211直线的斜率
高中数学关于斜率公式
高中数学关于斜率公式
斜率公式是高中数学中的一个重要概念，它用于计算直线斜率的大小。
在平面直角坐标系中，如果已知直线上两点的坐标(x1,y1)和(x2,y2)，则可以使用斜率公式计算直线的斜率。
斜率公式的表达式为：
k = (y2-y1)/(x2-x1)
其中，k表示直线的斜率，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示直线上的两个点的坐标。
斜率公式可以用于求解各种关于直线的问题，例如直线的方程、直线的平行和垂直关系等。
在高中数学课程中，斜率公式是不可避免的，学生需要熟练掌握该公式的应用方法。
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高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
直线斜率公式
直线斜率公式
斜率又称“角系数”，是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切，反映直线对水平面的倾斜度。
一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向所成的角的
正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。
对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向所成角的正切值，即k=tanα。
两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：k1+k2=-1。
一般计算方法如下：一般式：
对于直线一般式Ax+By+C=0，斜率公式为：k=-a/b。
斜截式：
当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b，当x=0时，y=b。
点斜式：
当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k(x2-x1)。
一般直线方程的斜率公式
一般直线方程的斜率公式直线方程的斜率公式是数学中一个非常重要的概念，它可以用来描述和分析直线的特性。
在几何学和物理学等领域中，直线是一个基本的几何概念，而斜率公式则是描述直线特性的数学工具。
本文将通过生动的例子、全面的解释和指导意义的分析，详细介绍直线方程的斜率公式。
直线方程的斜率公式可以写作：y = mx + b。
其中，m是直线的斜率，表示直线上每单位水平移动对应的垂直变化，b是直线的截距，表示直线与y轴的交点。
利用这个公式，我们可以很方便地确定直线的位置、倾斜方向和与坐标轴的交点等信息。
为了更好地理解斜率公式，我们来看一个具体的例子。
假设有一条直线通过点（2, 4）和（5, 7），我们可以通过斜率公式来求解直线的方程。
首先我们需要计算斜率m。
斜率的计算公式是：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
将点（2, 4）和（5, 7）带入公式，得到m = (7 - 4) / (5 - 2) = 1。
接下来，我们需要确定截距b。
通过将点（2, 4）和斜率m带入方程y = mx + b，可以求解出b = 2。
因此，直线的方程为y = x + 2。
斜率公式的应用非常广泛，它在各个学科和实际问题中都具有指导意义。
在几何学中，斜率公式可以帮助我们确定直线的倾斜程度，从而比较直线的陡峭程度或平缓程度。
在物理学中，斜率公式可以用来描述速度和加速度，帮助我们理解物体在空间中的运动状态。
在经济学中，斜率公式可以用来分析和预测变量之间的关系，帮助我们了解经济趋势和市场变化。
除了以上的应用，斜率公式还可以用来解决直线与曲线的交点、判断直线是否平行或垂直、计算曲线的切线方程等问题。
因此，掌握直线方程的斜率公式是学习数学的基础，也是理解几何和物理概念的重要一步。
在实际应用中，我们可以通过斜率公式来解决各种问题。
比如，在设计建筑物时，斜率公式可以帮助我们确定坡度和倾角，从而决定建筑物的稳定性和安全性。
在规划道路和交通系统时，斜率公式可以帮助我们确定道路的坡度和曲线，从而确保车辆在行驶中的平稳性和舒适性。
直线斜率怎么求
直线斜率怎么求
直线的斜率公式：给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率。
斜率公式：k=y2-y1/x2-x1。
当k>0时，直线与x轴夹角越大，斜率越大。
当k<0时，直线与x轴夹角越小，斜率越小。
直线斜概念
斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。
当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像（直线）的斜率。
斜率公式详解(一)
