推迟Green函数与时变电磁场.
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推迟Green函数与时变电磁场
刘觉平 武汉大学
推迟Green函数与推迟势
导出无界空间中的推迟Green函数、 单色推迟Green函数 以及所谓的并矢Green函数， 给出势的波动方程的基本解、
推迟势和相应的电磁场的场强。
引入的Green函数 形式解
为了确定矢势分布， 需要明确 的物理意义。而这要求对Green 函数加上限制条件（或初始条件）
代入(9.4.2)得
(9.4.3)
利用恒等式
Biblioteka Baidu(9.4.3)式成为
(9.4.5) 这是在频域中给定电荷分布与电流分布决定电磁场场强的普 遍公式。它与Jefimenko方程是等价的。
讨论： (a) 由于由Jefimenko方程所确定的电磁场满足Maxwell方程， 故由 方程(9.4.5) 确定的电磁场也满足Maxwell方程。
满足初始条件(9.1.7)的Green函数称为超前Green函数，这时观 测时刻t处在激发时刻t’之前Green函数才可能不为零，这仅对 于反粒子（如正电子）才是可能的。 而满足初始条件(9.1.8)的Green函数称为推迟Green函数，记为 Gr(x; x’)；它表示x’处t’时刻激发的场只能在稍后的时刻t到达测 量点x，这正好符合辐射问题的实际情形。对于推迟Green函数， 我们有
(b) 方程(9.4.5)是频域中的振幅方程，其推迟效应是由单色推迟 Green 函数这一伴随因子来体现的。 (c) 单色推迟Green函数这一伴随因子可视为一向四周传播的球 面波，故方程(9.4.5)说明在x点所观测的电磁场场强的振幅是同 时到达观测点的电磁波的场强振幅的叠加。 (d)需要指出的是， 由Jefimenko方程或方程(9.4.5)确定的电磁场 只是Maxwell方程的特解， 与齐次Maxwell方程的通解加在一起 才能构成满足Maxwell方程和边界条件的物理解。
若采用无界空间中的推迟Green函数的边界条件。与方程(9.3.5) 比较，可知g(x; x’)是无界空间中单色推迟Green函数，即
于是
完成梯度运算得并矢Green函数
谢谢！
利用无界空间中单色推迟Green函数，可将单色推 迟势的振幅写成写成三维形式
单色电磁场的普遍形式
单色电磁场可完全由三维矢势的振幅表出。由推迟势所满足 的Lorentz规范条件 当频率不等于零时，
相应的电磁场场强为
(9.4.2)
利用Lorentz规范下的单色推迟势可以得到频域中由变化 的电荷、电流分布激发的电磁场场强振幅的表达式。将
并矢Green函数
频域中的有源Maxwell 方程 式中的源与场分别是时域中的源与场的Fourier变换 消去磁场H(x)后
引入并矢Green函数G(x; x’)，使它满足微分方程 和相应的边界条件。方程(9.5.3)具有下述形式的特解
现在求解方程(9.5.4)。将方程(9.5.4)两边同乘以算符 得 它显然有形式解 而方程(9.5.7)成为
取散度 已注意到正比于
（9.2.7） 的三项相互抵消.
