理论力学课件 12.2 矢量法
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《大学物理学》矢量课堂ppt
合矢量的大小的方向cos四矢量合成的解析法在直角坐标系任一矢量都可沿坐标轴方向分解的大小的方向五矢量的乘积1
矢
一、矢量和标量
量
1.矢量：有大小和方向的物理量。 A A 大小：A 或 A A A 方向：用单位矢量 e A表示。即：
A eA A
eA 1
2.标量：只有大小的物理量。
在直角坐标系中， , j , k 是恒矢量，则 i
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k dA dAx dAy dAz 导数 i j k dt dt dt dt
2.导数的运算规则 （1）恒矢量的导数为零。
dC 0 dt
2.矢量的标积
设 A, B 为任意两个矢量，它们的夹角为
则它们的标积定义为
A B AB cos
B
B cos
A
根据标积的定义，可以得出下列结论：
（1）当
0 时，cos 1,
A B AB
A B 0
2
所以
时，即 （2）当
3.矢量的性质： 只要矢量的大小，方向不变，则 这个矢量不变。这是矢量平移不变性。 A 是 A的负矢量。大小相等方向相反。
二、矢量的模和单位矢量
在直角坐标系，单位矢量为：i , j , k
A Ae A
三、矢量的加法和减法
1.矢量的加法：满足平行四边形法则，或 三角形法则。 B C B sin
2.积分运算规则
f ( x)dx f ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx C A B dx Adx Bdx
矢
一、矢量和标量
量
1.矢量：有大小和方向的物理量。 A A 大小：A 或 A A A 方向：用单位矢量 e A表示。即：
A eA A
eA 1
2.标量：只有大小的物理量。
在直角坐标系中， , j , k 是恒矢量，则 i
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k dA dAx dAy dAz 导数 i j k dt dt dt dt
2.导数的运算规则 （1）恒矢量的导数为零。
dC 0 dt
2.矢量的标积
设 A, B 为任意两个矢量，它们的夹角为
则它们的标积定义为
A B AB cos
B
B cos
A
根据标积的定义，可以得出下列结论：
（1）当
0 时，cos 1,
A B AB
A B 0
2
所以
时，即 （2）当
3.矢量的性质： 只要矢量的大小，方向不变，则 这个矢量不变。这是矢量平移不变性。 A 是 A的负矢量。大小相等方向相反。
二、矢量的模和单位矢量
在直角坐标系，单位矢量为：i , j , k
A Ae A
三、矢量的加法和减法
1.矢量的加法：满足平行四边形法则，或 三角形法则。 B C B sin
2.积分运算规则
f ( x)dx f ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx C A B dx Adx Bdx
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
矢量PPT课件
( Ay Bz Az By )iˆ ( Az Bx Ax Bz ) ˆj ( Ax By Ay Bx )kˆ
iˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ 0
iˆ ˆj kˆ, kˆ iˆ ˆj, ˆj kˆ iˆ
ˆj iˆ kˆ,iˆ kˆ ˆj, kˆ ˆj iˆ
– 结合律(associative law): (A+B)+C=A+(B+C)
三、矢量的加法和减法 (vector addition and subtraction)
４.两矢量的减法：
– 定义： C=A-B=A+(-B) 即两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和
– 运算方法： • 平行四边形法则：以A和(-B)为邻边做平行四边形，其对角线 即为矢量差C • 三角形法则：将A和B的矢尾相接，由B的矢端向A的矢端做矢 量，则该矢量即为矢量差C
• 直角坐标系下n个矢量的求和
–
n个矢量：
A1
,
A2
,,
An
–
每个矢量都可分解成矢量投影式
Ai
Aixiˆ
Aiy
ˆj
Aiz kˆ
– 和矢量：
A
Axiˆ
Ay
ˆj
Az kˆ
A
n
Ai
n
( Aixiˆ Aiy ˆj Aiz kˆ)
i 1
i 1
n
n
n
( Aix )iˆ ( Aiy ) ˆj ( Aiz )kˆ
t 0 t
➢ 方向：当t0时，A的极限方向，沿A(t)的矢端曲线的切线且指向时
• 把一个矢量分解成若干个分矢量之和，可能采取的分解方式有无
限规多定个矢，量如A 果在规某定一了直 三角个坐正标交系分的量xy的z轴方上向分，解则，分则解z可是表唯示一成的。如， A A1 A2 A3
《大学物理矢量》课件
VS
加速度的合成
当物体同时参与两个运动，且这两个运动 的加速度共同产生与物体实际加速度相同 的效果时，这两个加速度称为合加速度。 合加速度的计算通过平行四边形法则或三 角形法则进行。
05
总结与展望
矢量在物理中的重要性
描述物理现象
矢量是描述物理现象的重要工具 ，如速度、力、加速度等都是矢 量，它们可以完整地描述物体的