斜率公式详解(一)斜率公式详解1. 什么是斜率公式？斜率公式是用来计算直线的斜率的数学公式。
直线是数学中的基础概念之一，而斜率则用来描述直线在坐标平面上的倾斜程度。
2. 斜率公式的数学表达式斜率公式的数学表达式如下：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上任意两个点的坐标。
3. 斜率公式的解释•斜率公式中的分子表示在y轴上的变化量，即纵向的距离。
如果分子的值为正数，那么表示y轴上的值增加；如果分子的值为负数，则表示y轴上的值减小。
分子的绝对值越大，表示y轴上的变化越大。
•斜率公式中的分母表示在x轴上的变化量，即横向的距离。
分母的值为正数时，表示x轴的值增加；分母的值为负数时，表示x轴的值减小。
分母的绝对值越大，表示x轴上的变化越大。
•当直线为竖直线时，斜率公式的分母为0，此时无法用斜率公式计算斜率。
•当直线为水平线时，斜率公式的分子为0，此时斜率为0。
4. 斜率公式的应用斜率公式被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
以下是一些常见的应用场景：•确定直线的斜率：通过斜率公式可以计算出直线的斜率，从而确定直线在坐标平面上的倾斜程度。
•判断两条直线的关系：通过比较两条直线的斜率，可以判断它们是否平行、垂直或互相交叉。
•求解无理数的近似值：斜率可以用来近似计算无理数，如π和e的近似值。
•最小二乘法：在回归分析中，斜率通常用于最小二乘法的计算中，用来拟合数据点所形成的直线。
5. 总结斜率公式是计算直线斜率的数学公式，它用于描述直线在坐标平面上的倾斜程度。
斜率公式的数学表达式为( y2 - y1 ) / ( x2 -x1 )。
斜率公式被广泛应用于各个领域中，如几何学、物理学和工程学等。
了解斜率公式的原理和应用可以帮助我们更好地理解直线和相关概念。
斜率的概念及斜率公式(一)
斜率的概念及斜率公式(一)斜率的概念及斜率公式1. 斜率的概念斜率是数学中描述直线倾斜程度的概念，它表示函数曲线在某一点的切线的倾斜程度。
斜率可以用来计算两个点之间的变化率，并且可以帮助我们理解函数的特性和趋势。
2. 斜率公式斜率公式描述了直线的斜率的计算方法。
具体而言，对于一条直线，我们可以使用两点之间的坐标来计算其斜率。
下面是三种常见的斜率公式：•斜率公式一：两点式若直线通过两点 P1(x1,y1) 和P2(x2, y2)，则直线的斜率 m 可以用以下公式表示：m = (y<sub>2</sub> - y<sub>1</sub>) / (x<s ub>2</sub> - x<sub>1</sub>)•斜率公式二：点斜式若直线通过点 P(x1, y1)，且已知直线的斜率 m，则直线的方程可以用以下公式表示：y - y<sub>1</sub> = m(x - x<sub>1</sub>)•斜率公式三：截距式若直线的斜率为 m，且经过点P(x1, y1)，则直线的方程可以用以下公式表示：y = mx + (y<sub>1</sub> - mx<sub>1</sub>) 3. 举例说明为了更好地理解斜率的概念和斜率公式的应用，以下举例说明：•例一：给定两点 P1(2, 4) 和 P2(6, 10)，计算直线的斜率。
根据斜率公式一，我们可以计算得到：m = (10 - 4) / (6 - 2) = 6 / 4 =因此，直线的斜率为，表示直线上每增加 1 单位的x 值，y 值增加倍。
•例二：已知直线的斜率为 -2，经过点 P(3, 2)，求直线的方程。
根据斜率公式三，我们可以得到直线的方程为：y = -2x + (2 - (-2) * 3) = -2x + 8因此，直线的方程为 y = -2x + 8，表示该直线的斜率为 -2，截距为 8。
直线的斜率计算
直线的斜率计算直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差之比。
计算直线的斜率可以帮助我们了解直线的斜率变化情况以及在数学和物理等领域中的应用。
本文将介绍如何计算直线的斜率，并给出一些相关的例子。
一、计算斜率的公式直线的斜率可以使用以下公式进行计算：斜率 = （纵坐标差）/（横坐标差）具体而言，如果我们有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2）在直线上，那么斜率可以用以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)二、示例计算让我们通过一些示例来说明如何计算直线的斜率。
示例一：假设有两个点A（2，5）和B（6，9），我们可以使用上述公式来计算直线AB的斜率。
斜率 = (9 - 5) / (6 - 2)= 4 / 4= 1因此，直线AB的斜率为1。
示例二：现在考虑两个点A（-3，2）和B（5，-4），使用相同的公式来计算直线AB的斜率。
斜率 = (-4 - 2) / (5 - (-3))= -6 / 8= -3 / 4因此，直线AB的斜率为-3 / 4。
三、特殊情况在某些特殊情况下，直线的斜率可能存在一些特殊性。
