北京市东城区2020-2021学年第一学期八年级期末数学试卷

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2020-2021学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市东城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（）A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣34．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（）A．B．C．D．6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（）A．250B．10C．5D．17．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（）A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r二、填空题（共8小题）.9．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是．10．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为．11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是．12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为（不增加其它未知数）．13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为．15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x A＝﹣1，则点B的横坐标x B的值为．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为．三、解答题（共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）17．已知：如图，线段AB．求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；④分别连接AC，BC．△ABC就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝°（）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝°．18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．（1）求证：AB＝BF；（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C 两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．24．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是，∠BCE与∠A的数量关系是；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M 落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为；（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、四边形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（）A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的，A、函数y＝的图象在一、三象限，满足条件；B、函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；C、函数y＝﹣x2﹣1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；D、函数y＝﹣3x的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；故选：A．3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣3解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，∴a+2a+1＝0，∴3a+1＝0，解得a＝﹣，故选：C．4．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系解：设菱形的面积为S，两条对角线的长分别为x、y，则有，xy＝S，∴y＝，而菱形的面积为定值，即2S为定值，是常数不变，所以y是x的反比例函数，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（）A．B．C．D．解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；C、△ABC与△A'B'C'关于（﹣，0）对称，所以C选项不符合题意；D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；故选：D．6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（）A．250B．10C．5D．1解：由题意得，＝，解得n＝10，故选：B．7．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（）A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD解：如图，连接AB．∵∠DBP＝∠ABP，∠DPC＝∠APB，∴△APB∽△DPC，∴AP：DP＝AB：DC．∴只需再测量AB线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．故选：C．8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r解：扇形的弧长是：＝，圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，即：R＝4r，R与r之间的关系是R＝4r．故选：D．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2﹣2x﹣1．解：二次函数y＝ax2+bx+c，①开口向下，∴a＜0；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；∴只要满足以上两个条件就行，如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．10．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为4．解：连接OC，∵BC⊥OA，∴∠ODC＝90°，BD＝CD，∵OD＝AD，∴OD＝OA＝＝2，∴CD＝＝＝2，∴BC＝2CD＝4，故答案为4．11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是．解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球都是白球的有1种，则取出的2个球都是白球的概率是．故答案为：．12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为3000（1+x）2＝5000（不增加其它未知数）．解：设这种商品的年平均增长率为x，3000（1+x）2＝5000．故答案为：3000（1+x）2＝5000．13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2+2或y＝x2﹣2．解：将抛物线y＝x2沿着y轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2+2；将抛物线y＝x2沿着y轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2﹣2；故答案是：y＝x2+2或y＝x2﹣2．14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为30°．解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，∴AC＝AC'，∠CAC'＝α，∴∠ACC'＝∠AC'C＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AC'，∴∠AC'B＝＝60°﹣，∴∠BC'C＝∠AC'C﹣∠AC'B＝＝30°．故答案为：30°．15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x A＝﹣1，则点B的横坐标x B的值为3．解：把x A＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c得，y＝1+2+c＝3+c，∴A（﹣1，3+c），∵抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，∴B的纵坐标为3+c，把y＝3+c代入y＝x2﹣2x+c得，3+c＝x2﹣2x+c，解得x＝﹣1或x＝3，∴点B的横坐标x B的值为3，故答案为3．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为2．解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，故答案为：，2．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．已知：如图，线段AB．求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；④分别连接AC，BC．△ABC就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝30°．解：（1）如图，△ABC即为所求作．（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝30°．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30．18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（0，﹣1），B（1，4），C（﹣2，1）代入得，解得，∴二次函数解析式为y＝2x2+3x﹣1；（2）∵y＝2x2+3x﹣1＝2（x+）2﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值为﹣，∵x＝﹣1时，y＝2x2+3x﹣1＝﹣2；x＝0时，y＝﹣1，∴当﹣1≤x≤0时，y的取值范围为﹣≤y≤﹣1．19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．（1）求证：AB＝BF；（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．【解答】证明：（1）∵AM平分∠BAD，∴∠BAM＝∠DAM，∵BF∥AD，∴∠BFA＝∠DAM，∴∠BAM＝∠BFA，∴AB＝BF；（2）∵AB＝1，∴AB＝BF＝CF＝1，∵BF∥AD，∴△CEF∽△DEA，∴＝（）2＝．20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，∴△＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2；（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．∴△＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得n＜4；②∵n＜4，∴n可以是3，此时方程为x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得x1＝3，x2＝1．21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C 两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．解：（1）∵双曲线y＝过点A（1，1），∴k＝1×1＝1；（2）解得或，∴B（﹣，﹣2），C（，2）；（3）观察函数的图象，当y1＜y2时，t的取值范围为﹣＜t＜0或t＞．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．解：（1）图形如图所示，结论AB与⊙D相切．理由：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴⊙D与AB相切．（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．∵AB，AC是⊙D的切线，∴AC＝AE＝2CD＝2r，∵∠ACB＝∠BED＝90°，则有，解得，∴⊙D的半径为3．23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，﹣2），∴4+4b+1＝﹣2，解得b＝﹣；（2）∵y＝x2﹣2bx+1＝（x﹣b）2﹣b2+1，∴抛物线的顶点坐标为（b，﹣b2+1）；（3）∵点A（m，m）和B（n，n），∴点A（m，m）和B（n，n）在直线y＝x上，由，消去y得x2﹣2bx+1＝x，整理得x2﹣（2b+1）x+1＝0，∴△＝（2b+1）2﹣4＞0，即（2b+3）（2b﹣1）＞0，∴或，解得b＞或b＜﹣，由x2﹣（2b+1）x+1＝0可知m•n＝1，∴m、n同号，∵|m|＞2，|n|＜2，∴当m＞n＞0时，m+n＞，∴2b+1＞，解得b＞当0＞m＞n时，m+n＜﹣，∴2b+1＜﹣，解得b＜﹣，综上，b的取值范围为b＞或b＜﹣．24．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是CE＝CB，∠BCE 与∠A的数量关系是∠BCE＝2∠A；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．解：（1）①如图1中，∵AD＝DB＝AB＝，CD⊥AB，∴CA＝CB，∠ADC＝90°，∵CD＝，∴AC＝＝＝．故答案为：．②连接BE．∵CA＝CE，CA＝CB，∴CE＝CB，∵CA＝CB，∴∠A＝∠CBA，∴∠ECB＝∠A+∠CBA＝2∠A，故答案为：CE＝CB，∠BCE＝2∠A．（2）①图形如图2所示：②如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．∵CA＝CT，CH⊥AT，∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，∴∠ZCH＝∠CAB，∴CH∥AB，∴∠CHA＝∠HAB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCH是矩形，∴CD＝AH＝HT＝，∴AT＝2AH＝2，∵∠ACT＝∠ECB，∴∠ACE＝∠TCB，∵CA＝CT，CE＝CB，∴△ACE≌△TCB（SAS），∴AE＝BT，∵BT＝＝＝2，∴AE＝BT＝2．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M 落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为B（﹣5，0）或（7，0）；（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，∴M（﹣，0），∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，故答案为：．②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，∴M（﹣3，0）或（3，0），∵MA＝MB，∴B（﹣5，0）或（7，0）．故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．∵OE＝4，OF＝3，∴EF＝＝＝5，∵S△OEF＝×OE×OF＝×EF×OH，∴OH＝，观察图像可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，最小值＝OH﹣OK＝．即d1＝．（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5+1＝6，∴3≤d2≤6．。

北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)

北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算正确的是（）A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷= 3．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A ．三边形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．下列因式分解变形正确的是（）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．把分式方程11122x x x--=--化为整式方程正确的是（） A ．1(1)1x --= B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=- 6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC ≌△EDC 最直接的依据是（）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．n m ，1m n +，1n 都有意义，下列等式①22n n m m=；②111m n m n =++；③22n n m m =；④22n n m m +=+中一定不成立．．．．．的是（） A ．②④B ．①④C ．①②③④D ．②二、填空题9．分解因式：328x x -=______．10．若分式21x +有意义，则x 的取值范围是_________. 11．若20a b -=，且0b ≠，则分式a b a b +-的值为______． 12．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE,点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．三、解答题17．计算：3232()a a a a ⋅+-÷．18．解分式方程：22111x x x =--． 19．解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=-+-. 20．已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得△AMN 与△PMN 全等，以下是甲、乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线段AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作PM ∥AC ，交AB 于点M ，过点P 作PN ∥AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？24．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求∠MAN 和∠MBC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P ，使得3BM BN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C ＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：厨余垃圾是轴对称图形；可回收物不是轴对称图形，注意箭头；有害垃圾是轴对称图形；其他垃圾不是轴对称图形，注意箭头．所以是轴对称图形的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．A【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．【详解】A 、232+35=a a a a ⋅=，故本选项正确；B 、32236=()a a a ⨯=，故本选项错误；C 、23336368()2=2ab a b a b =，故本选项错误；D 、223344a a ÷=，故本选项错误；故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．D【分析】根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.【详解】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，n 边形的内角的和等于：（n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；多边形的外角和为360°.4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．D【分析】两边同时乘以最简公分母2x -即可化为整式方程，再依次判断即可．【详解】解：两边同时乘以2x -得1(1)2+-=-，x x故选：D．【点睛】本题考查解分式方程．注意去分母两边同时乘以最简公分母时两边都要乘，每一项都要乘．6．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．【详解】解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．故选：C．【点睛】本题考查证明三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.8．D【分析】根据题意，判断出0m ≠，0n ≠，+0m n ≠，根据分式的性质逐个判断即可．【详解】解：∵ n m ，1m n +，1n都有意义， ∴ 0m ≠，0n ≠，+0m n ≠， ①222=n n n m mm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，仅需10n n m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即=1n m 时成立； ②111=m n m n++，不成立； ③22n n m m=，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④22n n m m +=+，()()2=2n m m n ++即2=2n m ，当=n m 时成立；故仅有②一定不成立，故选D【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出m 、n 和+m n 的范围． 9．()()222+-x x x【分析】原式提取2x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：328x x -22(4)x x =-2(2)(2)x x x =+-，故答案为：()()222+-x x x ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】 ∵分式21x +有意义， ∴10x +≠，解得1x ≠-.故答案为1x ≠-.11．3-【分析】由已知2a−b ＝0，可知b ＝2a ；将所得结果代入所求的式子中，经过约分、化简即可得到所求的值．【详解】解：∵2a−b ＝0，∴b ＝2a ； ∴23=32a b a a a a b a a a++==----．故答案为−3．【点睛】正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．12．（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或（a+b ）2-2ab ，故可得：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．13．80°【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的【详解】∵OC CD DE ==，∴O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，∴2DCE DEC x ∠=∠=，∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，∵75BDE ∠=︒，∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．14．1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h ===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===，又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+，即2233S S S h <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．17．0．【分析】原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．【详解】解：3232()a a a a ⋅+-÷=462a a a -÷=44a a -=0．【点睛】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．方程无解．【分析】先两边同乘以(1)(1)x x +-将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】 22111x x x =--，即211(1)(1)x x x x =-+-，方程两边同乘以(1)(1)x x +-化成整式方程，得12x x +=，移项，得21x x -=-，合并同类项，得1x -=-，系数化为1，得1x =，经检验，1x =时，原分式方程的分母等于0，即1x =不是原方程的解，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．19．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，去括号得：22322x x x x ++-=+，移项合并得：1x -=-，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思路就是去分母两边乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+-- 224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵2277x x -=，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．21．A ．【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断．(2)根据（1）即可得出证明过程【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，NA=NP，而MN=MN，∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确；如图2，∵MN∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN为平行四边形，∴MA=PN，MP=AN，而MN=MN，∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确．故选：A．（2）正确做法的证明同（1）【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．22．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ，根据题意， 11125601050x x+=，解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 24．（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析【分析】（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；b -c = m 2-mn =m （m -n ）＞0∴a ＞b ＞c ；（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn∴a -b ＜c∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 25．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN ，AP ，MP ，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP ，∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN 和∠MBC ；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM ，PC=CN ，再设BN 长为x ，利用3BM BN和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN ，AP ，MP ，∵N 、P 关于AC 对称，∴C 为PN 的中点，且AC 为NP 的中垂线，∴AN=AP ，∴△ANP 为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP （三线合一），同理可证∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B 在PM 的中垂线上，A 在PN 的中垂线上，∴PB=BM ，PC=CN ，设BN 长为x ，则BM 的长为3x ，CN 长为2-x ，∴PC=CN=2-x ，∵PB=BM=PC+BC,∴322x x =-+，解得x=1，∴满足条件的P 点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．26．（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ． ∵AB ＞AC ，∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．。

