椭圆定点定值专题(精选.)

一．解答题（共 30 小题）

1．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 4 ．（ Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）P （2，n ），Q

（2，﹣n ）是椭圆 C 上两个定点， A 、 位于直线 PQ 两侧的动点．

① 若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值； ② 当A 、B 两点在椭圆上运动，且满足 ∠APQ=∠BPQ 时，直线 AB 的斜率是否为定值，说明理由．

2．已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．（1）求椭圆 C

的方程；

（2）已知 A 为椭圆 C 的左顶点，直线 l 过右焦点 F 与椭圆

C 交于 M ，N 两点，若 AM 、AN 的斜率 k 1，k 2满足 k 1+k 2=m

（定值 m ≠0），求直线 l 的斜率．

3．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的焦距为 2，

且过点 ．（1）求椭圆 E 的方程；

（2）若点 A ，B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是 椭圆上异于 A ，B 的任意一点，直线 AP 交l 于点 M ．

（ⅰ）设直线 OM 的斜率为 k 1，直线 BP 的斜率为 k 2，求证： k 1k 2 为定值；

（ ⅱ ）设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ．求证：直线 m 过定点，并求出定点的坐标．

1）求椭圆的方程及直线 AB 的斜率 k 的取值范围；

2）过 A 、B 两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点 P ，试问：点 P 是否恒在某定直线上运动，请说明理由． 1）求椭圆的方程；

2）设 A ，B ， M 是椭圆上的三点（异于椭圆顶点） ，且存在锐角 θ，使 ． i ）求证：直线 OA 与 OB 的斜率之积为

定值； （ii ）求 OA 2+OB 2．

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

4．已知 F 1，F 2 分别是椭圆 （a >b > 0） 的左、右焦点，半焦距

为

c ，直线 x=﹣ 与 x 轴的交点为 N ，满

足

，设 A 、 B 是上半椭圆上满

足

的两点，其中

5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 （a >b > 0）的离心率为

，其焦点在圆 x 2+y 2=1 上．

6．已知椭圆

的左焦点为 0），离心率

M 、N 是椭圆上的动点．

（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM 与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2| 为定值？，若

存在，求出F1，F2 的坐标，若不存在，说明理由．

（Ⅲ）若M 在第一象限，且点M，N 关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN ⊥ MB ．

7．一束光线从点 F 1（﹣ 1，0）出发，经直线 l ：2x ﹣y+3=0 上一点 P 反射后，恰好穿过点 F 2（1，0）．

（1）求 P 点的坐标；（ 2）求以 F 1、 F 2为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程；

（3）设点 Q 是椭圆 C 上除长轴两端点外的任意一点，试问在 x 轴上是否存在两定点 A 、 B ，使得直线 QA 、QB 的 斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点

A 、

B 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．已知椭圆

（ a > b >0）的右焦点为 F 1（ 2， 0），离心率为

（ 1）若 e= ，求椭圆的方程；

（2）设 A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点， AF 1的中点为 M ， BF 1的中点为 N ，若原点 O 在以线段 MN 为直径 的圆上． ① 证明点 A 在定圆上； ② 设直线 AB 的斜率为 k ，若 k

，求 e 的取值范围．

11．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 =1（a >b > 0）的焦点为 F 1（﹣ 1， 0），F 2（ 1， 0），左、右顶点分别

为 A ，B ，离心率为 ，动点 P 到 F 1， F 2的距离的平方和为 6． （ 1）求动点 P 的轨迹方程； （2）若

，

，Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点，直线 DM ?CN ，BQ 分别交

直线 m 于点 M ，N ．

（i ）当直线 AQ 的斜率为 时，求 △ AMN 的面积； （ ii ）求证：对任意的动点 Q ， DM ?CN 为定值．

8．已知椭圆

的离心率为 （1）求椭圆 （2）设直线 定值；

C 的方程；

l ：y=kx+t （k ≠0）交椭圆 C 于A 、B 两点，D 为AB

的中点， k OD 为直线 OD 的斜率，求证： k?k OD 为

3）在（ 2） 条件下，当 t=1 时，若 的夹角为锐角，试求

k 的取值范围．

9．如图所示， 椭圆 C ：

的焦点为 F 1（0，c ），F 2（ 0， 2

﹣ c ）（c > 0），抛物线

p >0）的焦点与 F 1 重合，过 ．（1） 求证：切线

F 2的直线 l 与抛物线 P 相切，切点在第一象限，且与椭

圆 的斜率为定值； （）当 λ∈， 时，求椭圆的离心

C 相交于 A ， B 两点，且

e 的取值范围．

e ．

，且经过点

上异与 A ，B 的任意一点， a >b >0．（I ）若 P （

），Q （ ，1），求椭圆 C l 的方

程；

（Ⅱ）记直线 AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别是 k 1，k 2，k 3，k 4，求证： k 1?k 2+k 3?k 4 为定 值； （Ⅲ）过Q 作垂直于 x 轴的直线 l ，直线 AP ，BP 分别交 l 于M ，N ，判断△PMN 是否可 能为正三角形，并说明理由．

12．（1）如图，设圆 O ：x 2+y 2=a 2的两条互相垂直的直径为 AB 、CD ，E 在弧 BD 上，AE 交 CD 于K ，CE 交AB 于 L ，求

证： 为定值 2）将椭圆 （a >b >0）与 x 2+y 2=a 2 相类比，请写出与（ 1）类似的命题，并证明你的结论．

3）如图，若AB 、CD 是过椭圆 （a >b >0）中心的两条直线， 且直线 AB 、CD 的斜率积 点 E 是椭圆上异于 值． A 、C 的任意一点， AE 交直线 CD 于 K ，CE 交直线 AB 于L ，求证： 为定 13．作斜率为 的直线 l 与椭圆 C ： 在直线 l 的左上方．（1）证明： △PAB 的内切圆的圆心在一条定 直线上；（ 2）若∠ APB=60 °，求 △PAB 的面积．

交于 A ， B 两点（如图所示） ，且

+

14．设椭圆 C ： a > b > 0）的左．右焦点分别为 F 1F 2，上顶点为 A ，过点 A 与 AF 2垂直的直线交 x 轴负 半轴于点 Q ，且 2 + = ． （1）若过 A ． Q ． F 2三点的圆恰好与直线 l ：x ﹣ y ﹣3=0 相切， 程； （2）在（ 1）的条件下，过右焦点 F 2作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 点．试证明： + 为定值； ② 在 x 轴上是否存在点 P 说明理

由．

PM ， PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在， 15．已知 A ，B 分别是

椭圆

的左、右顶点，P 是椭圆上异与 A ，B 的任意一点，Q 是双曲线 C 2

： =1 =1