1. 垂直线：垂直线的斜率为无穷大或者负无穷大，因为其横坐标差为0，无法除以0。
例如，两个点A（3，2）和B（3，-4）构成的垂直线。
2. 水平线：水平线的斜率为0，因为其纵坐标差为0。
例如，两个点A（-2，5）和B（4，5）构成的水平线。
3. 平行线：平行线有相同的斜率。
例如，直线AB的斜率为2，那么与直线AB平行的直线CD的斜率也为2。
四、应用举例直线的斜率在数学和物理领域有广泛的应用。
例如在经济学中，斜率可以用来衡量两个变量之间的关联关系，如需求与价格之间的弹性。
在物理学中，斜率可以用来计算瞬时速度、加速度等物理量之间的关系。
在工程学中，斜率可以用于设计斜坡、道路和管道的倾斜度。
总结：通过本文的介绍，我们了解了如何计算直线的斜率，并了解了直线斜率的一些特殊情况和应用。
直线方程式的斜率公式
直线方程式的斜率公式直线是几何学中最基本的图形之一，它可以用方程式表示。
直线方程式的斜率公式是一种能够计算直线斜率的方法。
在解决几何学和代数学问题时，直线方程式的斜率公式具有重要的应用价值。
斜率的定义在开始理解直线方程式的斜率公式之前，我们先来了解一下斜率的定义。
在坐标平面上，斜率（slope）是指直线的倾斜程度或者说是直线上两点之间垂直距离和水平距离的比值。
斜率通常用字母m表示，可以通过如下公式计算：斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点的坐标。
直线方程式的斜率公式直线方程式可以有多种形式，其中最常见的两种是一般式和斜截式。
一般式一般式直线方程可以写为Ax + By + C = 0，其中 A、B 和 C 是常数。
为了计算斜率，我们需要将一般式方程转换为斜截式方程。
斜截式斜截式方程可以写为y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
斜截式方程提供了更直观的直线表示方法，斜率可以直接从方程中读取。
斜截式方程是我们计算直线斜率的起点。
但是，在某些情况下，我们可能只有一般式方程。
为了计算斜率，我们首先需要将一般式方程转换为斜截式方程。
从一般式方程计算斜率要将一般式方程转换为斜截式方程，我们需要遵循以下步骤：1.将一般式方程移项，将其变为Ax + By = -C的形式。
确保 x 和 y 的系数为整数。
2.将方程两边同时除以 B，得到y = -A/B * x - C/B的形式。
3.根据斜率公式，我们可以得到直线的斜率为-A/B。
因此，我们将一般式方程转换为斜截式方程后，斜率就可以直接读取。
举例说明让我们通过一个实际的例子来说明如何计算直线方程的斜率。
假设我们有一条直线，其一般式方程为2x + 3y = 6。
现在我们将其转换为斜截式方程，并计算斜率。
首先，我们将方程进行移项，得到2x + 3y = 6。
将方程两边同时除以 3，得到(2/3)x + y = 2。
2017-2018学年高中数学必修2同步文档：第2章 2-1-1 直
2．1直线与方程2．1.1直线的斜率1．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)[基础·初探]教材整理1直线的斜率阅读教材P77～P78例1，完成下列问题．已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝y2－y1x2－x1 (x1≠x2)，如果x1＝x2，那么直线PQ的斜率不存在．1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的斜率是________．【解析】过点(1,2)，(4,2＋3)的斜率k＝(2＋3)－24－1＝33.【答案】3 32．若直线AB的斜率为－2，其中A(－2，－3)，B(a,5)，则a的值是__________.【导学号：41292061】【解析】∵－3－5－2－a＝－2，∴a＝－6.【答案】－6教材整理2直线的倾斜角阅读教材P78～P79，完成下列问题．1．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.倾斜角α的范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率与倾斜角的关系(1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l的斜率k＝tan_α.(2)从几何图形上看：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率．(×)(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°.(×)(3)若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．(×)(4)若k是直线的斜率，则k∈R.(√)2．直线l的倾斜角α＝120°，则其斜率为________．