2017初三八校联考数学答案

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2017年全国初中数学联合竞赛(初二决赛)试题参考答案及评分标准.docx

2017 年全国初中数学联合竞赛（初二决赛）试题参考答案及评分标准明：卷，依据本分准. 和填空只 7 分和 0 分两档；解答，格按照本分准定的分档次分,不要再增加其他中档次. 如果考生的解答方法和本解答不同 , 只要思路合理 , 步正确 ,在卷参照本分准划分的档次, 予相的分数 .一、 (本分 42 分，每小7 分 )1、 C2、D3、 A4、 B5、 C6、 B二、填空（本分28 分，每小7 分）7、 238、 75°9、13或填）10、 1625(0.52三、（本共三小，第11 20分，第12、 13 各 25 分，分 70分）11. 已知关于x的方程x21 a 有且有两个解，求数 a 的取范.解：由已知必有 a0 ，由原方程得：x21a（ 1）；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分若 a1， x 21 a ，此方程（1）有两解，原方程也有两解；⋯⋯10 分若 0a1，此方程（1）的解： x 3 a ， x3a ， x 1 a ， x 1 a ，要使原方程只有两解，四个解中必有两个解相等 . 若x 3 a 3 a ，得 a0 ，此x 1a1 a ，故原方程有两解；若 x3a1a，得 a1（舍去），若 x 3a1a ，得 a1，此方程有三个解，不符合要求；然3a1a， 3 a 1 a 。

故此 a0原方程有两解 .上， a 0 或 a 1原方程有两解.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分12. 如 , 已知等腰直角三角形ABC中， B 90 ,D BC的中点， E 段 AC上一点，且EDC ADB .求BE ED的.BD解：点 C 作 BC 的垂交 DE 的延于点F， AF. 易△ ABD ≌△ FCD.∴AD=FD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分易四形 ABCF 是正方形，∴ AB=AF.⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分易△ ABE ≌△ AFE ，∴ FE=BE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分-1-∴ AD=FD=DE+EF= BE +ED.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分∴ BE ED AD 5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 分BD BD13.从的自然数1， 2，⋯， 2017 中可以取出n个不同的数，使所取出的n 个不同的数中任意三个数之和都能被21 整除．求n的最大．解： a 、b、 c 、d是所取出的任意四个数．由意有a b c21m ，a b d21n ，其中，m、n正整数．所以，c d 21( m n) ．上式表明，所取出的数中任意两数之差是21的倍数，即所取的每个数除以21 所得的余数相同．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分个余数 k ，于是，a21a1 k ， b21b1k ， c 21c1 k ，其中， a1、 b1、c1是整数，0k2110 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a b c21(a1b1c1 ) 3k ．因a b c 能被21整除，所以，3k能被 21整除，即 k能被 7 整除．因此，k =0，7或14．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分当 k0 ，可取21， 42， 63，⋯， 2016 共 96 个数，符合意；当 k7 ，可取7，28， 49，⋯， 2002 共 96 个数，符合意；当 k14 ，可取14， 35， 56，⋯， 2009 共 96 个数，符合意⋯⋯⋯⋯⋯20 分上所述， n 的最大是96．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 分-2-。

2017年福建省中考数学试卷-答案

福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】3的相反数是-3，故选A 。

【提示】相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。

【考点】相反数。

2.【答案】B【解析】从左边看几何体得到的图形是左视图，该几何体的左视图是两个竖直排列的正方形，故选B 。

【考点】简单组合体的三视图。

3.【答案】B【解析】5136000 1.3610=⨯，故选B 。

【提示】科学记数法的表示形式为10⨯n a 的形式，其中110≤<a ，n 为整数，其关键要正确确定a 的值以及n 的值。

【考点】科学计数法。

4.【答案】C【解析】2222(2)24=⨯=x x x ，故选C 。

【提示】积的乘方等于各因式乘方的积。

【考点】积的乘方。

5.【答案】A【解析】圆、线段和菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选A 。

【提示】轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关鍵。

【考点】图形的对称性。

6.【答案】A【解析】解不等式20-≤x 得2≤x ，解不等式30+>x 得3>-x ，所以不等式组的解集为32-<≤x ，故选A 。

【提示】解不等式组时，正确求出每一个不等式解集，利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求解不等式组的解集。

【考点】解一元一次不等式组。

7.【答案】D【解析】由统计图可知正确答题数为15的有两个，个数最多，故众数是15。

将正确答题数按从小到大的顺序排列为10，13，15，15，20，位于最中间位置的数是15，故中位数为15。

综上所述，故选D 。

【提示】熟悉中位数和众数的概念是觯题的关键。

【考点】中位数和众数。

8.【答案】D【解析】∵AB 是e O 的直径，∴90∠=︒ADB ，∴90∠+∠=︒ABD BAD ，∵∠=∠ABD ACD ，∴90∠+∠=︒ACD BAD ，∴∠BAD —定与∠ACD 互余，故选D 。

湖北省孝感市八校联谊2017年九年级上12月联考数学试卷(含答案)

孝感市八校联谊2017年联考试卷九年级数学一、选择题（共10题，每题3分共30分） 1.下列图案中，是中心对称图形的是A.①②B.②③C.②④D.③④2.一元二次方程214204x x -+=的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 3.抛物线221222y x x =-+的顶点是A.()3,4-B.()3,4-C.()3,4D.()2,4 4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(- ，以原点O 为中心，将点A 逆时针旋转150得到点'A ，则点'A 坐标为 A.()0,2-B.(1,C.()2,0D.)1-5.将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的函数表达式是A.()221y x =++ B.()221y x =+- C.()221y x =-+ D.()221y x =--6.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA =DC ，∠CBE =50°，则∠DAC 的大小为A.130°B.100°C.65°D.50°第4题图第6题图7.如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是A.()()32203220570x x --=⨯-B.322203220570x x +⨯=⨯-C.2322202570x x x +⨯-= D.()()32220570x x --=第7题图8.如图，在Rt ABC ∆中，90,A BC ∠=︒=BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则⌒ED 的长为A.4π B.2πC.πD.2π 9.已知m 整数，且满足210521m m -⎧⎨--⎩＞＞，则关于x 的一元二次方程第8题图()22242234m x x m x x --=+++的解为A.1232,2x x =-=-或67x =-B.1232,2x x ==C.67x =-D.1232,2x x =-=-10.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①240ac b -＜； ②320b c +＜；③42a c b +＜； ④()()1m am b b a m ++≠-＜，其中正确结论的个数是A.4B.3C.2D.1第10题图二、填空题（共6题，每题3分共18分）11.已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是 . 12.若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个实数根，且21211x x x x -=+，则m 的值为 .13.一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是 .14.如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，如果∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是 . 15.如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 . 16.对称轴与y 轴平行且经过原点O 的抛物线也经过()()2,,4,A m B m ，若AOB ∆的面积为4，则抛物线的解析式为 .第14题图第15题图三、解答题（共8题，72分）17.（本题满分6分，各3分）解下列方程：⑴ 2221x x x -=+ ⑵ ()()2232x x x -=-18.（本题满分8分）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF=CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． ⑴求证：△BCD ≌△FCE ；⑵若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数．19.（本题满分8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC ∆ 的三个顶点的坐标分别为(3,4)A -，(5,2)B -，(2,1)C -．⑴画出ABC ∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆；⑵画出将ABC ∆绕原点O 逆时针方向旋转90︒ 得到的222A B C ∆； ⑶求⑵中线段OA 扫过的图形面积．20.（本题满分8分）如图，已知在△ABC 中，∠A=90°⑴请用圆规和直尺作出⊙P ，使圆心P 在AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．⑵若∠B=60°，AB=3，求⊙P 的面积．21.（本题满分10分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点上正方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间满足函数表达式()24y a x h =-+．已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．⑴当124a =-时，①求h 的值； ②通过计算判断此球能否过网；⑵若甲发球过网后，羽毛球飞行到Q 处时,乙扣球成功。

2017初三八校联考数学答案

2017年初三年级八校联考数学参考答案第一部分选择题一、（本大题共12题，每小题3分，共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACBCAACBDDBD11。

解:如下图,分别过点A 、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，则△OAC ∽△OBD ,根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”及反比例函数图象性质可知OBDOACS S OBOA∆∆==6。

12。

解：如上图,抛物线352+-=ax ax y 的对称轴为：直线25=x ，所以,AB =5,易得OA =3，因为ABC ∆≌ABD ∆,所以，只需考虑点C 位于对称轴左侧的情形.当0<a 时,只能BC 为底边，此时AC =5，则C 点坐标为（-4,0）,代入解析式可求得=a 121-；当0>a 时, ① 当AB 为底边时，此时点C 与点D 重合，则由042=-ac b ，可得 =a 2512， ② 当AB 为腰时，因点C 位于对称轴左侧，所以,AC <5，只能AB =BC =5,则C 点坐标为(1，0)，代入解析式可求得=a 43.所以选D.（说明：本题虽有点复杂，但考察重点在于学生分类讨论，学生只需正确分类，不用计算，也能得到正确答案.）第二部分非选择题二、填空题：（本大题共4题，每小题3分，共12分）题号 131415 16答案)2)(2(-+a a a21 20αcos 2R16.解：21122C O APB ∠=∠=∠,则可知C PBC ∠=∠,于是PB =PC ，所以，AP +BP = AC ,由垂径定理AC =2cos R α。

