初一三线八角认识
春季讲义七年级(一)“三线八角”专题
春季讲义七年级（一）“三线八角”专题〖有关三线八角的介绍〗一条直线分别同两条直线相交(或者说两条直线被第三条直线所截) , 构成8个角,这些角中,没有公共顶点的两个角之间有以下三种位置关系:同位角、和同旁内角.同位角定义：共有 对 内错角定义： 共有 对 同旁内角定义： 共有 对〖探索1〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,图中哪几对角是同位角?哪几对角是内错角?哪几对角是同旁内角?〖探索2〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,∠5和_____是同位角,和____是内错角,与______是同旁内角. 〖探索3〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,图中哪几对角是同位角?哪几对角是内错角?哪几对角是同旁内角?〖探索4〗如图,找出∠1的内错角,用红笔一笔画出它们,先观察这两个角是否像英文字母"N", 再指出它们是哪两条直线被哪一条直线所截而成.〖探索5〗如图,已知四边形ABCD 是梯形,你能用红笔一笔画出图中任意一对同旁内角吗?图中一有几对同旁内角?A B C D 1 2 34 5E F A B CD 1 2 34 5 F E 6 7 8AB E D 1 2 34 5 F C 6 7 8 A B C D 1 23 4 5 F E 6 7 8 B CA B 1 D C〖探索6〗如图,直线EF 、CD 与直线AB 相交,任意找出一对同位角,分别记为∠1和∠2,你能用红笔一笔画出这两个角吗?【巩固练习】1.如图,BE 是AB 的延长线,指出下面的两个角是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?(1)∠A 和∠D;(2)∠A 和∠CBA;(3)∠C 和∠CBE.2.如图,∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角? ∠1与∠3是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?3.如图,∠A 与哪个角是内错角?它们是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的?试用彩色笔画出这两个角. ∠A 与哪个角是同旁内角?它们是由哪两条直线被哪一条截而成的?试用彩色笔验证答案.4.找出图中∠DEC 的同位角,内错角和同旁内角.找出图中∠ADE 的同位角,内错角和同旁内角.5.如图，∠6和∠2是_________角，∠5和∠6是_________角，∠5和∠7是_________角，∠1和∠5是_________角，∠4和∠6是_________角，∠3和∠1是_________角。
(课件)10.2三线八角
10.2 “三线八角”
1、如图（1）：直线AB、EF相交于 点O，图中有哪些具有特殊位置关系 的角？
E
A
B
O
F
（1）
2、如图（2）：两条直线AB、 CD都与第三条直线EF相交，构成 几个小于平角的角？
E
A2 1
B
34
C
65
78
（2） F
D
如图:直线AB、CD被EF所截
C
3
E 1
7
5
42
D 截线： EF B 被截线：AB、CD
A 86
∠1与∠2位置上什么关系？
F
同位角：在被截线的同一侧，并且位于截线的同旁 的一对角叫做同位角
♐ 联想思考
C
3
E 1
7
5
42
A 86
F
同位角形如字母“F
”
D B
“三线八角”中
有同位角 4对。
内错角
如图:在“三线八角”中“，内”的涵义：被截两直线之间
C
3
E 1
7
5
“错”的涵义 截线(第三直线)
：
的两侧.
D 我们称∠5和∠4为内错角。
42 A 86
B
内错角如字母 Z
F
找一找:其中还有内错角 吗?
同旁内角
猜想 怎样称呼
“∠2 与 ∠5 ” ? “∠7 与 ∠4 ” ?