【解析】直线的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－ 3.【答案】－3[小组合作型]求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A(－1,0)，B(0，－2)；(2)A(－3，2)，B(2，－3)；(3)A(a，a＋b)，B(c，b＋c)；(4)A(2，－1)，B(m，－2)．【精彩点拨】当x1≠x2时，利用y1－y2x1－x2求解直线的斜率，否则斜率不存在．【自主解答】(1)∵－1≠0，∴斜率存在，且k＝－2－00－(－1)＝－2.(2)∵－3≠2，∴斜率存在，且k＝2－(－3)－3－2＝2＋3－2－3＝－1.(3)∵a≠c(否则A，B两点重合为一点)，∴斜率存在，且k＝a＋b－(b＋c)a－c＝1.(4)当m＝2时，斜率不存在．当m≠2时，斜率k＝－2－(－1)m－2＝12－m.已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提，即只有x1≠x2时才能用斜率公式求解．当x1＝x2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论．[再练一题]1．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m＝________.【解析】m－4－2－m＝1，m＝1.【答案】 12．若斜率为2的直线经过A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为________．【解析】7－5a－3＝2，∴a＝4，7－ba＋1＝2，∴b＝－3.【答案】4，－3直线的倾斜角与斜率的综合应用已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．(1)求直线PM与PN的斜率；(2)求直线l的斜率k的取值范围．【精彩点拨】(1)代入斜率公式，(2)数形结合求k的范围．【自主解答】(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为：k PM＝－3－12－1＝－4，k PN＝－2－1－3－1＝34.(2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P 点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又k PN＝3 4，∴k ≥34.又当l 从l ′位置旋转到PM 位置时，倾斜角大于90°，又k PM ＝－4， ∴k ≤－4.综上所述，k ∈(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.1．当直线l 的倾斜角是锐角时，斜率k >0，反之也成立；当直线l 的倾斜角是钝角时，斜率k <0，反之也成立．2．当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.[再练一题]3．(1)若过点P (1,1)，Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是__________.【导学号：41292062】【解析】 (1)∵直线PQ 的倾斜角为钝角，∴k PQ <0， 即2a －13－1＝2a －12<0，∴a <12，即实数a 的取值 范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(2)如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1. 则直线AP 的倾斜角为135°，直线BP 的倾斜角是45°.要使直线l 与线段AB 有公共点，需有45°≤α≤135°，即α的取值范围是45°≤α≤135°.【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)45°≤α≤135°[探究共研型]三点共线问题探究1 A (0,0)，B (1,2)，C (3,6)，三点是否在同一条直线上？【提示】 三点在同一直线上，因为k AB ＝2，k AC ＝2，k AB ＝k AC .直线AB ，AC 斜率相等，又过同一点，所以AB 与AC 重合．∴A ，B ，C 三点共线．探究2 若三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，则实数a 的值为多少？【提示】 ∵k AB ＝k BC ，∴7－23－a ＝7＋9a3＋2， 解得a ＝2或a ＝29.(1)已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，则x 2＝________，y 1＝__________.(2)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b ＝__________.