三、解答题（本题共7小题，其中第17小题5分,第18小题8分，第19小题6分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题9分，第23小题9分，共52分） 17．解: 原式＝133333--⋅+ ——---—----—-—————----1+1+1+1分＝1313--+ —---———--——————-—-———4分＝0 -—-———————-—-—-——-—--5分(注：只写后两步也给满分。

2017年下九年级联考数学试卷

2017年下联考九年级期中考试数学试卷（总分：120分时量：120分钟）学校姓名班级一、精心选一选：（每小题3分，共计36分）1A ． 3 B ．π C ．32 D ．1 2、下列运算中，正确的是（）A.34x x x ÷= B.236()x x =C.321x x -=D.()222a b a b -=-3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）4、物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是（）A ．)4,3(B ．)4,3(-C ．)4,3(-D ．)4,2(5、抛物线23x y =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A 、2)3(32++=x yB 、2)3(32-+=x y C 、2)3(32--=x y D 、2)3(32+-=x y 6、某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订28份，则参加了交易会的商家共有( )个。

A.7B. 8C. 9 D 10 7、学校准备修建一个面积为220m 的矩形花圃，它的长比宽多m 10，设花圃的宽为xm ，则可列方程为（）A. 20)10(=-x xB. 20)10(22=-+x xC. 20)10(=+x x8、一元二次方程220x x m ++= A ．1m ≤- B ．1m ≤ C ．9、某市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为 A ．20(1+2x ) =80 B ．2×20(1+x ) =8010．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（）A B C D11、一个等腰三角形的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为( )A ．12B ．9C ．13D ．12或912．二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，下列说法①2a +b =0；②当﹣1≤x ≤3时，y ＜0；③若当(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；④9a +3b +c =0，其中正确的是（） A.①②④ B.①④ C.①②③ D.③④二、填空题（每小题3分，共18分．） 13．一元二次方程20x x -=的解是 .14、已知关于x 的方程240x kx -+=的一个根是2，则实数k 的值为_________. 15、函数24y x =-的最小值为16、已知点P 的坐标为（-1，4），则点P 关于原点的对称点P ，坐标为。

17校联考数学答案

2015-2016 学年第二学期初三质量检测数学试题答案一、选择题（每小题3分，共36分）二填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）__,三解答题（本题共7个小题，共52分，17题5分 18题6分 19题7分 20题8分 21题8分 22题8分 23题10分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17 解原式=+ 1﹣2×+ 4 ……………………………………4分每对一个给1分原式=5 ……………………………………5分 18解答：解：由①得：x≥2， ……………………………………2分由②得：x ＜4， ……………………………………4分所以这个不等式组的解集为：2≤x ＜4． ……………………………………5分不等式组的整数为：2 、 3 ……………………………………6分19解解：（1）解：（1）∵参加“读书社”的学生有15人，且在扇形统计图中，所占比例为：25%，∴该班的学生共有：15÷25%=60（人）； ……………………………………1分故答案为：60；该班参加“爱心社”的人数为12名……………………………………2分参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比为=10%，所以，“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为：360°×10%=36°；…………………………3分 [ 不需要写出过程] （3）画树状图如下：， ……………………………………5分由树状图可知，共有6种可能的情况，其中恰好选中甲和乙的情况有2种，故P （选中甲和乙）==． ……………………………………7分EDB OCA20证明：（1） ∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴DE ∥OC ，CE ∥OD∴四边形OCED 是平行四边形， ……………………………………2分又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠COD=90°， ……………………………………3分 ∴四边形OCED 是矩形． ……………………………………4分（2）∵∠ADB =60°，AD=∴ OD= AO=3 ……………………………………6分 ∴CE=AC =6∴SIN ∠AED =SIN ∠C AE=13=……………………………………8分 21 解 1）由题意可知∠ABC=45° ，AB=20 AC ：CD=1：2∵∠ABC=45° AB=20∴AC=BC=20 ……………………………………1分 ∵AC ：CD=1：2∴CD=40，BD=20 ……………………………………2分△ABD 的面积=200 ……………………………………3分② 堤坝的土石方总量=100x200=20000 ……………………………………4分设原计划每天完成的土方为x 立方，则实际每天完成的土石方为（1+25%）x 由题意可得()200002000010125%xx-=+ ……………………………………6分解得 x=400 ……………………………………7分经检验x=400是原方程的解答原计划每天完成的土方为400立方米 ……………………………………8分22（1）证明：∵⊙O 切BC 于D ，∴OD ⊥BC ， ……………………………………1分 ∵AC ⊥BC ，∴AC ∥OD ， ……………………………………2分 ∴∠CAD=∠ADO ， ∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ADO ， ……………………………………3分 ∴∠CAD=∠OAD即AD 平分∠CAB ； ……………………………………4分（2）方法一：连接OE ，ED .∵∠BAC =60°，OE =OA ， ∴△OAE 为等边三角形， ∴∠AOE =60°， ∴∠ADE =30°.又∵1302OAD BAC ∠=∠=，∴∠ADE =∠OAD ，∴ED ∥AO ， …………………………………… 6分 ∴S △AED ＝S △OED ，∴阴影部分的面积 = S 扇形ODE = 60423603ππ⨯⨯=.……………………………………8分方法二：同方法一，得ED ∥AO ， …………………………………… 6分 ∴四边形AODE 为平行四边形，∴1S S 22AED OAD ==⨯=V V又S 扇形ODE －S △O ED=60423603ππ⨯⨯=- ∴阴影部分的面积 = (S 扇形ODE －S △O ED ) + S △A E D=2233ππ. ···························· 8分BCA23 （1）b=2、c=3 ……………………………………2分（2）作DN//CF 交CB 于N ，∴DE DNEF CF=…………………………3分直线BC 的表达式为 3y x =-+设D 2(,23)m mm -++，则N 坐标为(,3)m m -+N DN=23m m -+，CF=2 ……………4分∴DE DN EF CF ==232m m -+DN=23m m -+的最大值为94 DE EF 的最大值为98……………6分 3）∵P 点的坐标为（1，4），PM 的解析式为x=1，直线BC 的解析式为y=﹣x+3，∴M 的坐标为（1，2），设PM 与x 轴交于点G ， ∵PM=GM=2，∴过点G 与BC 平行的直线为y=﹣x+1， …………………………8分由得或，∴点Q 的坐标为（，﹣），（，﹣）， ………………10分∴使得△QMB 与△PMB 的面积相等的点Q 的坐标为（，﹣），（，﹣）．G备注：此题也可过Q 作X 轴的垂线来求解，同样给分。

2017年初三第二次联考数学试卷

第8题图2017年初三第二次联考数学试卷（考生注意：本试题共25小题，满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．1．在14，1-，0， 3.2-这四个数中，属于负分数的是（）． A ．14B ．1-C ．0D ． 3.2-2．下列4个图形中，是中心对称图形但不是．．轴对称的图形是（）．A ．B ．C ．D ． 3．下列计算正确的是（）．A ．523m m -=B ．236a a a ⋅=C ．326()ab ab = D ．322()2m n mn m ÷= 4．下列说法中，正确的是（）．A ．不可能事件发生的概率是0B ．打开电视机正在播放动画片，是必然事件C ．随机事件发生的概率是21D ．对“梦想的声音”节目收视率的调查，宜采用普查 5．如图，AB ∥CD ，CB 平分∠ABD ，若∠C=40°，则∠D 的度数为（）． A ．90° B ． 100° C ． 110° D ． 120°6．在函数2y x=中，自变量x 的取值范围是（）． A ．3x -≥且0x ≠B ．3x ≤且0x ≠C ．0x ≠D ．3x -≥7．如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，25:4:=∆∆ABF DEF S S ，则DE ：EC =（）． A ．2：5 B ．2：3 C ．3：5 D ．3：2 8．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（）．A ．22B ．4C ．24D ．8B第5题图BC9.如果关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负分数解，且关于x 的不等式组()24,3412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为2x <-，那么符合条件的所有整数a 的积是（） A 、3- B 、0C 、3D 、910．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 在第一象限，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，D 、E 分别是AB ，OA 中点．过点D 的双曲线(,)00ky x k x=>>与BC 交于点G ．连接DC ，F 在DC 上，且DF ：FC =3:1,连接DE ，EF ．若△DEF 的面积为6，则k 的值为（）． A ．163 B ．323C ．6D ．10二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11．经过十多年的成长，中国城市观众到影院观影的习惯已经逐渐养成：2010年，某影院观众人次总量才23400，但到2016年已经暴涨至13.5万．其中13。

2017届八校二联理科数学参考答案

2 e
2
2 a 1 2 a 1 2 2 2 2 2 b 2 c 3 2 1 1 2 b 2 1 c 3 1 a b c 6 2 2
Q f x x a x b c b a c b a c ,
由 h( x )
=0 得， x=e ，当 0<x<e 时， h ( x )
h 1 0,
>0 ；当 x>e 时， h ( x )

当且仅当 x b
时等号成立，又
2 故 h(x)max=h(e)= e ，
2 ③若 0 ln a e
时，当 x>0 时， f(x) 有 2 个零点，故 x ∈ R 时， f(x) 有 3 个零点 . （ 9
1 8 2 2 2 a 1 b 2 c 3 , 4 3
（ 7 分）即a
11 8 11 时等号成立。（ 10 分） ,b ,c 3 3 3
2017 届八校二联理数参考答案
一、选择题 CDABD CADBB AC
故 PB ∥平面 ACM ；（ 4 分）（ 2 ）取 DO 的中点 N ，连结 MN ， AN ，则 MN ∥ PO ，∵ PO ⊥平面 ABCD ，∴ MN ⊥平面 ABCD ，故∠ MAN= α为所求的直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 .
28 3
20. 解：（ 1 ）由题知 c 2 a 2 (8 a 2 ) 2a 2 8 ，由 e
（ 2 ）∵ S bc sin A
3 7 bc 3 ， 4 3
，（ 7 分）