2020--2021学年上学期人教版八年级数学试题

2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷一．选择题（共12小题）1．在预防新冠疫情期间，到公共场所都要佩戴口罩，据了解口罩的规格有两种：儿童款（长14cm）和成人款（长17cm），其中超过标准长度的数量记为正数，不足的数量记为负数．质量监督局检查了四个药店的儿童口罩，结果如下，从长度的角度看，最接近标准的儿童口罩是（）A．+0.09B．﹣0.21C．+0.15D．﹣0.062．若|a|＝a，则a表示（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数3．已知方程x2﹣3x＝0，下列说法正确的是（）A．方程的根是x＝3B．只有一个根x＝0C．有两个根x1＝0，x2＝3D．有两个根x1＝0，x2＝﹣34．x、y、c是有理数，则下列判断错误的是（）A．若x＝y，则x+2c＝y+2c B．若x＝y，则a﹣cx＝a﹣cyC．若x＝y，则＝D．若＝，则x＝y5．点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，且点P在y轴的左侧，则点P的坐标是（）A．（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）D．（﹣3，2）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣2）7．下列属于圆柱体的是（）A．B．C．D．8．沿图中虚线旋转一周，能围成的几何体是（）A．B．C．D．9．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋10．下列说法：①已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3D．4个11．某校为了解七年级14个班级学生吃零食的情况，下列做法中，比较合理的是（）A．了解每一名学生吃零食情况B．了解每一名女生吃零食情况C．了解每一名男生吃零食情况D．每班各抽取7男7女，了解他们吃零食情况12．把25枚棋子放入右图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（）枚．A．6B．7C．8D．9二．填空题（共6小题）13．如果汽车向东行驶30千米记作+30千米，那么向西行驶20千米记作千米．14．若x＝﹣1为方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为．15．点M（﹣2，3）到x轴和y轴的距离之和是．16．个完全相同的圆锥形铁块，可以熔铸成一个与它们等底等高的圆柱．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．18．小芸为了解同学们最感兴趣的在线学习方式，设计了如下的调查问题（选项不完整）：你最感兴趣的一种在线学习方式是（）（单选）A．B．C．D．其他她准备从“①在线听课，②在线讨论，③在线学习2～3小时，④用手机在线学习，⑤在线阅读”中选取三个作为该问题的备选答案，合理的选取是．（填序号）三．解答题（共9小题）19．在抗洪抢险过程中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米）15，﹣7，18，9，﹣3，6，﹣8（1）通过计算说明B地在A地的什么位置；（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为40升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲锋舟在救援过程中是否还需要补充油？20．把下列各数填在相应的括号内：﹣，0，﹣30，，+20，﹣2.6，π，0.，0.3030030003…（每两个3之间逐次增加一个0）．正有理数集合：{…}；负数集合：{…}；整数集合：{…}．21．阅读理解题：下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程：x﹣4+4＝3x﹣4+4，①x＝3x，②1＝3．③（1）小明①的依据是．（2）小明出错的步骤是，错误的原因是．（3）给出正确的解法．22．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣x＝m的解互为相反数．（1）求m的值；（2）求这两个方程的解．23．已知当m，n都是实数．且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．24．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．问题解决：（1）该长方体纸盒的底面边长为cm；（请你用含a，b的代数式表示）（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的底面积为多少cm2；动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．拓展延伸：（3）该长方体纸盒的体积为多少cm3？（请你用含a，b的代数式表示）25．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点A关于直线BC的对称点为P，连接PB并延长．过点C作CD⊥AC，交射线PB于点D．（1）如图①，∠ACB为钝角时，补全图形，判断AC与CD的数量关系：；（2）如图②，∠ACB为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．26．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）如表，试根据这组数据估计哪一种水稻品种好．品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8 27．若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】根据题意可知绝对值最小的即为最接近标准的儿童口罩，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：|﹣0.06|＜|+0.09|＜|+0.15|＜|﹣0.21|，故选：D．2．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：∵|a|＝a，∴a为非负数，故选：D．3．【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣3）＝0，∴x＝0或x﹣3＝0，∴x＝0或x＝3，故选：C．4．【分析】根据等式的性质一一判断即可．【解答】解：A、根据等式的性质1可得出，若x＝y，则x+2c＝y+2c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、根据等式的性质1和2得出，若x＝y，则a﹣cx＝a﹣cy，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由x＝y得出＝必须c≠0，当c＝0时不成立，故本选项符合题意；D、根据等式的性质2可得出，若＝，则x＝y，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：C．5．【分析】根据题意，判断出点P所在的象限，再根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，判断即可．【解答】解：∵点P在y轴左侧，∴点P在第二象限或第三象限，∵点P到x轴的距离是3，到y轴距离是2，∴点P的坐标是（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），故选：A．6．【分析】由点A，B，C，D的坐标可得出四边形ABCD为矩形及AB，AD的长，由矩形的周长公式可求出矩形ABCD的周长，结合2019＝202×10﹣1可得出细线的另一端在线段AD上且距A点1个单位长度，结合点A的坐标即可得出结论．【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝2，AD＝3，四边形ABCD为矩形，∴C矩形ABCD＝（3+2）×2＝10．∵2019＝202×10﹣1，∴细线的另一端在线段AD上，且距A点1个单位长度，∴细线的另一端所在位置的点的坐标是（1，1﹣1），即（1，0）．故选：A．7．【分析】根据圆柱体的形状解答即可．【解答】解：A、图形是正方体，不符合题意；B、图形是梯形，不符合题意；C、图形属于圆柱体，符合题意；D、图形是圆，不符合题意；故选：C．8．【分析】根据“面动成体”可知，将长方形沿着长边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，得出判断即可．【解答】解：将长方形沿着一边旋转一周，所形成的几何体是圆柱，故选：B．9．【分析】利用轴对称画出图形即可．【解答】解：如图所示：，该球最后落入的球袋是4号袋，故选：D．10．【分析】根据三角形的三边关系，全等三角形的判定，等边三角形的判定，轴对称的性质一一判断即可．【解答】解：①已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7，错误，应该是中线AD的取值范围是1＜AD＜7．②两边和一角对应相等的两个三角形全等，错误，SSA不一定全等．③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，正确．④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，正确．故选：B．11．【分析】根据样本抽样的原则要求，逐项进行判断即可．【解答】解：根据样本抽样具有普遍性、代表性和可操作性，选项D比较合理，选项A为普查，没有必要，也不容易操作；选项B、C仅代表男生或女生的情况，不能反映全面的情况，不具有代表性，故选：D．12．【分析】把4个小三角形看作4个抽屉，把25枚棋子看作25个元素，那么每个抽屉需要放25÷4＝6…1，所以每个抽屉需要放6枚，剩余的1枚无论怎么放，总有一个抽屉里至少有6+1＝7，所以，至少有一个小三角形内至少要放7枚棋子，即可得出结论．【解答】解：25÷4＝6……1，6+1＝7（枚），故选：B．二．填空题（共6小题）13．【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东行驶记为正，可得向西行驶的表示方法．【解答】解：如果汽车向东行驶30千米记作+30千米，那么向西行驶20千米记作﹣20千米．故答案为：﹣20．14．【分析】把x＝﹣1代入方程得1﹣m＝0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得1﹣m＝0，解得m＝1．故答案为1．15．【分析】根据点的坐标与其到坐标轴的距离的关系进行解答．【解答】解：点M（﹣2，3）到x轴的距离为：3，到y轴的距离为：2，故点M（﹣2，3）到x轴和y轴的距离之和是：3+2＝5．故答案为：5．16．【分析】根据圆柱的体积是同底同高的圆锥的体积的三倍解答即可．【解答】解：因为圆柱的体积是同底同高的圆锥的体积的三倍，所以3个完全相同的圆锥形铁块，可以熔铸成一个与它们等底等高的圆柱．故答案为：3．17．【分析】如图，以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，∵2020÷6＝336…4，当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673次，故答案为：673．18．【分析】根据题意可得“①在线听课，②在线讨论，⑤在线阅读”合理．【解答】解：根据题意可知：①在线听课，②在线讨论，⑤在线阅读，作为该问题的备选答案合理，故答案为：①②⑤．三．解答题（共9小题）19．【分析】（1）求出所有正负数之和，可以判断B点位置；（2）求所有正负数的绝对值之和，即为行程总和，在确定所需油量即可求解．【解答】解：（1）15﹣7+18+9﹣3+6﹣8＝30（千米），答：B地在A地东面30千米；（2）15+7+18+9+3+6+8＝66（千米），66×0.5＝33＜40，答：不需补充．20．【分析】按照有理数的分类填写即可．【解答】解：正有理数集合：{，+20，0.…}负数集合：{，﹣30，﹣2.6…}整数集合：{0，﹣30，+20…}故答案为：，+20，0.；，﹣30，﹣2.6；0，﹣30，+20．21．【分析】根据等式的性质解答即可．【解答】解：（1）小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；（2）小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0；（3）x﹣4＝3x﹣4，x﹣4+4＝3x﹣4+4，x＝3x，x﹣3x＝0，﹣2x＝0，x＝0．故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；③；等式两边都除以0．22．【分析】（1）先分别解关于x的一次方程得到x＝m+1和x＝2﹣m，再利用相反数的定义得到m+1+2﹣m＝0，然后解关于m的方程即可；（2）把m的值分别代入x＝m+1和x＝2﹣m中得到两方程的解．【解答】解：（1）解方程x﹣2m＝﹣3x+4得x＝m+1，解方程2﹣x＝m得x＝2﹣m，根据题意得，m+1+2﹣m＝0，解得m＝6；（2）当m＝6时，x＝m+1＝×6+1＝4，即方程x﹣2m＝﹣3x+4的解为x＝4；当m＝6时，x＝2﹣m＝2﹣6＝﹣4，即方程2﹣x＝m的解为x＝﹣4．23．【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解：（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下，当A（5，3）时，m﹣1＝5，，得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“开心点”；点B（4，10）不是“开心点”，理由如下，当B（4，10）时，m﹣1＝4，，得m＝5，n＝18，则2m＝10，8+18＝26，所以2m≠8+n，所以点B（4，10）不是“开心点”；（2）点M在第三象限，理由如下：∵点M（a，2a﹣1）是“开心点”，∴m﹣1＝a，，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3），故点M在第三象限．24．【分析】（1）根据折叠可得答案；（2）将a＝24，b＝6代入底面积的代数式计算即可；（3）根据图2的裁剪，折叠后，表示出长、宽、高进而用代数式表示体积．【解答】解：（1）根据折叠可知，底面是边长为（a﹣2b）（cm）的正方形，故答案为：（a﹣2b）；（2）将a＝24，b＝6代入得，（a﹣2b）2＝（24﹣2×6）2＝144（cm2）答：长方体纸盒的底面积为144cm2；（3）裁剪后折叠成长方体的长为：（a﹣2b）cm，宽为cm，高为bcm，所以，折叠后长方体的体积为（a﹣2b）××b，即，b（a﹣2b）2，答：长方体的体积为b（a﹣2b）2．25．【分析】（1）结论：AC＝CD．想办法证明，AC＝CP，CD＝CP即可．（2）结论不变，证明方法类似（1）．【解答】解：（1）结论：AC＝CD．理由：如图①中，设AB交CD于O，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACO＝∠DBO＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠A，∴∠D＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．故答案为：AC＝CD．（2）结论不变．理由：如图②中，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠A+∠BDC＝180°，∵∠CDP+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠CDP∴∠CDP＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．26．【分析】首先求得平均产量，然后求得方差，进行比较即可．【解答】解：根据表格中的数据求得甲的平均数＝（9.8+9.9+10.1+10+10.2）÷5＝10；乙的平均数＝（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）÷5＝10，甲种水稻产量的方差是：[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]＝0.02，乙种水稻产量的方差是：[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]＝0.244．∴0.02＜0.244，∴产量比较稳定的水稻品种是甲．因为甲、乙两种水稻单位面积产量的平均数相等，甲种方差小于乙种方差，所以甲种水稻品种好．27．【分析】只有1和它本身两个因数的数，就是质数（或素数）．除了1和它本身以外，还有别的因数的数，就是合数．因为5个整数两两互素，它们的约数只能取2、3、5、7、11，又因为是合数，只能是约数的平方．所以可求解．【解答】解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，……，48中任取5个两两互素的不同的整数，若都不是素数，则其中至少有四个数是合数，不妨假设，a1，a2，a3，a4为合数，设其中最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4，由于两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同，设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7，因为a1，a2，a3，a4为合数，所以其中一定存在一个，aj≥p2≥72＝49，与n≤48矛盾，于是其中一定有一个是素数，综上所述，正整数n的最大值为48．。

2020~2021北京市西城区八年级初二上学期数学期末试卷及答案

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12.点A(1,-3)关于x 轴对称的点的坐标为
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13.计算:10a2b3÷(-5ab3)=
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14.如图,△ABC≌△ADE,点 D 在边BC 上,∠EAC=36°,
则∠B=
°.
北京市西城区2020-2021学年度第一学期期末试卷八年级数学第 2页(共6页)
15.已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上.小腾从家去食堂吃早餐,接着去图书馆
匀速运动.设点P 运动的时间为x,线段EP 的长为y,图2是y 与x 的函数关系的大致图象,则点P 的运动路径可能是
图1
A.C→B→A→E C.A→E→C→B
图2
B.C→D→E→A D.A→E→D→C
二、填空题 (本题共18分,第15,17题每小题3分,其余每小题2分)
11.若分式x1-4有意义,则x 的取值范围是
B.AC=DF,AB=DE
C.∠A=∠D,AB=DE
D.AC=DF,CB=FE
D.(ab2)2=a2b4
5.化简分式xyx+2x 的结果是
A.xy
B.yx+1
C.y+1
6.如果m2+m=5,那么代数式m(m-2)+(m+2)2 的值为
D.yx+x
A.14
B.9
C.-1
D.-6
7.已知一次函数y=kx-6,且y 随x 的增大而减小.下列四个点中,可能是该一次函数
;
(2)如图,已知点A(1,0),B(0,1),根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O
的 “直角距离”都等于1.
若点P 与原点O 的 “直角距离”dOP =1,请在图中将所有满足条件的点 P 组成

北京市东城区初二上学期期末数学试卷(含答案)

EDCBA东城区２015－－201６学年第一学期期末统一检测初二数学２0１６.1一、选择题（本题共３0分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中,是轴对称图形的是（ )ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩＡＢCD2．下列计算正确的是( ）A ．32x x x =+ B.632x x x =⋅ C.623)(x x = D ．339x x x =÷ 3.下列式子为最简二次根式的是( )Ａ、3 Ｂ、4 Ｃ、8 D 、214.如果2-x 有意义，那么x 的取值范围是( ）A ．x ＞2 Ｂ.x ≥2 C.x ≤2ﻩﻩ Ｄ.x <２５.如图在△A ＢＣ中，∠ＡCB =９0°，BE 平分∠ＡBC ,ＤE ⊥AB 于Ｄ,如果AC =3 cｍ,那么ＡE ＋DE 等于( ） A .２ｃｍ B .3 cmＣ．4 c ｍＤ.5 c ｍ６.如图,所示的图形面积由以下哪个公式表示 2222222222.()().()=2.()2.()()A a b a a b b a bB a b a ab bC a b a ab bD a b a b a b -=-+---++=++-=-+７.若分式211x x --的值为0，则x 的值为( )A ． 1.x =B ． 1.x =-C ． 1.x =± D. 1.x ≠ 8.若11,x x -=则221x x+的值是 ( ） A.３ B ．2 C.１Ｄ.49.如图,△ABC中，AＢ＝AC,D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,连接OC,ＯＢ，则图中全等的三角形有A.1对Ｂ.２对Ｃ.3对D.4对10.如图，正方形ABCＤ的面积为１2,△AＢＥ是等边三角形,点E在正方形ＡBCD 内,在对角线AC上有一点P，使PＤ+ＰＥ最小，则这个最小值为( ）ﻩ2 C. 2 D.ﻩA. Ｂ.ﻩ二、填空题(本题共14分，每空2分)11．中国女药学家屠呦呦获2０15年诺贝尔医学奖,她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素, 这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学技术法表示为．12. 如图，AＢ=ＡＣ，点E,点D分别在AＣ,AB上，要使△AＢＥ≌△ACD,应添加的条件是.(添加一个条件即可)1３.若22(3)16+-+是一个完全平方式,那么m应为 .x m x１4.如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MＮ与ＡC交于点M,∠A=１50,BM=2,则△AMB的面积为.15．在平面直角坐标系x Ｏy 中,已知点Ａ（２,3),在坐标轴上找一点P,使得△ＡOP 是等腰三角形,则这样的点P 共有个．１6. 观察下列关于自然数的等式:514322=⨯- ① 924522=⨯- ② 1334722=⨯- ③根据上述规律解决下列问题：⑴完成第四个等式：； ⑵写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示）；三、解答题（本题共56分)解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。

2020-2021学年北京海淀区人教版八年级(上)期末数学试卷(含答案)

2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣73．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a54．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是．（写出一个即可）13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为cm．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．18．（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．19．（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．20．（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠．（）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．21．（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．22．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．23．（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝对称．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．25．（7分）（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l为过点M（m，0）且与x轴垂直的直线．对某图形上的点P（a，b）作如下变换：当b≥|m|时，作出点P关于直线l的对称点P1，称为Ⅰ（m）变换；当b＜|m|时，作出点P关于x轴的对称点P2，称为Ⅱ（m）变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ（m）变换，又有点作了Ⅱ（m）变换，我们就称该图形为m﹣双变换图形．例如，已知A（1，3），B（2，﹣1），如图1所示，当m＝2时，点A应作Ⅰ（2）变换，变换后A1的坐标是（3，3）；点B作Ⅱ（2）变换，变换后B1的坐标是（2，1）．请解决下面的问题：（1）当m＝0时，①已知点P的坐标是（﹣1，1），则点P作相应变换后的点的坐标是；②若点P（a，b）作相应变换后的点的坐标为（﹣1，2），求点P的坐标；（2）已知点C（﹣1，5），D（﹣4，2），①若线段CD是m﹣双变换图形，则m的取值范围是；②已知点E（m，m）在第一象限，若△CDE及其内部（点E除外）组成的图形是m﹣双变换图形，且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积．2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）【考点】因式分解的意义．【专题】整式；运算能力．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；作图—基本作图．【专题】作图题；应用意识．【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝a﹣b，当a﹣b＝2时，原式＝2．故选：A．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定【考点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，证明△AEB≌△HEC，根据全等三角形的性质得到AB＝CH，∠BAE＝∠H，根据三角形的高、中线、角平分线的定义解答即可．【解答】解：假设AB＜AC，如图所示，延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，在△AEB和△HEC中，，∴△AEB≌△HEC（SAS），∴AB＝CH，∠BAE＝∠H，∵AB＜AC，∴CH＜AC，∴∠CAH＜∠H，∴∠CAH＜∠BAE，∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是x≠2．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式的分母不等于零分式有意义，可得答案．【解答】解：要使式子有意义，得x﹣2≠0．解得x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用了分式的分母为零分式无意义．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝3a+2．【考点】整式的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（3a2+2a）÷a＝3a2÷a+2a÷a＝3a+2．故答案为：3a+2．【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为3．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝，故答案为：3．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．（写出一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】由全等三角形的判定定理可求解．【解答】解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；故答案为：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1＞S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：方案一：如图1，S1＝a2﹣b2，方案二：如图2，S2＝（a﹣b）（+b+）﹣b2＝（a﹣b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣b2﹣b2＝a2﹣2b2，∵S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝a2﹣b2﹣a2+2b2＝b2＞0，∴S1＞S2．故答案为：＞．【点评】本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为30°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN的垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．【考点】等腰直角三角形；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由轴对称的性质可求点B坐标，由等腰直角三角形的性质可求OC＝OA＝3，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，∴点B（0，﹣3），∴OA＝OB＝3，又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴OC＝OA＝OB＝3，∴点C（3，0）或（﹣3，0），故答案为：（3，0）或（﹣3，0）．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是本题的关键．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为64cm．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据已知条件得到当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵在骑行过程中脚总可以踩到踏板，∴当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，则，AD最长为AB+BC﹣CD＝40+40﹣16＝64（cm），故答案为：64．【点评】本题考查了旋转的性质，知道当AB+BC＝AD+CD时，AD最长是解题的关键．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（8分）（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂．【专题】因式分解；实数；运算能力．【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝+﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（5分）（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，∵3x2﹣x﹣1＝0，∴3x2﹣x＝1．∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．19．（5分）（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD ＝CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC＝CB，∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定．20．（5分）（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB．（等边对等角）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题；推理能力．【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．【解答】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠ADB＞∠C，∴∠ABD＞∠C，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD，∴∠ABC＞∠C．故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（5分）（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．【考点】分式方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【分析】设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元，根据题意可得等量关系：2800元所购买的香蕉的重量﹣2500元所购买的橘子的重量＝150，再列出方程，解出x的值即可．【解答】解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元．根据题意，得﹣＝150，解得x＝10，检验：当x＝10时，70%x≠0．所以原分式方程的解为x＝10且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．22．（6分）（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝90°，在Rt△CAE与Rt△ABD中，，∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），∴CE＝AD．（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．由（1）得CE＝AD，∵AD＝CF，∴CE＝CF．∴∠CFE＝∠E，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFB＝∠E．∵∠E＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，∴∠EAC＝∠DBC．∵∠EAC＝∠BAD，∴∠BAD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．23．（5分）（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝2对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝﹣1对称．【考点】配方法的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；（2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴＝3即可；（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，则多项式关于x＝2对称，故答案为：2；（2）∵x2+2bx+3＝（x+b）2+3﹣b2，∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称，∴﹣b＝3，∴b＝﹣3；（3）原式＝（x+4）2（x﹣2）2＝[（x+4）（x﹣2）]2＝（x2+2x﹣8）2＝[（x+1）2﹣9]2＝[（x+1+3）（x+1﹣3）]2＝（x+4）2（x﹣2）2，当x＝﹣4和2时，原式＝0，∴关于x＝﹣1对称，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．。