【精彩点拨】【自主解答】 (1)由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0. (2)显然，直线斜率存在．由三点共线，得k AB ＝k AC ，即22－a ＝2－b 2，整理得2a ＋2b ＝ab .∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝a ＋b 2a ＋2b＝12.【答案】 (1)7 0 (2)12已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，若有x 1＝x 2＝x 3或k AB ＝k AC ，则有A ，B ，C 三点共线．利用斜率判断三点共线应注意以下三点：(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否有两点连线垂直于x 轴，即斜率不存在的情况；(2)当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，且过同一点时，三点才共线；(3)由斜率相等可以推出三点共线，但三点共线不一定推出任两点连线的斜率相等，还可能任两点连线的斜率都不存在．[再练一题]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.1．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为________．【解析】k＝tan 30°＝3 3.【答案】3 32．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝________.【解析】k AB＝tan 45°＝1＝y＋3 4－2，∴y＝－1.【答案】－13．直线l过点(－1,1)，(0,1)，则l的倾斜角为______．【解析】k＝1－1－1－0＝0，tan α＝0，∴α＝0°.【答案】0°4．如图2－1－1所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．图2－1－1【解析】设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1<k3<k2.【答案】k1<k3<k25．已知直线l上两点A(－2,3)，B(3，－2)，求其斜率．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝12时，b的值.【导学号：41292063】【解】由斜率公式得k AB＝－2－33＋2＝－1.∵C在直线l上，∴k AC＝－1，即b－3a＋2＝－1，∴a＋b－1＝0.当a＝12时，b＝1－a＝12.。
直线中斜率k的公式
直线中斜率k的公式
直线是平面几何中最基本的图形之一，它的斜率便是描述直线特
征的关键之一。
斜率是指直线的倾斜程度，它告诉我们直线上的任意
两个点在坐标轴上之间的变化率。
在直线的数学描述中，斜率通常由
字母k或m来表示，其计算公式是：
k = (y2 - y1)/(x2 - x1)
其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个不同点的坐标。
根据
这个公式，我们可以非常方便地求出任意直线的斜率。
斜率的大小主要取决于直线的倾斜程度，也就是直线与x轴正方
向之间的夹角大小。
当直线平行于x轴时，斜率为0；当直线垂直于x
轴时，斜率为无穷大。
在其他情况下，斜率是一个有限的实数，可以
用来描述直线的倾斜程度和方向。
斜率在几何形状分析和物理学领域都有广泛的应用。
在物理学中，斜率被用来描述物体随时间的速度变化；在工程中，斜率被用来计算
管道和道路的坡度和运动方向；在数学中，斜率是解析几何中一些复
杂公式的关键之一。
然而，斜率并不仅仅是一个有用的数学公式，它还可以作为一种
指导性的思维工具。
通过斜率公式的计算和应用，我们可以更深入地
理解直线和平面几何，更好地理解物理现象，更精确地描述复杂的数
学概念。
总之，斜率是一个具有广泛应用价值和指导意义的数学概念。
通过深入地理解斜率的概念和应用，我们可以更好地理解世界的本质和规律，提高我们的解决问题的能力和思维水平。
211直线的斜率
B1
D E
如图，O是入山口，E是出山口，半山腰A(相对于O)的高度为100米，
B(相对于O)的高度为250米，OA与AB的水平距离都为300米，试比较OA、
AB两段山坡爬坡的难易程度．
问题：如何用一个量来描述、刻画山坡的陡峭程度？
“坡度”就是坡面的竖直高度与水平宽度的比，
如上图，山坡PQ的坡度即为 QF
（2）P(－1，3)，k＝0；
（3）P(0，－2)，k＝ 3 ；（4）P(1，2)，斜率不存在．
3
l1 l3 x l2
数学应用
已知三点A(－1，4)、B(2，1)、 C(－2，5)，判断这三点是否共线？
解：
14 kAB 2 (1) 1,
k AC
54 2 (1)
1
故A ， B ， C 三点共线.
