二项分布与正态分布-高考理科数学试题

（五十七） 二项分布与正态分布

[一般难度题——全员必做]

1．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )

A.125729

B.80243

C.665729

D.100243

解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝⎛⎫1－13×⎝⎛⎫1－13＝1－49＝5

9

，设X 为3次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03

×⎝⎛⎭⎫590×⎝⎛⎭⎫493＝665729，故选C.

2．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1

2，

则μ＝( )

A ．1

B ．4

C ．2

D ．不能确定

解析：选B 根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，

Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4.根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1

2

时，μ＝4.

3．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )

A.1

2 B.1

3 C.14

D.16

解析：选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i ，i ＝1、2、3.由题意知，事件A i 、B i 、C i (i ＝1、2、3)相互独立，则P (A i )＝

30

60＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝1

6(i ＝1、2、3)，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16

.选D. 4．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小

王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A ，则P (A )＝56×45×34＝1

2

.

(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝1

6，P (X ＝3)

＝56×45×1＝2

3

.所以X 的分布列为

所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52

.

5．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为2

5

.

(1)求甲队以4∶3获胜的概率；

(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设甲队以4∶3获胜的事件为B ，

∵甲队第5,6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为2

5，

∴甲队以4∶3获胜的概率P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－352·25＝8125， ∴甲队以4∶3获胜的概率为

8125

. (2)随机变量X 的可能取值为5,6,7，P (X ＝5)＝3

5，P (X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫1－35·35＝625，P (X ＝7)＝⎝⎛⎭⎫1－352·

25＋⎝⎛⎭⎫1－352·⎝⎛⎭⎫1－25＝425，∴随机变量X 的分布列为

E (X )＝5×35＋6×625＋7×425＝139

25

.

[中档难度题——学优生做]

1．某公司甲、乙、丙三位员工参加某项专业技能测试，每人有两次机会，当且仅当第一次不达标时进行第二次测试．根据平时经验，甲、乙、丙三位员工每次测试达标的概率分别为12，23，1

2

，各次测试达标与否互不影响．

(1)求甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率；

(2)记甲、乙、丙三位员工中达标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．

解：(1)甲员工需测试两次才达标的概率为⎝⎛⎭⎫1－12×12＝1

4；乙员工需测试两次才达标的概率为⎝⎛⎭⎫1－23×23＝2

9.因为各次测试达标与否互不影响，所以甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率为14×29＝1

18

.

(2)由题意可知，甲员工测试达标的概率为1

2＋⎝⎛⎭⎫1－12×12＝34， 乙员工测试达标的概率为2

3＋⎝⎛⎭⎫1－23×23＝89， 丙员工测试达标的概率为1

2＋⎝⎛⎭⎫1－12×12＝34. 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－89×⎝⎛⎭⎫1－34＝1

144

， P (X ＝1)＝3

4×⎝⎛⎫1－89×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－34×89×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－89×34＝772， P (X ＝2)＝34×8

9×⎝⎛⎭⎫1－34＋34×⎝⎛⎭⎫1－89×34＋⎝⎛⎭⎫1－34×89×34＝1948， P (X ＝3)＝34×89×34＝1

2.

所以随机变量X 的分布列为

E (X )＝0×1144＋1×772＋2×1948＋3×12＝43

18

.

2．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 k m /h 的有40人，不超过100 k m /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 k m /h 的有20人，不超过100 k m /h 的有25人．

(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 k m /h 与性别有关”？