东城区2020-2021学年第二学期期末考试初二数学试题及答案

北京市东城区2020-2021学年度第二学期期末初二数学 2021.7一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.函数11y x =+的自变量取值范围是 A. x ≥-1 B.x ≤-1 C. x ≠-1 D. x ≠12．如图，数轴上点B 表示的数为1，AB ⊥OB ，且AB =OB ，以原点O 为圆心，OA 为半径画弧，交数轴正半轴于点C ，则点C 所表示的数为AB．C1 D ．13.为筹备学校元旦联欢晚会，在准备工作中，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，再决定最终买哪种水果，下面的统计量中，他最关注的是 A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．方差4.下列各组数中，能作为直角三角形边长的是A.1、2、3B.6、7、8C.1、1D. 5、12、13 5.一次函数y =3x +1的图象经过点(,),(,),y y 1212则以下判断正确的是....A y y B y y C y y D ><=121212无法确定6.在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝2x +1向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为A ．y ＝2x ﹣1B ．y ＝2x +2C ．y ＝2x +3D ．y ＝2x ﹣27.菱形和矩形都具有的性质是A. 对角线互相垂直B. 对角线长度相等C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分8. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选甲乙丙丁平均数 80 85 85 80A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9. 如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且∠AFC =90°，若BC =12，AC =8，则DF 的长为A.1B.2C.3D.4 10.若定义一种新运算：2,()212,()a b a b a b a b a b -≥⎧⊗=⎨+-<⎩例如：31=23-1=5;45=24+5-12=1⊗⨯⊗⨯．则函数y =(+2)(22)x x ⊗-的图象大致是)11.写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数解析式____________ 12.在□ABCD 中，若∠A +∠C =100°，则∠A =°.方差 42 45 54 5913.某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示：日走时误差（单位：秒）0123只数4321则这10只手表的平均日走时误差是____________秒.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝kx与y2＝ax＋3的图象相交于点A(-1，2)，则关于x的不等式kx＞ax＋3的解集是．15.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP=°．16.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示.在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为17.如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，B C′交AD于点E，若AB=3，BC=6，则DE的长为________．xy2-1y=ax+3y=kxAO18.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠ABC = 60°，点E 是CD 的中点，点M 是AC 上一点，则MD +ME 的最小值是________．三、解答题(第19题4分，第20-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共54分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程19. 已知：如图1，△ABC 为锐角三角形，AB AC =. 求作：菱形ABDC . 作法：如图2.①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧在CAB ∠的内部相交于点E ，作射线AE 与BC 交于点O ；③以点O 为圆心，以O A 长为半径作弧，与射线AE 交于点D ，点D 和点A 分别位于BC 的两侧，连接CD ，BD ；四边形ABDC 就是所求作的菱形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明:由作法可知，AE 平分CAB ∠，∵AB AC =， ∴CO =__________. ∵AO DO =，C'EDCBANM C BAC BA∴四边形ABDC是平行四边形.（__________）.（填推理的依据）.，∵AB AC∴四边形ABDC是菱形（__________）（填推理的依据）.20.如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O．求证∶OE＝OF．21.下表是一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中x与y的两组对应值.（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.22.如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形ABC．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；23. 2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日.某校开展了一次党史知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理数据，得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），信息二：第三组的成绩（单位：分）为71，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，79根据信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是_____分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______分；（3）若该校共有1500名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于．．．80分的人数．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1经过原点，且与直线l 2：y=-x+3交于点A (m ,2)，直线l 2与x 轴交于点B .(1) 求直线l 1的函数解析式；(2) 点P (n ,0)在x 轴上，过点P 作平行于y 轴的直线，分别交直线l 1与直线l 2于点M 、N ，若MN =OB ，求n 的值.25.如图，在四边形ABCD 中， AB ＝CD=6，BC =10，AC=8，∠ABC=∠BCD ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ．连接BF ，CF . （1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．(分)26.某种机器工作前先将空油箱加满(加油过程．．．．)．，然后停止加油立即开始工作（加工过程．．．．），当停止工作时，油箱中油量为10升.在整个过程中，油箱里的油量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示．（1）机器加油过程．．．．中每分钟加油量为升，机器加工过程．．．．中每分钟耗油量为升．（2）求机器加工过程．．．．时y 关于x 的函数解析式; （3）当油箱中油量为油箱容积的一半时，直接写出x 的值．27.如图，点P 正方形ABCD 边BC 上一点，∠BAP ＝α，作点D 关于直线AP 的对称点E ，连接AE ，作射线EB 交直线AP 于点F ，连接CF . （1）依题意补全图形；（2）求∠ABE 的度数；（用含α的式子表示）（3）①∠AFB=°;②用等式表示BE 、CF 的数量关系，并给出证明．A FDCBE（分）28.在平面直角坐标系x O y中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M 上存在点Q，使得0≤PQ≤1，那么称点P为图形M 的和谐点．已知点A（3，3），B（-3，3）．（1）在点P₁（﹣2，2），P2（0，3.5），P3（4，0）中，直线AB的和谐点是__________ ；（2）点P在直线y＝x-1 上，如果点P是直线AB的和谐点，求点P的横坐标x的取值范围；（3）已知点C(-3,-3),D(3,-3)，如果直线y＝x+b上存在正方形ABCD 的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是正方形ABCD 的和谐点，且EFb的取值范围.北京市东城区2020-2021学年度第二学期期末教学统一检测初二数学评分标准及参考答案2021.7题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10答案 C A A D B C D B B A五、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)11.y=3x,(答案不唯一，只需k＞0) 12.5013. 1 14. -1x＜15. 22.516. 10 17. 15418.27三、解答题(第19题4分，第20-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共54分)19.图略；BO; 对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.1每空分20.证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC. 2分∴∠EDO＝∠FBO. ∠DEO＝∠BFO．∵AE＝CF，∴AD－AE＝CB－CF. 即DE＝BF…….3分∴△DOE≌△BOF. 4分∴OE＝OF．5分21.解：（1）将x＝-2，y＝6和x＝0，y＝3分别代入，得-26,3.x bb+=⎧⎨=⎩，解得3,23.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴所求一次函数的解析式为33.2y x=-+2分（2）直线与坐标轴交点分别为(2,0),(0,3) …….4分A DB123 3.52S =⨯⨯=分22.解：（1）如图①中，△ABC 即为所求．2分（2）如图②中，△ABC 即为所求．4分（3）△ABC 即为所求．5分（答案不唯一）23.解（1）第二组的频数为50-4-12-20-4=10（人）图略1分（2）76, 783分（3）241500=720550⨯（人）分24. 解：(1)∵点A 在直线l 2上，∴m =11分设直线l 1的解析式为：y=k x ∵直线经过点A(1,2),∴k=2.∴直线l 1的解析式为:y 2x = ……2分（2）依题意可得： B(3,0)…….3分设M(n ,2n ),N(n ,-n +3), ∵MN=OB∴2n -(-n+3)=3 或 -n +3-2n =3 ∴n =2 或n =0 ……5分25.（1）证明：∵ DE ⊥BC ，EF ＝DE ． ∴BC 是DF 的垂直平分线.∴CD=CF . ……1分∴∠BCF=∠BCD .∵AB=CD ，∠ABC=∠BCD ，∴AB=CF.∠ABC=∠BCF .∴AB ∥CF.∴四边形ABFC 为平行四边形. …….2分∵AB =CD=6，AC=8，BC =10，∴∠BAC=90°.∴四边形ABFC 是矩形. ……3分（2）∵四边形ABFC 是矩形.∴∠BFC=90°，BF=AC=8,CF=AB=6.在Rt △BFC 中，FE ⊥BC4.8= 4.8=4810 2121EF DE EF EF =∴=•=• 解得即FC BF EF BC26.解：（1）9, 1 …2分（2）设所求函数关系式为y=kx+b ，由图象过（10，90），（90，10）两点，10+=9090+=10k b k b ⎧⎨⎩解得1,100.k b =-⎧⎨=⎩∴100y x =-+…4分（3）5或55 …6分27.解：（1）补全图形如图所示 1分F E…… 4分…… 5分E（2）∵四边形ABCD 是正方形，α=∠BAP∴α-90︒=∠DAP∵点D 与点E 关于AP 对称∴AE=AD=AB,α90DAP EAP -︒=∠=∠∴α90EAB 2-︒=∠∴α45AEB ABE +︒=∠=∠……3分(3)①454AFB ∠=︒分 ②CF 2BE =……5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BE 于H,过点C 作CG ⊥EF 交EF 的延长线于点G. ∵AB=AE ，∴BE=2BH.∵︒=∠45AFB ……6分∴△AHF 为等腰直角三角形.∴AH=FH∵，0，0︒=∠+∠︒=∠+∠9ABH CBG 9ABH BAH ∴，CBG BAH ∠=∠ ∵AB=BC,BGC AHB ∠=∠ ∴△ABH ≌△BCG. ∴BH=CG , AH=BG. ∴FH=BG.∴BH=FG=CG.∴BE=2CG,△CFG 为等腰直角三角形.∴CG 2FC =. ∴CF 2BE =. ……7分28.(1)12,P P (2)直线AB 的和谐点都介于直线y=2和直线y=4之间(包括边界)，直线y=x-1上，且当y=2时，x=3, 当y=4时，x=5, 所以满足条件的x 的范围是：5x 3≤≤.(3)7b -＜＜7……2分 ……5分 ……7分。

2020-2021学年北京市东城区八年级(上)期末语文试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市东城区八年级(上)期末语文试卷(附答案详解)2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末语文试卷 1.(2021·北京市市辖区·期末考试)为帮助大家了解中国的历史和身边的文化遗产，班委会利用紫禁城建成六百周年、XXX成立九十五周年的机会，策划了“走进故宫，了解身边的文化遗产”主题活动。

下面是“历史与变迁”小组发现的介绍故宫的文字，阅读这则材料，完成下面小题。

永乐四年（1406年）XXX，多位大臣离开首都南京城，分赴大江南北。

他们奉命到各地督民采木、烧造砖瓦，征发人力和物资，将各种资源长途①涉运至北京。

为修建一座恢弘壮丽的宫城做准备。

史料记载“以百万之众，终岁在官供役”，文字难以描绘建造者的殚精竭虑，后人也难以想象工程量之大。

永乐十八年（1420年）十一月，紫禁城主体建筑建成，标志着紫禁城正式登上历史舞台。

从1421年XXX入住紫禁城开始，到1924年XXX皇帝XXX被国民军“请出”为止，在长达500年的时间里，紫禁城先后住进了24位主人。

1925年，紫禁城有了新的名字--故宫，它从皇帝的“家”成为老百姓的博物馆。

1949年北平和平解放时，紫禁城破败残损。

之后，随着我国综合国力的提升和文化事业的发展，紫禁城迎来了全面发展。

它不但重现了昔日的皇宫格式，更成为游客②肩接踵、备受世界推③的中国文化名片。

1987年，故宫被XXX构造列为“世界文化遗产”。

紫禁城，历经六百年，每一个角落，每一件器物，都在传承着源于历史深处、鲜为人知的故事。

它像是一部长卷，所有与之相关的有情众生，都被镌刻其中……加点字的注音全都正确的一项为哪一项______A.记载izàB.记载zǎiC.记载zǎiD.记载izà殚精竭虑XXX 殚精竭虑XXX n殚精竭虑dàn殚精竭虑dàn雕刻juà镌刻XXXn雕刻juà镌刻XXX结合语境，横线处填入的词全都正确的一项是______A.①拔B.①跋C.①拔D.①跋②摩③祟②磨③崇②磨③祟②摩③崇第1页，共24页2.(2021·北京市市辖区·期末考试)以下是“建筑与智慧”小组的同学找到的资料，按要求完成下面小题。