2017全国初中数学联赛初二卷及详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. A.1023 B.1033C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c 55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得423AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()14210214233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.答案：8 对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。

2017年福建省漳州市八校联考高考数学文模拟试卷(3月份)(解析版)

2017年福建省漳州市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为（）A．（0，1） B．[0，1]C．{0，1}D．∅2．已知复数的实部和虚部相等，则|z|=（）A．2 B．3 C．D．3．命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．5．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．6．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜17．某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填入的条件为（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥20178．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．为得到函数y=2cos2x﹣sin2x的图象，只需将函数y=2sin2x+1的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45°B．30°C．15°D．60°11．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．12．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A． B．C．D．[1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分）13．函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是．14．||=1，||=2，，且，则与的夹角为．15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．16．已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF1F2的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.）=2a n﹣1．17．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=n•（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：K 2=．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ．点E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ；（Ⅱ）已知平面PCD ⊥底面ABCD ，且PC=DC ．在棱PD 上是否存在点F ，使CF ⊥PA ？请说明理由．20．已知圆O ：x 2+y 2=1过椭圆C ：（a ＞b ＞0）的短轴端点，P ，Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．21．设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： ++≥3．2017年福建省漳州市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为（）A．（0，1） B．[0，1]C．{0，1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】化简集合N，根据交集的定义写出M∩N即可．【解答】解：集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}={﹣1，0，1}，则M∩N={0，1}．故选：C．2．已知复数的实部和虚部相等，则|z|=（）A．2 B．3 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再结合已知条件求出b的值，根据复数求模公式计算得答案．【解答】解：，∵复数的实部和虚部相等，∴﹣b=﹣3，即b=3．∴．故选：D．3．命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．4．已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B． C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由图象可知，当P点在直线x=1与x+y=4的交点时，与圆心距离最远，作出直线与圆相交的弦短．P的坐标为（1，3），圆心到P点距离为d=，根据公式|AB|=2，可得：|AB|=2．故选：A．5．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==10，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，帖经能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n==10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：（0.61，3.40），（1.49，3.40），（1.31，3.40），（2.19，3.40），共有4种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p==．故选：A．6．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，求得ln（x1x2）的范围，即可得到所求范围．【解答】解：方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，即为y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，由ln（x1x2）=lnx1+lnx2=﹣+=，由0＜x1＜1，x2＞1，可得2x1﹣2x2＜0，2x1+x2＞0，即为ln（x1x2）＜0，即有0＜x1x2＜1．故选：D．7．某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填入的条件为（）A ．n ＜2017B ．n ≤2017C ．n ＞2017D ．n ≥2017 【考点】程序框图．【分析】由输出的S 的值，可得n 的值为2016时，满足判断框内的条件，当n 的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，从而得解．【解答】解：由S=++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣==，解得：n=2016，可得n 的值为2016时，满足判断框内的条件，当n 的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值．故判断框内应填入的条件为n ＜2017？故选：A ．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为同底的三棱柱和三棱锥的组合体，代入体积公式计算即可求出体积．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱和三棱锥的组合体，直棱柱的底面为直角三角形，直角边为1，2，棱柱的高为1，三棱锥的底面与棱柱的底面相同，棱锥的高为1．∴几何体的体积V=+=1+=．故选B．9．为得到函数y=2cos2x﹣sin2x的图象，只需将函数y=2sin2x+1的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2sin（﹣2x）+1=﹣2sin（2x﹣）+1=2sin（2x+）+1，将函数y=2sin2x+1的图象向左平移个长度单位，可得得到函数y=2sin （2x+）+1的图象，故选：C．10．已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45°B．30°C．15°D．60°【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴∠MKF=45°，故选A．11．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，则．故选A．12．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A． B．C．D．[1，+∞）【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用导函数的性质研究原函的单调性即可得答案．【解答】解：函数，则f′（x）=﹣sin2x+3a（cosx+sinx）+4a﹣1．∵函数f（x）在上单调递增，可得f′（）≥0，且f′（0）≥0，即，解得：a≥1．∴得实数a的取值范围为[1，+∞）．二、填空题（每题5分，满分20分）13．函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是y=x﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先x=1代入解析式求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（1），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可．【解答】解：把x=1代入f（x）=lnx得，f（1）=ln1=0，∴切点的坐标为：（1，0），由f′（x）=（lnx）′=，得在点x=1处的切线斜率k=f′（1）=1，∴在点x=1处的切线方程为：y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1．14．||=1，||=2，，且，则与的夹角为π．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．【解答】解：∵，且∴∴（）•=0∵||=1∴=﹣1∵||=2∴cos＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=π；故答案为π15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，并利用完全平方公式变形，把b+c=4代入求出bc=2，联立求出b与c的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）由正弦定理及2asinB=b得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A是锐角，∴A=；（2）由a=2，b+c=4，cosA=及余弦定理可得：cosA=，即=，整理得：b2+c2﹣4=bc，即（b+c）2﹣4=3bc，化简得：bc=2，解得：b=c=2，则△ABC面积S=bcsinA=．16．已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF1F2的面积为4﹣2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知丨AF2丨=m，丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，由等腰三角形的性质即可求得4=（2+m），丨AF2丨=m=2（﹣1），丨AF1丨=2，由三角的面积公式，即可求得△AF1F2的面积．【解答】解：双曲线x2﹣=1焦点在x轴上，a=1，2a=2，设丨AF2丨=m，由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2，∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨，∴丨BF2丨=2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2，丨BF1丨=4，根据题意丨BF1丨=丨AF1丨，即4=（2+m），m=2（﹣1），丨AF1丨=2，△AF1F2的面积S=•丨AF2丨•丨AF1丨=×2（﹣1）×2=4﹣2，△AF1F2的面积4﹣2，故答案为：4﹣2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.）=2a n﹣1．17．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=n•（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣1．变形为：a n+1﹣1=2（a n﹣1）．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）b n=n•（a n﹣1）=n•2n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣1．变形为：a n+1﹣1=2（a n﹣1）．a1﹣1=1．∴数列{a n﹣1}是等比数列，∴a n﹣1=2n﹣1，解得a n=1+2n﹣1．（II）b n=n•（a n﹣1）=n•2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，∴2S n=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣S n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n•2n =﹣n•2n =（1﹣n ）•2n ﹣1，可得S n =（n ﹣1）•2n +1．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：K 2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K 2值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…故所求的概率为P==…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…据此可得2×2列联表如下：所以得K2==≈1.79；…因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF ⊥PA？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：BE∥平面PAD；（2）棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，利用三垂线定理可得结论．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AQ．…又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．20．已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：（a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．（Ⅰ）由圆O过椭圆C的短轴端点b=1，线段PQ长度的最大值为3，a+1=3，【分析】a=2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线MN的方程，由点到直线的距离公式，求得k2=t2﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1，又∵线段PQ长度的最大值为3，∴a+1=3，即a=2，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx﹣y+t=0，则，得k2=t2﹣1．①联立得方程组，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，则．②将①代入②得，∴，而，等号成立当且仅当，即．）max=1．综上可知：（S△OMN21．设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即可得出结论．【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+2，∴f′（1）=1，∵f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x；（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，∴f（）≤0；（3）解：由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即1﹣2a+a=0∴a=1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： ++≥3．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求实数m的值；（Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）≥（a+b+c）2，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：x≤﹣1，f（x）=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3，﹣1＜x＜2，f（x）=2x+2﹣x+2=x+4∈（3，6），x≥2，f（x）=2x+2+x﹣2=3x≥6，∴m=3；（Ⅱ）证明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）≥（a+b+c）2，∴++≥3．2017年4月9日。