通过分步积分可得
利用上式与电荷守恒定律可知(9.2.7)右端被积式的第二、三项的 贡献相互抵消，于是有
单色推迟Green函数 与单色推迟势
以某一频率随时间而变化的三维电流分布 所激发的三维矢势为
由此可知，
是而无界空间中决定单色场的矢势的推迟Green函数， 这是频域中的推迟Green函数。
当外势场为零时， 写成三维形式即
Jefimenko方程
将(9.1.37)代入场强定义式 得
利用 有
这便是广义的Biot-Savart定律与Coulomb定律，也称 为Jefimenko方程。它也可直接从Maxwell方程得到。
可以证明，由Jefimenko方程确定的电磁场满足 Maxwell方程。作为计算的实例，我们由Jefimenko 第一方程导出Maxwell第一方程。为此，将Jefimenko 第一方程表为
刘觉平 武汉大学
推迟Green函数与推迟势
导出无界空间中的推迟Green函数、 单色推迟Green函数 以及所谓的并矢Green函数， 给出势的波动方程的基本解、
推迟势和相应的电磁场的场强。
引入的Green函数 形式解
为了确定矢势分布， 需要明确 的物理意义。而这要求对Green 函数加上限制条件（或初始条件）
代入(9.4.2)得
(9.4.3)
利用恒等式
Biblioteka Baidu(9.4.3)式成为
(9.4.5) 这是在频域中给定电荷分布与电流分布决定电磁场场强的普 遍公式。它与Jefimenko方程是等价的。
讨论： (a) 由于由Jefimenko方程所确定的电磁场满足Maxwell方程， 故由 方程(9.4.5) 确定的电磁场也满足Maxwell方程。
满足初始条件(9.1.7)的Green函数称为超前Green函数，这时观 测时刻t处在激发时刻t’之前Green函数才可能不为零，这仅对 于反粒子（如正电子）才是可能的。 而满足初始条件(9.1.8)的Green函数称为推迟Green函数，记为 Gr(x; x’)；它表示x’处t’时刻激发的场只能在稍后的时刻t到达测 量点x，这正好符合辐射问题的实际情形。对于推迟Green函数， 我们有
(b) 方程(9.4.5)是频域中的振幅方程，其推迟效应是由单色推迟 Green 函数这一伴随因子来体现的。 (c) 单色推迟Green函数这一伴随因子可视为一向四周传播的球 面波，故方程(9.4.5)说明在x点所观测的电磁场场强的振幅是同 时到达观测点的电磁波的场强振幅的叠加。 (d)需要指出的是， 由Jefimenko方程或方程(9.4.5)确定的电磁场 只是Maxwell方程的特解， 与齐次Maxwell方程的通解加在一起 才能构成满足Maxwell方程和边界条件的物理解。
若采用无界空间中的推迟Green函数的边界条件。与方程(9.3.5) 比较，可知g(x; x’)是无界空间中单色推迟Green函数，即
于是
完成梯度运算得并矢Green函数
谢谢！
利用无界空间中单色推迟Green函数，可将单色推 迟势的振幅写成写成三维形式
单色电磁场的普遍形式
单色电磁场可完全由三维矢势的振幅表出。由推迟势所满足 的Lorentz规范条件 当频率不等于零时，
相应的电磁场场强为
(9.4.2)
利用Lorentz规范下的单色推迟势可以得到频域中由变化 的电荷、电流分布激发的电磁场场强振幅的表达式。将
并矢Green函数
频域中的有源Maxwell 方程 式中的源与场分别是时域中的源与场的Fourier变换 消去磁场H(x)后
引入并矢Green函数G(x; x’)，使它满足微分方程 和相应的边界条件。方程(9.5.3)具有下述形式的特解
现在求解方程(9.5.4)。将方程(9.5.4)两边同乘以算符 得 它显然有形式解 而方程(9.5.7)成为
取散度 已注意到正比于
（9.2.7） 的三项相互抵消.
通过分步积分可得
利用上式与电荷守恒定律可知(9.2.7)右端被积式的第二、三项的 贡献相互抵消，于是有
单色推迟Green函数 与单色推迟势
以某一频率随时间而变化的三维电流分布 所激发的三维矢势为
由此可知，
是而无界空间中决定单色场的矢势的推迟Green函数， 这是频域中的推迟Green函数。
当外势场为零时， 写成三维形式即
Jefimenko方程
将(9.1.37)代入场强定义式 得
利用 有
这便是广义的Biot-Savart定律与Coulomb定律，也称 为Jefimenko方程。它也可直接从Maxwell方程得到。
可以证明，由Jefimenko方程确定的电磁场满足 Maxwell方程。作为计算的实例，我们由Jefimenko 第一方程导出Maxwell第一方程。为此，将Jefimenko 第一方程表为