变式：若三点A(4，5) ， B(－2a，－3) ， C(1，a)共线，则a＝________.
数学建构
y
B(x2，y2)
O A(x1， y1) x
y
A(x1，y1) O
B(x2，y2) x
直线AB的斜率k＝
y2 y1 x2 x1
(x1≠x2)
数学建构
斜率k＝
y2 x2
y1 x1
的几点说明：
y
1．x1≠x2，若 x1＝x2 ，即直线垂直于x轴，此
O
A(x1, y1)
时，斜率不存在.
B(x2, y2) x
如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用 范围也很有限．但若两互相结合而共同发展，则就者会相互加强，并以快 速的步伐向着完美化的方向猛进．
——拉格朗日
情境问题
问题2 ．解析几何与几何的本质区别是什么呢？
直线方程求斜率的公式
直线方程求斜率的公式好嘞，今天咱们聊聊直线方程求斜率的事儿，轻松幽默一点，让你一听就懂。
斜率嘛，听起来有点高大上，其实就是直线的倾斜程度。
简单说，就是看这条线是往上跑还是往下走，或者是直挺挺地待着，像个打了鸡血的老虎，还是像只懒洋洋的猫。
你想啊，走在街上，看到一条笔直的马路，那就是斜率为零；要是看到一条坡道，哎呀，真是个挑战，那可得靠斜率来帮你了。
先说说斜率的公式，听上去复杂，其实也不难。
公式是这样的，m = (y2 y1) / (x2 x1)。
这俩y和x，你可以理解成两个点的坐标，点一的坐标是（x1, y1），点二是（x2,y2）。
你只要把点的坐标代进去，运算一下，斜率就出来了。
说白了，就是上升的高度和水平的距离比。
感觉好像在练习徒步旅行一样，爬上去的高度和走的距离，比例一算，斜率就给你显现了。
想象一下，如果你在爬山，爬得越高，越陡，斜率就越大；反之，如果是个平坦的地方，那斜率就小得可怜。
斜率为正，说明你在上坡；如果是负的，哎呀，那就是下坡了。
这就像人生的起起伏伏，跌宕起伏，斜率不就是人生的一种隐喻嘛！要是碰到斜率为零，那就真是没什么波澜，平淡如水了。
大家可能会问，斜率有什么用呢？嘿，别小看这玩意儿！在物理学里，工程师可得靠它设计桥梁、建筑，确保一切都稳稳当当的。
经济学家也离不开斜率来分析市场趋势，股市涨跌，那全都得看它的脸色呢！要是斜率的变化特别大，那就是行情波动大，不好把握啊。
生活中也是一样，学习、工作，很多时候都在看斜率，看看自己的进步是快还是慢。
你会遇到一条直线的斜率是无限大，那可就有趣了。
这种情况一般出现在垂直线，想象一下，站在摩天大楼上往下看，哎呦，那可真是直冲云霄。
斜率无限大，感觉就像你的人生达到了巅峰，飞得特别高。
但是，别忘了，垂直的线也是有风险的，风大雨大，得稳住。
我再给你讲讲斜率的一个小秘密。
斜率也可以帮你判断两个直线的关系。
如果两条直线的斜率相同，那它们就是平行的，永远不会相交。
一般式直线斜率k的公式
一般式直线斜率k的公式
一般式直线斜率的公式：
1、概念：
斜率（英语：slope）又称倾斜率，是指曲线或直线的斜度程度的量度。
它可以用来度量一条直线的斜程或一曲线的坡度，也可以称为直线或
曲线的切线斜率。
2、计算方法：
（1）直线斜率的一般式：
斜率k= (y2-y1) / (x2-x1)
其中y2和y1是直线上不同点的纵坐标，x2和x1是直线上不同点的横
坐标
（2）一般式直线斜率的例子：
设直线上有两个点 (1,3) 和 (3,5)，求它的斜率 k
根据公式计算：
k = (5 - 3) / (3 - 1) = 2 / 2 = 1
我们可以得到 y = kx + b = x + b = x + 3
（3）斜率与斜率表示：
斜率可以用数字表示，在数学中常用除号“/”来表示斜率，读作“除以”。
如k = (5 - 3) / (3 - 1) ，读作“5减去3除以3减去1”。
3、特殊情况：
（1）斜率为零：斜率为0的直线，其函数式可以表示为y = b，其中b 是直线上的某个点的y坐标，表示直线在坐标平面上是水平的。