理解矢量运算规则
矢量运算包括向量的加法、减法、数乘、向量的点乘、叉乘等，需 要理解这些运算的规则和几何意义，才能更好地应用矢量。
实践应用
通过解决实际问题，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等，将 所学知识应用于实践，加深对矢量的理解。
对未来学习的展望
深入学习矢量理论
矢量理论在数学和物理中具有广泛的应用，可以深入学习 矢量的性质、定理和证明等，为未来的学习和研究打下坚 实的基础。
详细描述
矢量具有独立性，即矢量的数值与其参考系的选择无关。矢量具有可加性，即两个矢量相加得到一个 新的矢量。矢量还具有传递性，即对于三个矢量A、B和C，有A+B+C=A+(B+C)。此外，矢量还具有 分解和投影等性质。
02
矢量的运算
矢量的加法
矢量加法
将两个矢量首尾相接，形成一个 新的矢量。
三角形法则
矢量的表示方法
总结词
矢量可以用箭头表示，箭头的长度代表矢量的大小，箭头的指向代表矢量的方向 。
详细描述
在物理学中，通常用箭头表示矢量。箭头的长度代表矢量的大小，箭头的指向代 表矢量的方向。在数学和物理学中，常用黑体字母来表示矢量，例如A、B、C等 。
矢量的基本性质
总结词
矢量具有独立性、可加性和传递性等基本性质。
《大学物理矢量》课件
《大学物理矢量》课件1. 引言矢量是描述物体运动状态和相互作用的重要物理量。
在大学物理课程中，矢量理论是基础且核心的内容，对于深入理解物理现象和解决实际问题具有重要意义。
本课件旨在介绍矢量的基本概念、性质和运算规则，并通过实例分析，帮助学生掌握矢量在物理学中的应用。
2. 矢量的基本概念2.1 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量。
在物理学中，矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
例如，位移、速度、加速度、力等都是矢量。
2.2 矢量的表示矢量的表示方法有多种，如符号表示、坐标表示和分量表示等。
符号表示是用箭头和字母表示矢量的方法，如箭头表示速度v。
坐标表示是用坐标系表示矢量的方法，如直角坐标系中的矢量可以表示为(r, θ)。
分量表示是将矢量分解为各个坐标轴方向上的分量，如直角坐标系中的矢量可以表示为(vx, vy, vz)。
2.3 矢量的性质（1）可加性：两个矢量相加，遵循平行四边形法则或三角形法则。
（2）标量乘法：矢量与标量相乘，结果仍为矢量。
（3）数乘：数乘矢量，结果仍为矢量。
（4）方向：矢量的方向由其分量决定。
（5）单位矢量：单位矢量是大小为1的矢量，方向与所表示的矢量相同。
3. 矢量的运算规则3.1 矢量加法矢量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
平行四边形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的平行四边形的对角线。
三角形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的三角形的第三边。
3.2 矢量减法矢量减法可以看作是矢量加法的逆运算。
即a b = a + (-b)，其中(-b)表示与b大小相等、方向相反的矢量。
3.3 矢量数乘矢量数乘是指将矢量与标量相乘。
数乘矢量的结果仍为矢量，其大小为原矢量的大小与标量的乘积，方向与原矢量相同。
3.4 矢量的点积和叉积矢量的点积（又称内积、标积）定义为a·b = -a--b-cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= aix
4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
R = ai Rz= aiz
Ry= aiy
c
c a b sin a b
b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
y
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
C
E
xD - xC =c4
D
x
18
对上述各式微分得:
2 dxB - dxA = 0 dxD - dxC = 0
dxE + 2 dxA = 0
2 dxC - dxB = 0
8dxD = -d xE
8vD= - vE 8aD= - aE aE = 2 vE =10 aE = 2
18 5
14
二.绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度. 解:
理 论 力一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
2
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
第一讲 点的运动学：矢量法、直角坐标
a = lim ∆v ∆t→0 ∆t
定理：点的加速度在直角 坐标上的投影等于点的对 应坐标对时间的二阶导数。
例题 1.2半径为R的轮子在一竖直平面内沿直线轨道纯滚动(接触
点速度为零的无滑动滚动)。轮心速度已知为常数u，试分析轮子
边缘一点 M 的运动。
y
建立点运动方程的一般过程
1．建立坐标系(明确坐标原点与坐标正方向)；
ϕ = ωt
