行列式的计算与应用1
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9.2.1 行列式的计算
定理9·1
（拉普拉斯展开定理） 行列式 中任一行（D列）的各个元
素与其代数余子式的乘积之 和等于行列式的值 ．即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1, 2, , n)
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2, , n)
9.2.2 克莱姆法则
含有n 个未知数 x1, x2 , xn 的 n 个线性方程的方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22x2 an1x1 an2x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
非齐次线性方程组
9.2.2 克莱姆法则
将线性方程组的系数组成的行列式记为 D ，即
9.2.1 行列式的计算
例如
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11A11 a12 A12 a13 A13（按第一行展开）
a31 a32 a33
a21A21 a22 A22 a23 A23 （按第二行展开）
a13 A13 a23 A23 a33 A33 （按第三列展开）
例9
问 为何值时，齐次线性方程组
1 x 2y 0 3x 2 y 0
只有零解
．
解： 当 D 0 时，方程组只有零解，由
1 2
D
(1 )(2 ) 6
3 2
即得 2 3 4 0
所以 1, 4 时，方程组只有零解．
课堂练习 ：
7 3 1 5
1．计算行列式
2 D
3 0 6 0
5 0 62
5062
5 62
5 62
1 (1)12 3
6
0
r r
31
(1) 3
6
0
5 62
0 00
0
9.2.1 行列式的计算
总结求行列式的方法：
对角线法则（二阶、三阶行列式）
直接使用展开定理
行列变换 某行(列)只有一个元素非零 展开定理
行列变换 上三角行列式（下三角行列式） 主对角线元素 的乘积
3 9
70
8 3 9
5(63) 8(7)
259
9.2.1 行列式的计算
解： 方法3 按第二行展开 ：
5 2 1
0
7
0 7 (1)22 5
1 7 (45 8) 259
8 9Байду номын сангаас
8 3 9
对于给定的行列式 ，如何展开计算方便？
?
9.2.1 行列式的计算
例7 计算行列式
2 1 41
3 1 2 1 D
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
系数行列式
an1 an2
ann
9.2.2 克莱姆法则
用常数项 b1, b2 , bn 代替 D 中第 j 列，组成的行列式记为D j ，即
a11 Dj a21
an1
a1 j1 b1 a1 j1 a2 j1 b2 a2 j1
anj1 bn anj1
a1n
．
1 2 32
5 0 62
解： 观察行列式，发现如果按第一行展开，则要计算四个三阶行列
式，又 a42 0 ，如果将第二列或第四行中其他元素尽可能多的变为
零再展开，则计算可以大大简化．
9.2.1 行列式的计算
解：
2 1 4 1 r r 2 1 4 1 21
3 D
1
2
1 r 2r
3
1
5
0
6
2
1 2 32
6 3 ．0
3 11 1 4
6 5 2 9
2． 问 为何值时，齐次线性方程组
（答案: -3601）
1
2
x1 2x2 4x3 0
x1 (3 )x2 x3 0
x1 x2 (1 )x3 0
只有零解． （答案: 0, 2, ）3
小结 1．拉普拉斯展开定理． 2．克莱姆法则 ．
8 3 9
解： 方法1 按第一行展开 ：
D 5(1)11 7 0 2 (1)12 0 0 1 (1)13 0 7
3 9
8 9
8 3
5(63) 20 156 259
9.2.1 行列式的计算
解： 方法2 按第一列展开 ：
5 2 1
0 7 0 5 (1)11 7 0 8 (1)31 2 1
a2n j 1, 2 , n
ann
9.2.2 克莱姆法则
定理9·2
（克莱姆法则） 若线性方程组的系数行列式
a11 a12 D a21 a22
a1n a2n 0
an1 an2
则此方程组有唯一解
ann
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
.
9.2.2 克莱姆法则
例8 用克莱姆法则求解下列线性方程组．
3,
x3
D3 D
1.