北京市石景山区2017年九年级统一练习暨毕业数学试卷含答案

石景山区2017年初三统一练习暨毕业考试数学试卷学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题．满分120分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a 的相反数是A ．aB ．bC ．b -D ．c2．2016年9月15日天宫二号空间实验室在酒泉卫星发射中心发射成功，它的运行轨道距离地球393000米．将393000用科学记数法表示应为 A ．70.39310⨯B ．53.9310⨯C ．63.9310⨯D ．339310⨯3．如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于 A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若1=65∠°，则2∠的度数为A ．25° C ．65°B ．35° D ．115°4．篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是．．轴对称图形的为A BC D5．若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是21Cla ABb–1–2–3–41234acbA ．4B ．5C ．6D ．86．在一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球和4个白球，这些球除了颜色外无其他差别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是A ．13B ．29C ．49D ．3107．若某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是A B C D8．周末小石去博物馆参加综合实践活动，乘坐公共汽车0.5小时后想换乘另一辆公共汽车，他等候一段时间后改为利用手机扫码骑行摩拜单车前往．已知小石离家的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象大致如图．则小石骑行摩拜单车的平均速度为 A ．30千米/小时 B ．18千米/小时 C ．15千米/小时 D ．9千米/小时9．用尺规作图法作已知角AOB ∠的平分线的步骤如下：①以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交OB 于点D ，交OA 于点E ；②分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠的内部相交于点C ； ③作射线OC .则射线OC 为AOB ∠的平分线.由上述作法可得OCD △≌OCE △的依据是 A ．SAS C ．AAS B ．ASA D ．SSS10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数（单位：km /L ），如s t /千米/小时10410.60.5OCD E A OB俯视图左视图主视图燃油效率（km/L ）15图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述正确的是A ．当行驶速度为40km /h 时，每消耗1升汽油，甲车能行驶20kmB ．消耗1升汽油，丙车最多可行驶5kmC ．当行驶速度为80km /h 时，每消耗1升汽油，乙车和丙车行驶的最大公里数相同D ．当行驶速度为60km /h 时，若行驶相同的路程，丙车消耗的汽油最少二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：2218x -= ．12．请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y = ． 13．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m 的小明在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m ，则此树的高度是 m ．14．如果250x x +-=，那么代数式3222(1)x x x x ++÷+的值是．15．某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A 的位置为(3,30)°，目标B 的位置为(2,180)°，目标C 的位置为(4,240)°，则图中目标D 的位置可记为．16．首都国际机场连续五年排名全球最繁忙机场第二位，该机场20122016-年客流量统计结果如下表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 客流量（万人次）81928371861389949400根据统计表中提供的信息，预估首都国际机场2017年客流量约万人次，你的预估理由是 . 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：216sin 60()12233---+-°．330°300°270°240°210°180°150°120°90°60°30°0°C BAD5342118．解不等式组：3(1)51924x x xx -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，，并写出它的所有整数解．19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是CB 的中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F ．求证：AB FC =．20．列方程解应用题：我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里.现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？21．关于x 的一元二次方程2(23)(1)0mx m x m --+-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此方程的根．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线 (0)m y m x=≠交于点(2,3)A -和点(,2)B n ．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P 是双曲线 (0)my m x =≠上的整点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线AB 于点Q ，当点P 位于点Q 下方时，请直接写出整点P 的坐标．23．如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE AF =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若60EAF ∠=°，2CF =，求AF 的长．EFABDCFEDABCyxABO24．阅读下列材料：2017年3月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家议论的重点内容之一．北京自1984年开展大气监测，至2012年底，全市已建立监测站点35个. 2013年，北京发布的首个 2.5PM 年均浓度值为89.5微克/立方米．2014年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值达到了国家新的空气质量标准；二氧化氮、10PM 、 2.5PM 年均浓度值超标，其中 2.5PM 年均浓度值为85.9微克/立方米．2016年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值远优于国家标准；二氧化氮、10PM 、2.5PM 的年均浓度值分别为48微克/立方米、92微克/立方米、73微克/立方米.与2015年相比，二氧化硫、二氧化氮、10PM 年均浓度值分别下降28.6%、4.0%、9.8%； 2.5PM 年均浓度值比2015年的年均浓度值80.6微克/立方米有较明显改善．（以上数据来源于北京市环保局）根据以上材料解答下列问题：（1）2015年北京市二氧化氮．．．．年均浓度值为微克/立方米；（2）请你用折线统计图将20132016-年北京市 2.5PM 的年均浓度值表示出来，并在图上标明相应的数据．25．如图，在四边形ABCD 中，90D ∠=°，AC 平分DAB ∠，且点C 在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）点E 是⊙O 上一点，连接BE ，CE ．若42BCE ∠=°，9cos 10DAC ∠=，AC m =，写出求线段CE 长的思路．26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD 为凹四边形．DECBOABC ADED ACBD AB CBD AC图1 图2 图3 图4备用图（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD 是凹四边形．求证：BCD B A D ∠=∠+∠+∠．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD 中，BAD ∠的角平分线与BCD ∠的角平分线交于点E ，若140ADC ∠=°，102AEC ∠=°，则B ∠= °．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH ．若AB AD =，CB CD =，则四边形EFGH 是．（填写序号即可） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线 2443(0)y a x a x a a =-+-≠交于B ，C 两点． ①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点（与点A ，C 不重合），连接BE ．（1）将射线BE 绕点B 顺时针旋转45°，交直线AC 于点F .①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE ，FC ，EF 存在以下数量关系： AE 与FC 的平方和等于EF 的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BM ，要证AE ， FC ， EF 的关系，只需证AE ，AM ，EM 的关系.yx–1–2–3–4–512345–1–2–3–41234567O图1 图2想法2：将ABE △沿BE 翻折，得到NBE △，要证AE ，FC ，EF 的关系，只需证EN ，FN ，EF 的关系.……请你参考上面的想法，用等式表示线段AE ，FC ，EF 的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线．．BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线．．AC 于点F .小研完成作图后，发现直线AC 上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.29．在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足m kx b +≤且n kx b +≥，则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”．如图1，直线:4l y x =--是函数6(0)y x x =<的图象与正方形OABC 的一条“隔离直线”．