2020--2021 学年上学期人教版八年级数学试卷

2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷一．选择题（共12小题）1．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为（）A．B．C．D．2．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）A．9B．10C．12D．133．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（）A．2B．4C．6D．84．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（）A．8人B．10人C．12人D．14人5．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886B．903C．946D．9906．规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝x ﹣[x]的图象为（）A．B．C．D．7．一个长为19cm，宽为18cm的长方形，如果把这个长方形分成若干个正方形要求正方形的边长为正整数，那么该长方形最少可分成正方形的个数（）A．5个B．6个C．7个D．8个8．下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．9．如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P，一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源S所发出的光线（）A．1次B．2次C．3次D．4次10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D、E、F分别在边AC、BC、AB上．且△CDE与△FDE关于直线DE对称．若AF＝2BF，AD＝7，则CD＝（）A．3B．5C．3D．511．某班同学参加植树，第一组植树15棵，第二组植树18棵，第三组植树14棵，第四组植树19棵．为了把这个班的植树情况清楚地反映出来，应该制作的统计图为（）A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．条形统计图、扇形统计图均可12．打字员小金连续打字14分钟，打了2 098个字符，测得她第一分钟打了112个字符，最后一分钟打了97个字符．如果测算她每一分钟所打字符的个数，则那个不成立（）A．必有连续2分钟打了至少315个字符B．必有连续3分钟打了至少473个字符C．必有连续4分钟打了至少630个字符D．必有连续6分钟打了至少946个字符二．填空题（共6小题）13．已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a ﹣c|＝．14．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡．（1）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡；（2）试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡．15．如图1，平面上两条直线l1，l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线l1的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对（p，q）为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为（0，0），点N的“距离坐标”为（3.6，4.2）．（1）如图2，点A的“距离坐标”为，点B的“距离坐标”为；（2）如图3，点C，D分别在直线l1，l2上，则C，D两个点中，“距离坐标”为（3，0）的点是；（3）平面上“距离坐标”为（0，5）的点有个，“距离坐标”为（5，5）的点有个．16．如图，在长方体ABCD─EFGH中，与棱AB相交的棱有．17．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AB＝2，AC＝2．P、Q分别为边AD、DC 上的动点，D1是点D关于PQ的对称点，过点D1作D1F∥BC分别交AC、AB于点E、的最大值为．F，且满足D1E：D1F＝1：3，则D1F组别（cm）145.5～152.5152.5～159.5159.5～166.5166.5～173.5频数（人）919148频率是0.28的这一小组的组中值是．三．解答题（共9小题）19．“十一”黄金周期间，某市在7天中外出旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数变化+1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.4（单位：万人）（1）若9月30日外出旅游人数为5万人，求10月2日外出旅游的人数；（2）在（1）的条件下请判断七天内外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？（3）如果这七天中最多一天出游人数为8万人，问9月30日出去旅游的人数有多少？20．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．21．小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化为分数，解决方法是：设x＝，即x＝0.333…，将方程两边都×10，得10x＝3.333…，即10x＝3+0.333…，又因为x＝0.333…，所以10x＝3+x，所以9x＝3，即x＝，所以＝．尝试解决下列各题：（1）把化成分数为．（2）请利用小明的方法，把纯循环小数化成分数．22．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．（1）求A、B所表示的数；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．①求线段BC的长；②在数轴上是否存在点P，使P A+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．23．如图．已知A（2，0），B（5，0），点P为圆A上一动点，圆A半径为2，以PB为边作等边△PMB，求线段AM的取值范围．24．将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色．（1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？（请填写下表）：棱等分数4等分n等分3面涂色的正方体个个2面涂色的正方体个个1面涂色的正方体个个个个各个面都无涂色的正方体（2）请直接写出将棱7等分时只有一个面涂色的小正方体的个数．25．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．26．李明为了了解本班同学的身高情况，随机抽取了一部分同学进行身高测量，获得如下数据（单位：cm）：139，118，137，129，135，156，148，137，112，149，139，135，138，117，116，160．（1）根据以上数据填表：身高h（单位：cm）画记人数占调查人数的百分比（%）h≤120120＜h≤140h＞140（2）以上这种调查方式称为调查（填“全面”或“抽样”）；（3）要直观地反映各身高段人数的多少，应画统计图比较合适；要直观地反映各身高段人数占被调查人数的百分比，应画统计图比较合适．27．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n个数，放入集合A中，从A中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n的最大值．2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】有条件：分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数，用列举法逐个尝试即可得出答案．【解答】解：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，由于原10个有理数互不相等，可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22．它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，那么，如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．所以，10个真分数相加得出结果为5，于是所求的10个有理数之和为5/9．故选：D．2．【分析】三个顶角分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．【解答】解：由图可知S＝3+4+5＝12．故选：C．3．【分析】根据一元一次方程的定义，则x2系数为0，且x系数≠0，得出m＝﹣3；由|a|≤|m|，得a﹣m≥0，a+m≤0，∴|a+m|+|a﹣m|＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．【解答】解：∵一元一次方程则x2系数为0，且x系数≠0∴m2﹣9＝0，m2＝9，m＝±3，﹣（m﹣3）≠0，m≠3，∴m＝﹣3，|a|≤|﹣3|＝3，∴﹣3≤a≤3，∴m≤a≤﹣m，∴a﹣m≥0，|a﹣m|＝a﹣m，a+m≤0，|a+m|＝﹣a﹣m，∴原式＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．故选：C．4．【分析】设A组所检验的每个车间原有成品a件，每个车间1天生产b件，可得A组前两天检验的总件数和后三天检验的总件数为．根据检验员的检验速度相同，可列式等式得到a和b的关系，即可得A组一名检验员每天检验的成品数．再根据B组检验员的人数＝五个车间的所有成品÷A组一名检验员每天检验的成品数，列式即可得解．【解答】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得：，解得a＝4b；则A组每名检验员每天检验的成品数为：2（a+2b）÷（2×8）＝12b÷16＝b．那么B组检验员的人数为：5（a+5b）÷（b）÷5＝45b÷b÷5＝12（人）．故选：C．5．【分析】根据点的坐标变化寻找规律即可．【解答】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→L，发现：当x＝0时，有两个点，共2个点，当x＝1时，有3个点，x＝2时，1个点，共4个点；当x＝3时，有4个点，x＝4，1个点，x＝5，1个点，共6个点；当x＝6时，有5个点，x＝7，1个点，x＝8，1个点，x＝9，1个点，共8个点；当x＝10时，有6个点，x＝11，1个点，x＝12，1个点，x＝13，1个点，x＝14，1个点，共10个点；…当x＝，有（n+1）个点，共2n个点；2+4+6+8+10+…+2n≤2018≤2018且n为正整数，得n＝44，∵n＝44时，2+4+6+8+10+…+88＝1980，且当n＝45时，2+4+6+8+10+…+90＝2070，1980＜2018＜2070，∴当n＝44时，x＝（44×45）＝990，∴1980＜2018＜1980+46，∴2018个粒子所在点的横坐标为990．故选：D．6．【分析】[x]还可理解为取小，分当x≥0、x＜0，代入相应的点依次求解即可．【解答】解：[x]还可理解为取小，1、x﹣[x]≥0，所以y≥0；2、当x为整数时，x﹣[x]＝0，此时y＝0；3、y＝x﹣[x]的图象为y＝x（0≤x≤1）的图象向左或向右平移[x]个单位（根据[x]的±，左加右减）；基于以上结论，可得：（1）当x≥0时，当x＝0时，y＝0﹣0＝0，x＝1时，y＝1﹣1＝0，当x＝1.2时，y＝1.2﹣1＝0.2；x＝1.5时，y＝1.5﹣1＝0.5，即x在两个整数之间时，y为一次函数；当x＝2时，y＝2﹣2＝0，符合条件的为A、B；（2）当x＜0时，当x＝﹣1时，y＝﹣1+1＝0，x＝﹣1.2时，y＝﹣1.2+2＝0.8，x＝﹣2时，y＝﹣2+2＝0，在A、B中符合条件的为A，故选：A．7．【分析】根据正方形的边长为正整数的特点，可知长为19cm，宽为18cm的长方形，分成若干个正方形，上面两个正方形从左至右为11和8，8下面从左至右是3和5，最下面一排从左至右是7，7，5时正方形的个数最少．【解答】解：7个正方形边长分别11，8，7，7，5，5，3．另外，不可能分成5个或6个正方形，这个证明很麻烦，大概过程是通过编程列出所有可能的组合（如所有满足5个或6个数平方之和等于18×19且最大两个和不超过19的整数组合），然后对每个组合逐一否定其可行性，所以不用担心有更少正方形的组合．故选：C．8．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A缺少两个底面，不能围成棱柱；选项C中折叠后没有上底面，不能折成棱柱，选项D不能组成棱柱，是因为上下两底面四个边的长不能与侧面的边等长、重合．，只有B能围成三棱柱．故选：B．9．【分析】根据光线的反射，即可确定．【解答】解：有4条：分别是：由S发出的线SP；由S发出，经过AD反射直接通过P的光线；由S发出，经过CD反射直接通过P的光线；由S发出，经过CD反射再经过AD反射通过P的光线．故选：D．10．【分析】如图，过点F作FT⊥CF交AC于T，过点T作TH⊥AB于H，设CD＝x．用两种方法求出AB的长，由此构建方程求解即可．【解答】解：如图，过点F作FT⊥CF交AC于T，过点T作TH⊥AB于H，设CD＝x．∵BA＝BC，∠B＝90°，AC＝7+x，∴AB＝BC＝7+x，∵△CDE与△FDE关于直线DE对称，∴DC＝DF，∴∠DFC＝∠FCD，∵∠DFT+∠DFC＝90°，∠FCD+∠CTF＝90°，∴∠DFT＝∠DTF，∴DF＝DT＝DC＝x，∴AT＝7﹣x，∵∠A＝45°，∠AHT＝90°，∴∠A＝∠ATH＝45°，∴AH＝HT＝7﹣x，∵∠AFT+∠CFB＝90°，∠CFB+∠BCF＝90°，∴∠AFT＝∠BCF，∵AF＝2BF，∴BC＝AB＝3BF，∴tan∠AFT＝tan∠BCF＝＝，∴FH＝3HT＝21﹣3x，AF＝28﹣4x，∴BF＝AF＝14﹣2x，∵AF+BD＝AB，∴28﹣4x+14﹣2x＝7+x，∴x＝5，∴CD＝5，故选：D．11．【分析】根据题意，要表示这个班的植树情况结合三种统计图的特点，折线图体现变化情况，扇形图体现各部分的数值、比例关系，条形图体现各部分的数值大小，分析可得答案．【解答】解：根据题意，要求把这个班的植树情况清楚地反映出来，即体现数字间的关系，使用条形统计图、扇形统计图均可，故选：D．12．【分析】首先根据小金第一分钟打了112个字符，最后一分钟打了97个字符，算出中间12分钟打的字符数．再根据12分钟可以分成6段（6×2）、4段（4×3）、3段（3×4）．计算出每段打的字符数，与选项比较．【解答】解：小金中间的12分钟打了2098一112﹣97＝1889个字符．把这12分钟分别平均分成6段、4段、3段，每段分别是2分钟、3分钟、4分钟，∵1889÷6≈314.8，1889÷4≈472.3，1889÷3≈629.7，∴应用抽屉原理知A、B、C均成立．但1889÷2＝944.5，因此如果小金每分钟所打字符个数依次是112，158，157，158，157，158，157，158，157，158，157，157，157，97，则她连续6分钟最多打了3×（158+157）＝945个字符，结论D不成立．故选：D．二．填空题（共6小题）13．【分析】根据图示，可知有理数a，b，c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞﹣1，然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|的值．【解答】解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞﹣1，∴|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|＝﹣c+b﹣b+a﹣a+c＝0故答案是0．14．【分析】（1）将砝码①，③，…，⑳放在天平一边，砝码②，④，…，19克放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码即可；（2）将砝码①，②，…，14克放在天平一边，砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡．【解答】解：（1）天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码；（2）天平一边是砝码①，③，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡．15．【分析】首先要了解，距离坐标的有序数对的构成方法，在此基础上要知道当点在某条直线上时，其对应直线上的距离坐标实际为0；同时，要通过画图，分析出到一条直线距离为定值的点在与已知直线平行的两条直线上．此时，答案就比较容易得出．【解答】解：（1）图形点A到直线l1、l2的距离分别是1.6和2.5，点B到直线l1、l2的距离分别是2.2和1.5．故答案是（1.6，2.5），（2.2，1.5）（2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线l1、l2的距离，所以，到直线l1、l2的距离分别是3，0．结合已知图形，可知满足条件的为点D．故答案是：D（3）（0，5）代表点到直线l1、l2的距离分别是0和5，则所求点在直线l1上，且到l2的距离为5，这样的点在l2两侧各有一个．如图，直线AB∥CD∥l2且相邻两条直线距离为5，直线AD∥BC∥l1，且相邻两条直线距离为5，A、B、C、D四点的“距离坐标”为（5，5）．故答案是：2，416．【分析】在长方体中，棱与棱之间有平行，相交（垂直），和异面等关系．【解答】解：观察图形可知，与棱AB相交的棱有AD，AE，BC，BF．故答案为AD，AE，BC，BF．17．【分析】如图，连接AD1．设AF＝a，首先证明四边形AED1M是平行四边形，推出∠DMD1＝30°，由题意，点D1的运动轨迹是以P为圆心，PD为半径是圆上，当点P与A重合时，D1F的值最大，过点D1作D1H⊥D于H．利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图，连接AD1．设AF＝a在AD上取一点M，使得AM＝AF＝a，连接MD′，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ACB＝30°，∴EF＝2AF＝2a，∵D1E＝3D1F，∴ED1＝a＝AM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BCAD＝BC＝2AB＝4，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∵AM＝ED1，AM∥ED1，∴四边形AMD1E是平行四边形，∴MD1＝AE＝a，AE∥MD1，∴∠DMD1＝∠CAD＝30°，∵由题意，点D1的运动轨迹是以P为圆心，PD为半径是圆上，∴当点P与A重合时，D1F的值最大，过点D1作D1H⊥D于H．则有HD1＝MD1＝a，MH＝a，∴AH＝a，在Rt△AHD1中，则有42＝（a）2+（a）2，解得a＝（负根已经舍弃），∴D1F的最大值＝3a＝，故答案为．18．【分析】频率是0.28的人数为总人数×该组对应的频率，即频率是0.28的人数＝50×0.28＝14人，所以是159.5到166.5这组；根据组中值的概念可知，组中值＝，则159.5到166.5段的组中值为＝163．【解答】解：频率是0.28的一组的频数＝50×0.28＝14人，∴这一组是159.5﹣166.5组，∴组中值为＝163．故本题答案为：163．三．解答题（共9小题）19．【分析】（1）根据若9月30日外出旅游人数为5万人，正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，表示出10月2日外出旅游的人数，即可解决；（2）分别表示出10月1日到7日的人数，即可得出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，以及它们相差多少万人；（3）设9月30日外出旅游人数记为a万人，最多一天有出游人数8万人，即：a+1.6+0.8+0.4＝8，可得出a的值．【解答】解：（1）根据题意得：∵9月30日外出旅游人数为5万人，∴10月1日外出旅游人数为：5+1.6＝6.6（万人），∴10月2日外出旅游人数为：6.6+0.8＝7.4（万人）；（2）10月3号外出旅游人数为：7.4+0.4＝7.8（万人）；10月4号外出旅游人数为：7.8﹣0.4＝7.4（万人）；10月5号外出旅游人数为：7.4﹣0.8＝6.6（万人）；10月6号外出旅游人数为：6.6+0.2＝6.8（万人）；10月7号外出旅游人数为：6.8﹣1.4＝5.4（万人）；10月3号外出旅游人数最多；7号最少；相差7.8﹣5.4＝2.4（万人）；（3）设9月30日外出旅游人数记为a万人，则a+1.6+0.8+0.4＝8，解得a＝5.2．故9月30日出去旅游的人数有5.2万．20．【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则＝++＝﹣1+1+1＝1．（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，∴＝＝1．21．【分析】（1）根据阅读材料设x＝0.，方程两边都乘以10，转化为1+x＝10x，求出其解即可；（2）根据阅读材料设x＝0.，方程两边都乘以100，转化为16+x＝100x，求出其解即可；【解答】解：（1）设x＝0.，即x＝0.1111…，将方程两边都×10，得10x＝1.1111…，即10x＝1+0.1111…，又因为x＝0.111…，所以10x＝1+x，所以9x＝1，即x＝．故答案为：．（2分）（2）设x＝，即x＝0.1616…，将方程两边都×100，得100x＝16.1616…，即100x＝16+0.1616…，又因为x＝0.1616…，所以100x＝16+x，所以99x＝16，即x＝，所以＝．（6分）22．【分析】（1）根据|a+3|+（b﹣2）2＝0，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数；（2）①根据2x+1＝x﹣8可以求得x的值，从而可以得到点C表示的数，从而可以得到线段BC的长；②根据题意可以列出关于点P表示的数的关系式，从而可以求得点P表示的数．【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得，a＝﹣3，b＝2，即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；（2）①2x+1＝x﹣8解得，x＝﹣6，∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，即线段BC的长为8；②存在点P，使P A+PB＝BC，设点P的表示的数为m，则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，∴|m+3|+|m﹣2|＝8，当m＞2时，解得，m＝3.5，当﹣3＜m＜2时，无解，当m＜﹣3时，m＝﹣4.5，即点P对应的数是3.5或﹣4.5．23．【分析】要求AM的取值范围，则先确定M点运动轨迹，由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和△PBM共顶点B的等边△ABH，则△APB≌△HBM⟹HM＝P A＝2，所以点M运动轨迹为以H为圆心，半径为2的圆H上的点．AM过圆心时取得相应最大和最小值．因为△PBM是等边三角形，点P在圆心为A半径为2的⊙A上运动，推出点M的运动轨迹也是圆，当点P1（4，0）时，点M与E重合，当P2（0，0）时，点M与F重合，利用点与圆的位置关系即可解决问题．【解答】解：要求AM的取值范围，则先确定M点运动轨迹．如图，由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和△PBM共顶点B的等边△ABH，则△APB≌△HBM⟹HM＝P A＝2，所以点M运动轨迹为以H为圆心，半径为2的圆H上的点．当点P1（4，0）时，点M与E重合，当P2（0，0）时，点M与F重合，此时△BFO和△BEP1都是等边三角形，所以BF＝BO＝5，BE＝BP1＝1，所以BH＝BA＝AH＝3，AM过圆心时取得相应最大和最小值．点M运动轨迹为以H为圆心，半径为2的圆H上的点．AM过圆心时取得相应最大和最小值．因为圆A的半径为2，圆H的半径为2，当点A和点M在一条直线上时，HA＝3，那么AM的最大值为3+2＝5；最小值为3﹣2＝1．所以线段AM的取值范围是：1≤AM≤5．24．【分析】（1）根据长方体的分割规律可分别得到4等分时的所得小正方体表面涂色情况，由特殊推广到一般即可得到n等分时所得小正方体表面涂色情况；（2）直接把n＝7代入（1）中所得的规律中即可．【解答】解：（1）三面涂色8，8；二面涂色24，12（n﹣2），一面涂色24，6（n﹣2）2各面均不涂色8，（n﹣2）3；（2）当n＝7时，6（n﹣2）2＝6×（7﹣2）2＝150，所以一面涂色的小正方体有150个．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；（2）根据轴对称作图，要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°．又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．∵DE＝DA，∴∠DAC＝∠DEC，∴∠BAD＝∠EDC．（2）猜想：DM＝AM．理由如下：∵点M、E关于直线BC对称，∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．又由（1）知∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD．∵∠ADC＝∠BAD+∠B，即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，∴∠ADM＝∠B＝60°．又∵DA＝DE＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DM＝AM．26．【分析】（1）根据数据即可直接进行画记，然后求得对应的人数，根据百分比的意义求得百分比；（2）因为是抽取了部分同学进行身高测量，因而是抽样调查；（3）根据条形统计图和扇形统计图的特点即可确定．【解答】解：（1）根据以上数据填表：身高h（单位：cm）画记人数占调查人数的百分比（%）h≤120 4 25% 120＜h≤140正8 50% h＞140 4 25% （2）以上这种调查方式称为抽样调查．故答案是：抽样；（3）要直观地反映各身高段人数的多少，应画条形统计图比较合适；要直观地反映各身高段人数占被调查人数的百分比，应画扇形统计图比较合适．故答案是：条形、扇形．27．【分析】首先构造两个数列：{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}；{3，6，12，24，48，96，192，384，768，1512}．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．则n≤21．由抽屉原理，构造集合，从而得到n的最大值是21．【解答】解：首先构造两个数列：{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}；{3，6，12，24，48，96，192，384，768，1512}．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．因此：n≤21．如果n＞21，则构造如下集合：{1}，{2，3}，{4，5，6，7}，{8，9，10，…，15}，…，{1024，1025，…，2014}，共11个集合，如果n＞21，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．故n的最大值为21．。

2020-2021学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜22．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）若分式，则x的值是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝0D．x≠﹣14．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．a3•a3＝2a3B．（a2）3＝a6C．（2a2）3＝2a6D．a6÷a2＝a35．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）A．1.25×10﹣9米B．1.25×10﹣8米C．1.25×10﹣7米D．1.25×10﹣6米6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（）A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6xB．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）27．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（）A．20B．30C．50D．1009．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．610．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）因式分解：x2y﹣4y＝．12．（2分）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是．13．（2分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是．14．（2分）如图所示，已知P是AD上的一点，∠ABP＝∠ACP，请再添加一个条件：，使得△ABP≌△ACP．15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm 和20cm，则这根铁丝的长为cm．16．（2分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B ＝°．17．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD ＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．18．（2分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（5分）计算：|﹣|+﹣（π﹣2）0+（）﹣1．20．（5分）如图，点B，C，D，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AC∥DE．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．22．（4分）尺规作图：如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等，如果你是红方的指挥员，请你在图中标出蓝方指挥部点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．23．（5分）解方程：+＝1．24．（5分）化简求值：（）÷，其中x＝2+．25．（5分）列分式方程解应用题：截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．26．（6分）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线段AB上，∠PDQ＝120°．（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝8，求AQ+PC的值．27．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直线DF的对称点G，连接DG．（1）依题意补全图形；（2）若∠ADF＝α；①求∠EDG的度数（用含α的式子表示）；②请判断以线段AE，BF，EF为边的三角形的形状，并说明理由．28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是；（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝2，不是最简二次根式；C、＝|a|，不是最简二次根式；D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．3．【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零．【解答】解：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0，解得x＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a3•a3＝a6，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．7．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n 的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°，∴n＝8，所以该多边形的边数是八边形．故选：C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．8．【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．9．【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．12．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，∴m＝25．故答案为：25．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．【解答】解：∵图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），∴正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．故答案为（a﹣b）2．【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．14．【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可．【解答】解：若添加∠BAP＝∠CAP，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP ≌△ACP；若添加∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；若添加∠BPD＝∠CPD，可得∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；故答案为∠BAP＝∠CAP或∠APB＝∠APC或∠BPD＝∠CPD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．15．【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或20cm，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长．【解答】解：∵等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm，∴当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15+20＝50（cm），此时15+15＞20，符合三角形的三边关系；当第三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20+20＝55（cm）．故答案为：50或55．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键．16．【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB ＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据勾股定理进行计算，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．【分析】根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，得到∠OB1A1＝∠MON，根据等腰三角形的判定定理得到A1B1＝OA1＝1，总结规律，根据规律解答．【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠MON，∴A1B1＝OA1＝1，同理可得，A2B2＝OA2＝2，A3B3＝OA3＝4＝22，……，∴△A2021B2021A2022的边长＝22020，故答案为：22020．【点评】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝+﹣1+2＝+2+1＝3+1．【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数指数幂的性质的性质是正确计算的前提．20．【分析】先证△ABC≌△EFD（SAS），得出∠ACB＝∠EDF，则∠ACD＝∠EDC，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（SAS），∴∠ACB＝∠EDF，∴∠ACD＝∠EDC，∴AC∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明△ABC≌△EFD是解题的关键．21．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．22．【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），解这个方程得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解；∴原方程的解是：x＝﹣3．【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．24．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（）÷＝（﹣）•＝•＝，当x＝2+时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．【分析】可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可【解答】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，x+10＝30+10＝40（元），答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26．【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠E，即可得出DB＝DE；（2）如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，可证△ADH是等边三角形，由“ASA”可证△QDH≌△PDC，可得HQ＝PC，即可求解．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴DB平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∵∠EDB＝120°∴∠P＝180°﹣120°﹣30°＝30°∴∠DBC＝∠P，∴DB＝DP；（2）解：如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，∵△ABC是等边三角形，AC＝8，点D是AC的中点，∴AD＝CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，BC＝AC＝8，∵DH∥BC，∴∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∠HDC＝120°，∴AD＝HD＝AH＝4，∴HD＝CD＝4＝BH，∵∠QDP＝∠HDP＝120°，∴∠QDH＝∠PDC，在△QDH和△PDC中，，∴△QDH≌△PDC（ASA）∴HQ＝PC，∴AQ+PC＝AQ+QH＝AH＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝GE，进而解答即可．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）①∵∠ADF＝α，∴∠BDF＝180°﹣α，由轴对称性质可知，∠GDF＝∠BDF＝180°﹣α，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EDG＝∠GDF﹣∠EDF＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；②以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形，连接GF，GE，由轴对称性质可知，GF＝BF，∠DGF＝∠B，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵GD＝BD，∴AD＝GD，∵∠GDE＝∠EDA＝90°﹣α，DE＝DE，在△GDE与△ADE中，，∴△GDE≌△ADE（SAS），∴∠EGD＝∠EAD，AE＝GE，∵∠EAD＝90°+∠B，∴∠EGD＝90°+∠B，∴∠EGF＝∠EGD﹣∠DGF＝90°+∠B﹣∠B＝90°，∴以线段GE，GF，EF为边的三角形是直角三角形，∴以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．28．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；∵B（﹣2，0），∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；∵C（﹣3，1），∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），∴DD'＝6+a﹣a＝6．（3）∵点P（a，1），∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），∵Q（a+1，1），∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），当P'Q'与EH有公共点时，，∴﹣3≤a≤﹣2，当P'Q'与FG有公共点时，，∴﹣1≤a≤0，∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。