9.2.2 克莱姆法则
当方程组的常数项全为零时 即
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 an1x1 an2x2
a1nxn 0 a2nxn 0
annxn 0
齐次线性方程组
推论 若齐次线性方程组的系数行列式，则此方程组只有零解．
9.2.2 克莱姆法则
2
x1
x1
3x2 2x2
5x3 5
2
3x2 5x3 4
解：
235
235
D 1 2 0 20, D1 5 2 0 20
035
435
9.2.2 克莱姆法则
解：
225 D2 1 5 0 60,
045
由克莱姆法则
232 D3 1 2 5 20
034
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
9.2.1 行列式的计算
推论 行列式 D 中任一行（列）元素与另一行（列）对应
元素的代数余子式乘积之和等于零 ．
例如
a11 a12 a13 若 D a21 a22 a23 ，
a31 a32 a33
则有 a11A21 a12 A22 a13 A23 0
9.2.1 行列式的计算
5 2 1 例6 计算行列式 D 0 7 0 ．
定理9·1
（拉普拉斯展开定理） 行列式 中任一行（D列）的各个元
素与其代数余子式的乘积之 和等于行列式的值 ．即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1, 2, , n)
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2, , n)
9.2.2 克莱姆法则
含有n 个未知数 x1, x2 , xn 的 n 个线性方程的方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22x2 an1x1 an2x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
非齐次线性方程组
9.2.2 克莱姆法则
将线性方程组的系数组成的行列式记为 D ，即
9.2.1 行列式的计算
例如
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11A11 a12 A12 a13 A13（按第一行展开）
a31 a32 a33
a21A21 a22 A22 a23 A23 （按第二行展开）
a13 A13 a23 A23 a33 A33 （按第三列展开）
例9
问 为何值时，齐次线性方程组
1 x 2y 0 3x 2 y 0
只有零解
．
解： 当 D 0 时，方程组只有零解，由
1 2
D
(1 )(2 ) 6
3 2
即得 2 3 4 0
所以 1, 4 时，方程组只有零解．
课堂练习 ：
7 3 1 5
1．计算行列式
2 D
3 0 6 0
5 0 62
5062
5 62
5 62
1 (1)12 3
6
0
r r
31
(1) 3
6
0
5 62
0 00
0
9.2.1 行列式的计算
总结求行列式的方法：
对角线法则（二阶、三阶行列式）
直接使用展开定理
行列变换 某行(列)只有一个元素非零 展开定理
行列变换 上三角行列式（下三角行列式） 主对角线元素 的乘积
3 9
70
8 3 9
5(63) 8(7)
259
9.2.1 行列式的计算
解： 方法3 按第二行展开 ：
5 2 1
0
7
0 7 (1)22 5
1 7 (45 8) 259
8 9Байду номын сангаас
8 3 9
对于给定的行列式 ，如何展开计算方便？
?
9.2.1 行列式的计算
例7 计算行列式
2 1 41
3 1 2 1 D
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
系数行列式
an1 an2
ann
9.2.2 克莱姆法则
用常数项 b1, b2 , bn 代替 D 中第 j 列，组成的行列式记为D j ，即
a11 Dj a21
an1
a1 j1 b1 a1 j1 a2 j1 b2 a2 j1
anj1 bn anj1
a1n
．
1 2 32
5 0 62
解： 观察行列式，发现如果按第一行展开，则要计算四个三阶行列
式，又 a42 0 ，如果将第二列或第四行中其他元素尽可能多的变为
零再展开，则计算可以大大简化．
9.2.1 行列式的计算
解：
2 1 4 1 r r 2 1 4 1 21
3 D
1
2
1 r 2r
3
1
5
0
6
2
1 2 32
6 3 ．0
3 11 1 4
6 5 2 9
2． 问 为何值时，齐次线性方程组
（答案: -3601）
1
2
x1 2x2 4x3 0
x1 (3 )x2 x3 0
x1 x2 (1 )x3 0
只有零解． （答案: 0, 2, ）3
小结 1．拉普拉斯展开定理． 2．克莱姆法则 ．
8 3 9
解： 方法1 按第一行展开 ：
D 5(1)11 7 0 2 (1)12 0 0 1 (1)13 0 7
3 9
8 9
8 3
5(63) 20 156 259
9.2.1 行列式的计算
解： 方法2 按第一列展开 ：
5 2 1
0 7 0 5 (1)11 7 0 8 (1)31 2 1
a2n j 1, 2 , n
ann
9.2.2 克莱姆法则
定理9·2
（克莱姆法则） 若线性方程组的系数行列式
a11 a12 D a21 a22
a1n a2n 0
an1 an2
则此方程组有唯一解
ann
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
.
9.2.2 克莱姆法则
例8 用克莱姆法则求解下列线性方程组．
3,
x3
D3 D
1.
9.2.2 克莱姆法则
当方程组的常数项全为零时 即
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 an1x1 an2x2
a1nxn 0 a2nxn 0
annxn 0
齐次线性方程组
推论 若齐次线性方程组的系数行列式，则此方程组只有零解．
9.2.2 克莱姆法则
2
x1
x1
3x2 2x2
5x3 5
2
3x2 5x3 4
解：
235
235
D 1 2 0 20, D1 5 2 0 20
035
435
9.2.2 克莱姆法则
解：
225 D2 1 5 0 60,
045
由克莱姆法则
232 D3 1 2 5 20
034
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
9.2.1 行列式的计算
推论 行列式 D 中任一行（列）元素与另一行（列）对应
元素的代数余子式乘积之和等于零 ．
例如
a11 a12 a13 若 D a21 a22 a23 ，
a31 a32 a33
则有 a11A21 a12 A22 a13 A23 0
9.2.1 行列式的计算
5 2 1 例6 计算行列式 D 0 7 0 ．