C
3
E 1
75
D
42
Байду номын сангаас
B
A 86
∠2 与 ∠5 是 同旁角内
F 5
∠7 与 ∠4 是 同旁内角;
86
七年级三线八角课件
2023七年级三线八角课件CATALOGUE 目录•引言•三线八角的定义和性质•基础概念和定理•习题解答和分析•课堂互动与拓展•教学反思和总结01引言1课程背景23学生在小学阶段已经接触过简单的图形知识七年级数学上册第一章已经学习了线段和角本课件是为了帮助学生巩固所学知识并深入理解三线八角相关内容掌握三线八角的概念及基本性质会用符号表示三线八角能利用三线八角解决实际问题课程目标教学内容三线八角的概念及基本性质三线八角的表示方法利用三线八角解决实际问题02三线八角的定义和性质三线八角的定义七年级数学中三线八角是指由同一条直线上的三条线段或射线组成的八个角。
底角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角小于90度，这个角叫做底角。
顶角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角大于90度，这个角叫做顶角。
等角: 如果两个角的度数相等，那么这两个角叫做等角。
如果两个角是等角，那么它们所对的边也是相等的。
等角对等边 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，内错角相等。
内错角相等 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，同位角相等。
同位角相等 对顶角相等是指如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。
对顶角相等在几何证明中，三线八角是一种常见的几何图形，常常被用来进行各种几何证明。
在解决一些实际问题时，三线八角也常常被用来作为辅助线或者构造一些几何形状。
03基础概念和定理基础概念射线一个点沿着一定方向无限延伸形成的图形。
直线一个或多个点沿着一定路径无限延伸形成的图形。
线段两个点之间的距离形成的图形。
平行线永远不会相交的两条直线。
相交线两条直线或射线在同一点相遇形成的交点。
定理的证明和解读对顶角相等两个相交的直线或射线在形成两个角，这两个角互为对顶角，它们的大小相等。
三角形内角和为180度一个三角形内的三个角的度数之和等于180度。
四边形内角和为360度一个四边形内的四个角的度数之和等于360度。
定理的应用利用对顶角相等，可以证明两个角是否相等。
也谈初一“三线八角”教学中的难点分析及对策
也谈初一“三线八角”教学中的难点分析及对策在几何教学中，我发现“三线八角”的教学是初一几何教学中的一个难点，为什么这是一个难点？一、难点的成因1.“三线八角”是平面几何中最基本的图形之一，也是学生在几何学习中最早接触的图形之一。
学生第一次遇到这些线、角比较多的图形，感到陌生、无从下手，造成识图上的障碍。
2.教学对象??初中学生正处在由形象思维向抽象的逻辑思维转化的年龄阶段，而初中几何的入门阶段又由初二上学期提早到初一下学期，教学对象年龄的提前，更加重了思维的困难，加上学生尚未形成较强的识图辨析能力，使教学难度加大。
二、难点的组成1. 1. 概念的理解：“三线八角”中的概念是同位角、内错角、同旁内角的概念，而人教版教材只给出了一个描述性的定义，并没有下一个确切性定义，编者意图很明显，是要求学生能根据图形辨认一对一对的角，意在培养一种识图能力。
而对于那些死背定义的学生，不能一下子适应这种概念的理解方法，从而造成学习的困难。
2. 2. 图形的识别：对于另外一些学生来说，在基本图形中识别同位角、内错角、同旁内角并没有太大的困难，但对于一些变式图形以及一些复杂图形的识别就有困难了。
今年我在这一节教学之前，对我上的二个班进行了统计，错误有以下几点：1：错误主要在于没有找出全部的同旁内角。
2：错误地把某个角与某个角当成同位角。
3：错误主要在于没有找全所有的角。
统计分析：上述调查显示学生对概念的理解还没有掌握要领，只会生搬硬套，对于复杂的图形，更没有找到辨别这些角的途径，从而形成难点。
如何来突破这一难点呢？三、难点的突破（一）淡化概念，掌握要领在这节的教学中，首先要明白研究这些角的前提条件是：两条直线被第三条直线所截，目的是研究在此前提下不共顶点的角的位置关系，其次明确研究这些角的基本图形。
在进行“同位角、内错角、同旁内角”的概念教学时，要结合图形进行描述性的定义，掌握辨认这些角的关键是哪两条直线被哪条直线所截，分清哪一条直线截哪两条直线形成了哪些角，这是作出正确判定的前提。
有关三线八角的几何证明
第一讲有关三线八角的几何证明一.三线八角模型两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线 EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线 EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；二.平行线判定定理：如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行:平行线判定定理1 :同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足 1 = 2 （或者 3 ==8）,就可以说AB//CD平行线判定定理2 :内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足 6 = 2 （或者 5 = 平行线判定定理4）,就可以说AB//CD3 :同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足5+ 2 = 180 （或者 6+ 4 = 180 ）,就可以说 AB//CD是内错角 平行线判定定理4 :两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行 三•平行线的性质定理 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系: 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
概念巩固1.如图，下面结论正确的是（ ）A.是同位角 B.C.是同位角D. 是内错角2.如图，图中同旁内角的对数是（）4.如图，图中的内错角的对数是（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对3.如图，能与 构成同位角的有（ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对⑴ ⑵5.如图（1）所示，同位角共有（）6 .下图中，/ 1和/2是同位角的是C.定理应用 7 •一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A .第一次向右拐40。
七年级三线八角课件
课堂练习效果评价
详细描述
知识点覆盖程度
做题时间与速度
题目难度评价
01
02
总结词
通过观察学生的问题回答情况，教师可以及时发现学生在知识掌握上的不足和问题，以便及时采取措施进行补救。
详细描述
在七年级数学教学中，学生问题回答情况反馈可以从以下几个方面展开
教学目标
教学目标与要求
三线八角的定义及性质
02
在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行。
三线的定义
平行线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，两条直线互相垂直。
垂线
既不平行于第一条直线，也不垂直于第二条直线。
第三条线
内错角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线之间，且分别位于截线的两侧的两个角。
同位角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线同侧，且分别位于截线的同侧或异侧的两个角。
同旁内角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线之间，且位于截线的同侧的两个角。
八角的定义
三线八角的基本性质
对顶角相等；等腰三角形两底角相等；三角形三个内角之和等于180度。
等量代换；等角代换；全等三角形的对应边相等，对应角相等。
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
三线八角的应用与判定
03
在道路交叉口设置三线八角，用于指示车辆和行人安全行驶和停靠。
指示路标
宣传工具
装饰照明
企业或组织在宣传活动中使用三线八角作为标志，以突出自己的形象和品牌。
三线八角
三线八角、同位角、内错角、同旁内角
三线八角如图1，直线a、b被直线l所截构成八个角，简称“三线八角”.