（1）在直线12y x =-，231y x =+，33y x =-+中，是图1函数6(0)y x x=<的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为；ABDCEyxy = -x -4–1–2–3–4–5–6123–1–2–3–4–5–6–7123ACB (2,2)O图1ABDCE请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线” 的表达式：；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是(3,1)，⊙O 的半径为2．是否存在EDF △与⊙O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形1111A B C D 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的右侧，点(1,)M t 是此正方形的中心．若存在直线2y x b =+是函数22304y x x x =--（≤≤）的图象与正方形1111A B C D 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围．石景山区2017年初三统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBABCBACDC二、填空题（本题共18分，每小题3分）图2 备用图yx–1–2–31234–1–2–312345EFDOyx–1–2–3123456–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10123456789O11．2(3)(3)x x +-．12．答案不唯一，如22y x x =-+．13．4.8． 14．5． 15．(5,120)°． 16．预估理由需包含统计表提供的信息，且支撑预估的数据．如约9900万人次，预估理由是增长趋势平稳．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分） 17．解：原式36923232=⨯--+- ………………………………… 4分7=-． ………………………………… 5分18．解：原不等式组为3(1)51924x x xx -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，，解不等式①，得2x -≥．解不等式②，得<1x ． ………………………………… 3分 ∴原不等式组的解集为2<1x -≤． ………………………………… 4分 ∴原不等式组的整数解为2-，1-，0． ………………………………… 5分19．证明：∵AB ∥DC ，∴1=F ∠∠，=2B ∠∠． ………………………………… 1分 ∵E 是CB 的中点， ∴BE CE =．在AEB △和FEC △中，1,=2,,F B BE CE ∠=∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴AEB △≌FEC △． ………………………………… 4分 ∴=AB FC ． ………………………………… 5分 20．解：设良马x 天能够追上驽马． ………………………………… 1分由题意，得 24015012x x =⨯+()． ………………………………… 3分解得 20x =． ………………………………… 4分答：良马20天能够追上驽马． ………………………………… 5分E21FABDC① ②21．解：（1）∵2=[(23)]4(1)m m m ∆----=89m -+． ………………………………… 1分依题意，得0,890,m m ≠∆=-+⎧⎨⎩≥解得98m ≤且0m ≠． ………………………………… 3分（2）∵m 为正整数，∴1m =． ………………………………… 4分∴原方程为20x x +=．解得10x =，21x =-． ………………………………… 5分 22．解：（1）∵双曲线 (0)m y m x=≠经过点(2,3)A -，∴6m =-．∴双曲线的表达式为6y x =-．……… 1分 ∵点(,2)B n 在双曲线6y x =-上，∴点B 的坐标为(3,2)B -．∵直线y kx b =+经过点(2,3)A -和点(3,2)B -，∴23,32,k b k b +=--+=⎧⎨⎩解得1,1,k b =-=-⎧⎨⎩∴直线的表达式为1y x =--． ………………………………… 3分（2）(6,1)-或(1,6)-． ………………………………… 5分 23．（1）证法一：连接AC ，如图1．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，AE AF =， ∴21∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥． ∴1DAC ∠=∠．21FEDABCyx–1–2–3–4–5–6–71234567–1–2–3–4–5–6–71234567P 2P 1BA O图1∴2DAC ∠=∠．∴DA DC =． ………………………………… 1分 ∴□ABCD 是菱形． ………………………………… 2分证法二：∵四边形ABCD 是平行四边形，如图2． ∴B D ∠=∠．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ， ∴90AEB AFD ∠=∠=°．又∵AE AF =， ∴AEB △≌AFD △．∴AB AD =． ………………………………… 1分 ∴□ABCD 是菱形． ………………………………… 2分（2）解法一：连接AC ，如图3．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，60EAF ∠=°， ∴120ECF ∠=°． ………… 3分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴12602ECF ∠=∠=°． ………… 4分在Rt CFA △中，tan 223AF CF =⋅∠=．…… 5分解法二：∵四边形ABCD 是菱形，如图4． ∴AD DC =，AD BC ∥． ∵AE ⊥BC ，∴9030DAF EAF ∠=-∠=°°． ………………………………… 3分在Rt AFD △中，1sin 2DF DAF AD ∠==．设DF x =，2AD x =， ∴3AF x =．∴2DC AD x ==． ∴22x x =+． ………………………………… 4分∴2x =．∴323AF x ==． ………………………………… 5分FEDABC21FEDABCFED A BC 图2图4图324．（1）50． ………………………………… 1分（2） ………………………… 5分25．（1）证明：连接OC ，如图． ∵AC 平分DAB ∠， ∴12∠=∠． ∵OA OC =， ∴32∠=∠． ∴31∠=∠．∴AD OC ∥． ………………………………… 1分∴90OCD D ∠=∠=°．又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线． ………………………………… 2分（2）求解思路如下：过点B 作BF ⊥CE 于点F ，如图．① 由21E ∠=∠=∠，可知2∠，E ∠的三角函数值；② 由AB 是⊙O 的直径，可得ACB △是直角三角形，由2∠的三角函数值及 AC m =，可求CB 的长；③ 在Rt CFB △中，由42BCE ∠=°及CB 的长，可求CF ，BF 的长； ④ 在Rt EFB △中，由E ∠的三角函数值及BF 的长，可求EF 的长；⑤ 由CE CF EF =+，可求CE 的长． ………………………………… 5分321FDEC BOA图1图226．（2）证法一：连接AC 并延长到点E ，如图1．∵13B ∠=∠+∠，24D ∠=∠+∠，…………… 1分 ∴1+234B D ∠∠=∠+∠+∠+∠．即BCD B BAD D ∠=∠+∠+∠． …………… 2分证法二：延长DC 交AB 于点E ，如图2．∵1BCD B ∠=∠+∠，1A D ∠=∠+∠，………… 1分 ∴BCD D A B ∠=∠+∠+∠． ………… 2分（3）64°． ………… 4分（4）C ． ………… 5分27．解：（1）解法一：∵2443y ax ax a =-+-2(2)3a x =--， ………………………………… 1分∴顶点A 的坐标为(2,3)-． ………………………………… 2分解法二： ∵244(43)(4)2,324a a a a aa-⨯----==-，∴顶点A 的坐标为(2,3)-． ………………………………… 2分（2）①当2a =时，抛物线为2285y x x =-+，如图．令5y =，得22855x x -+=， ……………… 3分解得，1204x x ==，．……………… 4分∴线段BC 的长为4． ……………… 5分② 80<9a ≤． ……………… 7分28．（1）①依题意补全图形，如图1．…………………… 1分②线段AE ，FC ，EF 的数量关系为：222AE FC EF +=． ……… 2分E4321DAB C1EDAB C 61ADEADEy xB x =2–1–2–3–4–512345–1–2–3–41234567CA (2,-3)O证法一：过点B 作M B BF ^于点B 且BM BF =，连接ME ，MA ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形， ∴901245ABC AB BC °，°，???=．∵345°?，∴345MBE°??．又∵BE BE =，∴MBE FBE △≌△． ………………………………… 3分 ∴EM EF =． ∵490ABF °?-?，590ABF °?-?，∴45??．又∵,BM BF AB CB ==，∴AMB CFB △≌△． ………………………………… 4分 ∴AM CF =，6245°??．∴6190MAE°???．在Rt MAE △中，222AE MA EM +=．∴222AE FC EF +=． ………………………………… 5分证法二：作2=1行，且BN BA =，连接EN ，FN ，如图3．又∵BE BE =，∴BNE BAE △≌△． ………………………………… 3分 ∴,NE AE =6=5行． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴905845ABCAB BC °，°，???=．∴BN BC =． ∵32452EBF °-????，87654321NFABDCE图2图3图14190451451ABCEBF °°°????--?-?，∴34??．又∵BF BF =，∴BNF BCF △≌△． ………………………………… 4分 ∴FN FC =，7845°??．∴67454590ENF°°°???+=．∴在Rt ENF △中，222NE FN EF +=．∴222AE FC EF +=． ………………………………… 5分（2）用等式表示这三条线段的数量关系：222AF EC EF +=． …………… 7分 29．（1）12y x =-； ………………………………… 1分 3y x =-（答案不唯一）． ………………………………… 2分（2）连接OD ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，如图．在Rt DGO △中，222OD DG OG =+=， 1s i n12DG OD ∠==． ∴130∠=°． …………………… 3分∴260∠=°． ∵⊙O 的半径为2， ∴点D 在⊙O 上．过点D 作DH OD ⊥交y 轴于点H ，∴直线DH 是⊙O 的切线，也是△EDF 与⊙O 的“隔离直线”． …… 4分在Rt ODH △中，4cos 2ODOH ==∠， ∴点H 的坐标是(0,4)． ………………………… 5分∴直线DH 的表达式为34y x =-+．即所求“隔离直线”的表达式为34y x =-+． ………………………… 6分（3）2t ≥或8t -≤． ………………………… 8分yx21–1–2–31234–1–2–312345FG EDHO。

