推迟Green函数与时变电磁场.
电动力学教程 第4章 时变电磁场
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的并不改变其实部和虚部的性质故在复数运算中对复数的微分和积分运算rererererererere其中l是实线性算子如等因此麦氏方程所有场变量都仅仅是空间的函数反映场的空间分布方程的解剩以时间因子e与含时的麦氏方程比较其复数形式实现了时空分离因此使方程的求解更简单
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
时变电磁场
时变电磁场时变电磁场亦称交变电磁场。
当电场和磁场都随时间变化时，由变化着的电场激发的磁场和由变化的磁场激发的电场的总称。
时变电磁场遵守麦克斯韦方程。
伴随时变电磁场有电磁波的传播。
根据场随时间变化的频率不同，时变电磁场又可分为似稳电磁场和迅变电磁场两种，前者场变化的频率较小，可以忽略场似辐射效应和推迟效应，可以用处理稳恒电磁场的方法近似处理;后者由于场变化频率较大，不可忽略辐射效应和推迟效应。
[1]时变电磁场是随时间变化着的电磁场。
时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而产生的效应。
这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。
如果将二根通入同向电流的平行导线，右边的那根导线向右弯曲成平面线圈，该平面线圈就成了最简单的磁石，那么根据平行电流的相互作用产生引斥力的结论，此时右边的通电平面线圈与左边的通电导线之间产生的就是引力。
时变电磁场同理，如果将右边的通电导线向左弯曲成平面线圈，线圈就与左边的通电导线之间产生的就是斥力，若右边的通电线圈可以绕着中心轴旋转，右边的通电线圈就会在斥力的作用下产生绕轴的翻转运动，就会直至翻转到能够与左边的通电导线产生最大引力的位置为止，此时向左弯曲线圈中的电流方向就会因翻转转的运动変成会与向右弯曲线圈中的电流方向一致，不会再产生绕轴的翻转运动了。
据此如果将这根通电导线周围的所有导线都弯曲变成通电线圈，那么不能与中心这根通电导线产生引力的通电线圈，就都会在斥力的作用之下产生绕轴的翻转运动。
如果这些通电线圈，就是摆放在通电导线周围，处在同一平面上的小磁针，此时通电导线周围的所有小磁针，就会在通电导线周围形成一圈NS二极首尾相连的小磁针的圆形分布。
这就是通电导线周围的小磁针能够产生绕轴旋转，在通电导线周围能够形成NS二极首尾相连的小磁针圆圈分布的原因。
关系M.法拉第提出的电磁感应定律表明，磁场的变化要产生电场。
这个电场与来源于库仑定律的电场不同，它可以推动电流在闭合导体回路中流动，即其环路积分可以不为零，成为感应电动势。
第四章 Green函数法(all)
u(r0 ) G( r ,r0 ) f (r)dV G( r ,r0 )(r)dS
T
意义：Poisson方程边值问题的解在 T 内任一 点的值可由Green函数 G(r,r0 ) 和问题的已知函数 f 和 φ 的积分表示.
由以上讨论知, 要求解Poisson方程边值问题, 就要首先求出相应的Green函数。要知区域 T上 的Green函数, 还必须解一个特殊的定解问题。以 第一边值问题为例, 须求解
减T 去①式得:
u[vx cos( n, x) v y
(vu uv)dV
T
co(sv(nun,
y)uvvz
cos(
)dS
n
n, z)]dS
……②
即
第二Green公式
uvdV
T
u
v dS n
(uxvx
T
uyv y
uzvz )dV……①
第一Green公式
2.基本解
定义：设 M ( r ), M0(r0 ) 为n维空间中的点，
ln[1
02
20
cos(
)]
k 1
k 0
cos k(
k
)
有
G1
|
1
4
k 1
0k
k
(cos k
cos k
sin k
sin k
)
通过比较系数可得
a0 0,
ak
k 0
4 k
cos k ,
bk
0k 4 k
sin k
从而得:
G1( , ;0 ,
)
1
4
(0 )k
k1 k
cos k(
)
1
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
时变电磁场边界条
探索多物理场耦合的边 界条件计算方法，以满 足多场耦合问题的求解
需求。
边界条件在交叉学科中的应用拓展
1
将边界条件理论应用于其他物理领域，如流体动 力学、化学反应动力学等，促进交叉学科的发展。
2
结合工程应用，将边界条件理论应用于实际问题 中，如电磁屏蔽、电磁兼容性分析等，推动相关 领域的技术进步。
电力系统稳定性
时变电磁场边界条件还用于分析电力系统的稳定性问题，研究系统中 的电压波动、电流畸变等现象，保障电力系统的安全稳定运行。
电磁场在航空航天工程中的应用
飞行器设计
在航空航天工程中，时变电磁场边界条件用于研究飞行器 在各种介质中的电磁场分布，优化飞行器的电气性能和设 计。
