误差分析和数据处理
误差分析与数据处理.
误差分析与数据处理.《误差分析与数据处理》在我们的日常生活和各种科学研究、工程实践中，数据无处不在。
然而，数据往往并非绝对准确，总是存在着一定的误差。
理解误差的来源、性质，并掌握有效的数据处理方法，对于获取准确可靠的信息至关重要。
误差，简单来说，就是测量值与真实值之间的差异。
它的产生可能源于多个方面。
首先，测量工具本身就可能存在精度限制。
比如，我们用一把尺子去测量物体的长度，如果这把尺子的刻度不够精细，那么测量结果就可能存在误差。
其次，测量的环境条件也会影响结果。
例如，温度、湿度、压力等环境因素的变化，可能导致测量对象的性质发生改变，从而引入误差。
再者，测量者的操作水平和方法也不容忽视。
测量时的读数不准确、测量姿势不正确等，都可能导致误差的产生。
误差可以分为系统误差和随机误差两大类。
系统误差是指在相同条件下，多次测量同一量时，误差的大小和符号保持恒定，或者按照一定规律变化的误差。
这种误差通常是由于测量仪器的不完善、测量方法的不正确或者测量环境的影响等原因造成的。
例如，使用未经校准的仪器进行测量，每次测量都会得到偏大或偏小的结果，这就是系统误差。
与之相对的是随机误差，也称为偶然误差。
它是指在相同条件下，多次测量同一量时，误差的大小和符号以不可预知的方式变化的误差。
随机误差是由许多微小的、独立的、不可控的因素共同作用产生的。
比如，测量时的微小震动、电源电压的波动等。
虽然随机误差的具体值无法预测，但从大量的测量数据来看，随机误差的分布通常遵循一定的统计规律，比如正态分布。
了解了误差的类型，接下来我们要探讨如何进行误差分析。
误差分析的第一步是识别误差的来源。
这需要我们对测量过程进行仔细的观察和思考，找出可能导致误差的各个环节。
然后，通过对测量数据的统计分析，可以定量地评估误差的大小。
常用的误差分析方法包括计算平均值、标准差、相对误差等。
平均值是一组数据的算术平均值，它可以反映数据的集中趋势。
但平均值并不能完全反映数据的离散程度，这时候就需要用到标准差。
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
误差分析和数据处理讲解
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
误差分析与数据处理
误差理论与数据处理一．绪论当你能对世界进行测量的时候，就可以把世界变成数据来了解。
1.研究误差的意义分析误差产生原因，从而消除误差；正确处理所得数据，从而接近真值；选择合理的方法，设计合理的系统。
2.误差的基本概念误差=测量值—真值约定真值：对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。
绝对误差=|测量值—真值|相对误差=绝对误差/|真值|=绝对误差/|测量值|修正值：与误差大小近似相等，但方向相反。
修正值本身还有误差。
引用误差=示值误差/测量范围上限3.误差来源测量装置误差：标准量具的误差、一起误差、附件误差环境误差：温度、湿度、气压、振动、照明、加速度、电磁场等。
方法误差人员误差4.误差分类系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。
（均值和真值之差）系统误差分类：已定系统误差、未定系统误差、不变系统误差、变化系统误差（线性、周期性、复杂规律）随机误差：大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。
（抑制、统计分布规律）粗大误差：明显超出统计规律预期值的误差。
（异常因素或疏忽）5.精度准确度：系统误差的大小（偏移程度）精密度：随机误差的大小（分散程度）精确度：测量结果与被测量真值之间的一致程度精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。
如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。
重复性：指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。
复现性：指在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。
稳定性：测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。
示值误差：指测量仪器的示值与对应输入量的真值之差。
由于真值不能确定，故在实际应用中常采用约定真值。
