211直线的斜率
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如果代数与几何各自分开发展， 那它的进步将十分缓慢，而且应用范 围也很有限．但若两者互相结合而共 同发展，则就会相互加强，并以快速 的步伐向着完美化的方向猛进．
—拉格朗日
第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2.1.1 直线的斜率
2.1 直线与方程 2.1.1 直线的斜率
问题1：
y2 x2
? ?
xy11的值与P、Q两点的位置及顺序有关吗?
y
Q
P'
P
M
o
Q'
y2 ? y1 是一个定值 x2 ? x1
M'
x
问题6：y2 ? y1 适用所有的直线吗？
x2 ? x1
直线斜率的定义
已知两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则直线
PQ的斜率为：
y
Q ( x2 , y2 )
C(5，9)是否在一条直线上？
如果KAB=KAC，那么A，B，C三点 共线; 反过来,也正确.
小结
（1）斜率定义； （2）直线的方向与直线的斜率之间的对 应关系； （3）求斜率； （4）三点共线； （5）画直线; （6）数形结合思想. 等等．
思维提升： 直线 l过点M（-1，1）且与以 P(2,2),Q(3,3)为端点的线段PQ有公 共点，求直线l的斜率的取值范围
y1 x1
?
? y； ?x
直线的斜率的定义：
y
l
y2
Q(x1, y2)
y1
P ( x1, y1)
O
x1
x
如果 x2 ? x1 ，那么直线PQ的斜率不存在．
例1
. y p
k>0
O
x
（1）
. y p
k不存在
O
x
（3）
.y p k<0
O
x
（2）
. y
k=0
p
O
x
（4）
k3 ? ? 2
k4 ? ?1
如何确定一条直线？
y
.
.
o
x
观察以下三个函数所表示的直线异同:
y
y? ?x?1
y ? 2x? 1
y? x?1
1
o
x
确定直线位置的几何要素 有两个：
一个点和直线的方向．
问题2：通过建立直角坐标系,点可以用坐 标来刻画,那么,直线的方向如何用一个代数
的量来刻画呢?
问题3对楼梯倾斜程度有什么认识？：
思考：P(2,2)改为P(-2,2) 呢？
作业:, 2, 3, 4, 5
再见!
k＝ y2 ? y1 x2 ? x1
(x1 ? x2 )
P ( x1 , y1 )
y2 ? y1
x2 ? x1
o
x
形
数
直线的斜率的定义：
y
y2
Q( x2 , y2 ) l
P( x1 , y1 )
? y ? y2 ? y1
y1
? x ? x2 ? x1
O
x1
x2
x
如果 x2 ?
x1， k ?
y2 ? x2 ?
l2 l1
o
D. k1<k3<k2
l3 x
例2 经过点 A(3,2 )画直线，使直线的斜率分 别为①0，②不存在③ 2，④ - 23.
y
B(3 ? x, 2 ? y)
B(4, 4)
3
y
2 1
A(3,2）
A(3,2）
x B(3 ?
x, 2 ?
y)
o 12 3
x
y
B(0, 4)
y3
2
A(3,2）
1x
o 12 3
高度 坡度＝
宽度
1m
结论：坡度越大，楼梯越陡．
问题4：由问题3你知道直线的倾斜程度 的如何刻画？用代数的量如何刻画？
y
级宽 级 高
Q(x2,y2)
P(x1,y1) x2-x1 y2y-2y-y1 1
x2-x1
O
x
坡度＝ 级高 级宽
y2 ? y1 x2 ? x1
问题5：对于一条与x轴不垂直的定直线
C(6,0) x
思考： 将直线l上的点P沿x轴方向
向右平移4个单位，再沿y轴方向向 上平移3个单位，得到点Q仍在直线l 上，那么直线l的斜率为多少？
变题: 如果直线l按x轴负方向平移 m(m>0)个单位，再沿y轴正方向平移 n(n>0)个单位后，又回到了原来的位 置，那么直线l的斜率为多少？
例3： 三点A(0,－1), B(2，3),
y
k2 ? 2
k1 ? 1
1
1
-1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?2
o1 2
1
x
l1
l2
l4
l3
变式运用
（1）已知直线经过点P（a,1),Q(3,-3)求 直线PQ的斜率
（2）如图直线l1, l2 , l3的斜率分别
为k1 , k2 , k3,则有( D)
A. k1<k2<k3
y
B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1
—拉格朗日
第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2.1.1 直线的斜率
2.1 直线与方程 2.1.1 直线的斜率
问题1：
y2 x2
? ?