导航与通信
利用时变电磁场边界条件，研究飞行器导航和通信系统中 的电磁波传播特性，提高导航和通信的准确性和可靠性。
雷达探测与隐身技术
在航空航天工程中，时变电磁场边界条件还用于研究雷达 探测和隐身技术，降低飞行器的雷达散射面积，提高飞行 器的生存能力。
05
时变电磁场边界条件的 未来发展
边界条件理论的完善
01
深入研究时变电磁场的物理机制，进一步明确边界条件的数学 表达和物理意义。
02
探索边界条件在不同电磁现象中的适用性和普适性，为边界条
时变电磁场边界条件
目 录
• 时变电磁场基本理论 • 时变电磁场边界条件 • 时变电磁场边界条件的计算 • 时变电磁场边界条件的工程应用 • 时变电磁场边界条件的未来发展
01
时变电磁场基本理论
时变电磁场定义
总结词
时变电磁场是指电磁场随时间变化的场，其特性由麦克斯韦方程组描述。
详细描述
时变电磁场是指电磁场随时间变化的场，其特性由麦克斯韦方程组描述。麦克 斯韦方程组包括波动方程、散射方程和传输方程等，用于描述时变电磁场的传 播、散射和传输等特性。
数学物理方法12格林函数
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点 （或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个 电荷在界面上产生的电势之和为零
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
u ( r )和v ( r ) 在区域 T
及其边界
上具有连续一阶导数,
T
中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A dS AdV =
T
T
divAdV(Leabharlann 2.1.1)将对曲面
的积分化为体积分
uv dS (uv )dV uvdV u vdV
G
u G[ u ] G ( rp ) n
格林函数的边值条件的两边同乘以函数
u
得
G u[ G ] 0 n
相减得到
u G [G u ] G n n
代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
T T T
以上用到公式
(uv) u v uv
称上式为第一格林公式．同理有
vu dS (vu )dV vudV v udV
T T T
上述两式相减得到
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u (r ) (r r0 )dV G (r , r0 ) f (r )dV
T T
根据 函数性质有：
u(r ) (r r )]dV u(r )
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式偏微分方程（PartialDifferentialEquations，简称PDE）在数学和物理学中有着重要的作用，它可以描述多元函数的变化，进而用于解决实际问题。
其中，green公式是一种有用的方法，用于把复杂的PDES（偏微分方程组）转化为更容易求解的形式。
本文将介绍green 公式的定义、推导以及应用，并结合一些实例进行说明。
一、green公式的定义green公式是一种把偏微分方程组转化为更容易求解的形式的方法，由英国数学家George Green在19世纪发现，因此也称为green 公式。
它的形式为：$$ oint_{sp} left[f frac {partial u}{partialn}-frac{partial f}{partial n} Uright]ds=0 $$其中，U代表未知函数，f为边界条件，n为法向量，sp代表边界曲线。
二、green公式的推导green公式的推导可以分为四个步骤：1.先考虑f=0的特殊情况，即特征值方程。
2.令U(x,y)构成 Green数，写出 Green数的偏微分方程；3.给出 Green数 U(x,y)特解，并写出特解的表达式；4.根据Green函数U(x,y)的特解，推导出green公式。
三、green公式的应用Green公式可以用于许多应用领域，如热传导、电磁场、气流模拟等。
1.Green公式在热传导中的应用：热传导是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解温度场的变化问题。
如果将温度场用U(x,y)表示，则可以将热传导问题转化为求解green公式的问题。
2.Green公式在电磁场中的应用：电磁场是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解电和磁场分布的变化问题。
如果将电场用U(x,y)表示，则可以把电磁场变化问题转化为求解green公式的问题。
3.Green公式在气流模拟中的应用：气流模拟是一种应用green公式求解流体力学问题的方法。