2020--2021 学年上学期人教版八年级数学试题

2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷一．选择题（共12小题）1．《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果高于海平面200米记为+200米，那么低于海平面300米应记为（）A．﹣300米B．+500米C．+300米D．﹣100米2．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、、b的形式，则a2017+b2017的值为（）A．0B．﹣1C．1D．23．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（）A．B．C．D．4．已知方程x2k﹣1+k＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣5．点A的坐标（x，y）满足（x+3）2+|y+2|＝0，则点A的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，已知直线l1、l2经过坐标原点O，且l1与x轴所夹锐角为15°，l2与y轴所夹锐角为30°．在直线l1和l2之间依次构造正方形A1B1C1A2、正方形A2B2C2A3，正方形A3B3C3A4正方形A4B4C4A5…点A1、点A2、点A3、点A4、点A5…依次落在直线l1上，点B1、点B2、点B3、点B4…依次落在直线l2上，且A1B1＝1，则点B2020的坐标为（）A．（22018，22018）B．（22017，22017）C．（22018，22018）D．（22018，22018）7．如图形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是（）A．B．C．D．8．用一个平面去截正方体，截面图形不可能是（）A．B．C．D．9．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2020的坐标是（）A．（0，1）B．（﹣2，4）C．（﹣2，0）D．（0，3）10．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD，点E在边AB上，△BCD和△BED 关于BD对称，若△ADE是等腰三角形，则∠BAC＝（）A．36°B．72°C．90°D．108°11．以下调查中，最适宜采用普查方式的是（）A．检测某批次汽车的抗撞击能力B．调查黄河的水质情况C．调查全国中学生视力和用眼卫生情况D．检查我国“神州八号”航天飞船各零部件的情况12．要将9个参加数学竞赛的名额分配给6所学校，每所学校至少要分得一个名额，那么不同的分配方案共有（）A．56种B．36种C．28种D．72种二．填空题（共6小题）13．如果小明的爸爸收入10万元记作+10万元，那么小明的爸爸支出4万元记作万元．14．已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，则a＝．15．写出一个在x轴正半轴上的点坐标．16．如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为a，则正方体上小球总数为（用含a的代数式表示）．17．如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A，B，C为顶点画△ABC，请你在图中以选取的格点为顶点再画出一个△ABP，使△ABP与△ABC成轴对称．这样的P点有个？（填P点的个数）18．进行数据的收集调查，一般可分为以下6个步骤，但它们的顺序弄乱了．正确的顺序是．（用字母按顺序写出即可）．A．明确调查问题B．记录结果C．得出结论D．确定调查对象E．展开调查F．选择调查方法．三．解答题（共9小题）19．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫（A，B，C，D都在格点上）．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：（1）A→C（，），B→C（，），C→D（，）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，则该甲虫走过的路程是；（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+3，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（2﹣a，b﹣5），M→N（4﹣a，b﹣3），则N →A应记为什么？20．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c；a是最大的负整数，a、b、c 满足|a+b|+（c﹣5）2＝0．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）P为数轴上一动点，其对应的数是x，当P在线段AC上，且P A+PB+PC＝7时，求x的值．（3）若点P，Q分别从A，C同时出发，匀速相向运动，点P的速度为3个单位/秒，点Q的速度为1个单位/秒．当点P运动到C后迅速以原速返回A；点Q运动至B点后停止运动，同时P点也停止运动．求在此运动过程中P，Q的相遇点在数轴上对应的数．21．我们规定，若关于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解为n﹣m，则称该方程为差解方程，例如：5x＝的解为x＝﹣5，则该方程5x＝就是差解方程．请根据上边规定解答下列问题（1）若关于x的一元一次方程3x＝a+1是差解方程，则a＝．（2）若关于x的一元一次方程3x＝a+b是差解方程且它的解为x＝a，求代数式4a2b﹣[2a2﹣2（ab2﹣2a2b）]的值（提示：若m+n+1＝m，移项合并同类项可以把含有m的项抵消掉，得到关于n的一元一次方程，求得n＝﹣1）22．计算：（1）2+（﹣1）2019+（2+1）（﹣2﹣1）﹣|﹣3×|化简：（2）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）解方程：（3）23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，2），点（﹣2，﹣5）的限变点的坐标是（﹣2，5），点（1，3）的限变点的坐标是（1，3）．（1）①点（，﹣1）的限变点的坐标是；②如图1，在点A（﹣2，1）、B（2，1）中有一个点是直线y＝2上某一个点的限变点，这个点是；（填“A”或“B”）（2）如图2，已知点C（﹣2，﹣2），点D（2，2），若点P在射线OC和OD上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是b′≥m或b′≤n，其中m＞n，令s＝m﹣n，直接写出s的值．（3）如图3，若点P在线段EF上，点E（﹣2，﹣5），点F（k，k﹣3），其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣2≤b′≤5，直接写出k的取值范围．24．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．问题解决：（1）该长方体纸盒的底面边长为cm；（请你用含a，b的代数式表示）（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的底面积为多少cm2；动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．拓展延伸：（3）该长方体纸盒的体积为多少cm3？（请你用含a，b的代数式表示）25．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．26．2020年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传．某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95；100．乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93【整理数据】：班级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100甲11346乙12354【分析数据】：班级平均数众数中位数方差甲92a9341.1乙9087b50.2【应用数据】：（1）根据以上信息，可以求出：a＝分，b＝分；（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．27．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，高于海平面200米记为+200米，那么低于海平面300米应记为﹣300米．【解答】解：如果高于海平面200米记为+200米，那么低于海平面300米应记为﹣300米．故选：A．2．【分析】由题意三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、、b的形式，可知这两个三数组分别对应相等．从而判断出a、b的值．代入计算出结果．【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、、b的形式，∴这两个三数组分别对应相等．∴a+b、a中有一个是0，由于有意义，所以a≠0，则a+b＝0，所以a、b互为相反数．∴＝﹣1，b＝1，a＝﹣1．∴a2017+b2017＝（﹣1）2017+12017＝0．故选：A．3．【分析】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．【解答】解：根据图示可得：2●＝▲+■①，●+▲＝■②，由①②可得●＝2▲，■＝3▲，则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．故选：A．4．【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．根据定义可列出关于k的方程，求解即可．【解答】解：由一元一次方程的特点得，2k﹣1＝1，解得：k＝1，∴一元一次方程是：x+1＝0解得：x＝﹣1．故选：A．5．【分析】根据非负数的性质求得x，y的值，再进一步判断点的位置．【解答】解：∵（x+3）2+|y+2|＝0，∴x＝﹣3＜0，y＝﹣2＜0．则点A在第三象限．故选：C．6．【分析】根据一次函数，得出OB1、OB2等的长度，继而得知B1、B2等点的坐标，从中找出规律，进而可求出点B2020的坐标．【解答】解：∵l1与x轴所夹锐角为15°，l2与y轴所夹锐角为30°，∴l1与l2所夹锐角为45°，l2与x轴所夹锐角为60°，∴△A1B1O，△A2B2O，△A3B3O，…都是等腰直角三角形，∴B1O＝20，B2O＝21，B3O＝22，…，B n O＝2n﹣1，∴点B2020的坐标为（22020﹣1×，22020﹣1×），即（22018，22018）．故选：A．7．【分析】根据直三棱柱的特点作答．【解答】解：A、围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故不能围成直三棱柱；B、D的两底面不是三角形，故也不能围成直三棱柱；只有C经过折叠可以围成一个直三棱柱．故选：C．8．【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．据此选择即可．【解答】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此不可能是七边形，故选：D．9．【分析】按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可．【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点P2020的坐标是（﹣2，4），故选：B．10．【分析】如图，设∠A＝x．首先证明∠ABC＝∠C＝2x，利用三角形的内角和定理构建方程求出x即可．【解答】解：如图，设∠A＝x．∵EA＝ED，∴∠A＝∠ADE＝x，∵∠BED＝∠A+∠ADE＝2x，△BDE与△BDC关于BD对称，∴∠BED＝∠C＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，故选：A．11．【分析】检测某批次汽车的抗撞击能力不适宜用普查，可采用抽查；调查黄河的水质情况，不容易使用普查；调查全国中学生视力和用眼卫生情况，由于数量多，分布不均等因素，不适合普查，检查我国“神州八号”航天飞船各零部件的情况，必须使用普查，【解答】解：检测某批次汽车的抗撞击能力不适宜用普查，可采用抽查；调查黄河的水质情况，不容易使用普查；调查全国中学生视力和用眼卫生情况，由于数量多，分布不均等因素，不适合普查，检查我国“神州八号”航天飞船各零部件的情况，必须使用普查，故选：D．12．【分析】可以将问题转化为9个人站成一排，每所学校至少要1名，就有8个空然后插入5个板子把他们隔开，从8个里选5个即可答案．【解答】解：可以利用9个人站成一排，每所学校至少要1名，就有8个空，然后插入5个板子把他们隔开，从8个里选5个，就是C85＝＝56，故选：A．二．填空题（共6小题）13．【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量：收入记作正，则支出就记为负，由此得出小明的爸爸支出4万元，记作﹣4万元．【解答】解：如果小明的爸爸收入10万元记作+10万元，那么小明的爸爸支出4万元记作﹣4万元．故答案为：﹣4．14．【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，解方程可求出a的值．【解答】解：把x＝﹣3代入方程ax﹣6＝a+10，得：﹣3a﹣6＝a+10，解方程得：a＝﹣4．故填：﹣4．15．【分析】根据x的正半轴上点的横坐标大于零，纵坐标等于零，可得答案．【解答】解：写出一个在x轴正半轴上的点坐标（1，0），故答案为：（1，0）．16．【分析】每条棱上有a个小球，12条棱就有12a个小球，这时，每个顶点处的小球被多计算了2次，于是可得答案．【解答】解：因为正方体有12条棱，所以12条棱上有12a个小球，但每个顶点处的小球被多计算2次，8个顶点就被多计算2×8＝16次，所以正方体上小球总数为12a﹣16，故答案为：12a﹣16．17．【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可．【解答】解：如图，满足条件的△ABP有2个，故答案为2．18．【分析】根据数据的收集调查的步骤，即可解答．【解答】解：进行数据的收集调查，一般可分为以下6个步骤：明确调查问题，确定调查对象，选择调查方法，展开调查，记录结果，得出结论；故答案为：ADFEBC．三．解答题（共9小题）19．【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（+4，+4），B→C记为（+3，0），C→D 记为（+1，﹣3）；（2）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长；（3）按题目所示平移规律，通过平移即可得到点P的坐标，在图中标出即可．（4）根据M→A（2﹣a，b﹣5），M→N（4﹣a，b﹣3），可知4﹣a﹣（2﹣a）＝2，b﹣3﹣（b﹣5）＝2，从而得到点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，从而得到N→A应记为什么．【解答】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，∴A→C记为（+4，+4），B→C记为（+3，0），C→D记为（+1，﹣3）；故答案为：+4；+4；+3；0；+1；﹣3；（2）据已知条件可知：A→B表示为：（+1，+4），B→C记为（+3，0），C→D记为（+1，﹣3）；∴该甲虫走过的路线长为1+4+3+1+3＝12．故答案为：12；（3）P点位置如图所示．（4）∵M→A（2﹣a，b﹣5），M→N（4﹣a，b﹣3），∴4﹣a﹣（2﹣a）＝2，b﹣3﹣（b﹣5）＝2，∴从而得到点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，∴N→A应记为（﹣2，﹣2）．20．【分析】（1）由a是最大的负整数可得a为﹣1，再结合|a+b|+（c﹣5）2＝0，可求得b 与c的值；（2）由P A+PB+PC＝7，结合数轴上的两点所表示的距离的含义，分类去掉绝对值号，并分别解得x的值即可．（3）设运动时间为t，分两种情况分别得出关于t的方程并求解即可：①当P、Q第一次相遇时；②当P到达C点返回追上Q时．【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1；∵|a+b|+（c﹣5）2＝0，|a+b|≥0，（c﹣5）2≥0，∴a+b＝0，c﹣5＝0，∴b＝﹣a＝﹣（﹣1）＝1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）∵P A+PB+PC＝7，∴|x+1|+|x﹣1|+|x﹣5|＝7，①当点P在线段AB上，即当﹣1≤x＜1时，x+1+1﹣x+5﹣x＝7，解得：x＝0；②当点P在线段BC上，即当1≤x≤5时，x+1+x﹣1+5﹣x＝7，解得：x＝2．综上所述，x的值是0或2．（3）设运动时间为t，①当P、Q第一次相遇时，有：3t+t＝5﹣（﹣1），解得：t＝1.5，此时，相遇点在数轴上对应的数为5﹣1.5＝3.5；②当P到达C点返回追上Q时，有：3t﹣t＝5﹣（﹣1）解得：t＝3，此时，相遇点在数轴上对应的数为5﹣3＝2．∴在此运动过程中P，Q的相遇点在数轴上对应的数是3.5或2．21．【分析】（1）根据差解方程的定义，得到关于a的新方程，求解即可；（2）根据差解方程的定义，先求出a、b的值，再化简代数式，把a、b的值代入计算即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元一次方程3x＝a+1是差解方程，∴＝a+1﹣3解，得故答案为：（2）∵关于x的一元一次方程3x＝a+b是差解方程且它的解为x＝a，∴a＝＝a+b﹣3解，得，b＝3．4a2b﹣[2a2﹣2（ab2﹣2a2b）]＝4a2b﹣（2a2﹣2ab2+4a2b）＝4a2b﹣2a2+2ab2﹣4a2b＝﹣2a2+2ab2当，b＝3时，原式＝﹣2×+2××9＝．22．【分析】（1）根据有理数的混合运算的顺序和计算方法进行计算即可；（2）按照整式加减的计算方法进行计算；（3）依照一元一次方程的求解步骤求解即可．【解答】解：（1）原式＝2+（﹣1）+（﹣9）﹣1＝﹣9；（2）原式＝﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24＝﹣2x2+7xy﹣24；（3）去分母得4（7x﹣1）﹣6（5x+1）＝24﹣3（3x+2）去括号得28x﹣4﹣30x﹣6＝24﹣9x﹣6移项得28x﹣30x+9x＝24﹣6+4+6合并同类项得7x＝28系数化为1得x＝4．23．【分析】（1）①利用限变点的定义直接解答即可；②先利用逆推原理求出限变点A（﹣2，1）、B（2，1）对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到y＝2，满足解析式的就是答案；（2）先OC，OD的关系式，再求出点P的限变点Q满足的关系式，然后根据图象求出m，n的值，从而求出S即可；（3）先求出线段的关系式，再求出点P的限变点所满足的关系式，根据图象求解即可．【解答】（1）①∵a＝＜2，∴b′＝|b|＝|﹣1|＝1，∴坐标为（，1）．故答案为（，1）．②s＝3．∵对于限变点来说，横坐标保持不变，∴限变点A（﹣2，1）对应的原来点的坐标为：（﹣2，1）或（﹣2，﹣1），限变点B（2，1]对应的原来点的坐标为：（2.2），∵（2，2）满足y＝2，∴这个点是B，故答案为：B；（2）∵点C的坐标为（﹣2，﹣2），∴OC的关系式为：y＝x（x≤0），∵点D的坐标为（2，﹣2），∴OD的关系式为：y＝﹣x（x≥0），∴点P满足的关系式为：y＝，当x≥2时：b'＝一x﹣1，当0＜x＜2时：b'＝﹣x﹣1，当x≤0时，b＝|x|＝﹣x，图象如图1所示，通过图象可以得出：当x≥2时，b'≤﹣3，n＝﹣3，当x＜2时，b'≥0，∴m＝0，∴s＝m﹣n＝0﹣（﹣3）＝3；（3）设线段E的关系式为：y＝ax+c（a≠0，﹣2≤x≤k，k＞﹣2），把E（﹣2，﹣5），F（k，k﹣3）代入，得，解得，∴线段EP的关系式为y＝x一3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2），∴线段E上的点P的限变点Q的纵坐标满足的关系式b'＝，图象如图2所示：当x＝2时，b'取最小值，b'＝2﹣4＝﹣2，当b'＝5时，x﹣4＝5或﹣x+3＝5，解得：x＝9或x＝﹣2，当b'＝1时，x﹣4＝1，解得：x＝5，∵﹣2≤b'＜5，∴由图象可知，k的取值范围是：5≤k≤9．24．【分析】（1）根据折叠可得答案；（2）将a＝24，b＝6代入底面积的代数式计算即可；（3）根据图2的裁剪，折叠后，表示出长、宽、高进而用代数式表示体积．【解答】解：（1）根据折叠可知，底面是边长为（a﹣2b）（cm）的正方形，故答案为：（a﹣2b）；（2）将a＝24，b＝6代入得，（a﹣2b）2＝（24﹣2×6）2＝144（cm2）答：长方体纸盒的底面积为144cm2；（3）裁剪后折叠成长方体的长为：（a﹣2b）cm，宽为cm，高为bcm，所以，折叠后长方体的体积为（a﹣2b）××b，即，b（a﹣2b）2，答：长方体的体积为b（a﹣2b）2．25．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°，故答案为：120°．②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α．（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝4，故答案为：426．【分析】由收集的数据即可得；（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可．【解答】解：（1）在78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100，这组数据中，100出现的次数最多，故a＝100分；乙班15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，即出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91分；故答案为：100，91；（2）480×＝256（人），即480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；（3）甲班的学生掌握防疫测试的整体水平较好，∵甲班的方差＜乙班的方差，∴甲班的学生掌握疫情防疫相关知识的整体水平较好．27．【分析】首先算出每一道题做错的人数，分为五个组，用不同的颜色表示，转化为染色问题，构造抽屉解决问题．【解答】解：将这120人分别编号为P1，P2，…，P120，并视为数轴上的120个点，用A k表示这120人之中未答对第k题的人所成的组，|A k|为该组人数，k＝1，2，3，4，5，则|A1|＝24，|A2|＝37，|A3|＝46，|A4|＝54，|A5|＝85，将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k题，则将表示该人点染第k色，k＝1，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于|A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|＝246，故至少染有三色的点不多于＝82个，图是满足条件的一个最佳染法，即点P1，P2，…，P85这85个点染第五色；点P1，P2，…，P37这37个点染第二色；点P38，P39，…，P83这46个点染第四色；点P1，P2，…，P24这24个点染第一色；点P25，P26，…，P78这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个．因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如P79，P80，…，P120这42个人）．答：获奖人数至少有42个人．。