作业正文-第三单元-三角函数、解三角形

时作业(十六) 第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数基础热身1.下列说法中正确的是 ( ) A .第一象限角一定不是负角 B .不相等的角,它们的终边必不相同 C .钝角一定是第二象限角D .终边与始边均相同的两个角一定相等2.[2017·南充模拟] 若角α的终边经过点P 0(-3,-4),则tan α= ( ) A .43B .34C .-45 D .-353.已知点P √32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ( )A .5π6B .3π4C .11π6D .5π34.扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形面积是 ( ) A .16π B .32π C .16D .325.已知角α的终边在图K16-1中阴影表示的范围内(不包括边界),那么角α用集合可表示为 .图K16-1能力提升6.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( )A .sin α+cos α<0B .tan α-sin α<0C .cos α-tan α<0D .tan αsin α<07.已知集合M={x|x=k ·90°+45°,k ∈Z},N={x|x=k ·45°+90°,k ∈Z},则有 ( )A .M=NB .N ⊆MC .M ⊆ND .M ∩N=⌀8.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限9.已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为 ( )A .-12 B .-√32C .12 D .√3210.角α的终边与直线y=3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP|=√10(O 为坐标原点),则m-n 等于 ( ) A .2 B .-2 C .4 D .-411.角α的顶点在坐标原点O ,始边在y 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第三象限内的点P ,且tan α=-34;角β的顶点在坐标原点O ,始边在x 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第二象限内的点Q ,且tan β=-2.对于下列结论:①P -35,-45;②|PQ|2=10+2√55;③cos ∠POQ=-35;④△POQ 的面积为√55.其中正确结论的编号是 ( ) A .①②③ B .①②④ C .②③④D .①③④12.若△ABC 的两内角A ,B 满足sin A cos B<0,则△ABC 的形状是 . 13.cos 1·cos 2·cos 3·cos 4的符号为 (填“正”或“负”).14.[2017·泉州二模] 在平面直角坐标系xOy 中,角θ的终边经过点P (x ,1)(x ≥1),则cos θ+sinθ的取值范围是 . 难点突破15.(5分)[2017·吉林、黑龙江两省八校联考] 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田(如图K16-2)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为2π3,半径为6米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米.(结果保留整数,√3≈1.73)图K16-216.(5分)若角α的终边落在直线y=√3x 上,角β的终边与单位圆交于点12,m ,且sin α·cosβ<0,则cos α·sin β= .课时作业(十七) 第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础热身1.[2017·天水二中期中] tan 390°=( )A .-√3B .√3C .√33 D .-√332.[2017·成都一诊] 已知α为锐角,且sin α=45,则cos(π+α)= ( ) A .-35B .35C .-45D .453.[2017·宁德质检] 已知sin α+π6=45,则cos α-π3的值为 ( )A .35 B .45 C .-45 D .-35 4.已知tan θ=2,则sin 2θ-sinθcosθ2cos 2θ的值为 ( )A .12 B .1 C .-12 D .-15.[2017·东莞四校联考] 已知sin α=√55,π2≤α≤π,则tan α= . 能力提升6.[2017·潮州二模] 已知sin α-π8=45,则cos α+3π8= ( ) A .-45 B .45 C .-35 D .357.[2017·衡阳四中月考] 若sin x=2sin x+π2,则cos x cos x+π2= ( )55C .23D .-238.[2017·重庆一中月考] 已知α∈32π,2π,且满足cos α+20172π=35,则sin α+cos α= ( )A .-75B .-15C .15D .759.[2018·岳阳一中一模] 已知sin x+cos x=√3-12,x ∈(0,π),则tan x= ( )A .-√33B .√33C .√3D .-√310.若三角形ABC 中,sin(A+B )sin(A-B )=sin 2C ,则此三角形一定是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形11.[2017·沈阳三模] 若1+cosαsinα=2,则cos α-3sin α= ( )A .-3B .3C .-95 D .95 12.设tan α=3,则sin(α-π)+cos(π-α)sin(π2-α)+cos(π2+α)= ( )A .3B .2C .1D .-113.已知sin θ,cos θ是方程4x 2-4mx+2m-1=0的两个根,3π2<θ<2π,则θ= ( )A .7π4 B .8π53614.已知A ,B 为△ABC 的两个内角,若sin(2π+A )=-√2·sin(2π-B ),√3cos A=-√2cos(π-B ),则角B= .难点突破 15.(5分)已知1+tanx 1-tanx=3+2√2,则sin x (sin x-3cos x )的值为 .16.(5分)已知sin α+cos α=-15,且π2<α<π,则1sin(π-α)+1cos(π-α)的值为 .课时作业(十八) 第18讲三角函数的图像与性质基础热身1.已知函数y=12cos ωx -π6的周期为π,则ω的值为 ( )A .1B .2C .±1D .±22.已知函数f (x )=2sin π4-2x ,则函数f (x )的单调递减区间为 ( )A .[3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B .[-π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C .[3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D .[-π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)3.已知函数f (x )=-sin x+π2(x ∈R),则下面结论中错误的是 ( )A .函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数4.[2017·天水二中期中]下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=π3对称的是 ()A.y=sin(2x-π3)B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(2x+π6)D.y=sin(x2+π6)5.函数y=√tanx-1的定义域是.能力提升6.[2017·太原五中段考]给出下列函数:①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=sin2x+π2,④y=tan|x|.其中周期为π的所有偶函数为()A.①②B.①②③C.②④D.①③7.[2017·枣庄八中月考]已知函数f(x)=2sin x2的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则b-a的值不可能是()A.4π3B.2πC.8π3D.14π38.[2017·许昌二模]若函数y=sin(2x+φ)0<φ<π2的图像的对称中心在区间π6,π3内有且只有一个,则φ的值可以是()A .π12B .π6 C .π3D .5π129.[2017·龙岩六校联考] 已知函数f (x )=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f (x )≤f (π4)对任意x ∈R恒成立,且f (π6)>0,则f (x )的单调递减区间是 ( )A .[kπ,kπ+π4](k ∈Z)B .[kπ-π4,kπ+π4](k ∈Z) C .[kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z)D .[kπ-π2,kπ](k ∈Z)10.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其图像相邻的两条对称轴方程为x=0与x=π2,则 ( )A .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数B .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数C .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为增函数D .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为减函数11.[2017·昆明三模] 已知函数f (x )=sin ωx+π3(ω>0),A ,B 是函数图像上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2√2,则f (1)= .12.[2017·荆州中学二模] 已知函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点2π3,0中心对称,则|φ|的最小值为 .13.(15分)[2017·衡水冀州中学月考] 已知函数f (x )=sin 2x-π6.(1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )的单调递增区间;(3)当x ∈0,2π3时,求函数f (x )的最小值,并求出使y=f (x )取得最小值时相应的x 值.14.(15分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,且f (π3)=-√32. (1)求ω和φ的值;(2)若f (x )>12,求x 的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·湖北部分重点中学模拟] 设函数f (x )=4cos(ωx+φ)对任意的x ∈R,都有f (-x )=fπ3+x ,若函数g (x )=sin(ωx+φ)-2,则g (π6)的值是 ( ) A .1 B .-5或3 C .12 D .-216.(5分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=2cos(ωx+φ)+1ω>0,|φ|<π2,其图像与直线y=3相邻两个交点的距离为2π3,若f (x )>1对任意x ∈-π12,π6恒成立,则φ的取值范围是( ) A .[-π6,π6] B .[-π4,0]C .(-π3,-π12] D .[0,π4]加练一课(三)三角函数的性质一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·资阳一诊]函数y=sin2x-π3的图像的一条对称轴方程为()A.x=π12B.x=-π12C.x=π6D.x=-π62.函数y=√32的定义域为()A.[-π6,π6 ]B.[kπ-π6,kπ+π6](k∈Z)C.[2kπ-π6,2kπ+π6](k∈Z)D.R3.下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A.y=cos(2x+π2)B.y=sin(2x+π2)C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x4.[2017·襄阳四校联考]将函数f(x)=2sin2x-π3+1的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,所得图像的一个对称中心可能是()A.(π3,0)B.(2π3,0)C.(π3,1)D.(2π3,1)5.[2018·衡水中学二调]已知函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=π6对称,则函数g(x)=sin x+a cos x的图像()A .关于直线x=π3对称B .关于点(2π3,0)对称 C .关于点(π3,0) 对称 D .关于直线x=π6对称6.设函数f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4,则 ( ) A .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π4对称 B .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π2对称C .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π4对称 D .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π2对称7.若f (x )=2cos(2x+φ)(φ>0)的图像关于直线x=π3对称,且当φ取最小值时,存在x 0∈0,π2,使得f (x 0)=a ,则a 的取值范围是 ( )A .(-1,2]B .[-2,-1)C .(-1,1)D .[-2,1)8.[2018·广雅中学、河南名校联考] 已知函数f (x )=cos(2x+θ)|θ|≤π2在-3π8,-π6上单调递增,若f (π8)≤m 恒成立,则实数m 的取值范围为 ( )A .[√32,+∞) B .[12,+∞) C .[1,+∞) D .[√22,+∞)9.设函数f (x )=sin(ωx+φ),A>0,ω>0,若f (x )在区间π6,π2上单调,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 ( )A .π2 B .2πC .4πD .π10.[2017·河北武邑中学调研] 已知函数f (x )=sin x-a cos x 图像的一条对称轴为x=34π,记函数f (x )的两个极值点分别为x 1,x 2,则|x 1+x 2|的最小值为 ( )A .3π4 B .π2 C .π4 D .0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 11.[2017·沧州一中月考] 函数y=log 3(2cos x+1),x ∈-2π3,3π3的值域为 . 12.[2018·鞍山一中一模] 函数f (x )=2sin x cos x+√3cos 2x 的周期为 .13.[2018·海南八校联考] 函数y=sin x+cos x+2sin x cos x x ∈-π4,π4的最小值是 .14.函数f (x )=3sin 2x-π3的图像为C ,如下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号).①图像C 关于直线x=1112π对称;②图像C 关于点2π3,0对称;③函数f (x )在区间-π12,5π12内是增函数;④由y=3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C.课时作业(十九) 第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用基础热身1.[2017·东莞四校联考] 为了得到函数y=sin 2x-π6的图像,可以将函数y=sin 2x 的图像( )A .向右平移π6个单位长度 B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π6个单位长度 D .向左平移π12个单位长度2.[2017·郴州三模] 函数f (x )=2sin 2x-π3的图像关于直线x=x 0对称,则|x 0|的最小值为( ) A .π12B .π6C .π4D .5π123.[2017·榆林三模] 函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-1所示,则ω,φ的值分别为 ( )A .2,0B .2,π4C .2,-π3D .2,π6图K19-14.[2017·昆明一中月考] 函数f (x )=12cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-2所示,则φ的值为 ( )A .π3 B .π6 C .-π6D .-π3图K19-25.已知函数f (x )=A tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-3所示,则f (π24)= .图K19-3能力提升6.[2017·江西百所重点高中联考] 函数f (x )=sin(πx+θ)|θ|<π2的部分图像如图K19-4所示,且f (0)=-12,则图中m 的值为 ( )图K19-4A .1B .43C .2D .43或27.[2017·绵阳三诊] 已知函数f (x )=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A (a ,0),B (b ,0)是其图像上两点,若|a-b|的最小值是1,则f (16)= ( ) A .2 B .-2 C .√32D .-√328.[2017·辽南协作体三模] 已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,|φ|<π2的图像在 y 轴左侧的第一个最高点为-π6,3,第一个最低点为-2π3,m ,则函数f (x )的解析式为 ( ) A .f (x )=3sin (π6-2x)B .f (x )=3sin (2x -π6) C .f (x )=3sin (π3-2x) D .f (x )=3sin (2x -π3)9.[2017·泉州二模] 已知曲线C :y=sin(2x+φ)|φ|<π2的一条对称轴方程为x=π6,曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到的曲线E 的一个对称中心为π6,0,则|φ-θ|的最小值是 ( )A .π12 B .π4 C .π3D .5π1210.[2017·成都九校联考] 已知函数f (x )=A sin(2x+φ)-12A>0,0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1,且关于直线x=π12对称,若对于任意的x ∈0,π2,都有m 2-3m ≤f (x ),则实数m 的取值范围为( )A .[1,32] B .[1,2] C .