偏移：指系统误差最大允许误差：给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。
数据处理及误差分析
数据处理及误差分析1. 引言数据处理及误差分析是科学研究和工程实践中一个至关重要的领域。
在收集和处理数据的过程中，往往会受到各种因素的干扰和误差的影响。
因此，正确地处理这些数据并进行误差分析，对于准确得出结论和进行科学决策至关重要。
2. 数据处理数据处理是指对收集到的数据进行整理、分析和解释的过程。
它包括了数据清洗、数据转换、数据提取和数据集成等步骤。
2.1 数据清洗数据清洗是指对原始数据进行筛选、剔除异常值和填充缺失值等处理。
清洗后的数据更加可靠和准确，能够更好地反映实际情况。
2.2 数据转换数据转换主要是将原始数据转化为符合分析需求的形式。
比如，将连续型数据离散化、进行数据标准化等。
2.3 数据提取数据提取是指从庞大的数据集中挑选出有意义和相关的数据进行分析。
通过合理选择变量和提取特征，可以提高数据分析的效率和准确性。
2.4 数据集成数据集成是指将来自不同数据源的数据进行整合和合并，以满足分析需求。
通过数据集成，可以获得更全面、更综合的数据集，提高分析结果的可信度。
3. 误差分析误差分析是对数据处理过程中产生的误差进行评估和分析。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
3.1 系统误差系统误差是由于数据收集和处理过程中的系统性偏差导致的。
它们可能是由于仪器精度不高、实验环境变化等原因引起的。
系统误差一般是可纠正的，但要确保误差产生的原因被消除或减小。
3.2 随机误差随机误差是由于抽样误差、观察误差等随机因素导致的。
它们是不可预测和不可消除的，只能通过多次重复实验和统计方法进行分析和控制。
4. 误差分析方法误差分析通常采用统计学和数学方法进行。
其中，常用的方法有误差传递法、误差平均法、误差椭圆法等。
4.1 误差传递法误差传递法是将各个步骤中产生的误差逐步传递，最终计算出整个数据处理过程中的总误差。
它能够帮助我们了解每个步骤对最终结果的影响程度，并找出影响结果准确性的关键因素。
4.2 误差平均法误差平均法是通过多次实验重复测量，并计算平均值来减小随机误差的影响。
物理实验-误差分析与数据处理
物理实验-误差分析与数据处理误差分析是物理实验中非常重要的一部分，因为任何实验都不能避免误差的产生。
正确的误差分析可以帮助我们更准确地评估实验结果的可靠性。
误差的种类误差有很多种类，可以根据其来源分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于仪器或测量方法的固有限制而产生的误差，比如温度、光照度等环境因素，或者是仪器的器差、零位偏移等固有缺陷。
随机误差则是因为测量本身具有的不确定性导致的，例如仪器的读数精度、人为判断的主观因素等。
误差的分析方法在进行误差分析时，需要进行多组实验，并对实验数据进行统计分析。
这样可以得到平均值、标准差等指标，从而判断实验结果的可靠性。
误差分析的方法包括：1.平均值分析法平均值分析法是利用多组数据求算数平均数，再计算出标准差、方差等参数，来分析误差的大小。
2.回归分析法回归分析法是利用统计方法对实验数据进行曲线拟合，从而得出其他数据点的数值，这样可以更准确地估计误差。
3.传递误差法传递误差法是针对复合测量而制定的，它是通过对不同测量值之间的误差进行逐步推导，来计算出最终结果的误差。
数据处理在误差分析的基础上，还需要进行数据处理。
数据处理是根据实验目的，对实验数据进行合理的处理和分析，从而得出合适的结论。
数据处理的步骤包括：1.数据整理将实验数据按照时间、位置、量程等标准进行整理归纳，使其能够清晰地反映实验情况。
2.数据统计对实验数据进行统计运算，并计算出平均值、标准差、方差等指标。
3.数据分析根据实验目的和统计结果，对实验数据进行分析和解释，从而得出更准确和科学的结论。
总结。
数据处理及误差分析
数据处理及误差分析1.实验操作仪器的使用要严格按照操作规程进行，对于实验操作步骤，通过预习应心中有数。
实验过程中要仔细观察实验现象，严格控制实验条件发现异常现象应仔细查明原因，或请教指导教师帮助分析处理。
2.数据处理物理化学实验数据的表示法主要有如下三种方法:列表法、作图法和数学方程式法。
(1)列表法将实验数据列成表格，排列整齐，使人一目了然。
这是数据处理中最简单的方法，列表时应注意以下几点：a.表格要有名称。
b.每行(或列)的开头一栏都要列出物理量的名称和单位，并把二者表示为相除的形式。
因为物理量的符号本身是带有单位的，除以它的单位，即等于表中的纯数字。