2023-2024学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（）A．3B．6C．9D．122．（3分）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（）A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×1083．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a＝2a4B．（a3）3＝a9C．（ab）3＝a3b D．a8÷a2＝a4 4．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b27．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（）A．8B．10C．12D．148．（3分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC 是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的＝S△BCH，则凉亭H是（）距离相等，且使得S△ABHA．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（）A．20°B．32°C．38°D．42°10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．12．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是．13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝．14．（2分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：（写出一个即可），使△ABC≌△DEF．15．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是．16．（2分）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为．18．（2分）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等．（1）在所有三位数中，“回文数”共有个；（2）任意一个四位数的“回文数”一定是的倍数（1除外）．三、解答题（本题共54分，19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19．（4分）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．已知：∠AOB＝90°．求作：射线OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．作法：①在射线OB上取一点M，分别以点O、点M为圆心，OM长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，连接CM，画射线OC；②作∠COM的平分线OD．射线OC、OD为所求作射线．证明：∵，∴△MOC为等边三角形．∴∠＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A坐标为（﹣3，3），顶点B坐标为（﹣5，1），顶点C坐标为（﹣2，1）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（其中A，B，C的对称点分别是A'，B'，C'）并写出点B'的坐标；（2）画出两个与△ABC全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）21．（5分）如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求证：∠B＝∠C．22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．23．（5分）解分式方程：．24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．25．（5分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．26．（6分）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd ＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．27．（7分）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，连接BE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC 于点M．（1）补全图形，连接CF并写出∠BCF＝（用含α的式子表示）；（2）当α＝60°时，如图2，①求证：EM＝FM；②直接写出BM与AD的数量关系：．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点A，若存在点Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．（1）如图1，①若点A的坐标为（2，1），则点A关于点O的“链垂点”坐标为；②若点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；（2）如图2，图形G是端点为（1，0）和（2，1）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点E（0，t）（t＜0），存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t 的取值范围．2023-2024学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（）A．3B．6C．9D．12【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，故第三边的长度3＜x＜9，这个三角形的第三边长可以是6．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．2．（3分）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（）A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×108【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故选：A．【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a＝2a4B．（a3）3＝a9C．（ab）3＝a3b D．a8÷a2＝a4【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方及积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．【解答】解：a3•a＝a4，则A不符合题意；（a3）3＝a9，则B符合题意；（ab）3＝a3b3，则C不符合题意；a8÷a2＝a6，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和与外角和可得：（n﹣2）•180°＝360°×2，进行计算即可解答．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，n﹣2＝4，n＝6，故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．6．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】根据长方形和正方形的面积公式，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：图1的面积＝（a+b）（a﹣b），图2的面积＝a2﹣b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握长方形和正方形的面积公式是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（）A．8B．10C．12D．14【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的判定得出AD＝DC＝4cm，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2AD＝8cm，再求出答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°＝∠C，∴AD＝DC，∵AD＝4cm，∴DC＝4cm，在Rt△BAD中，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8cm，∴BC＝BD+DC＝8+4＝12（cm），故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠B和∠DAC的度数是解此题的关键．8．（3分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC 是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的＝S△BCH，则凉亭H是（）距离相等，且使得S△ABHA．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答．【解答】解：如图：∵AD平分∠BAC，点H在AD上，∴点H到AB、AC的距离相等，∵BE是AC边上的中线，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，∴△ABH的面积＝△CBH的面积，∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（）A．20°B．32°C．38°D．42°【分析】先利用角的和差关系可得∠DAE＝52°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝32°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝52°，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝32°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝52°﹣32°＝20°，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点P，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形．【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的P点．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是三角形具有稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．12．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠﹣1．【分析】根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：根据题意，得x+1≠0，解得x≠﹣1；故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝y（x﹣2y）2．【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝y（x2﹣4xy+4y2）＝y（x﹣2y）2，故答案为：y（x﹣2y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）（写出一个即可），使△ABC≌△DEF．【分析】在已知条件中有一对角相等和一组边相等，根据全等三角形的判定方法可以补充∠B和∠DEF的另一边相等，也可补充另一组角相等．【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴可再补充∠A＝∠D，利用ASA可以判定△ABC≌△DEF，也可以补充∠ACB＝∠DFE，利用AAS；也可补充BC＝EF，利用SAS；也可补充BE＝CF，从而可得到BC＝EF，利用SAS，故答案为：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是24°．【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠BAD＝39°，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得∠ADC＝78°，∠ADB＝102°，根据翻折的性质求得∠ADE＝102°，进而求得∠CDE的度数．【解答】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝39°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝102°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝102°，∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝102°﹣78°＝24°．故答案为：24°．【点评】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．16．（2分）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是2024．【分析】将方括号内的代数式进行化简即可解决问题．【解答】解：由题知，[x15y2z3]＝1523，[x2y2z•x3y]＝[x5y3z]＝531，所以等号右边的数字依次为等号左边方括号内最简代数式中x，y，z的指数；又因为（x5）6y4z5÷x10y2z＝x20y2z4，所以[（x5）6y4z5÷x10y2z]＝2024．故答案为：2024．【点评】本题考查数字变化的规律，能通过化简代数式发现等号左边的数字与左边括号内代数式指数之间的关系是解题的关键．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 2.4．【分析】如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段最短解决问题即可．【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH ⊥AB于点H．∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC＝•AB•CH，∴CH＝2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值为2.4．故答案为：2.4．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．18．（2分）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等．（1）在所有三位数中，“回文数”共有90个；（2）任意一个四位数的“回文数”一定是11的倍数（1除外）．【分析】（1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案；（2）设四位数的回文数为，由1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），可知四位数的回文数是11的倍数．【解答】解：（1）当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数…，∴三位数的回文数共有90个；故答案为：90；（2）证明：设四位数的回文数为，∵1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），∴1000a+100b+10b+a是11的倍数，即四位数的回文数是11的倍数，故答案为：11．【点评】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是理解回文数的概念．三、解答题（本题共54分，19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19．（4分）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．已知：∠AOB＝90°．求作：射线OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．作法：①在射线OB上取一点M，分别以点O、点M为圆心，OM长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，连接CM，画射线OC；②作∠COM的平分线OD．射线OC、OD为所求作射线．证明：∵OM＝OC＝CM，∴△MOC为等边三角形．∴∠COB＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明△COM是等边三角形，可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵OM＝OC＝CM，∴△MOC为等边三角形．∴∠COB＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．故答案为：OM＝OC＝CM，∠COB．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A坐标为（﹣3，3），顶点B坐标为（﹣5，1），顶点C坐标为（﹣2，1）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（其中A，B，C的对称点分别是A'，B'，C'）并写出点B'的坐标；（2）画出两个与△ABC全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）根据全等三角形的判定画图即可．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．点B'的坐标为（5，1）．（2）如图，△DBC和△DEC即为所求（答案不唯一）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．21．（5分）如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求证：∠B＝∠C．【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵AD＝AE，BD＝EC，∴AD+BD＝AE+EC，即AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．23．（5分）解分式方程：．【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．【解答】解：原方程去分母得：x＝2x﹣1+3，移项，合并同类项得：﹣x＝2，系数化为1得：x＝﹣2，检验：将x＝﹣2代入（2x﹣1）得﹣4﹣1＝﹣5≠0，故原方程的解为x＝﹣2．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（x﹣3）（x+5）+（x+1）2＝x2+5x﹣3x﹣15+x2+2x+1＝2x2+4x﹣14，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）﹣14＝2×2﹣14＝4﹣14＝﹣10．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．25．（5分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．【分析】设B品牌篮球单价为x元，由题意可得A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，根据“采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元”，列出相应的方程，解答即可．【解答】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，由题意，可得：，解得：x＝72，经检验，x＝72是所原方程的解，所以A品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．答：A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26．（6分）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd ＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．【分析】（1）（2）（3）仿照题例，找到满足条件的a、b、c、d，分解即可．【解答】解：（1）x2+6x﹣27＝（x+9）（x﹣3）；（2）6x2﹣7x﹣3＝（3x+1）（2x﹣3）；（3）20（x+y）2+7（x+y）﹣6＝[4（x+y）+3][5（x+y）﹣2]＝（4x+4y+3）（5x+5y﹣2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，看懂题例掌握“十字相乘法”是解决本题的关键．27．（7分）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，连接BE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC 于点M．（1）补全图形，连接CF并写出∠BCF＝90°﹣（用含α的式子表示）；（2）当α＝60°时，如图2，①求证：EM＝FM；②直接写出BM与AD的数量关系：AD＝2BM．【分析】（1）根据题意补全图形，由AB＝BC，∠ABC＝α，可得∠ACB＝∠BAC＝90°﹣，而A，F关于BC对称，故∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；（2）①连接AE，AM，AF，设AF交BC于H，由α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，知△ABC和△BDE是等边三角形，即可证明△AEB≌△CDB（SAS），得∠EAB＝∠DCB＝60°，从而∠EAC+∠ACB＝180°，AE∥BC，由A，F关于BC对称，有AF⊥BC，AM＝FM，即可得∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，知EM＝AM＝FM；②在MC上取点N，使MN＝BM，连接FN，证明△BME≌△NMF（SAS），可得BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，即得BD＝BE＝NF，而∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，有∠EBA＝∠NFC，∠DBC＝∠NFC，可证△NCF≌△DCB（ASA），得CN＝CD，有BN＝AD，从而得AD＝2BM．【解答】（1）解：补全图形如下：∵AB＝BC，∠ABC＝α，∴∠ACB＝∠BAC＝（180°﹣α）÷2＝90°﹣，∵A，F关于BC对称，∴∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；故答案为：90°﹣；（2）①证明：连接AE，AM，AF，设AF交BC于H，如图：∵α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，∴△ABC和△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠EBD﹣∠ABD，即∠DBC＝∠EBA，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴∠EAB＝∠DCB＝60°，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝120°，∴∠EAC+∠ACB＝180°，∴AE∥BC，∵A，F关于BC对称，∴AF⊥BC，AM＝FM，∴AF⊥AE，∠MAF＝∠MFA，∴∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，∴EM＝AM，∴EM＝FM；②解：AD＝2BM，理由如下：在MC上取点N，使MN＝BM，连接FN，如图：由①知，EM＝FM，∠EBA＝∠DBC，∵∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF（SAS），∴BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，∵△BDE是等边三角形，∴BD＝BE＝NF，∵∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，∴∠EBA＝∠NFC，∴∠DBC＝∠NFC，∵A，F关于BC对称，∴CF＝AC＝BC，∠NCF＝∠DCB，∴△NCF≌△DCB（ASA），∴CN＝CD，∵BC＝AC，∴BC﹣CN＝AC﹣CD，即BN＝AD，∵MN＝BM，∴BN＝2BM，∴AD＝2BM．【点评】本题考查几何变换综合应用，设计全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点A，若存在点Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．（1）如图1，①若点A的坐标为（2，1），则点A关于点O的“链垂点”坐标为（1，﹣2）或（﹣1，2）；②若点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；（2）如图2，图形G是端点为（1，0）和（2，1）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点E（0，t）（t＜0），存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t 的取值范围．【分析】（1）利用“链垂点”的定义，画出图形，再利用直角三角形的性质和全等三角形的性质解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），利用“链垂点”的定义和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质列出关于x，y的方程组解答即可；（3）利用待定系数法求得端点为（1，0）和（2，1）的线段所在直线的解析式，设得到点D的坐标为（m，m﹣1），则1≤m≤2，利用（2）中的方法求得t与m的关系式，进而得到关于t的不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）由题意：点E，F为点A关于点O的“链垂点”，如图，∵点A的坐标为（2，1），∴OG＝2，AG＝1．∵点E，F为点A关于点O的“链垂点”，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，OE＝OF＝OA，∴将OA顺时针转90°得到OE，将OA逆时针转90°得到OF，∴△AOG≌△EOK≌△FOH，∴OG＝OK＝OH＝2，AG＝EK＝FH＝1，∴E（1，﹣2），F（﹣1，2）．故答案为：（1，﹣2）或（﹣1，2）；（2）点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，如图，。

2020-2021学年北京市丰台区初二数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市丰台区初二数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）若分式21x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．2B ．2-C ．12 D ．12-2．（2分）下面的四个图案分别是“T 型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是( )A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BDD ．线段DA4．（2分）下列计算正确的是( ) A ．236a a a ⋅=B ．248()a a =C ．22a a -=-D ．33a a a ÷=5．（2分）如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ，OA 于点E ，F ．下列结论错误的是( )A ．PC PD =B ．OC OD =C ．CPO DPO ∠=∠D ．PC PE =6．（2分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( ) A ．15B ．20C ．25D ．20或257．（2分）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：如果厨余垃圾分出率100%=⨯厨余垃圾分出量生活垃圾总量（生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是( ) A ．660840014710x x ⨯=B ．6608400147660840010x x ⨯=++C ．6608400147660840010x x=⨯++D ．7840066010146608400x x++⨯= 8．（2分）设a ，b 是实数，定义一种新运算：2*()a b a b =-．下面有四个推断： ①**a b b a =； ②222(*)*a b a b =； ③()**()a b a b -=-； ④*()**a b c a b a c +=+．其中所有正确推断的序号是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②D ．①③二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3x 的取值范围为． 10．（3分）分解因式：228n -= ．11．（3分）写出一个比小的整数．12．（3分）如图，将ABC ∆沿BC 所在的直线平移得到DEF ∆．如果2GC =， 4.5DF =，那么AG = ．13．（3分）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式．14．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥于D 点，若1BD =，则AD = ．15．（3分）如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b = ．16．（3分）如图是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A ，B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C 也在此44⨯的正方形网格的格点上，且ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标；满足条件的点C 一共有个．三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）计算：2()(2)x y x x y ---．18．（5分）计算：21(1)11m m m -÷++． 19．（5218(2)21|4--．20．（5分）解分式方程：1111x x x-=++． 21．（5分）如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．22．（5分）先化简，再求值：23()xyy x y-⋅+，其中340x y-=．23．（5分）下面是小明设计的“作一个含30︒角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点A．求作：ABC∆，使得90ACB∠=︒，30ABC∠=︒．作法：如图2，①在直线l上取点D；②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；③作直线BE，交直线l于点C；④连接AB．ABC∆就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EA，ED．BA BD AD==，ABD∴∆是等边三角形．60BAD∴∠=︒．BA BD=，EA=，∴点B，E在线段AD的垂直平分线上()（填推理的依据）．BE AD∴⊥．90(ABC BAD ∴∠+∠=︒ )（填推理的依据）． 30ABC ∴∠=︒．24．（6分）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B ∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠．25．（6分）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律： 11111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n +-=-=++++．反过来，有111(1)1n n n n =-++．运用这个运算规律可以计算：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．（1）请你运用这个运算规律计算：111233445++=⨯⨯⨯ ；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有1L 水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L 水，第2次倒出的水量是12L 的13，第3次倒出的水量是13L 的14，第4次倒出的水量是14L 的15⋯第m 次倒出的水量是1L m 的11m ⋯+按照这种倒水的方法，这1L 水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒m 次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L 水能倒完吗”，并说明理由．26．（6分）已知：如图，60MON ∠=︒，点A 在射线OM 上，点B ，C 在射线ON 上（点C 在点B 的右侧），且60OAB OAC ∠+∠=︒．点B 关于直线OM 的对称点为D ，连接CD ．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段CD ，AB 的数量关系，并证明．27．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)P a b 和图形w ，给出如下定义：如果图形W 上存在一点(,)Q c d ，使得a cb d k =⎧⎨+=⎩，那么点P 是图形W 的“k 阶关联点” （1）若点P 是原点O 的“1-阶关联点”，则点P 的坐标为；（2）如图，在ABC ∆中，(1,1)A -，(2,4)B --，(0,6)C -．①若点P 是ABC ∆的“0阶关联点”，把所有符合题意的点P 都画在图中； ②若点P 是ABC ∆的“k 阶关联点”，且点P 在ABC ∆上，求k 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

2019-2020学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1. 氢原子的电子和原子核中间距离约为0.00000000529cm,用科学记数法表示正确是（）2. 下列因式分解正确的是（）A. α2 + h 2 = （α + b ）2B. a 2 + b 2 = （a+ b ）（a — b ）C. X 2 + 2% - 3 = （% + 3）（咒 _ 1）D. （X + 3）0 - 3） = X 2 - 93. 在由相同的小正方形组成的3X4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形构成的图形为轴对称图形, 则还需要涂黑的小正方形序号是（）A. ①或②或⑥B.③或⑥或⑦C.④或⑤或⑧D.①或③或⑨4. 下列运算中正确的是（）B. 2α"s ∙ a 3 = 2a 8D. 6X 3÷(-3X 2) = 2x5. 当X 为任意实数时，下列分式中一泄有意义的是（）如图，在'ABC 中BC 的垂直平分线EF 交"8C 的平分线BD 于匕若LBAC = 60% ZJlCE = 24% 那么乙BEF 的大小是（）A. 320B. 54°当Q=-I 时，分式学() a~-aV ZA.等于0B.等于1C. 580D. 60°在Rt △力BC 中，乙C = 90。

，AD 平分乙BMC 交BC 于点D, 点D 到AB 边的距藹为（）① ≡5 I耳•⑥A. 18B. 16C. 14D. 12A. 529xl0^B. 5.29xlO 8C. 0.529x10』D. 0.529*10"A. (x 3)2 = X SC. 3-2 = 1AX-I A.—「 x~∙ 1匕^+1D. Wx+26. C.等于一 1D.没有意义若BC = 32,且 BD ： DC = 9： 7,则9. 如图，'ABC 是等腰三角形，点O 是底边BC 上任意一点，OE 、OF 分別与两边垂直，等腰三角形ABC 的腰长为5,而积为12,则OE+ OF 的值为（）・A. 4B. -C. 15D. 8510. 如图，在△ ABC 中，乙BMC 的平分线交BC 于点D,过点D 作DE 丄AC. DF 丄AB 9 垂直分别为E ，F,下面四个结论：（1）∆AFE = ∆AEF ∙,②AD 垂直平分EF: ③S 泅” S“ED = BF: CE；④EF —立平行BC •其中正确的个数有（）个二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）11.因式分解：2X 3 一 18% =__・12. _____________________________________________ 已知兀=1是分式方程±=手的根，贝毗= ___________________________________如图,AB, CD 相交于点O,AB = C6试添加一个条件使得△ AOD^ COB,你添加的条件是 ______ •（答案不惟一，只需写一个）14. 如图,把长方形ABCD 沿EF 折叠后使两部份重合,若Zl = 70。