xy11的值与P、Q两点的位置及顺序有关吗?
y
Q
P'
P
M
o
Q'
y2 ? y1 是一个定值 x2 ? x1
M'
x
问题6：y2 ? y1 适用所有的直线吗？
x2 ? x1
直线斜率的定义
已知两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则直线
PQ的斜率为：
y
Q ( x2 , y2 )
C(5，9)是否在一条直线上？
如果KAB=KAC，那么A，B，C三点 共线; 反过来,也正确.
小结
（1）斜率定义； （2）直线的方向与直线的斜率之间的对 应关系； （3）求斜率； （4）三点共线； （5）画直线; （6）数形结合思想. 等等．
思维提升： 直线 l过点M（-1，1）且与以 P(2,2),Q(3,3)为端点的线段PQ有公 共点，求直线l的斜率的取值范围
y1 x1
?
? y； ?x
直线的斜率的定义：
y
l
y2
Q(x1, y2)
y1
P ( x1, y1)
O
x1
x
如果 x2 ? x1 ，那么直线PQ的斜率不存在．
例1
. y p
k>0
O
x
（1）
. y p
k不存在
O
x
（3）
.y p k<0
O
x
（2）
. y
k=0
p
O
x
（4）
k3 ? ? 2
k4 ? ?1
如何确定一条直线？
y
.
.
o
x
观察以下三个函数所表示的直线异同:
y
y? ?x?1
y ? 2x? 1
y? x?1
1
o
x
确定直线位置的几何要素 有两个：
一个点和直线的方向．
问题2：通过建立直角坐标系,点可以用坐 标来刻画,那么,直线的方向如何用一个代数
的量来刻画呢?
问题3对楼梯倾斜程度有什么认识？：
思考：P(2,2)改为P(-2,2) 呢？
作业:, 2, 3, 4, 5
再见!
k＝ y2 ? y1 x2 ? x1
(x1 ? x2 )
P ( x1 , y1 )
y2 ? y1
x2 ? x1
o
x
形
数
直线的斜率的定义：
y
y2
Q( x2 , y2 ) l
P( x1 , y1 )
? y ? y2 ? y1
y1
? x ? x2 ? x1
O
x1
x2
x
如果 x2 ?
x1， k ?
y2 ? x2 ?
l2 l1
o
D. k1<k3<k2
l3 x
例2 经过点 A(3,2 )画直线，使直线的斜率分 别为①0，②不存在③ 2，④ - 23.
y
B(3 ? x, 2 ? y)
B(4, 4)
3
y
2 1
A(3,2）
A(3,2）
x B(3 ?
x, 2 ?
y)
o 12 3
x
y
B(0, 4)
y3
2
A(3,2）
1x
o 12 3
高度 坡度＝
宽度
1m
结论：坡度越大，楼梯越陡．
问题4：由问题3你知道直线的倾斜程度 的如何刻画？用代数的量如何刻画？
y
级宽 级 高
Q(x2,y2)
P(x1,y1) x2-x1 y2y-2y-y1 1
x2-x1
O
x
坡度＝ 级高 级宽
y2 ? y1 x2 ? x1
问题5：对于一条与x轴不垂直的定直线
C(6,0) x
思考： 将直线l上的点P沿x轴方向
向右平移4个单位，再沿y轴方向向 上平移3个单位，得到点Q仍在直线l 上，那么直线l的斜率为多少？
变题: 如果直线l按x轴负方向平移 m(m>0)个单位，再沿y轴正方向平移 n(n>0)个单位后，又回到了原来的位 置，那么直线l的斜率为多少？
例3： 三点A(0,－1), B(2，3),
y
k2 ? 2
k1 ? 1
1
1
-1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?2
o1 2
1
x
l1
l2
l4
l3
变式运用
（1）已知直线经过点P（a,1),Q(3,-3)求 直线PQ的斜率
（2）如图直线l1, l2 , l3的斜率分别
为k1 , k2 , k3,则有( D)
A. k1<k2<k3
y
B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1