c.数字要排列整齐，小数点要对齐，公共的乘方因子应写在开头一栏与物理量符号相乘的形式，并为异号。
d.表格中表达的数据顺序为：由左到右，由自变量到因变量，可以将原始数据和处理结果列在同一表中，但应以一-组数据为例，在表格下面列出算式，写出计算过程。
表示例:液休饱和蒸气压测定数据表(2)作图法作图法可更形象地表达出数据的特点，如极大值、极小值、拐点等，并可进一步用图解求积分、微分、外推、内插值。
作图应注意如下几点：a.图要有图名。
例如“InP-1/T图I"，“V—t图”等。
b.要用市售的正规直角坐标纸。
c.在直角坐标中，一般以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，坐标在轴旁须注明变量的名称和单位。
d.适当选择坐标比例，以表达出全部有效数字为准，即最小的毫米格内表示有效数字的最后一位。
如果作直线，应正确选择比例，使直线呈45。
倾斜为好。
e.坐标原点不一定选在零，应使所作直线与曲线匀称地分布于图面中。
在两条坐标轴上每隔ICm或2cm均匀地标上所代表的数值，而图中所描各点的具体坐标值不必标出。
f.描点时，应用细铅笔将所描的点准确而清晰地标在其位置上，可用O,Δ,口，X等符号表示，同一图中表示不同曲线时，要用不同的符号描点，以示区别。
g.作曲线时，应尽量多地通过所描的点，但不要强行通过每一个点。
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
分析化学第二章误差与分析数据处理
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
误差分析与数据处理
误差分析与数据处理在我们的日常生活和各种科学研究、工程实践中，数据的获取和处理是至关重要的环节。
然而，由于各种因素的影响，我们所获得的数据往往存在一定的误差。
这些误差可能会对我们的分析结果产生误导，甚至导致错误的决策。
因此，误差分析与数据处理就成为了确保数据质量和可靠性的关键步骤。
首先，我们需要了解误差的来源。
误差大致可以分为两类：系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量仪器的不准确、测量方法的不完善或者环境因素的恒定影响等原因导致的，其特点是误差的大小和方向具有一定的规律性。
例如，使用未经校准的温度计测量温度，每次测量结果都会偏高或偏低一个固定的值，这就是系统误差。
随机误差则是由一些不可预测的偶然因素引起的，其特点是误差的大小和方向没有明显的规律。
比如，在测量物体的长度时，由于人的读数瞬间的差异，每次测量结果可能会有所不同，这就是随机误差。
在进行误差分析时，我们需要对误差的大小和性质进行评估。
常用的误差衡量指标包括绝对误差、相对误差和标准误差等。
绝对误差是测量值与真实值之间的差值，它直接反映了误差的大小。
相对误差则是绝对误差与真实值的比值，能够更直观地反映测量的准确度。
标准误差则用于衡量多次测量结果的离散程度。
为了减小误差，我们可以采取多种措施。
在测量前，要对测量仪器进行校准和调试，选择合适的测量方法，并控制好测量环境。
在测量过程中，要严格按照操作规程进行操作，多次测量取平均值可以有效地减小随机误差。
此外，还可以采用更先进的测量技术和设备来提高测量的精度。
数据处理是对测量得到的数据进行整理、分析和计算的过程。
在数据处理中，我们需要对异常数据进行识别和处理。
异常数据是指与其他数据明显不符的数据点，可能是由于测量错误或者特殊情况导致的。
对于异常数据，我们不能简单地将其舍去，而需要进行仔细的分析和判断。
如果确定是由于测量错误导致的异常数据，应该予以剔除；如果异常数据是真实存在的，我们需要对其原因进行研究，并在后续的分析中给予适当的考虑。
误差分析和数据处理
误差分析、数据处理和物理实验不同，电子电路基础实验通常采用的是单次测量，对误差处理要求相对较低。
１.误差绝对误差设被测量量的真值为Ａo，测量仪器的示值为X，则绝对值为△X＝X－Ａo在某一时间及空间条件下，被测量量的真值虽然是客观存在的，但一般无法测得，只能尽量逼近它。
故常用高一级标准测量仪器的测量值Ａ代替真值Ａo，则△X＝X－Ａ相对误差是用绝对误差△X与被测量的实际值A的比值的百分数来表示的相对误差。
在电子电路一般的实验中，由于已经可以利用已有的公式计算，所以一般直接用理论值代替真值A，然后进行误差计算。
２.测量数据处理1.测量结果的数据处理（1）有效数字由于存在误差，所以测量资料总是近似值，它通常由可靠数字和欠准数字两部分组成。