2019-2020学年北京市东城区八年级上册期末数学试卷(有答案)【标准版】

2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3D ．0.56×10﹣1 2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）若分式的值为0，则x 的值等于（） A ．0 B ．2 C ．3 D ．﹣35．（3分）下列运算正确的是（）A ．b 5÷b 3=b 2B ．（b 5）2=b 7C ．b 2•b 4=b 8D ．a•（a ﹣2b ）=a 2+2ab6．（3分）如图，在△ABC 中，∠B=∠C=60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE=1，则AC 的长为（）A ．2B ．C ．4D ．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ．将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE 10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是．15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．23．（5分）解分式方程：．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2019-20201月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2019-2020客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2019-2020地铁每小时的客运量？26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b=（用含x的式子表示）28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形定义判断即可．【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是，故选：A．【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、=|a+b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（）A．0B．2C．3D．﹣3【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣2=0且x+3≠0，∴x=2．故选：B．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．5．（3分）下列运算正确的是（）A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7C．b2•b4=b8D．a•（a﹣2b）=a2+2ab【分析】根据整式的除法和乘法判断即可．【解答】解：A、b5÷b3=b2，正确；B、（b5）2=b10，错误；C、b2•b4=b6，错误；D、a•（a﹣2b）=a2﹣2ab，错误；故选：A．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为（）A．2B．C．4D．【分析】在Rt△BDE中可先求得BD的长，则可求得AB的长，由条件又可证得△ABC 为等边三角形，则可求得AC=AB，可求得答案．【解答】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB的长是解题的关键．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab【分析】长方形ABCD的面积可以表示为a（a+b），也可表示为两个长方形的面积和，即a2+ab，所以a（a+b）=a2+ab【解答】解：∵长方形ABCD面积=两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）=a2+ab故选：D．【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式．9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2，∴∠P1OP2=2∠AOB=80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2，1）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标．【解答】解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A=∠D使得△ABC≌△DEF．【分析】根据全等三角形的判定定理填空．【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：∵FB=CE，∴BC=EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠A=∠D．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是18或21．【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当5为底时，其它两边都为8，5、8、8可以构成三角形，周长为21；当5为腰时，其它两边为5和8，5、5、8可以构成三角形，周长为18，所以答案是18或21．故填18或21．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为70°．【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AD，∠BAC=∠DAF，求出∠BAD=∠∠EAC=40°，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ADB，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠∠EAC，∵∠EAC=40°，∴∠BAD=40°，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=（180°﹣∠BAD）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB=AD和求出∠BAD=∠EAC是解此题的关键．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为4cm．【分析】先由BC=10cm，BD：DC=3：2计算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC 的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=20．【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a+b=6，ab=8，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=36﹣16=20，故答案为：20【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：如图，∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．【分析】利用零指数幂、负整数幂的意义和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=++2﹣1=+2+1=3+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．【分析】利用AE=BF，得到AF=BE，证明△ADF≌△BCE（SAS），即可得到DF=CE（全等三角形的对应边相等）．【解答】证明：∵点E，F在线段AB上，AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即：AF=BE，在△ADF与△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS）∴DF=CE（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△ADF ≌△BCE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后根据x2+x=2，即可解答本题．【解答】解：（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）=x2+4x+4﹣x2﹣3x+x2﹣1=x2+x+3，∵x2+x=2，∴原式=2+3=5．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．23．（5分）解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得1+2（x﹣2）=﹣1﹣x解得：x=，经检验x=是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=•=，当x=﹣2时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2019-20201月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2019-2020客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2019-2020地铁每小时的客运量？【分析】设2002年地铁每小时客运量x万人，则2019-2020地铁每小时客运量4x万人，根据2019-2020客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时列出分式方程，求出答案即可．【解答】解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2019-2020地铁每小时客运量4x 万人，由题意得，解得x=6，经检验x=6是分式方程的解，答：2019-2020每小时客运量24万人．【点评】本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键．26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠MAD+∠ADC=180°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b=x+2（用含x的式子表示）【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断；（2）利用配方法即可解决问题；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b即可；【解答】解：（1）c=×1++1=2+1．（2）∵c=（m﹣4）（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）=﹣m2+4m﹣4=﹣（m﹣2）2≤0，∴c≤0．（3）由题意x3+3x2﹣1=（x2﹣1）b+（x2﹣1）+b，∴x2b=x3+2x2，∵x≠0，∴b=x+2．故答案为x+2．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据∠AEB=∠D+∠PAD，只要求出∠D，∠DAE即可；（3）结论：CE+AE=BE．在BE上取点M使ME=AE，只要证明△AEC≌△AMB即可解决问题；【解答】解：（1）图象如图所示；（2）在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°，由对称可知：AC=AD，∠PAC=∠PAD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠D，∵∠PAC=20°，∴∠PAD=20°，∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°，∴，∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°．（3）结论：CE+AE=BE．理由：在BE上取点M使ME=AE，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．∵AD=AC=AB，∴，∴∠AEB=60﹣x+x=60°．∴△AME为等边三角形，易证：△AEC≌△AMB，∴CE=BM，∴CE+AE=BE．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

人教版2020-2021学年八年级数学上册期末试卷及答案

2020-2021学年八年级数学上册期末试卷一．选择题（共8小题）1．使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±22．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．﹣a2+b2﹣2ab D．4x2+4x﹣13．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．144．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．55．二班学生某次测试成绩统计如下表：则得分的众数和中位数分别是（）得分（分）60708090100人数（人）7121083A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为（）A．5B．6C．D．87．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形8．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF＝EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC＝2∠CFD；③∠ECD＝90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）9．若代数式的值为零，则x的取值应为．10．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是分．11．如果x+＝3，则的值等于12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC 的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝度．13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的周长为32，BD＝16，则菱形ABCD的面积为14．已知：如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为．三．解答题（共10小题）15．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．（1）在图中标出旋转中心点O；（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2．16．因式分解（1）a3﹣16a；（2）8a2﹣8a3﹣2a17．计算：（1）+（﹣2bc）×；（2）先化简，再求值：（﹣1）•，其中x＝﹣5．18．解分式方程（1）（2）19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校85B校85100（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．20．如图，在▱ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF＝CG，∠E＝30°，∠C＝50°，求∠BFD的度数．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）试判断四边形ADCF的形状，并证明；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明．22．小明元旦前到文具超市用15元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜0.2元，小明又用20.7元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？23．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．24．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM （如图1）．（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±2【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：x+2≠0，∴x≠﹣2故选：A．2．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．﹣a2+b2﹣2ab D．4x2+4x﹣1【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2可得答案．【解答】解：A、x2﹣x+1不能用完全平方公式分解，故此选项错误；B、1﹣2x+x2能用完全平方公式分解，故此选项正确；C、﹣a2+b2﹣2ab不能用完全平方公式分解，故此选项错误；D、4x2+4x﹣1不能用完全平方公式分解，故此选项错误；故选：B．3．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．14【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC即可得出答案．【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC；又∵AB+BC+AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．故选：B．4．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，代入整式方程得：﹣5＝﹣2+2+m，解得：m＝﹣5，故选：A．5．二班学生某次测试成绩统计如下表：则得分的众数和中位数分别是（）得分（分）60708090100人数（人）7121083A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则中间的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数解答即可．【解答】解：由于总人数为7+12+10+8+3＝40人，所以中位数为第20、21个数据平均数，即中位数为＝80（分），因为70分出现次数最多，所以众数为70分，故选：C．6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为（）A．5B．6C．D．8【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE 的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE＝BQ+QE＝＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE+BE＝5+1＝6．故选：B．7．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．8．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF＝EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC＝2∠CFD；③∠ECD＝90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①只要证明DF＝DC，利用平行线的性质可得∠DCF＝∠DFC＝∠FCB；②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A＝∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF＝MF，求出CF＝MF，求出∠M＝∠FCD ＝∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出∠ECD＝90°，根据平行线的性质得出∠BEC＝∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC＝∠FCB，∴CF平分∠BCD，故①正确，延长EF和CD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠FDM，在△EAF和△MDF中，，∴△EAF≌△MDF（ASA），∴EF＝MF，∵EF＝CF，∴CF＝MF，∴∠FCD＝∠M，∵由（1）知：∠DFC＝∠FCD，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故②正确，∵EF＝FM＝CF，∴∠ECM＝90°，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ECM＝90°，∴CE⊥AB，故③④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）9．若代数式的值为零，则x的取值应为2．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．【解答】解：若代数式的值为零，则（x﹣2）＝0或（x﹣1）＝0，即x＝2或1，∵|x|﹣1≠0，x≠1，∴x的取值应为2，故代数式的值为零，则x的取值应为2．10．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是89.3分．【分析】因为数学期末成绩由课堂、作业和考试三部分组成，并按1：3：6的比例确定，所以利用加权平均数的公式即可求出答案．【解答】解：小明的数学期末成绩是＝89.3（分），故答案为：89.3．11．如果x+＝3，则的值等于【分析】由x+＝3得x2+2+＝9，即x2+＝7，整体代入原式＝＝，计算可得．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝9，即x2+2+＝9，则x2+＝7，∵x≠0，∴原式＝＝＝＝，故答案为：．12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC 的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝50度．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转变换的性质得到∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠ABC＝65°，由旋转的性质可知，∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，∴∠ECB＝50°，∴∠θ＝50°，故答案为：50．13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的周长为32，BD＝16，则菱形ABCD的面积为96【分析】可设菱形ABCD的边长为x，则AC＝32﹣2x，根据菱形可得AO＝16﹣x，BO ＝8，根据勾股定理可求x，进一步得到AC，再根据菱形的面积公式即可求解．【解答】解：如图，设菱形ABCD的边长为x，则AC＝32﹣2x，AO＝16﹣x，BO＝8，依题意有（16﹣x）2+82＝x2，解得x＝10，AC＝32﹣2x＝12，则菱形ABCD的面积为16×12÷2＝96．故答案为：96．14．已知：如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为6．【分析】根据题意，可求得D为A′B′的中点，则可知△C′DC的面积为△ABC的面积的一半．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，∴AB∥A′B′，∵BC＝CC′，∴D为A′B′的中点，∴△C′DC的面积为△ABC的面积的一半，即为6．故答案为：6．三．解答题（共10小题）15．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．（1）在图中标出旋转中心点O；（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2．【分析】（1）连接AA，BB 1，作线段AA1，BB1的垂直平分线交于点O，点O即为所求．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．16．因式分解（1）a3﹣16a；（2）8a2﹣8a3﹣2a【分析】（1）首先提公因式a，再利用平方差进行分解即可；（2）首先提公因式﹣2a，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣16）＝a（a+4）（a﹣4）；（2）原式＝﹣2a（4a2﹣4a+1）＝﹣2a（2a﹣1）2．17．计算：（1）+（﹣2bc）×；（2）先化简，再求值：（﹣1）•，其中x＝﹣5．【分析】（1）先计算乘法，再计算加法即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣＝﹣＝；（2）原式＝•＝•＝﹣，当x＝﹣5时，原式＝﹣＝﹣．18．解分式方程（1）（2）【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x﹣1＝﹣1﹣2x+4，移项合并得：3x＝4，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；（3）分别求出A校、B校的方差即可．【解答】解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；B校中位数80（分）．填表如下：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100故答案为：85；85；80．（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．（3）∵A校的方差s12＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，B校的方差s22＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．∴s12＜s22，因此，A校代表队选手成绩较为稳定．20．如图，在▱ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF＝CG，∠E＝30°，∠C＝50°，求∠BFD的度数．【分析】先根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ABE度数，据此得出∠CBG度数，再证△BCG≌△EAF得出∠AEF＝∠CBG，继而由三角形外角性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C＝50°，∠ABC＝180°﹣∠C＝130°，AE＝BC，∵∠E＝30°，∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝100°，∴∠CBG＝30°，在△BCG和△EAF中，∵，∴△BCG≌△EAF（SAS），∴∠CBG＝∠AEF＝30°，则∠BFD＝∠A+∠AEF＝80°．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）试判断四边形ADCF的形状，并证明；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）由AB⊥AC，AD是BC边上的中线，可得AD＝CD＝BC，然后由四边形ADCF 是平行四边形，证得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）解：四边形CDAF是平行四边形，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）四边形ADCF是菱形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD＝BC＝DC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．22．小明元旦前到文具超市用15元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜0.2元，小明又用20.7元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？【分析】设小明元旦前在该超市买了x本练习本，则元旦这一天在该超市买了1.5x本练习本，根据单价＝总价÷数量结合元旦这天的单价比元旦前便宜0.2元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设小明元旦前在该超市买了x本练习本，则元旦这一天在该超市买了1.5x 本练习本，根据题意得：﹣＝0.2，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．答：小明元旦前在该超市买了6本练习本．23．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD 为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．24．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM （如图1）．（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【分析】（1）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可；（2）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可．【解答】解：（1）连接CM，∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，∴∠MDQ＝45°，∴△DMQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△MDP与△MQC中∴△MDP≌△MQC（SAS），∴PM＝CM，∠MPC＝∠MCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AM＝CM，∠DAM＝∠MCP，∴∠AMP＝180°﹣∠ADP＝90°，∴AM＝PM，AM⊥PM．（2）成立，理由如下：连接CM，∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，∴∠MDQ＝45°，∴△DMQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△MDP与△MQC中∴△MDP≌△MQC（SAS），∴PM＝CM，∠MPC＝∠MCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AM＝CM，∠DAM＝∠MCP，∴∠DAM＝∠MPC，∵∠PND＝∠ANM∴∠AMP＝∠ADP＝90°∴AM＝PM，AM⊥PM．1、三人行，必有我师。