试建立连杆上 P 点的运动方程并分 析它的运动轨迹、速度及加速度。
解：建立如图所示的坐标系， 研究 P 的运动。
根据已知条件写出 P 的直 角坐标随时间的变化规律，即得 P 的直角坐标形式的运动方程
⎧x = (2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎩
y
=
d
sin(ωt)
P 的轨迹方程为椭圆：
(BP = d)
r
再求导得 P 点的加速度 a = &x&i + &y&j = −ω2r
⎧⎪&x& = −ω 2(2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎪⎩
&y&
Hale Waihona Puke =−ω2d
sin(ωt
)
P点沿椭圆轨道变速周期运动。
2
例1.3：刚体的概念和其上点运动的性质 定义1：运动中始终不变形的物体称为刚体。 定义2：其上任意两点间的距离始终不变的物体称为刚体。
⎪⎩z = f3 (t)
1
速度:描述点瞬时运动快慢和方 向变化的物理量，是矢量。点的 速度沿轨迹切线，指向点的运动 方向。
v(t) = dr 记 r&= dr
dt
dt
直角坐标法
r = xi + yj + zk
定理：点的加速度在直角 坐标上的投影等于点的对 应坐标对时间的二阶导数。
例题 1.2半径为R的轮子在一竖直平面内沿直线轨道纯滚动(接触
点速度为零的无滑动滚动)。轮心速度已知为常数u，试分析轮子
边缘一点 M 的运动。
y
建立点运动方程的一般过程
1．建立坐标系(明确坐标原点与坐标正方向)；
ϕ = ωt
试建立连杆上 P 点的运动方程并分 析它的运动轨迹、速度及加速度。
解：建立如图所示的坐标系， 研究 P 的运动。
根据已知条件写出 P 的直 角坐标随时间的变化规律，即得 P 的直角坐标形式的运动方程
⎧x = (2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎩
y
=
d
sin(ωt)
P 的轨迹方程为椭圆：
(BP = d)
r
再求导得 P 点的加速度 a = &x&i + &y&j = −ω2r
⎧⎪&x& = −ω 2(2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎪⎩
&y&
Hale Waihona Puke =−ω2d
sin(ωt
)
P点沿椭圆轨道变速周期运动。
2
例1.3：刚体的概念和其上点运动的性质 定义1：运动中始终不变形的物体称为刚体。 定义2：其上任意两点间的距离始终不变的物体称为刚体。
⎪⎩z = f3 (t)
1
速度:描述点瞬时运动快慢和方 向变化的物理量，是矢量。点的 速度沿轨迹切线，指向点的运动 方向。
v(t) = dr 记 r&= dr
dt
dt
直角坐标法
r = xi + yj + zk
大学物理矢量PPT课件
把 [a,b] 分 成 n个 小 y 区 间[ xi 1, xi ]， 长 度 为 xi xi xi1;
在每个[ xi1, xi ] 上
任 取 一 点 i，
o
x1
a
xi1 i xi
xn1
b
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
Ax
O Ax
X
如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:
C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
第1章 运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
C AB
AB
矢量的减法: 两个矢量相减
C' A B A (B)
差矢量方向：
减数终端→被减数终端
第1章 运动的描述
A
C
B
C'
A
B
矢量的内积
a
b
ab
（点乘、标乘）：
0, cos 1, a b ab
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
在每个[ xi1, xi ] 上
任 取 一 点 i，
o
x1
a
xi1 i xi
xn1
b
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
Ax
O Ax
X
如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:
C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
第1章 运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
C AB
AB
矢量的减法: 两个矢量相减
C' A B A (B)
差矢量方向：
减数终端→被减数终端
第1章 运动的描述
A
C
B
C'
A
B
矢量的内积
a
b
ab
（点乘、标乘）：
0, cos 1, a b ab
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
理论力学向量
>0 b与a同向 <0 b与a方向相反
矢量的数乘满足分配律
(a ± b) =a±b
• 任意矢量可表示为其模与同方向单位矢 量的乘积：
A = A (A / A) = AeA
式中eA为A方向的单位矢量：eA = A / A .