例如，由电流表测得电流为12.6mA，这是个近似数，12是可靠数字，而末位6为欠准数字，即12.6为三位有效数字。
有效数字对测量结果的科学表述极为重要。
对有效数字的正确表示，应注意以下几点：①与计量单位有关的"0"不是有效数字，例如，0.054A与54mA这两种写法均为两位有效数字。
②小数点后面的"0"不能随意省略，例如，18mA与18.00mA是有区别的，前者为两位有效数字，后者则是四位有效数字。
③对后面带"0"的大数目数字，不同写法其有效数字位数是不同的，例如，3000如写成30×10 2，则成为两位有效数字；若写成3×103，则成为一位有效数字；如写成3000±1，就是四位有效数字。
④如已知误差，则有效数字的位数应与误差所在位相一致，即：有效数字的最后一位数应与误差所在位对齐。
如；仪表误差为±0.02V，测得数为3.2832V，其结果应写作3.28V。
因为小数点后面第二位"8"所在位已经产生了误差，所以从小数点后面第三位开始后面的"32"已经没有意义了，写结果时应舍去。
误差分析与数据处理
误差分析与数据处理物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。
在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的规律。
但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。
因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。
下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。
一、一、基本概念1．误差。
在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。
严格地说，误差是指观测值与真值之差，偏差是指观测值与平均值之差。
但习惯上常将两者混用而不加区别。
根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。
系统误差：这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。
系统误差起因很多，例如：(1)仪器误差。
这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。
(2)测量方法本身的限制。
如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。
(3)个人习惯性误差。
这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。
系统误差决定测量结果的准确度。
它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能使之消除。
通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减少，以提高准确度。
误差分析与数据处理
产生原因－人操作上的粗心大意，外界的强大干扰。
消除方法－当发现粗大误差时，应予以剔除。 结论：在进行误差分析时，粗差剔除，系统误差和随机误 差要用适当的方法进行处理和估算。
课堂提问：
1.请举出生话中的系统误差、随机误差、粗大误差的 实例。 2.第1章讲过一些仪表性能指标，其中就涉及哪个误 差概念？
系统误差： 与真值之差。 随机误差：某一测量值与 的差值。 2.对称性:xi大致地分布于 两侧。 剩余误差（残差）Vi＝ xi － 残差基本互相抵消。残差总和：
3.有界性：在一定的条件下， xi有一定的分布范围，超过这个范围的可能性很 小，一般作为粗大误差处理。
当n→∞时，测量列xi的算术平均值 可认为是测量值的最可信值，但无 法表达出测量值的误差范围和精度高低。一般用下式表示存在随机误差时的 测量结果：
解： 1.按照测量读数的顺序列成表格。 2.计算测量列xi的算术平均值： ＝（633.97/16）＝39.623 mm。 3.算出每个测量读数的残差Vi ，填写在xi的右边。并验证了 。 4.在每个残差旁算出 和 必须的中间过程值 ， 然后求出 ＝2.140mm2 5.计算出方均根误差 ＝0.378mm
2.2.1随机误差的统计特性
单次测量具有随机性，但多次测量其总体误差具有规律性特征。 测量列：保持测量条件不变，对同一测量对象进行多次重复测量得到一系列包含 随机误差的读数x1、x2、…，xn。 统计直方图：以测得的数据为横坐标，出现的次数为纵坐标。 正态分布曲线（随机误差的概率密度，高斯误差）：当测量次数n→∞ 时，则无 限多的直方图的顶点中线的连线就形成一条光滑的连续曲线。有如下规律： 1.集中性：大量的测量值集中分布于算术平均值 附近。