green公式法
green公式法摘要：1.引言2.Green 公式法的定义和原理3.Green 公式法的应用领域4.Green 公式法的优缺点5.结论正文：1.引言Green 公式，又称Green 恒等式，是由英国数学家George Green 在1828 年提出的。
这个公式在数学、物理以及工程领域中有着广泛的应用，尤其在解决一些偏微分方程和波动方程的问题时，具有重要的意义。
2.Green 公式法的定义和原理Green 公式法是一种求解偏微分方程的数值方法。
其基本原理是将偏微分方程中的积分操作用离散求和来代替，从而将偏微分方程转化为一个巨大的线性方程组，进而求解。
具体来说，对于一个在区域D 上的函数f(x, y)，如果它在区域D 上有一个连续的一阶偏导数，那么可以通过Green 公式法来求解该函数在区域D 上的值。
公式如下：D f(x, y) dA = D f(x, y)/n * dA，其中，n 为区域D 的边界单位法向量，dA 为区域D 的面积元素。
3.Green 公式法的应用领域Green 公式法在许多领域都有广泛的应用，如在电磁场问题的求解、热传导问题的求解、波动方程的求解等。
特别是在求解无界区域上的偏微分方程时，Green 公式法具有独特的优势。
4.Green 公式法的优缺点Green 公式法的优点在于它将复杂的偏微分方程转化为一个线性方程组，求解起来更加简便。
同时，它适用于许多不同的应用领域，具有较强的通用性。
然而，Green 公式法也存在一些缺点。
首先，它的适用性依赖于函数的一阶偏导数存在。
其次，当区域D 的边界形状复杂或者边界条件复杂时，求解难度会大大增加。
5.结论总的来说，Green 公式法是一种求解偏微分方程的有力工具，尤其在求解无界区域上的偏微分方程时，具有独特的优势。
第18讲时变电磁场(2)详解
第18讲时变电磁场（2）本节内容：一，坡印廷定理和坡印廷矢量二，时谐场三，复介电常数与复磁导率一，坡印廷定理和坡印廷矢量电磁场是一种物质，并且具有能量。
交变场中电场、磁场均随时间变化，所以电场能量密度、磁场能量密度也必随时间变化，而空间各点电磁能量密度的变化说明能量发生了转移或转化。
电磁能量按照一定的分布形式储存于空间，并且随着电磁场的变化在空间传输。
下面从麦克斯韦方程出发，导出表征电磁能量守恒和转换关系的坡印廷定理，以及描述能量转移情况的电磁能流矢量——坡印廷矢量。
1，电磁能量守恒——坡印廷定理（1）由麦克斯韦第一、二方程：t D J H ∂∂+=⨯∇ （5.5-1）t B E ∂∂-=⨯∇ （5.5-2） （5.5-2）H ⋅-（5.5-1）E ⋅得：t D E E J t B H H E E H ∂∂⋅-⋅-∂∂⋅-=⨯∇⋅-⨯∇⋅ （5.5-3） 而：()()t w H B t H B t t H H t B H m ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅ 2121μ同理：()()t w D E t D E t t D E t D E e ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅ 2121ε∴ ()E J w w tH E E H m e ⋅-+∂∂-=⨯∇⋅-⨯∇⋅由矢量恒等式： ()H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇()()E J w w tH E m e ⋅-+∂∂-=⨯⋅∇E J t w ⋅-∂∂-= 上式两边积分：()⎰⎰⎰⋅-∂∂-=⨯⋅∇V V V dV E J dV t w dV H E即：⎰⎰⋅-∂∂-=⋅⨯VSdVEJtWS dHE即：⎰⎰⋅+⋅⨯=∂∂-VSdVEJS dHEtW—坡印廷定理下面解释一下上式各项的物理意义。
由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为E J ，显然右边第二项为体积V 内的损耗功率。
左边为电磁能量的减少率。
而体积V 内电磁能量的减少不外乎两种原因，一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到V 之外。
第4章-时变电磁场PPT课件
设f+的波形当变量 位置为z=zmax
t
z v
0
时为最大值。令波形最大值的
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；
一个电磁场问题。
A
A
t
为任意可微函数
A (A ) A
即
A t ( t) t(A ) A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
不同位函数之间的上述变换称为规范变换。 原因：未规定 A的就是没有规定 A的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 A的散度使位函数满足的方程得以简 化。