2021-2022学年北京市东城区八年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷1.在第32届夏季奥林匹克运动会(即2020年东京奥运会)上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是( )A. B.C. D.2.肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为( )A. 7×10−6B. 0.7×10−6C. 7×10−7D. 0.7×10−73.下列各式计算正确的是( )A. a2+a4=a8B. (2ab)4=2a4b4C. (a4)2=a8D. a8÷a2=a44.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )A. x2−x+1=x(x−1)+1B. x(y+x)=xy+x2C. (x+y)(x−y)=x2−y2D. x2−2xy+y2=(x−y)25.下列分式中是最简分式的是( )A. 6x29x B. x2+y2x+yC. x2+4x+4x+2D. x2−1x−16.如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AB于点E.若∠A=30°，∠BDC=50°，则∠BDE 的度数是( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 50°7.如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点O.添加一个条件，不一定能使△ABC≌△DCB的是( )A. AB=DCB. OB=OCC. ∠ABO=∠DCOD. ∠ABC=∠DCB8.如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC.若AB=AC，CE=5，BC=6，则△ABC的周长等于( )A. 11B. 16C. 17D. 189.若(mx+3)(x2−x−n)的运算结果中不含x2项和常数项，则m，n的值分别为( )A. m=0，n=0B. m=0，n=3C. m=3，n=1D. m=3，n=010.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度( )A. EFB. ABC. ACD. BC11.因式分解：a2b−4b=．12.当x时，分式1有意义．x−213.计算：(1)−2=．214.如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是．15.如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC=12，BD=3，则DE的长为．16.如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，BD，CE交于点F，则∠BFC=°.17.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于秒时，△PEC与△CFQ全等．19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC 延长线于点H，连接AH．(1)使用直尺和圆规完成作图过程(保留作图痕迹)；(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，△AFH是______三角形；(3)若BC=4，则△AFH的周长为______．20.计算：a⋅a3−(a2)2+2a6÷a2．21.(1)已知：m2+3m−2=0，求代数式(m+2)(2m−1)+(m+3)2的值．(2)先化简x+2x2+2x+1÷x2x+1−1x2+x，然后选一个合适的x值代入，求出代数式的值．22.解分式方程：1+4x−5=2x5−x．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,1)，B(4,3)，C(6,0)．(1)若△ABC与△A′B′C′关于y轴对称，画出△A′B′C′；(2)若在直线l上存在点P，使△ABP的周长最小，则点P的坐标为______．24.如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD=∠ECD，∠B=70°，求∠CAD 的度数．25.如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，AB=CF，∠CEA=∠B+∠F．(1)求证：∠EAB=∠F；(2)若BC=10，求BE的长．26. 列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？27. 在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上的一个动点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，作等腰△ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．(1)如图1，当∠BAC =90°时，直接写出BC 与CE 的位置关系；(2)如图2，当0°<∠BAC <90°时，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，2EF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，将点M(x,y)到x 轴和y 轴的距离的较大值定义为点M 的“相对轴距”，记为d(M).即：如果|x|≥|y|，那么d(M)=|x|；如果|x|<|y|，那么d(M)=|y|.例如：点M(1,2)的“相对轴距”d(M)=2． (1)点P(−2,1)的“相对轴距”d(P)=______；(2)请在图1中画出“相对轴距”与点P(−2,1)的“相对轴距”相等的点组成的图形； (3)已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点M ，N 是△ABC 内部(含边界)的任意两点． ①直接写出点M 与点N 的“相对轴距”之比d(M)d(N)的取值范围；②将△ABC 向左平移k(k >0)个单位得到△A′B′C′，点M′与点N′为△A′B′C′内部(含边界)的任意两点，并且点M′与点N′的“相对轴距”之比d(M′)d(N′)的取值范围和点M 与点N 的“相对轴距”之比d(M)d(N)的取值范围相同，请直接写出k 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形;故选：A．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：0.0000007=7×10−7．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：A.a2，a4不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B.(2ab)4=16a4b4，故此选项不合题意；C.(a4)2=a8，故此选项符合题意；D.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；故选：C．此题主要考查了合并同类项运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】D【解析】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5.【答案】B【解析】解：A．6x 29x =2x3，此选项不符合题意；B.x 2+y2x+y不能再进行化简，是最简分式，符合题意；C.x2+4x+4x+2=(x+2)2x+2=x+2，此选项不符合题意；D.x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1，此选项不符合题意；故选：B．根据最简分式的概念逐一判断即可．本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．6.【答案】B【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD．∵DE//BC，∴∠CBD=∠BDE∴∠ABD=∠BDE．∵∠BDC=∠A+∠ABD，即50°=30°+∠ABD，∴∠ABD=20°．∴∠BDE=20°．故选：B．利用平行线的性质及角平分线的定义，先说明∠ABD=∠BDE，再利用三角形外角性质求出∠ABD 得结论．本题主要考查了三角形的内角和及平行线的性质，利用三角形外角性质求出∠ABD的度数是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：当增加AB=DC时，在Rt△ABC和Rt△DCB中，{BC=CBAB=DC,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，故A选项不符合题意；当增加OB=OC时，可得∠ACB=∠DBC，在△ABC和△DCB中，{∠A=∠D∠ACB=∠DBC BC=CB∴△ABC≌△DCB(AAS)，故B选项不符合题意；当增加∠ABO=∠DCO时，无相等边存在，故无法证明△ABC≌DCB，故C选项符合题意；当增加条件∠ABC=∠DCB时，在△ABC和△DCB中，{∠A=∠D∠ABC=∠DCB BC=CB,∴△ABC≌△DCB(AAS)，故D选项不符合题意；故选：C．当增加条件AB=DC，由HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB；当增加条件∠ABC=∠DCB或OB= OC时，由AAS即可证明△ABC≌△DCB，进而可判定求解．本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算．根据的垂直平分线的性质得到AC=CE= 5，根据三角形的周长公式即可得到答案．【解答】解：∵AE的垂直平分线MN交BE于点C，∴AC=CE=5，∵AB=AC，BC=6，∴△ABC的周长等于AB+AC+BC=5+5+6=16．9.【答案】D【解析】解：(mx+3)(x2−x−n)=mx3−mx2−nmx+3x2−3x−3n=mx3+(−m+3)x2+(−nm−3)x−3n，∵(mx+3)(x2−x−n)的运算结果中不含x2项和常数项，∴−m+3=0，−3n=0，解得：m=3，n=0，故选：D．先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据结果中不含x2项和常数项，即求出m，n的值．本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．10.【答案】C【解析】解：连接AK，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AK=BK，∴AK+CK=BK+CK，∴AK+CK的最小值即为BK+CK的最小值，当A，K，C在同一直线上时，即K与F重合，AK+CK最小，即AK+CK=AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，故选：C．连接AK，根据线段垂直平分线的性质得到AK=BK，求得AK+CK=BK+CK，得到AK+CK的最小值=BK+CK的最小值，于是得到当AK+CK=AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到结论．本题考查的是轴对称−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．11.【答案】b(a+2)(a−2)【解析】解：a2b−4b，=b(a2−4)，=b(a+2)(a−2)．此多项式有公因式，应先提取公因式b，再对余下的多项式进行观察，可利用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.【答案】≠2【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，即分式有意义，分母不等于零．根据题意可得x−2≠0，即可求出x的范围．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：(12)−2=1(12)2=114=4，故答案为：4．14.【答案】6【解析】解：360°÷60°=6．故这个多边形是六边形．故答案为：6．多边形的外角和除以60°，即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．15.【答案】6【解析】解：∵△ABD≌△ACE，BD=3，∴BD=CE=3，∵BC=12，∴DE=BC−BD−CE=12−3−3=6．故答案为：6．根据全等三角形的性质得出BD=CE=3，那么DE=BC−BD−CE=6．本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．16.【答案】120【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD，CE是等边三角形ABC的中线，∴BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC=30°，∠FCB=12∠ACB=30°，∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=120°，故答案为：120．根据等腰三角形的三线合一性质可得BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，然后利用角平分线的定义解答即可．本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．17.【答案】x2−1=(x+1)(x−1)【解析】解：图1的面积为：x2−1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x−1)，所以x2−1=(x+1)(x−1)，故答案为：x2−1=(x+1)(x−1)．根据图1、图2的面积相等可得答案．本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．18.【答案】2或143或12【解析】解：∵△PEC与△CFQ全等，∴PC=CQ，设运动时间为ts，分四种情况：当点P在AC上，点Q在BC上，如图：∵PC=CQ，∴6−t=8−2t，∴t=2，当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图：∵CP=CQ，∴6−t=2t−8，∴t=14，3当点P在BC上，点Q在AC上时，如图：∵PC=CQ，∴t−6=2t−8，∴t=2，不符合题意，当点Q到A点，点P在BC上时，如图：∵CQ=PC，∴6=t−6，∴t=12，或12秒时，△PEC与△CFQ全等，综上所述：点P的运动时间等于2或143故答案为：2或14或12．319.【答案】解：(1)作图如下所示：(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的垂直平分线，△AFH是等腰三角形；故答案为：垂直平分线；等腰；(3)∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∵AF=AH，∠ACB=90°∴FC=CH，∴△AFH的周长=AF+AH+FH=2BF+2FC=2BC=8，故答案为：8．【解析】本题考查了作图−简单作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．(1)根据作图过程即可完成作图；(2)根据垂直平分线的作法即可得结论；(3)根据垂直平分线的性质可得AF=BF，进而可求出△AFH的周长．20.【答案】解：a⋅a3−(a2)2+2a6÷a2=a4−a4+2a4=2a4．【解析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．先算乘方，再算乘除，最后算加减，然后进行计算即可．21.【答案】解：(1)(m+2)(2m−1)+(m+3)2=2m2−m+4m−2+m2+6m+9=3m2+9m+7，∵m2+3m−2=0，∴m2+3m=2．∴原式=3(m2+3m)+7=3×2+7 =13；(2)x+2x2+2x+1÷x2x+1−1x2+x=x+2(x+1)2⋅x+1x2−1x(x+1)=x+2x2(x+1)−xx2(x+1)=x+2−x x2(x+1)=2x2(x+1)，要使分式x+2x2+2x+1÷x2x+1−1x2+x有意义，x+1≠0且x≠0，即x≠−1且x≠0，∴取x=1(答案不唯一)，当x=1时，原式=212×(1+1)=1．【解析】本题考查了分式的化简与求值，整式的化简与求值等知识点，能正确根据分式、整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．(1)先根据多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，变形后代入，即可求出答案；(2)先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法和分式的减法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出x≠−1且x≠0，取x=1(答案不唯一)，把x=1代入求出答案即可．22.【答案】解：1+4x−5=2x5−x1+4x−5=−2xx−5，去分母，得x−5+4=−2x，化简，得3x=1，解得：x=13，检验：把x=1代入最简公分母x−5≠0．3所以x=1是原分式方程的解．3【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．23.【答案】解：(1)如图所示：(2)(3,3)．【解析】本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短路线问题．(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；(2)作点B关于直线l的对称点B″，连接AB″交直线l于点P，连接PB，此时PA+PB的值最小，△ABP的周长最小．24.【答案】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵∠B=70°，∴∠BAD=20°．∵∠BAD=∠ECD，∴∠ECD=20°．∵CE 是△ADC 的角平分线，∴∠ECD =12∠ACD ．∴∠ACD =40°．在△ACD 中，∠CAD =90°−∠ACD =50°．【解析】本题考查了三角形的内角和、高、角平分线等知识点，掌握三角形的内角和定理及三角形的高和角平分线的性质，是解决本题的关键．在△ABD 中，先利用三角形的内角和求出∠BAD ，再利用角平分线的定义求出∠ACD ，最后利用三角形的内角和求出∠CAD ．25.【答案】(1)证明：∵∠CEA 是△ABE 的外角，∴∠CEA =∠B +∠EAB ．又∵∠CEA =∠B +∠F ，∴∠EAB =∠F ．(2)解：在△ABE 和△FCE 中，{∠AEB =∠FEC ∠EAB =∠F AB =FC, ∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴BE =CE ．∵BC =BE +CE =10，∴BE =5．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．(1)根据三角形外角的性质可得出结论；(2)证明△ABE≌△FCE(AAS).由全等三角形的性质可得出BE =CE ，则可得出答案．26.【答案】解：设2020年该农户所种粮食的亩产量约为x 吨，由题意，得：150x +20=2161.2x ，解得：x =1.5．经检验，x=1.5是原分式方程的解，且符合题意，答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设2020年该农户所种粮食的亩产量约为x吨，由题意：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，列出分式方程，解方程即可．27.【答案】解：(1)BC⊥CE.理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°=∠DAE，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BC⊥CE；(2)解：如图，补全图形；当BD≤CD时，CD−BD=2EF，理由如下：延长EF到点G，使FG=EF.连接AG．∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，∴∠CAE=∠BAD，在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAEAD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC．∴∠ADC=∠AEG，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠ACB=∠ACE，∵AF⊥CE，EF=FG∴AE=AG，∴∠AEG=∠G，∴∠ADC=∠G，在△ADC和△AGC中，{∠ADC=∠G∠ACD=∠ACG AC=AC,∴△ADC≌△AGC(AAS)，∴CD=CG，∵CG−CE=EG=2EF，∴CD−BD=2EF，如图，当BD>CD时，同理可证BD−CD=2EF．理由如下：截取FG=EF，连接AG．在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAEAD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠ACB=∠ACE，∵AF⊥CE，FG=EF，∴AE=AG，∴∠AEG=∠AGE，∴∠ADB=∠AGE，∴∠ADC=∠AGC，在△ADC和△AGC中，{∠ADC=∠AGC ∠ACD=∠ACG AC=AC,∴△ADC≌△AGC(AAS)，∴CD=CG，∵CE−CG=EG=2EF，∴BD−CD=2EF，【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE=45°，可得结论；(2)分两种情况讨论，分别利用全等三角形的判定和性质证明即可求解．28.【答案】解：(1)2；(2)∵点P(−2,1)的“相对轴距”d(P)=2，∴这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形，如图中正方形；(3)①∵点M ，N 是△ABC 内部(含边界)的任意两点，∴1≤d(M)≤3，1≤d(N)≤3，∴13≤d(M)d(N)≤3；②∵将△ABC 向左平移k(k >0)个单位得到△A′B′C′，∴A′(1−k,1)，B′(2−k,3)，C′(3−k,2)，由题意可知13≤d(M′)d(N′)≤3，∴d(M′)、d(N′)的最值在A′、B′、C′处取得，∴|1−k|≤1，|3−k|≤3，|2−k|≤3，∵k >0，∴0<k ≤2．【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，理解定义，掌握坐标平移的性质是解题的关键．(1)根据定义即可求解；(2)这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形；(3)①分别求出1≤d(M)≤3，1≤d(N)≤3，即可求13≤d(M)d(N)≤3；②由题意可知13≤d(M′)d(N′)≤3，根据①可知d(M′)、d(N′)的最值在A′、B′、C′处取得，则有|1−k|≤1，|3−k|≤3，|2−k|≤3，求出k 的取值范围即可．【解答】解：(1)由题意可得，d(P)=2，故答案为：2；(2)见答案；(3)见答案．。

2020--2021学年上学期人教版八年级数学试题

2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷一．选择题（共12小题）1．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．02．有两条高在三角形外部的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3．下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．4．如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于（）A．105°B．90°C．85°D．95°5．如图，△ABC≌△DEC，点E在边AB上，∠DEC＝75°，则∠BCE的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．75°6．如图，AE＝AC，若要判断△ABC≌△ADE，则不能添加的条件为（）A．DC＝BE B．AD＝AB C．DE＝BC D．∠C＝∠E7．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．138．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5B．6C．7D．89．已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；②当2x•2y＝16时，a＝18；③当不存在一个实数a，使得x＝y．A．①②B．①③C．②③D．①②③10．下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个11．某种病毒近似于球体，它的半径约为0.000000005米，用科学记数法表示为（）A．5×108B．5×109C．5×10﹣8D．5×10﹣912．在代数式，，xy+x2，中分式有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形共有个．14．如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为cm．15．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠1+∠2＝°．16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝．17．若x m＝2，x n＝3，则x m+2n的值为．18．科学家在实验中检测处某微生物约为0.0000025米长，用科学记数法表示0.0000025为．三．解答题（共9小题）19．观察以下图形，回答问题：（1）图②有个三角形；图③有个三角形；图④有个三角形；…猜测第七个图形中共有个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形（用含n的代数式表示结论）．20．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．21．如图所示，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝30°，求∠1的度数．22．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF．求证：△ABF≌△CDE．23．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N的距离分别相等（保留作图痕迹）．24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求CD的长；（2）求点C到ED的距离．25．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝log a N，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，log a（M•N）＝log a M+log a N．（I）解方程：log x4＝2；（Ⅱ）求值：log48；（Ⅲ）计算：（lg2）2+lg2•1g5+1g5﹣2018．26．x2•（﹣x）2•（﹣x）2+（﹣x2）327．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：＝1+．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：＝＝1+；＝＝x﹣2+．解决下列问题：（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为：．（直接写出结果即可）（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．2020-2021上学期人教版八年级数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．综上所述，正确的结论2个．故选：B．2．【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高．发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．【解答】解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形．故选：C．3．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．【解答】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，故选：D．4．【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，再根据直角三角形两锐角互余求解．【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠2＝∠3，在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故选：B．5．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠DEC＝75°，CE＝CB，∴∠CEB＝∠B＝75°，∠B＝∠CEB，∴∠BCE＝180°﹣2×75°＝30°，故选：B．6．【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、根据SAS可以判定两个三角形全等，本选项不符合题意．B、根据SAS可以判定两个三角形全等，本选项不符合题意．C、SSA不可以判定两个三角形全等，本选项符合题意．D、根据ASA可以判定两个三角形全等，本选项不符合题意．故选：C．7．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出BE长即可．【解答】解：∵ED垂直平分AB，∴BE＝AE，∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，∴12+5+AE＝30，∴AE＝13，∴BE＝AE＝13，故选：D．8．【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【解答】解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选：D．9．【分析】已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（①②③）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；解方程组得，根据互为相反数的两个数和为0，可得结论．②当2x•2y＝16时，a＝18；根据同底数幂的乘法法则得x+y＝4，可得结论．③当不存在一个实数a，使得x＝y．当x＝y时，等式不成立，可得结论．【解答】解：已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（①②③）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；解得：∵x，y的值互为相反数，∴x+y＝0∴25﹣a+15﹣a＝0解得：a＝20故①正确；②当2x•2y＝16时，a＝18；∵2x•2y＝2 x+y＝24∴x+y＝25﹣a+15﹣a＝4解得：a＝18故②正确；③当不存在一个实数a，使得x＝y．若x＝y，得25﹣a＝15﹣a此方程无解．∴不存在一个实数a，使得x＝y．故③正确．故选：D．10．【分析】①利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法公式做（注意一个负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数）；④利用乘法分配律的逆运算．【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10故②的答案不正确；③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；④25+25＝2×25＝26．所以正确的个数是1，故选：B．11．【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9．故选：D．12．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：这1个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：A．二．填空题（共6小题）13．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：614．【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm．故答案为：2．15．【分析】连接AC，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：由图可知△ACE与△ABD与△ACF全等，∴AB＝AC，∠1＝∠CAE＝∠ACF，∵∠CAE+∠DAC＝90°，∴∠1+∠DAC＝∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠2+∠ACF＝45°，∴∠1+∠2＝45°，故答案为：45．16．【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠B＝40°，∠C＝45°，∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，∴∠BAD+∠CAE＝85°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，故答案为：10°17．【分析】先把x m+2n变形为x m（x n）2，再把x m＝2，x n＝3代入计算即可．【解答】解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+2n＝x m x2n＝x m（x n）2＝2×32＝2×9＝18；故答案为：18．18．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法表示0.0000025为2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．三．解答题（共9小题）19．【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数．【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．20．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可．【解答】解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即，解得：，当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC＝48，AB＝28．21．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠AED＝∠ACB，∠D＝∠B，再根据邻补角的定义求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝105°，∠D＝∠B＝30°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝180°﹣105°＝75°，由三角形的内角和定理得，∠1+∠D＝∠CAD+∠ACF，∴∠1+30°＝15°+75°，解得∠1＝60°．22．【分析】求出∠DEC＝∠BF A＝90°，根据HL定理推出即可．【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BF A＝90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．23．【分析】点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．【解答】解：点P就是所求的点．（2分）如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分24．【分析】（1）过A点作AF⊥BC于点F．根据AB＝AC＝6，BC＝4，AF⊥BC，可得BF ＝FC＝2，∠BF A＝90°，再根据三角函数即可求出CD的长；（2）过C点作CH⊥ED于点H，根据CH⊥ED，AB⊥ED，可得∠DEB＝∠DHC＝90°，即CH∥AB，对应边成比例即可求出CH的长．【解答】解：如图，（1）过A点作AF⊥BC于点F．∵AB＝AC＝6，BC＝4，AF⊥BC，∴BF＝FC＝2，∠BF A＝90°，∴在Rt△ABF中，，∵AB的垂直平分线交AB于点E，AB＝6，∴AE＝BE＝3，∠DEB＝90°，在Rt△DEB中，，∴BD＝9，∴CD＝5．（2）过C点作CH⊥ED于点H，∵CH⊥ED，AB⊥ED，∴∠DEB＝∠DHC＝90°，∴CH∥AB，∴，∵BE＝3，BD＝9，CD＝5，∴．∴点C到ED的距离CH为．25．【分析】（I）根据题中的新定义化简为：x2＝4，解方程即可得到结果；（II）解法一：利用对数的公式：log a（M•N）＝log a M+log a N，把8＝4×2代入公式，即可得到结果；解法二：设log48＝x，根据对数的定义得4x＝8，化为底数为2的式子，可得结果；（II）（lg2）2+lg2•1g5+1g5﹣2018，＝lg2（lg2+1g5）+lg5﹣2018，＝lg2•1g10+lg5﹣2018（III）知道lg2+1g5＝1g10＝1，提公因式后利用已知的新定义化简即可得到结果．【解答】解：（I）log x4＝2；∴x2＝4，∵x＞0，∴x＝2；（II）解法一：log48＝log4（4×2）＝log44+log42＝1+＝；解法二：设log48＝x，则4x＝8，∴（22）x＝23，∴2x＝3，x＝，即log48＝；（II）（lg2）2+lg2•1g5+1g5﹣2018，＝lg2（lg2+1g5）+lg5﹣2018，＝lg2•1g10+lg5﹣2018，＝lg2+1g5﹣2018，＝1g10﹣2018，＝1﹣2018，＝﹣2017．26．【分析】根据幂的乘方和积的乘方的计算方法进行计算即可．【解答】解：原式＝x2•x2•x2﹣x6＝x6﹣x6＝0．27．【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定x的值．【解答】解：（1）＝＝﹣＝1﹣故答案为：1﹣（2）原式＝＝＝x﹣1+因为x的值是整数，分式的值也是整数，所以x+3＝±1或x+3＝±3，所以x＝﹣4、﹣2、0、﹣6．所以分式的值为整数，x的值可以是：﹣4、﹣2、0、﹣6．。

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