2.随机误差－在同一条件下，多次测量同一被测量，有时 会发现测量值时大时小，机误差。随机误差反映了测 量值离散性的大小。 产生原因（随机效应）－随机误差是测量过程中许多独立 的、微小的、偶然的因素引起的综合结果。 消除方法－单个测量值误差是随机的，难以消除或修正； 但误差的整体服从正态分布统计规律，因此可以增加测量 次数，并对测量结果进行数据统计处理。 3.粗大误差－明显偏离真值的误差称为粗大误差（过失误 差）。
误差分析与数据处理
第一章 误差分析与数据处理1-1 误差分析的意义何在？1-2 误差有几种类型？总结系统误差与随机误差的异同点。
1-3 试验数据的准确度和精密度如何表示，它们之间有何关系？ 1-4 什么叫有效数字，有效数字的误差如何计算？ 1-5 数据有几种表示方法，各有何优缺点？ 1-6 可疑观测值的取舍有哪些方法？简述其步骤。
1-7 测得某三角块的三个角度之和为180º00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
1-8 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50 mm ，已知其最大绝对误差为1 m ，试问该被测件的真实长度为多少?1-9 在测量某一长度时，读数值为2.31 m ，其最大绝对误差为20 m ，试求其最大相对误差。
1-10 使用凯特摆时，g 由公式2212/)(4T h h g +=π给定。
今测出长度(h 1+h 2)为(1.04230±0.00005) m ，振动时间T 为(2.0480±0.0005) s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果(h 1+h 2)测出为(1.04220±0.0005) m ，为了使g 的误差能小于0.001 m/s 2，T 的测量必须精确到多少?1-11 检定2.5级（即引用误差为2.5%）、量程为100 V 的电压表，发现50 V 刻度点的示值误差2 V 为最大误差，问该电压表是否合格?1-12 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用?1-13用两种方法测量L 1=50 mm ，L 2=80 mm ，测量结果为50.004 mm ，80.006 mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
1-14 多级弹导火箭的射程为10000 km 时，其射击偏离预定点不超过0.1 km ，优秀射手能在距离50 m 远处准确地射中直径为2 cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?1-15 测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。
1误差分析与数据处理
26
再例如：
某电阻值为 20000（欧姆），保留三位有效数字时写 成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法 写 成 3.2510-5m
980cm / s2 9.80m / s2 0.00980km/ s2 9.8m / s2
（4）缓变误差： 是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
7
➢发现系统误差的简单方法
通过观察偏差发现系统误差
1)将观测值依次排列，如偏差的大小有规则地向一个方向变化，即前面 为负号，后面为正号，且符号为（一一一一一十＋＋十＋）或相反（＋ 十＋＋十一一一一一），则说明该组观测值含有累进的系统误差。如中 间有微小波动，则说明有随机误差的影响。
2)将观测值依次排列，如偏差符号作有规律交替变化，则测量中含有周期 性误差。如中间有微小波动，则说明有随机误差的影响。
1） 直接测量和间接测量
➢ 直接测量： 凡是使用仪器 ➢间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