[32,2] D .[3-√32,3+√32] 11.某实验室一天的温度(单位:摄氏度)随时刻t (单位:时)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-√3·cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24),则该实验室这一天的最大温差是 .12.[2017·柳州、钦州一模] 将函数f (x )=3sin 4x+π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g (x )的图像,则y=g (x )的解析式为 .13.(15分)[2017·衡阳十校联考] 已知函数f (x )=√22sin 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若函数g (x )对任意x ∈R,有g (x )=f x+π6,求函数g (x )在-π6,π2上的值域.14.(15分)[2017·台州质量评估] 已知函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的最小正周期为π,且x=π12为f (x )图像的一条对称轴. (1)求ω和φ的值; (2)设函数g (x )=f (x )+f x-π6,求g (x )的单调递减区间.难点突破15.(5分)将函数f (x )=3sin 2x+π3的图像向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g (x )的图像,若g (x 1)g (x 2)=16,且x 1,x 2∈-3π2,3π2,则2x 1-x 2的最大值为 ( )A .21π12B .35π12C .19π6D .59π1216.(5分)[2017·芜湖质检] 将函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图像向左平移π4ω个单位长度得到函数g (x )的图像,若函数g (x )的图像关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增,则ω的值为( )A .3√π2B .π4C .√π2 D .3π2课时作业(二十) 第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切基础热身1.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( ) A .-√32B .-12C .12D .√322.函数y=sin x+√3cos x 的最小值为 ( )A .1B .2C .√3D .-23.[2017·哈尔滨九中二模] 若2sin θ+π3=3sinπ3-θ,则tan θ= ( )A .-√32B .√35C .2√33 D .2√34.在△ABC 中,sin A=513,cos B=35,则cos C=( )A .-1665 B .-5665 C .±1665D .±56655.[2017·济宁二模] 已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 .能力提升6.[2017·长沙长郡中学月考] 已知锐角α,β满足sin α=√1010,cos β=2√55,则α+β的值为 ( )A .3π4B .π4 C .π6D .3π4或π47.[2017·东莞四校联考期中] 已知sin α=35,α∈π2,π,tan(π-β)=12,则tan(α-β)的值为 ( ) A .-211B .211C .112D .-1128.[2017·襄阳五中一模] 已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则 ( ) A .tan(α+β)=3tan(α-β) B .tan(α+β)=2tan(α-β) C .3tan(α+β)=tan(α-β) D .3tan(α+β)=2tan(α-β)9.[2017·衡水一模] 已知sin α+π3+sin α=-4√35,-π2<α<0,则cos α+2π3等于 ( )A .-45 B .-35 C .45 D .3510.[2017·淮北一中期中]2sin46°-√3cos74°cos16°= .11.[2017·商丘九校联考] 函数f (x )=cosx+sinx cosx -sinx的最小正周期为 .12.[2017·德州二模] 已知cos α=35,cos(α-β)=7√210,且0<β<α<π2,那么β= . 13.(15分)[2017·山东实验中学一模] 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2c-a )·cos B-b cos A=0.(1)求角B 的大小; (2)求√3sin A+sin C-π6的取值范围.14.(15分)已知函数f (x )=(1+√3tan x )cos 2x.(1)若α是第二象限角,且sin α=√63,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的定义域和值域.难点突破15.(5分)已知锐角α,β满足sin α-cos α=16,tan α+tan β+√3tan αtan β=√3,则α,β的大小关系是 ( )A .α<π4<β B .β<π4<αC .π4<α<β D .π4<β<α16.(5分)如图K20-1所示,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE=1,连接EC ,ED ,则sin ∠CED= ( )A .3√1010B .√1010C .√510 D .√515图K20-1课时作业(二十一) 第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换基础热身1.[2017·株洲一模] 已知α∈(0,π),cos α=-12,则sin 2α= ( ) A .±√32B .±12C .-√32D .-122.[2017·葫芦岛二模] 已知cos π4-θ2=23,则sin θ= ( ) A .79B .19C .-19 D .-793.[2017·揭阳二模] 已知sin α-cos α=13,则cos π2-2α= ( )A .-89 B .23 C .89 D .√179 4.√3cos10°-1sin170°= ( )A .4B .2C .-2D .-45.已知sin α-2cos α=√102,则tan 2α= .能力提升6.[2017·抚州临川实验学校一模] 若sinπ6-α=13,则2cos 2π6+α2-1等于 ( )A .13B .-13 C .-79D .-17817.[2017·郴州四模] 已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z),则sin[2(π-θ)]等于 ( ) A .-13 B .13 C .23 D .-238.已知tan B=2tan A ,且cos A sin B=45,则cos A-B-3π2= ( )A .-45 B .45 C .-25D .259.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=√22(sin 56°-cos 56°),c=1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a>b>c B .b>a>c C .c>a>b D .a>c>b10.[2017·四川师大附中二模] 已知α∈0,π2,sinπ4-αsin π4+α=-310,则tan α= ( ) A .12 B .2 C .√5D .√5511.化简sin 2(α-π6)+sin 2(α+π6)-sin 2α的结果是 .12.cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°= .13.已知tan(A-B )=12,tan B=-17,且A ,B ∈(0,π),则2A-B= .14.(12分)[2017·天津南开区三模] 设函数f (x )=√22cos 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)设函数g (x )对任意x ∈R,有g x+π2=g (x ),且当x ∈0,π2时,g (x )=12-f (x ).求函数g (x )在[-π,0]上的解析式.15.(13分)[2017·陕西师大附中模拟] 已知函数f (x )=2√3sin x cos x+2cos 2x-1(x ∈R).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间0,π2上的最大值和最小值; (2)若f (x 0)=65,x 0∈π4,π2,求cos 2x 0的值.难点突破16.(5分)[2017·天水二中期中] 已知α,β都是锐角,sin α=12,cos(α+β)=12,则cos β等于( )A .1-√32B .√3-12C .12 D .√3217.(5分)[2017·上饶六校联考] 设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则cos(2α-β)的取值范围为 ( )A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[-√22,√2 2]课时作业(二十二)第22讲正弦定理和余弦定理基础热身1.在△ABC中,b=8,c=8√3,S△ABC=16√3,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°2.在△ABC中,若A=60°,a=√3,则a+b-csinA+sinB-sinC等于()A.2B.12C.√3D.√323.[2017·渭南二模]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a=2且b cos C+c cos B=2b,则b=()A.1B.2C.3D.√24.[2017·山西五校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cs A+a cosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.55.[2017·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2c-a =sinAsinB+sinC,则角B= . 能力提升6.[2017·赣州、吉安、抚州七校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2√3,C=30°,则角B等于()A.30°B.60°C.30°或60°D.60°或120°7.在△ABC中,a2+b2+c2=2√3ab sin C,则△ABC的形状是()A.不等腰的直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.[2017·鹰潭二模]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=2√23,b cos A+a cos B=2,则△ABC的外接圆的面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π9.[2017·柳州一模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的取值范围是()A.(0,π3]B.(0,π3)C.(0,π6]D.(0,π6)10.已知△ABC的面积为5√3,A=π6,AB=5,则BC=()A.2√3B.2√6C.3√2D.√1311.[2017·福建四地六校联考]已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为()A.2√3B.6C.√3D.912.[2017·宜春四校联考] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=1,B=π4,△ABC 的面积S=2,则bsinB的值为 .13.[2017·河南新乡二模] 如图K22-1所示,在△ABC 中,C=π3,BC=4,点D 在边AC 上,AD=DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足,若DE=2√2,则cos A= .图K22-114.(10分)[2018·巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校摸底] 如图K22-2所示,在△ABC 中, C=π4,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =48,点D 在BC 边上,且AD=5√2,cos ∠ADB=35. (1)求AC ,CD 的长; (2)求cos ∠BAD 的值.图K22-215.(13分)[2017·潮州二模] 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且acosB+bcosA c=2√33sin C. (1)求C 的值;(2)若asinA =2,求△ABC 的面积S 的最大值.难点突破16.(12分)[2017·大庆三模]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB b +cosCc=2√3sinA3sinC.(1)求b的值;(2)若cos B+√3sin B=2,求a+c的取值范围.课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理的应用基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者 ()A.北偏东80°的方向B.东偏北80°的方向C.北偏西80°的方向D.西偏北80°的方向2.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走,某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角,前进200 m后,测得该参照物与前进方向成75°角,则河的宽度为 ()A.50(√3+1) mB.100(√3+1) mC.50√2mD.100√2m3.如图K23-1所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°图K23-14.如图K23-2所示,为了测量一棵树的高度,在地面上取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为m.图K23-25.[2017·海南中学月考]如图K23-3所示,设A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为m.图K23-3能力提升6.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,光源射向地面的光呈圆锥体,且其轴截面的顶角为120°,若要求光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为()A.15√3mB.15 mC.5√3mD.5 m7.甲船在岛A正南方向的B处以每小时4千米的速度向正北方向航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发,以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为()A.1507分钟B.157分钟C.21.5 分钟D.2.15小时8.如图K23-4所示,一座建筑物AB的高为(30-10√3)m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为()A .30 mB .60 mC .30√3 mD .40√3 m图K23-49.如图K23-5所示,为了了解某海域海底构造,在海平面上取一条直线上的A ,B ,C 三点进行测量,已知AB=50 m,BC=120 m,于A 处测得水深AD=80 m,于B 处测得水深BE=200 m,于C 处测得水深CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为 ( ) A .1665 B .1965 C .1657 D .1757图K23-510.[2017·北大附中期中] 如图K23-6所示,某住宅小区的平面图形是圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于OA 的小路DC.已知住户张先生从O 沿OD 走到D 用了3 min,再从D 沿DC 走到出入口C 用了4 min .若张先生步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为 ( ) A .40√13 m B .50√13 mC .30√15 mD .40√15 m图K23-611.某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处正上方的点E处观测烟囱顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱的高AB= 米.12.某小区的绿化地有一个三角形的花圃区,若该三角形的三个顶点分别用A,B,C表示,其对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0,则在A处望B处和C处所成的视角为.13.[2017·湖北百所重点中学模拟]我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为平方千米.14.(10分)[2017·佛山二模]某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图K23-7所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80 n mile,BC=40+30√3n mile,CD=250√6n mile.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行,60 min后,轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行,则收到指令时该轮船到城市C的距离是多少.图K23-715.(13分)如图K23-8所示,已知在水平面东西方向上的M,N处各有一座发射塔,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100米,BN=200米,一辆测量车在M正南方向的点P处测得发射塔顶A 的仰角为30°,该测量车沿北偏西60°的方向行驶了100√3米后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量得tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.图K23-8难点突破方向的A 16.(12分)如图K23-9所示,某流动海洋观测船开始位于灯塔B北偏东θ0<θ<π2+θ-√3cos 2θ=1,AB=AD.在接到上级命令后,该观测船从A点沿AD方向点,且满足2sin2π4在D点补充物资后沿BD方向投放浮标C.已知该观测船行驶的航程为8 km,浮标C与A点的距离为4√3km.(1)求θ的值;(2)求浮标C到补给站D的距离.图K23-9。