电磁能量问题有关概念
电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能量密度w来 描述，它表示单位体积中电磁场的能量，通常是坐标与时间的
函数，即 wwr,t
电磁场的能量流密度：电磁波－电磁振荡定向运动伴随电磁 场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度(能流密度)S表 示。S是矢量，数值为单位时间垂直流过单位面积的能量，方
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
P S S 外 a ( e ) d S 0 1 2 π I 2 a 2 32 π a d z π a I2 2 R I2
式中
R
1 πa 2
是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
§5.3 Helmholtz 方程的Green函数
（20）
其中， ρ < = min (ρ , 略 4、二维 Helmholtz 方程的级数解
∂ 2G ∂ 2G + + k 2G = −δ (ρ − ρ 0 ) ∂x 2 ∂y 2
)(
)dk
y
⎧ i ik y' y − y 0 , ⎪− 2 k ' e y ⎪ =⎨ ' ⎪ i e − ik y y − y 0 , ' ⎪ ⎩ 2k y
其中， k y =
'
' >0 Im k y
( )
（11）
' <0 Im k y
( )
k 2 − k x2
' ik x ( x − x 0 )+ ik y y − y0
由约当引理得，当 x − x0 < 0 ，下半圆的积分 lim
e iω ( x − x 0 ) πi ∴∫ dω = − 2πi Re sf (− k ) = e −ik ( x − x0 ) − ∞ (ω − k )(ω + k ) k
∞
综上，
1 2π
e iω ( x − x 0 ) i ik x − x ∫− ∞ (ω − k )(ω + k ) dω = 2k e 0 , Im(k ) > 0
e y 0 ∫− ∞ k 2 − k x2 − k y2 dk y
∞
ik
(y− y )
（10）
其中（10）式中后面的积分
1 2π
e y 0 1 ∫−∞ k 2 − k x2 − k y2 dk y = − 2π
∞
ik
(y− y )
∫
∞
−∞
第五章Green函数法
所以，
(t ) f (t )dt f (0).
更一般地有， (t t0 ) f (t )dt f (t0 ).
2.函数是偶函数 ,即 (t ) (t );
3.
t
d 0, t 0 ( )d H (t ), H (t ) (t ),其中 H (t ) dt 1, t 0
所以,当t 0时, i (t ) 0;当t 0时,由于 q (t )是不连续的， 从而在普通导数的意义 下， q (t )在这一点导数不存在， 如果我们从形式上计算 这个导数，则得
dq( t ) q(0 t ) q(0) 1 i( t ) lim lim . t 0 t 0 t dt t
2 , t 0 sin t d 0, t0 0 , t 0 2 则 当t 0时,
1 1 1, t 0 1 1 sin t 2 2 f (t ) dt 2 0 1 1 ( ) 0, t 0 2 2
' (t ) 0
ti
( ti ) 1 1 所以有 [ (t )]dt ( w)dw t i ( t i ) ' ( ) ' ( t ) i k
于是
k i 1
f (t ) [ (t )]dt
i 1
ut 2 u 0
§5.1
函数
物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性 如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、 点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压 强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、 瞬时电压等 。 它们不在某一空间范围内出现，也不在某一时间间隔内 出现，而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。 研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的δ函数
格林(Green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
电磁场与波5时变电磁场
D E B H J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
H E
E H
E t
t
( H ) 0
( E)
麦克斯韦方程 组限定形式