3. 矢量的分解
• 平面矢量的分解
设 A1 和 A2 是 平 面 内 任 意 两 个 线 性 无 关 （不共线）的矢量，则平面上任意矢量 可表示为：
理论力学
第1讲
理论力学
矢量代数基础
1. 矢量的概念
标量：量度单位确定之后，仅用数的大小就可以 完全表示的量称为标量。
矢量：具有大小和方向，并遵从一定运算规则的 量称为矢量。
矢量和标量是性质不同的两类量，它们之间不能进行 量度的比较，因此也不可能彼此相等。
•矢量用粗斜体字母a、F、v…表示，在图中表 示为一有向线段。
矢积的几何意义
C = A×B
A
|A| sin
|B| B
（180）
• 关于叉乘的运算规律
• A×A = 0 • A×(B + C) = A×B + A×C • (A×B) =(A)×B = A×(B) • A×B = －B×A • 设A和B是两个非零矢量，则
A与B 共线 A×B = 0
1.2 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋j－2k，计算 (A＋B)·(A－B)。 1.3 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋yj－2k，试求使A⊥B的y。 1.4 若A=2i＋j＋k，B=i－2j＋2k，C=3i－4j＋2k，求
A＋C 在B 方向的投影。 1.5 一个三角形的三个顶点在 A (2,3,1)，B (－1,1,2)，C
矢量的数乘满足分配律
(a ± b) =a±b
• 任意矢量可表示为其模与同方向单位矢 量的乘积：
A = A (A / A) = AeA
式中eA为A方向的单位矢量：eA = A / A .
3. 矢量的分解
• 平面矢量的分解
设 A1 和 A2 是 平 面 内 任 意 两 个 线 性 无 关 （不共线）的矢量，则平面上任意矢量 可表示为：
理论力学
第1讲
理论力学
矢量代数基础
1. 矢量的概念
标量：量度单位确定之后，仅用数的大小就可以 完全表示的量称为标量。
矢量：具有大小和方向，并遵从一定运算规则的 量称为矢量。
矢量和标量是性质不同的两类量，它们之间不能进行 量度的比较，因此也不可能彼此相等。
•矢量用粗斜体字母a、F、v…表示，在图中表 示为一有向线段。
矢积的几何意义
C = A×B
A
|A| sin
|B| B
（180）
• 关于叉乘的运算规律
• A×A = 0 • A×(B + C) = A×B + A×C • (A×B) =(A)×B = A×(B) • A×B = －B×A • 设A和B是两个非零矢量，则
A与B 共线 A×B = 0
1.2 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋j－2k，计算 (A＋B)·(A－B)。 1.3 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋yj－2k，试求使A⊥B的y。 1.4 若A=2i＋j＋k，B=i－2j＋2k，C=3i－4j＋2k，求
A＋C 在B 方向的投影。 1.5 一个三角形的三个顶点在 A (2,3,1)，B (－1,1,2)，C
矢量运算法则ppt课件
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 散度：
a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式： divF lim S F dS
c.散度的计算：
V 0 V
在直角坐标系中，如图做一封闭
z
S6
S1
S3
S4
S2
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S5
y
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
B
A B | A | | B | sin aˆc
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
理论力学知识点ppt课件
图 (a)
图 (b)
图 (c)
6
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
由此可见，对于刚体来说，作用其上力的三要素是：力的 大小、方向和作用线。此时，力是一个滑动矢量。
公理3 力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。合力 的作用点仍在该点，其大小和方向由这两个力为边构成的平行 四边形的对角线来确定。如图(a)所示。即
பைடு நூலகம்
FR=F1+F2
也可以由力的三角形来确定合力的大小和方向，如图 (b)(c )。
图(a)
图(b)
7
图(c)
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