两点分布、超几何分布、正态分布

两点分布、超几何分布、正态分布1．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0＜p ＜1，则称离散型随机变量E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 2．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 3．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ＞0，μ∈R )．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝⎠⎛a服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．服从两点分布．(×)(2)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(√)(5)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(√)(6)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．(√)(7)对于正态分布X～N(μ，σ2)，总有P(x＜μ－a)＝P(x≥μ＋a)．(√)(8)X～N(μ，σ2)，发生在(μ－3σ，μ＋3σ)，之外的概率为0，称之不可能事件．(×)(9)正态总体(1,9)在区间(0,1)和(－1,0)上的概率相等．(×)(10)随机变量分布列为是两点分布．(×)考点一两点分布、超几何分布[例1](1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：设X的分布列为即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13，故应选C.答案：C(2)一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7 9.①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列及期望．解：①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．②X服从超几何分布，P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为∴E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝1812＝32.[方法引航](1)两点分布列的随机变量X取值为1和0，不能取其它整数，X＝1表示“成功”.(2)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.1．若将本例(1)改为，求X 的成功率．解：p ＋p 2＝1，(p ＞0)，∴p ＝5－12∴X 的成功率P (x ＝1)＝2)215(＝3－52.2．将本例(2)改为：随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在各随机选取2人，进行跟踪调查．①求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率； ②求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；③若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：①设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A ，所以P (A )＝C 23C 25＝310.②设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B ，所以P (B )＝C 23C 12C 11C 25C 23＋C 13C 12C 22C 25C 23＋C 23C 22C 25C 23＝12.③X 的可能取值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 23C 22C 25C 23＝110， P (X ＝1)＝C 13C 12C 22＋C 23C 12C 11C 25C 23＝25， P (X ＝2)＝C 22C 22＋C 13C 12C 12C 11C 25C 23＝1330， P (X ＝3)＝C 22C 12C 11C 25C 23＝115.所以E(X)＝0×110＋1×25＋2×1330＋3×115＝2215.考点二正态分布[例2](1)(2017·山西四校联考)设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝__________.解析：因为P(X＞m)＝0.3，X～N(3，σ2)所以m＞3，P(X＜6－m)＝P(X＜3－(m－3))＝P(X＞m)＝0.3所以P(X＞6－m)＝1－P(X＜6－m)＝0.7.答案：0.7(2)云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5,16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5,162.5)，第2组[162.5,167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．①试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；②求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；③身高排名(从高到低)在全省130名之内，其身高最低为多少？参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ～σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：①由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，∵171.5 cm＞170.5 cm，故该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值．②由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，∴人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.③∵P(170.5－3×4＜ξ＜170.5＋3×4)＝0.997 4，∴P(ξ≥182.5)＝1－0.997 42＝0.001 3，又0.001 3×100 000＝130.∴身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前130名．[方法引航]在高考中主要考查正态分布的概率计算问题，其解决方法如下：第一步，先弄清正态分布的均值是多少；第二步：若均值为μ，则根据正态曲线的对称性可得P(X≥μ)＝0.5，P(X≤μ)＝0.5，P(X≤μ＋c)＝P(X≥μ－c)(c>0)等结论；第三步，根据这些结论、题目中所给条件及对称性，对目标概率进行转化求解即可.,说明：关于正态总体在某个区间内取值的概率问题，要熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值，充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来解题.1．(2017·江西八校联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1 C．0.15 D．0.2解析：选B.由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.2．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．解：依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的12×68.26%＝34.13%.设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人.[易错警示]不能正确理解正态曲线的对称性[典例]已知随机变量ξ满足正态分布N(μ，σ2)，且P(ξ<1)＝12，P(ξ>2)＝0.4，则P(0<ξ<1)＝________.[错解]由P(ξ>2)＝0.4，∴P(ξ<2)＝1－0.4＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝12P(ξ<2)＝0.3.[错因]P(0<ξ<1)是P(ξ<2)的一半．[正解]由P(ξ<1)＝12得μ＝1，∴随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，∴曲线关于x＝1对称．∵P(ξ<2)＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1.[答案]0.1[警示]①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．[高考真题体验]1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2 386B．2 718 C．3 413 D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.解析：选C.由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.4．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.课时规范训练A组基础演练1．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于() A．1B．2 C．3 D．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.2．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则()A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定解析：选C.正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)到对称轴距离相等，故m＝n.3．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是()A.C12C948C1050 B.C12C950C1050 C.C12C1050 D.C948C1050解析：选A.50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X ，则抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.4．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t ) 解析：选D.由图象知，μ1<μ2，σ1<σ2，P (Y ≥μ2)＝12， P (Y ≥μ1)>12，故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；因为σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 错；对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选D.5．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，则a ＝( )A.37B.73C.78D.87解析：选B.因为ξ服从正态分布N (3,4)，且P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，∴a ＝73.6．若随机变量X 的概率分布密度函数是φμ，σ(x )＝122π·e －(x ＋2)28(x ∈R )，则E (2X －1)＝________.解析：σ＝2，μ＝－2，E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5. 答案：－57．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为解析：P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 3·C 2C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1 0.6 0.38．已知某次英语考试的成绩X 服从正态分布N (116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．解析：由已知得μ＝116，σ＝8.∴P (92＜X ≤140)＝P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，∴P (X ＞140)＝12(1－0.997 4)＝0.001 3，∴成绩在140分以上的人数为13. 答案：139．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝3)321(-＋C 2312)32()321(-＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为10.盒内有大小相同的9个球，其中24个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解：(1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528；P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的分布列为：1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φμ，σ(x )＝12π·10(x ∈R )，则下列命题中不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：选B.由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又正态曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的． 2．已知X ～N (μ，σ2)时，P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，则dx x 2)1(432e 21--⎰π＝( )A ．0.043B ．0.021 5C ．0.341 3D ．0.477 2解析：选B.由题意知，μ＝1，σ＝1，P (3＜X ≤4)＝12×[P (－2＜X ≤4)－P (－1＜X ≤3)]＝12×(0.997 4－0.954 4)＝0.021 5.故选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞3)＝a ，P (1＜ξ≤3)＝b ，则函数f (a )＝a 2＋a －1a ＋1的值域是________．解析：易知正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)＝a ，则有⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0⇒0＜a ＜12.f (a )＝a －1a ＋1＝(a ＋1)－1a ＋1－1，令t ＝a ＋1∈)23,1(，函数f (a )＝g (t )＝t －1t －1在t∈)23,1(上是增函数，所以g (t )∈)61,1())23(),1((--=g g答案：)61,1(--4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715， P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715， P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.5．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A ， “两人都不享受折扣优惠”为事件B ，则P(A)＝C212C236＝11105，P(B)＝C224C236＝46105.因为事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝11105＋46105＝57105＝1935.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是19 35.(2)据题意，得ξ的可能取值0,1,2.其中P(ξ＝0)＝P(B)＝46105，P(ξ＝1)＝C112C124C236＝48105，P(ξ＝2)＝P(A)＝11 105.所以ξ的分布列为所以，E(ξ)＝0×46105＋1×48105＋2×11105＝23.。

2017年上海市中考数学试卷-答案

上海市2017年初中毕业统一学业考试数学答案解析第Ⅰ卷【提示】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解. 【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念 6.【答案】C【解析】A.BAC DCA ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；B.BAC DAC ∠=∠，能判定四边形ABCD 是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；C.BAC ABD ∠=∠，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD 是矩形；D.BAC ADB ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；【提示】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案. 【考点】矩形的判定第Ⅱ卷223212a a a a a =⨯⨯=指数不变，作为积的因式，计算即可.【考点】平均数2a b+2 CD ED ∵AE a=，∴2ED a=，∴2CD CE ED a b=+=+【提示】根据CD CE ED =+，只要求出ED 即可解决问题. 【考点】相似三角形的判定和性质，向量的加法运算 16.【答案】45【解析】①如图1中，EF AB ∥时，45ACE A ∠=∠=︒，∴旋转角45n =时，EF AB ∥.②如图2中，EF AB ∥时，180ACE A ∠+∠=︒，∴135ACE ∠=︒∴旋转角360135225n =-=，∵0180n <<，∴此种情形不合题意.综上所述45n =【提示】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可. 【考点】平行线的性质，特殊三角形的性质 17.【答案】810r << 【解析】如图1，当C 在A 上，B 与A 内切时，A 的半径为：3AC AD ==，B 的半径为：538r AB AD =+=+=；如图2，当B 在A 上，B 与A 内切时，A 的半径为：5AB AD ==，B 的半径为：210r AB ==；∴B 的半径长r 的取值范围是：810r <<在A上和当在A上，再根据图形确定、交于点O，连接EC.【解析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE CFAD（2）如图所示：过点A 作AC BM ⊥，垂足为C ，则1()12AC C =，，.CM∵OA OC =，∴OAC C B ∠=∠=∠，∵ADO ADB ∠=∠，∴OAD ABD △∽△.13S ，∵2131122OAC S AD OH S S AC OH S CD OH ===△，，， 21212AD OH AC OH CD OH ⎫=⎪⎭，∴2AD AC CD ，(1)(x x AB CD AC AD x x+=-=-,，∴1)(1)(1)x x x x x ⎛++ ⎝是分式方程的根，且符合题意，AC AB OBAC CD ，列出。

山西省三地八校联考2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

A．
B．
C．
D．
4．如图，在锐角△ABC 中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是（）
A． B．6 C． D．3 5．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S 正方形 ABCD=2+ ．其中正确的个数为（）
A．
B．
C．
D．
8．下列调查中，适合用普查方式的是（） A．了解 2016 年最新一批炮弹的杀伤半径
明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
（约等于 0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
，
，结果可保留根号）
17．（13 分）如图，△ABC 是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB 于点 D，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 以 2cm/s 的速度向终点 C 运动，当点 P 出发后，过点 P 作 PQ∥BC 交折线 AD﹣ DC 于点 Q，以 PQ 为边作等边三角形 PQR，设四边形 APRQ 与△ACD 重叠部分图形的面积为 S（cm2），点 P 运动的时间为 t（s）．（1）当点 Q 在线段 AD 上时，用含 t 的代数式表示 QR 的长；（2）求点 R 运动的路程长；（3）当点 Q 在线段 AD 上时，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）直接写出以点 B、Q、R 为顶点的三角形是直角三角形时 t 的值．
A．1 B．2 C．3 D．4 6．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣ 1，0），对称轴为直线 x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当 x＞﹣ 1 时，y 的值随 x 值的增大而增大．其中正确的结论有（）