高中物理高频考点《边界磁场问题分析与强化训练》(附详细参考答案)

边界磁场问题分析与强化训练

（附详细参考答案）

一、边界磁场问题分析及例题讲解：

1．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形

（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）

（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）

（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）

（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

（5）三边形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。已知边长为2a，D点距A点3a，粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

2．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系

（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。

（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。

3．几点注意

（1）当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。

（2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化．可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。

4．求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法

由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。

（1）两种思路

一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；

二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。

（2）两种方法

一是物理方法：

①利用临界条件求极值；

②利用问题的边界条件求极值；

③利用矢量图求极值。

二是数学方法：

①利用三角函数求极值；

②利用二次方程的判别式求极值； ③利用不等式的性质求极值；

④利用图象法等。

（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。

5、例题分析

(1)带电粒子在圆形磁场中的例题分析

【题1】圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ′处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿OO ′方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图所示，求O ′P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

【答案】

由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ′OP =∠AO ″B=θ，在直角三角形OO ′P 中，O ＇P=（L+r ）tan θ，而，R

r =)2tan(θ

，

所以求得R 后就可以求出O ′P 了，电子经过磁场的时间可用t=V R V AB θ=来求得。 由得R = ，

，

【题2】如图，半径为r =10cm 的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度B =0.332T ，方向垂直纸面向里。在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为v =3.2×106m/s 的粒子。已知α粒子质量m =6.64×10-27kg ，电量q =×10-27C ，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角。

【答案】60°

由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角。在半径R一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长。该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦。显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径。即α粒子应从磁场圆直径的A端射出。

如图，作出磁偏转角φ及对应轨道圆心O′，据几何关系得，得φ=60°，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60°。

【题3】如图所示，在真空中坐标xoy平面的x>0区域内，有磁感强度B=1.0×10-2T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的p（10，0），点，有一放射源，在xoy平面内向各个方向发射速率v=1.0×104m/s的带正电的粒子，粒子的质量为m=1.6×10-25kg，电量为q=1.6×10-18C，求带电粒子能打到y轴上的范围。

【答案】

如图所示，当带电粒子打到y 轴上方的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点既为粒子能打到y 轴上方的最高点。因，，则。

当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于B 点时，B 点既为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得。

综上，带电粒子能打到y 轴上的范围为：

。 (2)带电粒子在长方形磁场中的例题分析

【题4】如图，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件。

【答案】：m Bqd v 4 或

则其圆轨迹半径为41d R =

，又由得m

Bqd v 41=，则粒子入射速率小于v 1时可不打在板上。 设粒子以速率v 2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图中轨迹2），由图可得

，则其圆轨迹半径为，又由得

，则粒子入射速率大于v 2时可不打在板上。

综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：m Bqd v 4<或。

【题5】长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是

( )

A ．使粒子的速度v <

m

BqL 4； B ．使粒子的速度v >m BqL 45； C ．使粒子的速度v >m

BqL ； D ．使粒子速度m

BqL 4