函数值域求法十一种(可编辑修改word版)

x

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x x 函数值域求法十一种

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

y =1

例1. 求函数x 的值域。

解：∵x ≠ 0

1

≠ 0

∴x

显然函数的值域是：(-∞,0) (0,+∞)

例2. 求函数y = 3 -的值域。

解 ：∵ ≥ 0

∴-≤ 0,3 -≤ 3

故函数的值域是：[-∞,3]

2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数y = x 2- 2x + 5, x ∈[-1,2]

的值域。解：将函数配方得：y = (x - 1) 2+

4

∵x ∈[-1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1 时，y min = 4 ，当x =-1时，y max = 8故函数的值域是：[4，8]

3.判别式法例

4. 求函数y =

1 + x + x2

1 + x2的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程(y - 1)x 2+ (y - 1)x = 0

（1）当y ≠ 1时，x ∈R

∆= (-1) 2- 4(y - 1)(y - 1) ≥ 0

1

≤ y ≤

3

解得：2 2

1∈⎡1

,

3 ⎤

（2）当y=1 时，x = 0 ，而⎢⎣2 2 ⎥⎦

⎡ 1 , 3 ⎤ 故函数的值域为⎢⎣ 2 2 ⎥

⎦

例5. 求函数y = x + 的值域。

解：两边平方整理得：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2 = 0 （1） ∵x ∈R

∴∆ = 4(y + 1) 2 - 8y ≥ 0 解得：1 - ≤ y ≤ 1 + 但此时的函数的定义域由x(2 - x) ≥ 0 ，得0 ≤ x ≤ 2

由∆ ≥ 0 ，仅保证关于x 的方程：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2

= 0 在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由

⎡ 1 , 3 ⎤ ∆ ≥ 0 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎣⎢ 2 2 ⎥

⎦

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ≤ x ≤ 2

∴y = x + ∴y min = 0, y = 1 +

x 1 = ≥ 0

代入方程（1） ∈[0,2]

解得：

2 + 即当

x 1 =

2 - 24 2

2

时，

原函数的值域为：[0,1 + 2 ]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。

3x + 4

例6. 求函数5x + 6 值域。

x =

4 - 6y 解：由原函数式可得： y =

4 - 6y

5y - 3

x ≠ 3

则其反函数为： 5x - 3 ，其定义域为： 5

x(2 - x) 2 2

x(2 - x) 2 2 + 2 - 24

2 2

y 2+1 y 2+1

⎢ ⎛

-∞,

3 ⎫

⎪

故所求函数的值域为：⎝ 5 ⎭

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

e x- 1

例7. 求函数y =e x+ 1 的值域。

e x =y + 1

解：由原函数式可得：

∵e x> 0

y + 1

> 0

∴y - 1

解得：- 1 < y < 1

故所求函数的值域为(-1,1)

y - 1

例8. 求函数y =

cos x

sin x - 3 的值域。

解：由原函数式可得：y sin x - cos x = 3y ，可化为： y2+ 1 sin x(x +β) = 3y

sin x(x +β) =

3y

即

∵x ∈R

∴sin x(x +β) ∈[-1,1]

-1 ≤3y

≤1

即

- 解得：

2

≤y ≤

2

4 4

⎡

-

2

,

2 ⎤

⎢⎥

故函数的值域为⎣ 4 4 ⎦

6.函数单调性法

例9. 求函数y = 2x-5+ log3

解：令y1 = 2x-5 , y 2 = log3

x - 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域。

则y1 , y 2 在[2，10]上都是增函数

x -1

2 - 1 x + 1 2 x - 1 ⎦

所以y = y 1 + y 2 在[2，10]上是增函数

当x=2 时，y

min

= 2-3 + log 3 = 8

当x=10 时，y max = 2

5

+ log 3 ⎡1 = 33

⎤ 故所求函数的值域为： ⎢⎣8 ,33⎥

例10. 求函数y = - y =

解：原函数可化为： 的值域。

令y 1 = x + 1, y 2 = ，显然y 1 , y 2 在[1,+∞] 上为无上界的增函数 所以y = y 1 ，y 2 在[1,+∞] 上也为无上界的增函数

=

所以当x=1 时，y = y 1 + y 2 有最小值

，原函数有最大值 显然y > 0 ，故原函数的值域为(0, 2 ]

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数y = x + 解：令x - 1 = t ，(t ≥ 0) 则x = t 2 + 1

y = t 2 + t + 1 = (t + 1 ) 2 + 3

的值域。 ∵ 2 4

又t ≥

0 ，由二次函数的性质可知当t = 0 时，y min = 1

当t → 0 时，y → +∞

故函数的值域为[1,+∞)

例12. 求函数y = x + 2 + 解：因1 - (x + 1) 2 ≥ 0 即(x + 1) 2 ≤ 1

故可令x + 1 = cos β, β∈[0, π]

的值域。 9 x - 1 2

x + 1 + x - 1

x - 1 2 2 2 1 - (x + 1) 2

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