推论 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任意两个力 的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点， 且三个力的作用线在同一平面内。
5
静力学
第一章 静力学公理和物体的受力分析
由此公理可以导出下列推论： 推论 力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体内 任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
证明：刚体上的点A处作用有力F，如图（a）所示。根 据公理2，可在力F的作用线上任取一点B，加上一对平衡 力F1和F2，使其 F=F2 = - F1 ，如图 (b)所示。再根据公 理2，去掉一对平衡力系F和 F1 ，这样只剩下力 F2 = F,如 图 (c )所示,即将力 F沿其作用线移到了点B。
根据力的定义，约束对其被约束物体的作用，实际上就 是力的作用，这种力称为约束力。它的大小是未知的，以后 可用平衡条件求出，但它的方向必与该约束对被约束的物体 所能阻止的位移方向相反。
11
静力学
理论力学Fx2hppt课件
（隐含正号，方向假 设 正确）
aet
l
3o2r(l r)
3l 2
[例1] 直杆AB在半径为R的圆弧槽带动下可上下运动，图示
瞬时，=30°，圆弧槽具有速度v和加速度a，求该
时刻杆AB的速度和加速度。
解：取顶杆AB的A点为动点
B
vr
va
R
A ve
va ve vr
a
v
va ve tan
vtan
12
[例8-10] P183
曲柄OA= r，以匀角速度o转动，BC=DE，BD=CE=l。
求图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
D
E
B vB
60° A
vr va ve
O C
O 30°
vr
va
ve
解：角速度
DBCE为平行四边形，所以BC杆作平动。 动系固结在BC杆上，套筒A为动点。 绝对速度: va=rO
解：取AB杆的A点为动点，动坐标系固定在轮子上。
A点的绝对运动是直线运动；相对运动轨迹是圆 周，牵连运动是平面运动。
y´
x´
va ve vr
又ve vC vAC
a Cv A
va vC vAC vr
(1)
θ
vC 将（1）式在y´轴上投影：
vr
B va
vAC
va cos vC sin va vC tan v tan
[例 6]
滑块A以等速度v沿滑道运动，求图示时刻滑块 B的速度和加速度。
A
解：AB杆作瞬时平动，vB vA v
vA
AB 0
R
30°
vB
B
[例 6]
滑块A以等速度v沿滑道运动，求图示时刻滑块 B的速度和加速度。
理论力学_动力学ppt课件
12 4 3
33
5. 回转半 径
z
Jz m
惯性半径(回转半径)
J z mρ 2
34
例题 3
已知： m ，R 。
求：角加速度
解：取圆轮为研究对象
J mgR O
JO
1 2
mR 2
mR 2
3 2
mR 2
解得： 2g
3R
FOy FOx
C O
mg
35
12.4 刚体的平面运动 微分方程
刚体平面运动 =
a. 常力 b. 变力
I Ft
dI Fdt
I 0t Fdt
冲量为矢量，其单位与动量单位相同为 N·s
15
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
dp d(mv) Fdt
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mv mv0 0t Fdt I
质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和，称为 质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。
n
p mivi
i 1
13
根据质点系质心的位矢公式
rC
miri mi
miri m
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC
O
C
z
mn
m2
m1
C
mi
rC ri
o y
x
vC
C
14
2冲量 力在作用时间上的累积效应——力的冲量
23
[例1] 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LO = LOA + LOB + LOC
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25 。3 ±(2j＋k)／ 。 5 ／2。 3
!.9 2。 (a) 20，(b) 20，(c) 8 i－19j－k，
(d) 25 i－15j－10k.
