复数乘除法公开课优秀教案

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

【学习目标】

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.

【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2

i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】

1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；

2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；

3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；

4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；

5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

=⋅21z z

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2

i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）1221z z z z ⋅=⋅

（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅

（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者

di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：

利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di

c bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc a

d i c di c di c di c d

++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d

++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的

23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析】

例1计算()()()i i i +-+-24321

引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.

点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2

i 换成－1.

例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()

21i +.

引导:按照复数乘法运算展开即可.

点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.

例3计算(12)(34)i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.

点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.

例4i

43+引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.

点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.

【目标检测】

1.复数2

2i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭

等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足

12i i z +=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +

3.复数3

2321⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）

A.i -

B.i

C.1-

4.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.

5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.

(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律并把这个规律用式子表示出来.

提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.

【总结提升】

复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2

i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.

【总结反思】

知识 .

重点 .

能力与思想方法 .

【自我评价】你完成本学案的情况为( )

A.很好

B.较好

C.一般

D.较差