二项分布与正态分布-高考理科数学试题

（五十七） 二项分布与正态分布[一般难度题——全员必做]1．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729B.80243C.665729D.100243解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝⎛⎫1－13×⎝⎛⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝⎛⎭⎫590×⎝⎛⎭⎫493＝665729，故选C.2．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析：选B 根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4.根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.3．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )A.12 B.13 C.14D.16解析：选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i ，i ＝1、2、3.由题意知，事件A i 、B i 、C i (i ＝1、2、3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16(i ＝1、2、3)，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.选D. 4．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.5．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25.(1)求甲队以4∶3获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设甲队以4∶3获胜的事件为B ，∵甲队第5,6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25，∴甲队以4∶3获胜的概率P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－352·25＝8125， ∴甲队以4∶3获胜的概率为8125. (2)随机变量X 的可能取值为5,6,7，P (X ＝5)＝35，P (X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫1－35·35＝625，P (X ＝7)＝⎝⎛⎭⎫1－352·25＋⎝⎛⎭⎫1－352·⎝⎛⎭⎫1－25＝425，∴随机变量X 的分布列为E (X )＝5×35＋6×625＋7×425＝13925.[中档难度题——学优生做]1．某公司甲、乙、丙三位员工参加某项专业技能测试，每人有两次机会，当且仅当第一次不达标时进行第二次测试．根据平时经验，甲、乙、丙三位员工每次测试达标的概率分别为12，23，12，各次测试达标与否互不影响．(1)求甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率；(2)记甲、乙、丙三位员工中达标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)甲员工需测试两次才达标的概率为⎝⎛⎭⎫1－12×12＝14；乙员工需测试两次才达标的概率为⎝⎛⎭⎫1－23×23＝29.因为各次测试达标与否互不影响，所以甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率为14×29＝118.(2)由题意可知，甲员工测试达标的概率为12＋⎝⎛⎭⎫1－12×12＝34， 乙员工测试达标的概率为23＋⎝⎛⎭⎫1－23×23＝89， 丙员工测试达标的概率为12＋⎝⎛⎭⎫1－12×12＝34. 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－89×⎝⎛⎭⎫1－34＝1144， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎫1－89×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－34×89×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－89×34＝772， P (X ＝2)＝34×89×⎝⎛⎭⎫1－34＋34×⎝⎛⎭⎫1－89×34＋⎝⎛⎭⎫1－34×89×34＝1948， P (X ＝3)＝34×89×34＝12.所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×1144＋1×772＋2×1948＋3×12＝4318.2．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 k m /h 的有40人，不超过100 k m /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 k m /h 的有20人，不超过100 k m /h 的有25人．(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 k m /h 与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .(2)2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 k m /h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．解：(1)完成的2×2列联表如下：K 2＝100×(40×25－15×20)55×45×60×40≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 k m /h 与性别有关”．(2)平均车速不超过100 k m /h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 k m /h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125； P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25⎝⎛⎭⎫352＝54125； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫35＝36125； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫350＝8125. 所以X 的分布列为E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65⎝⎛⎭⎫或E (X )＝3×25＝65.[较高难度题——学霸做]1．甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定： ①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1，A 2，A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1，A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1，B 2，B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)若甲俱乐部计划以3∶012两名队员的出场顺序，使得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望 E (X )．解：(1)设A 1，A 2分别参加第一场，第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2，A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，∴P 1>P 2，∴甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3,4,5，P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727，∴X 的分布列为∴E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954. 2．(2018·东北三省四市一模)近两年双11网购受到广大市民的热捧．某网站为了答谢老顾客，在双11当天零点整，每个金冠买家都可以免费抽取200元或者500元代金券一张，中奖率分别是23和13.每人限抽一次，100%中奖．小张、小王、小李、小赵4个金冠买家约定零点整抽奖．(1)试求这4人中恰有1人抽到500元代金券概率；(2)这4人中抽到200元、500元代金券的人数分别用X 、Y 表示，记ξ＝XY ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．解：(1)设“这4人中恰有i 人抽到500元代金券”为事件A i ，其中i ＝0,1,2,3,4，则P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281. (2)易知ξ可取0,3,4，P (ξ＝0)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫130⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134·⎝⎛⎭⎫230＝1681＋181＝1781， P (ξ＝3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133·⎝⎛⎭⎫231＝3281＋881＝4081.P (ξ＝4)＝P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481. ξ的分布列为E (ξ)＝0×1781＋3×4081＋4×2481＝83.。