（2）斜率为无穷：斜率为无穷的直线，其函数式可以表示为x = c，其中c是直线上某个点的x坐标，表示直线在坐标平面上是垂直的。
苏教版数学高一-2.1素材 如何求直线的斜率
如何求直线的斜率直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值,它可以解决后面学的直线的方程及位置关系等问题，那么如何求直线的斜率呢？通常有以下几种方法：一、定义法直线倾斜角α的正切值)90(tan ︒≠αα，叫做直线的斜率，记作：tan k α= 例1、如图：直线L 1的倾斜角175α=，直线L 2⊥L 1，求直线L 2、L 1的斜率。
解：设直线L 2的倾斜角为2α，则21907590165αα=+=+=∴ L 1的斜率11tan tan752k α===∴L 2的斜率22tan tan1652k α===-点评：利用tan (90)k αα=≠求斜率k 时，关键是如何利用几何特征或代数特征求出倾斜角的大小，然后再利用公式求斜率k 。
并需要熟记一些特殊角的三角函数值和三角函数中一些关键的公式。
二、公式法已知点11(,)A x y 、22(,)B x y ，若12x x ≠，则有2121AB y y k x x -=-；若12x x =，则直线AB 的斜率不存在例2、直线l 过点A （1，2）、B （m ，4），求l 的斜率与倾斜角 解：（1）先考虑直线斜率不存在的情况，显然m=1，此时l 的倾斜角为2π； （2）若斜率存在，设此斜率为k ，倾斜角为α，此时1m ≠，422tan 11k m m α-===--. 当m ＞1时，k ＞0，倾斜角为锐角，2arctan 1m α=-； 当m ＜1时，k ＜0，倾斜角为钝角，2arctan 1m απ=+-. 点评：应用两点的斜率公式要注意公式运用的条件，且在求倾斜角时，要注意反正切函数的定义，该分类就要分类，分类要不重不漏三、方向向量法若直线l 的方向向量为),(b a =)0(≠a ，则有l b k a=)0(≠a 例3、如果直线L 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移4个单位，又回到原来位置，求直线L 的斜率。
解：设P 为直线L 上任意一点，它沿x 轴负方向平移3个单位后到达P 1点，再将P 1点沿y 轴正方向平移4个单位后到达P 2点，则P 2点也在直线L 上，故2PP 为直线L 的方向向量， 又21124(3,0)(0,4)(3,4)3(1,)3PP PP P P =+=-+=-=--所以直线L 的斜率43k =-。
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作业:, 2, 3, 4, 5
再见!
y2 x2
? ?
xy11的值与P、Q两点的位置及顺序有关吗?
y
Q
P'
P
M
o
Q'
y2 ? y1 是一个定值 x2 ? x1
M'
x
问题6：y2 ? y1 适用所有的直线吗？
x2 ? x1
直线斜率的定义
已知两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则直线
PQ的斜率为：
y
Q ( x2 , y2 )
y
k2 ? 2
k1 ? 1
1
1
-1
?2
o1 2
1
x
l1
l2
l4
l3
变式运用
（1）已知直线经过点P（a,1),Q(3,-3)求 直线PQ的斜率
（2）如图直线l1, l2 , l3的斜率分别
为k1 , k2 , k3,则有( D)
A. k1<k2<k3
y
B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1
C(5，9)是否在一条直线上？
如果KAB=KAC，那么A，B，C三点 共线; 反过来,也正确.