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特征有关。
四、媒质旳分类
若媒质参数与位置无关, 称为均匀( homogeneous )媒 质; ;
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒 质; ; 若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色 散(dispersive) 媒质。
第五章 时变电磁场
Time-varying Electromagnetic Fields
§5.1 法拉弟电磁感应定律 §5.2 位移电流和全电流定律 §5.3 麦克斯韦方程组、波动方程及电磁 场旳位函数 §5.4 电磁场旳边界条件 §5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 §5.6 时谐电磁场
静态场:场大小不随时间发生变化(静电场,恒定电、磁场)
A)
t
t
2 A 2 A J ( A )
t 2
t
令 A 洛伦兹规范条件
t
2A 2A J
t 2
动态位满足旳方程
E ( A)
t
2 ( A)
t
2 2 2t
A
t
2
2
2t
2
A
2 A t 2
J
达朗贝尔方程
(r ,t)的源是(r ,t)，A(r ,t)的源是J (r ,t)
物理意义：
Ic Iv Id 0
✓全电流旳散度为0，它是连续旳！ ✓穿过任一封闭面旳各类电流之和恒为零。 ✓将它应用于只有传导电流旳回路中, 得知节点处传导电流旳代 数和为零(流出旳电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫 (G .R .Kirchhoff )电流定律: ΣI=0。
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式由偏微分方程green公式可知，偏微分方程在数学中一直占有着特殊的地位，它将某些类型的难题转化为算术问题，可以说是数学家们解决问题的法宝。
而green公式是偏微分方程的重点、核心内容，它则是数学界的一个重要的数学理论。
本文就green公式的基本内容及其在工程中的应用进行介绍与分析。
Green公式是由英国数学家George Green在十九世纪末提出的，它可以帮助解决那些涉及二阶偏微分方程的复杂椭圆型和平面型问题。
Green公式可以用来求解偏微分方程在特定范围内的通解，并可以获得其中一阶偏微分方程解的两个系数和定积分。
Green公式最根本的原理是基于示范法来解决问题。
Green公式的基本形式可表示为：中f（x）,g（x）和h（x）是可积函数，a和b是常数。
这个式子的意思是：若f（x）,g（x）和h（x）任何两个以上的函数有可积部分，那么就可以根据上述公式求得它们之间的定积分，其中a和b都是常数。
Green公式的应用主要有：1.Green公式可以求出在一定范围内，满足偏微分方程的通解2.以求出偏微分方程的两个系数3.以求出偏微分方程的定积分green公式在工程中的应用是非常丰富的。
它可以应用于气体、流体力学、数学物理学等许多学科，尤其是在解决复杂的椭圆型和平面型问题时，它可以为解决问题提供重要的指导。
以下是众多green公式在工程中的实际应用：1.以用green公式解决水力和热传导方程，这在求解实际工程中有重要的意义。
2.以用green公式求解电磁场的线圈的励磁情况，从而有助于理解电场的概念。
3.以用green公式求解导体微分方程，从而有助于理解电力系统的工作原理。
4.声学、超声学和激光技术等领域中，Green公式也可以提供有效 for助。
以上事实表明，green公式十分重要，它在数学理论和实际应用中都发挥着重要作用。
未来，green公式将继续深入人们的生活并受到更多关注，它将对数学理论的发展及人类社会的发展产生积极的影响。
随时间变化的电磁场麦克斯韦方程（可编辑）
随时间变化的电磁场麦克斯韦方程随时间变化的电磁场麦克斯韦方程研究问题:随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律。
§5.1 电磁感应现象与电磁感应定律电磁感应现象电磁感应现象的发现:1820年,奥斯特发现电流的磁效应,引起了相反方向的探索;1831年,法拉第经十年艰苦探索,发现了电磁感应现象??磁的电效应仅在某种东西正在变动的时刻才发生。
基本实验事实:闭合的导线回路和永久磁铁之间发生相对运动时,回路中出现电流。
感应电流的大小取决于磁铁运动的快慢,感应电流的方向与磁铁移动的方向有关;闭合的导线回路与载流线圈之间发生相对运动时,结果相同;两个线圈都固定,其中一个线圈中的电流发生变化时(闭合电键的开关、电阻值的变化),在另一个线圈中引起感应电流;处在磁场中的闭合导线回路中的一部分导体在磁场中运动,回路中产生感应电流,感应电流的大小和方向取决于导线运动的速度大小和方向。