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误差分析和数据处理误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n xn x x x x ni in∑=++==121式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n xn x x x x n i in ∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i ni i i n n n wx w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
各观测值的权数一般凭经验确定。
（4）几何平均值（5）对数平均值21212121ln ln ln x x x xx x x x x n -=--=以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。
平均值的选择主要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正态分布，故通常采用算术平均值。
（三）中位数（xM ）一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即为中位数。
当测定次数为偶数时，中位数为中间相邻的两个数据的平均值。
它的优点是能简便地说明一组测量数据的结果，不受两端具有过大误差的数据的影响。
缺点是不能充分利用数据。
1.2 准确度与误差准确度与误差是指测定值与真实值之间相符合程度。
准确度的高低常以误差的大小来衡量。
即：误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。
误差有两种表示方法：绝对误差和相对误差。
1、绝对误差（E）某物理量在一系列测量中，某测量值与其真值之差称绝对误差。
实际工作中常以最佳值代替真值，测量值与最佳值之差称残余误差，习惯上也称为绝对误差。
绝对误差（E）＝测定值（x）-真实值（T）2、相对误差（RE）为了比较不同测量值的精确度，以绝对误差与真值（或近似地与平均值）之比作为相对误差。
由于测定值可能大于真实值，也可能小于真实值，所以绝对误差和相对误差都有正、负之分。
绝对误差相同，相对误差可能相差很大。
相对误差是指误差在真实值中所占的百分比率。
相对误差不同说明它们的误差在真实值众所站的百分比率，用相对误差来衡量测定的准确度更具有实际意义。
但应注意有时为了说明一些仪器测量的准确度，用绝对误差更清楚。
例如分析天平的称量误差是±0.0002g，常量滴定的读书误差是±0.01mL等。
这些都是用绝对误差来说明的。
1.3 精密度与偏差精密度是指在相同条件下n次重复测定结果彼此相符合的程度。
精密度的大小用偏差表示，偏差愈小说明精密度愈高。
（一）偏差偏差有绝对偏差和相对偏差。
绝对偏差（d）=xx-相对偏差是指单次测定值与平均值的偏差。
相对偏差=%100⨯-xxx相对偏差是指绝对偏差在平均值中所占的百分率。
绝对偏差和相对偏差都有正负之分，单次测定的偏差之和等于零。
对多次测定数据的精密度常用算术平均偏差表示。
（二）算术平均偏差算术平均偏差是指单次测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。
即 算数平均偏差n xx d i -∑=)( （n i ,2,1=）算术平均偏差和相对平均偏差不计正负。
例 计算下面这一组测量值的平均值，算术平均偏差和相对平均偏差。
解： 55.51， 55.50， 55.46， 55.49， 55.51平均值=n x i ∑=49.55551.5549.5546.5550.5551.55=++++算数平均偏差=n x x d i -∑=)(=016.0502.000.003.001.002.0=++++相对平均偏差=%028.0%10049.55016.0%100=⨯=⨯x d（三）标准偏差在数理统计中常用标准偏差来衡量精密度。
1、总体标准偏差总体标准偏差是用来表达测定数据的分散程度，其数学表达式为： 总体标准偏差n x i 2)()(μσ-∑=2、样本标准偏差 一般测定次数有限，µ值不知道，只能用样本标准偏差来表示精密度，其数学表达式为：样本标准偏差1)( )(2 --∑=n xxS i上式中（n-1）在统计学中成为自由度，意思是在n次测定中，只有（n-1）个独立可变的偏差，因为n个绝对偏差之和等于零，所以只要知道（n-1）个绝对偏差，就可以确定第n个的偏差。
3、相对标准偏差标准偏差在平均值中所占的百分率叫做相对标准偏差，也叫变异系数或变动系数（cv），其计算式为：cv=%100⨯xS用标准偏差表示精密度比用算术平均偏差表示要好。
因为单次测定值的偏差经平方后，较大的偏差就能显著地反应出来。
