
x3 x1
0x2 x3 0 x32
例
f
(
x1,
x2 )
2 x1 x2
的矩阵为A
0
1
1
0
f ( y1, y2 ,..., yn ) d1 y12 d2 y22 ... dn yn2
d1 0 ... 0
............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
a11
a12
...
a1n
其中 aij
a ji
( i, j 1,2,...,n )
令A a21 a22 ... a2n A为对称矩阵.对称矩阵A称为
M M
an1
an2
...
M
...,
xn)
a21 M
a12 a22 M
... ...
a1n a2n
x1 x2
M M
(x1
,
x2
,
...,
xn)aa1211
a22 x22 2a23 x2 x3 ... 2a2n x2 xn
a33 x32 ... 2a3n x3 xn
............
ann xn2
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
的矩阵为
A
0
d2
M M
...
0
M
0
0
...
d
n
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x22 4 x32 2 x1 x2 5 x1 x3 6 x2 x3
的矩阵为
1 A 1
1
3
523 二次型
5 2
3
4
对称矩阵
反之，设A是任一对称矩阵
A
a11 a21
a12 a22
... ...
............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
aij a ji ( i, j 1, 2,..., n ) f ( x1, x2 ,..., xn )
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 ... 2a1n x1 xn