小结
（1）斜率定义； （2）直线的方向与直线的斜率之间的对 应关系； （3）求斜率； （4）三点共线； （5）画直线; （6）数形结合思想. 等等．
思维提升： 直线 l过点M（-1，1）且与以 P(2,2),Q(3,3)为端点的线段PQ有公 共点，求直线l的斜率的取值范围
C(6,0) x
思考： 将直线l上的点P沿x轴方向
向右平移4个单位，再沿y轴方向向 上平移3个单位，得到点Q仍在直线l 上，那么直线l的斜率为多少？
变题: 如果直线l按x轴负方向平移 m(m>0)个单位，再沿y轴正方向平移 n(n>0)个单位后，又回到了原来的位 置，那么直线l的斜率为多少？
例3： 三点A(0,－1), B(2，3),
l2 l1
o
D. k1<k3<k2
l3 x
例2 经过点 A(3,2 )画直线，使直线的斜率分 别为①0，②不存在③ 2，④ - 23.
y
B(3 ? x, 2 ? y)
B(4, 4)
3
y
2 1
A(3,2）
A(3,2）
x B(3 ?
x, 2 ?
y)
o 12 3
x
y
B(0, 4)
y3
2
A(3,2）
1x
o 12 3
如何确定一条直线？
y
.
.
o
x
观察以下三个函数所表示的直线异同:
y
y? ?x?1
y ? 2x? 1
y? x?1
1
o
x
确定直线位置的几何要素 有两个：
一个点和直线的方向．
问题2：通过建立直角坐标系,点可以用坐 标来刻画,那么,直线的方向如何用一个代数
的量来刻画呢?
问题3对楼梯倾斜程度有什么认识？：
高度 坡度＝
宽度
1m
结论：坡度越大，楼梯越陡．
问题4：由问题3你知道直线的倾斜程度 的如何刻画级 高
Q(x2,y2)
P(x1,y1) x2-x1 y2y-2y-y1 1
x2-x1
O
x
坡度＝ 级高 级宽
y2 ? y1 x2 ? x1
问题5：对于一条与x轴不垂直的定直线
y1 x1
?
? y； ?x
直线的斜率的定义：
y
l
y2
Q(x1, y2)
y1
P ( x1, y1)
O
x1
x
如果 x2 ? x1 ，那么直线PQ的斜率不存在．
例1
. y p
k>0
O
x
（1）
. y p
k不存在
O
x
（3）
.y p k<0
O
x
（2）
. y
k=0
p
O
x
（4）
k3 ? ? 2
k4 ? ?1
k＝ y2 ? y1 x2 ? x1
(x1 ? x2 )
P ( x1 , y1 )
y2 ? y1
x2 ? x1
o
x
形
数
直线的斜率的定义：
y
y2
Q( x2 , y2 ) l
P( x1 , y1 )
? y ? y2 ? y1
y1
? x ? x2 ? x1
O
x1
x2
x
如果 x2 ?
x1， k ?
y2 ? x2 ?
如果代数与几何各自分开发展， 那它的进步将十分缓慢，而且应用范 围也很有限．但若两者互相结合而共 同发展，则就会相互加强，并以快速 的步伐向着完美化的方向猛进．
—拉格朗日
第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2.1.1 直线的斜率
2.1 直线与方程 2.1.1 直线的斜率
问题1：