所以产生和科研的分析报告中常用cv表示精密度。
例如，现有两组测量结果，各次测量的偏差分别为：第一组 0.3 0.2 0.4 -0.2 -0.4 0.0 0.1 -0.3 0.2 -0.3第二组 0.0 0.1 -0.7 0.2 0.1 -0.2 0.6 0.1 -0.3 0.1两组的算术平均偏差分别为：第一组24.01=∑=ndd i第二组24.02=∑=ndd i从两组的算术平均偏差的数据看，都等于0.24，说明两组的算术平均偏差相同。
但很明显的可以看出第二组的数据较分散，其中有2个数据即-0.7和0.6偏差较大。
用算术平均值表示显示不出这两个差异，但用标准偏差表示时，就明显的显示第二组数据偏差较大。
各次的标准偏差分别为：第一组28.01)()(21=--∑=nxxS i第二组34.01)()(22=--∑=nxxS i由此说明第一组的精密度较好。
4、样本标准偏差的简化计算按上述公式计算，得先求出平均值，再求出)(xxi-，然后计算出S值，比较麻烦。
可以通过数学推导，简化为下列等效公式：S=1)(22-∑-∑n nx x i i利用这个公式，可直接从测定值来计算S 值，而且很多计算器上都有2x x ∑∑以及功能，有的计算器上还有S 及σ功能，所以计算S 值还是十分方便的。
（四）极差一般分析中，平行测定次数不多，常用极差（R ）来说明偏差的范围，极差也称为“全距”。
R=测定最大值—测定最小值相对极差=%100⨯x R（五）公差公差也称允差。
是指分析方法所允许的平行测定的绝对偏差，公差的数值是将多次测定的分析数据经过数理统计方法处理而确定的，生产实践中用以判断分析结果是否合格的依据。
若2次平行测定的数值之间在规定允差绝对值的2倍以内，认为有效，如果测定结果超出允许的公差范围，成为“超差”，就应重做。
例如：重铬酸钾发测定铁矿石中含铁，2次平行测定结果为33.18%和32.78%，2次结果之差为33.18%-32.78%=-0.40%。
生产部门规定铁矿石含铁量在30%～40%之间，允差为±0.3%。
因为0.4%小于允差±0.3%的绝对值的2倍（即0.6%），所以测定结果有效。
可以用2次测定结果的平均值作为分析结果，即 %98.32%278.3218.33=+=Fe w 这里要指出的是，以上公差表示方法只是其中的一种，在各种标准分析方法总公差的规定不尽相同，除上述表示方法外，还有用相对误差表示，或用绝对误差表示。
要看公差的具体规定。
1.4 准确度与精密度的关系关于准确度与精密度的关系的定义及确定方法，在前面已有叙述。
准确度和精密度是两个不同的概念，它们相互之间有一定的关系。
现举例说明。
例如 现有2组各分析结果的数据如下表所示，并绘制成如图所示的图表（标准值为0.31）。
第一组测定结果：精密度很高，但是平均值与标准值相差很大，说明准确度很低。
第二组测定的结果：精密度不高，测定数据分散，虽然平均值接近标准值，但这是凑巧的来的，如只取2次或3次来平均，结果与标准值相差较大。
第三组数据的结果：测定的数据较集中并接近标准数据，说明其精密度和准确度都较高。
由此可见欲使准确度高，首先必须要求精密度也要高。
但精密度高并不说明其准确度也高，因为可能在测定中存在系统误差，可以说精密度是保证准确度的先决条件。
2 误差的来源与消除方法我们进行样品分析的目的是为了获取准的分析结果，然而即使我们用最可靠的分析方法，最精密的仪器，熟悉细致的操作，所测得的数据也不可能和真实值完全一致。
这说明误差是可观存在的。
但是如果我们掌握了产生误差的基本规律，就可以将误差减小到允许的范围内。
为此必须了解误差产生的性质和产生的原因以及减免的方法。
根据误差产生的原因和性质，我们将误差分为系统误差和偶然误差两大类。
2.1 系统误差系统误差又可成为可测误差。
它是由分析操作过程中的某些经常原因造成的。
在重复测定时，它会重复表现出来，对分析结果的影响比较固定。
这种误差可以设法减小得到可忽略的程度。
化验分析中，将系统误差产生的原因归纳为一下几个方面。
1、仪器误差这种误差是由于使用仪器本身不够精密所造成的。
如使用未经过校正的容量瓶、移液管和砝码等。
2、方法误差这种误差是由于分析方法本身造成的。
如在滴定过程中，由于分应进行的不完全，化学计量点和滴定终点不相符合，以及由于条件没有控制好和发生其它副反应等等原因，都会引起系统的测定误差。
3、试剂误差这种误差是由于所用蒸馏水含有杂质或所使用的试剂不纯所引起的。
4、操作误差这种误差是由于分析操作者掌握分析操作的条件不熟练，个人观察器官不敏锐和固有的习惯所致。
如对滴定终点颜色的判断偏深或偏浅，对仪器刻度标线读数不准确等都会引起测定误差。