分类:导线回路或回路上的部分导体在恒定不变的磁场(磁铁或电流产生)中运动,回路中出现电流;固定不动的闭合导线回路所在处或其附近的磁场发生变化,回路中出现电流。
共同特点: 感应电流的产生是由于通过闭合导线回路的磁感应强度通量发生变化。
引起磁感应强度通量变化的原因可以是磁感应强度的变化,也可以是由于导体在稳定的磁场中运动引起。
法拉第电磁感应定律法拉第的研究发现:在相同条件下,不同金属导体中的感应电流与导体的导电能力成正比;感应电流是由与导体性质无关的电动势产生的;即使不形成闭合回路,也会有电动势存在??感应电动势。
结论:对于给定的导线回路,感应电流与感应电动势成正比。
电磁感应现象就是磁感应通量的变化在回路中产生感应电动势的现象??电磁感应现象的本质。
德国物理学家纽曼和韦伯的工作结论:对于任一给定回路,其中感应电动势的大小正比于回路所圈围面积的磁通量的变化率。
楞次定律:内容:闭合回路中感应电流的方向,总是企图使感应电流产生的磁场去阻止引起感应电流的磁通量的变化。
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并矢Green函数
频域中的有源Maxwell 方程 式中的源与场分别是时域中的源与场的Fourier变换 消去磁场H(x)后
引入并矢Green函数G(x; x’)，使它满足微分方程 和相应的边界条件。方程(9.5.3)具有下述形式的特解
现在求解方程(9.5.4)。将方程(9.5.4)两边同乘以算符 得 它显然有形式解 而方程(9.5.7)成为
推迟Green函数与时变电磁场
刘觉平 武汉大学
推迟Green函数与推迟势
导出无界空间中的推迟Green函数、 单色推迟Green函数 以及所谓的并矢Green函数， 给出势的波动方程的基本解、
推迟势和相应的电磁场的场强。
引入的Green函数 形式解
为了确定矢势分布， 需要明确 的物理意义。而这要求对Green 函数加上限制条件（或初始条件）
利用无界空间中单色推迟Green函数，可将单色推 迟势的振幅写成写成三维形式
单色电磁场的普遍形式
单色电磁场可完全由三维矢势的振幅表出。由推迟势所满足 的Lorentz规范条件 当频率不等于零时，
相应的电磁场场强为
(9.4.2)
利用Lorentz规范下的单色推迟势可以得到频域中由变化 的电荷、电流分布激发的电磁场场强振幅的表达式。将
满足初始条件(9.1.7)的Green函数称为超前Green函数，这时观 测时刻t处在激发时刻t’之前Green函数才可能不为零，这仅对 于反粒子（如正电子）才是可能的。 而满足初始条件(9.1.8)的Green函数称为推迟Green函数，记为 Gr(x; x’)；它表示x’处t’时刻激发的场只能在稍后的时刻t到达测 量点x，这正好符合辐射问题的实际情形。对于推迟Green函数， 我们有
若采用无界空间中的推迟Green函数的边界条件。与方程(9.3.5) 比较，可知g(x; x’)是无界空间中单色推迟Green函数，即
于是
完成梯度运算得并矢Green函数
谢谢！
(b) 方程(9.4.5)是频域中的振幅方程，其推迟效应是由单色推迟 Green 函数这一伴随因子来体现的。 (c) 单色推迟Green函数这一伴随因子可视为一向四周传播的球 面波，故方程(9.4.5)说明在x点所观测的电磁场场强的振幅是同 时到达观测点的电磁波的场强振幅的叠加。 (d)需要指出的是， 由Jefimenko方程或方程(9.4.5)确定的电磁场 只是Maxwell方程的特解， 与齐次Maxwell方程的通解加在一起 才能构成满足Maxwell方程和边界条件的物理解。
代入(9.4.2)得
(9.4.3)
利用恒等式
(9.4.3)式成为
(9.4.5) 这是在频域中给定电荷分布与电流分布决定电磁场场强的普 遍公式。它与Jefimenko方程是等价的。
讨论： (a) 由于由Jefimenko方程所确定的电磁场满足Maxwell方程， 故由 方程(9.4.5) 确定的电磁场也满足Maxwell方程。
当外势场为零时， 写成三维形式即
Jefimenko方程将(9.1.37)Fra bibliotek入场强定义式 得
利用 有
这便是广义的Biot-Savart定律与Coulomb定律，也称 为Jefimenko方程。它也可直接从Maxwell方程得到。
可以证明，由Jefimenko方程确定的电磁场满足 Maxwell方程。作为计算的实例，我们由Jefimenko 第一方程导出Maxwell第一方程。为此，将Jefimenko 第一方程表为
取散度 已注意到正比于
（9.2.7） 的三项相互抵消.
通过分步积分可得
利用上式与电荷守恒定律可知(9.2.7)右端被积式的第二、三项的 贡献相互抵消，于是有
单色推迟Green函数 与单色推迟势
以某一频率随时间而变化的三维电流分布 所激发的三维矢势为
由此可知，
是而无界空间中决定单色场的矢势的推迟Green函数， 这是频域中的推迟Green函数。