• 上述答案未经核算，仅供参考。
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|B| B
理论力学《理学矢量代数》课件
• 关于叉乘的运算规律
• A×A = 0 • A×(B + C) = A×B + A×C • λ(A×B) =(λA)×B = A×(λB) • A×B = －B×A
• A与B 共线 A×B = 0
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A×B
B×A = － A×B
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ez
ex
ey
ex×ex = ey×ey = ez×ez = 0 ex×ey = ez , ey×ez = ex , ez×ex = ey
以上结果可由直接计算得出。
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8. 矢量的解析表达式
◆ 任意矢量可表示成基矢量的线性组合
A = Axex + Ayey + Azez
投式影中:Ax、Ay、Az分别为矢量ez A沿各坐轴的
关于点乘的下列运算规律 可由直接计算导出
※
A·B = B·A
※
A·(B + C) = A·B + A·C
※ λ(A·B) =(λA)·B = A·(λB)
※
A·A = A 2 A2
※
A⊥B
A·B = 0
理论力学《理学矢量代数》课件
矢量在某轴上的投影
设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N 上的投影为
3. 矢量的分解
• 平面矢量的分解
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
(完整版)理论力学点的运动
O
从瞬时 t 到 t +△t ，动点位置由M改变到M′，其矢径分别 为r和r′。在时间间隔△t内，r 之变化量为
r r r(t t) r(t) MM r
它表示在△t时间内动点矢径之改变，称为动点在△t时间内的位移。
第一章 点的运动
§1-2 用矢量法表示点的速度和加速度
2. 速 度
比值
MM r r r
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程
1. 自然法
（1）、定义： 以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定动点位置的方法称为自然法。
（2）、运动方程：设动点M 沿已知轨迹曲线运动，在轨迹
曲线上任选一定点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向
一方量得的弧长取正值，向另一方量得的弧长取负值。这种
带有正负值的弧长OM 称为动点的弧坐标，用s表示。点在轨
迹上的位置可由弧坐标s完全确定。 s
（＋）
（－） O
M
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程 自然法
当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间而变，并可表 示为时间t的单值连续函数，即
s f (t)
（－） O
s M
（＋）
x f1(t), y f2 (t), z f3(t)
x
r
kj iO
y
这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。
M
z y
x
若函数f1， f2 ， f3都是已知的，则动点M 对应于任一瞬间 t 的位置即可完全确定。
在运动方程的三个式子中消去t 即得直角坐标形式的轨迹方程。
第一章 点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程
理论力学-平衡问题矢量法
G3
6m
G1 12 m
G2
A FA B FB
18
2m 2m
解：1.取起重机为研究对象 2.受力分析如图 3.列平衡方程 MB(F)= 0
G3×(6+2)+G1×2–G 2×(12-2) – FA×4 = 0
FA 8G3 2G1 10G2 4
G3
6m
MA(F)= 0 G1
12 m
G3×(6 –2) –G1×2–G 2×(12+2)+FB×4= 0 G2
不失一般性，设力系中各力的作用线汇交点为坐标原点。 则不论该力系是否平衡，力系中各力对x, y, z轴的力矩都为 零。方程(3.1.2)中后三个方程恒成立。此时，方程(3.1.2)退 化为
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
(3.1.6)
5
式(3.1.6)为汇交力系的平衡方程。对于平面汇交力系，力系在 与所在平面垂直的轴上的投影恒为零，记该轴为z轴，则平面 汇交力系的平衡方程为
MA(F)= 0
F1 a P F2 l b FB cos a c FB sin a l 0 2
l
4.联立求解
FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N
12
例3 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN， M =1.2 kN· m，l1=1.5 m，l2=2.5 m。 试求支座A及支座B的约束力。 F1 M A l2 y F1 M B FAy FB F2 B 60º 解： 1. 取梁为研究对象 2. 受力分析如图 3. 选坐标系，列平衡方程
机械原理课件—机构运动分析的矢量方程图解法
机构运动 分析两种 常见情况
◆同一构件上两点间速度及加速度的关系
◆两构件重合点间的速度和加速度的关系
同一构件不同点的速度、加速度分析小结： 1. 速度（加速度）影像定理 同一构件上各点速度向量（加速度向量）终点所形成的多边 形，相似于构件上相应点所形成的多边形，且两者字母顺序的 绕行方向相同；
2 .绝对速度（加速度）均由速度极点（加速度极点）引出；
例 已知机构尺寸，构件1的角速度ω1 、角加速度ε1 ，求 VD、构件2、5的角速度ω2、ω5 ，角加速度ε2、ε5 。
解：1 取加速度比
例尺μl作机构图；
B
4 D
2 速度分析
ω1 1
（1）求ω2 、VD
ε1
A
2C 3
选速度已知的 B点为基点：
大小 方向
VC VB VCB
？√ ？
水平 ⊥AB ⊥CB
c 〃
aCB
√ D →B ⊥DB √ D →C ⊥DC
加速度影像定理：加速度多变形 △ c´b´d´与机构图中同名点构成的多变
a
t D
B
形△CBD相似，且字母顺序一致。 相对加速度矢量 b c 与 aBC下标字母
a
n DB
b
d´
´
a DB
aDC
C´
a
n DC
d´ a
t DC
b
顺序相反。
´
（1）求ε5
3. 相对速度（相对加速度）不能从极点引出，否则相似性原理 将破坏；
4. 矢量多边形中相对速度（相对加速度）的矢量指向与相对速度 （相对加速度）矢量表达式下标字母顺序相反；
5. 极点P （P′）是机构中所有构件上速度（加速度）为零的