同位角如图1，∠1与∠5都在截线l的同旁，又分别处在直线a、b相同一侧的位置，具有这样位置关系的一对角叫做同位角（corresponding angles）. 内错角∠2与∠8在截线l的两旁，又在直线a、b之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角（alternate interior angles）.
同旁内角∠2与∠5在截线l的同旁，并且这两个角在直线a、b之间，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角（interior angles on the same side）
★要点提示★
1.概念的理解：（1）这三类角都是成对出现的；（2）这三类角必须是两直线被第三条直线所截而成的；（3）每对角的顶点都不相同.
2.“三线八角”中，共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
3.位置特征：
（1）同位角成“F”形.
（2）内错角成“Z”形.
（3）同旁内角成“U”形.。
七年级三线八角课件
02
三线八角的定义和定理
三线八角的定义
七年级数学中，三线八角是常 见的几何概念。
三线八角是指在一个平面内， 有三条直线相交于一点，而每 两条相交的直线都会形成一对 邻补角。
这些角的大小可以用于描述和 证明一些几何关系和定理。
例题二：稍复杂的三线八角问题
总结词
这道例题将三线八角的概念引入到稍微复杂一些的情境中，通过观察和计算，学生可以进一步了解三线八角的 性质和应用。
详细描述
本题以一个稍复杂的图形为例，让学生找出图中所有的三线八角，并比较它们的大小。通过这种形式的题目， 学生可以进一步了解三线八角的性质和应用，为后续的学习打下基础。同时，通过让学生计算两条平行线之间 的距离，可以培养学生的计算能力。
05
三线八角的练习题
练习题一：基础题
总结词
简单基础，涉及知识点较少。
详细描述
本题主要考察学生对三线八角基本概念的理解，包括同位角 、内错角、同旁内角等。学生需根据这些概念判断哪些是同 位角、内错角或同旁内角。
练习题二：提高题
总结词
难度适中，涉及知识点较多。
VS
详细描述
本题不仅要求学生掌握三线八角的基本概 念，还需要理解角之间的位置关系，如平 行线的性质、垂直的定义等。学生需通过 分析图形中的角的位置关系，得出正确答 案。
举例
在三线八角中，如果我们已知两个角分别等于90度和45度，那么我们 可以直接推导出第三个角等于45度。
证明方法二：反证法
总结词
反证法是一种间接证明方法，通过假设相反的结论成立 ，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
七年级三线八角课件
02
主题重要性
学习目标
掌握三线八角的定义、性质及判定方法。 能够准确绘制三线八角的基本图形。 能够解决与三线八角相关的几何问题。
02
三线八角基本概念
直线的基本定义
01
02
直线是笔直的、无端点的线，它可以向两个方向无限延伸。在直线上 ，任意两点之间可以确定一条直线。
直线的表示方法：可以用一个小写字母表示一条直线，如“l”，也 可以用两个大写字母表示两条直线，如“AB”。
对角线的性质
对角线把多边形分成几个 三角形，这些三角形是全 等的。
对角线的判定
在四边形ABCD中，如果 AC和BD互相平分，那么 四边形ABCD是平行四边 形。
07
复习与总结
重点知识回顾
角的定义
角是由两条射线或线段共享一个 端点而形成的图形，这个端点叫 做角的顶点，两条射线或线段叫
做角的两边。
角的度量
同位角的性质：两直线平行，同位角相等。
三线八角的性质
内错角的定义及性质
两个角分别在截线的两侧，且夹在两被截线之间，这样的一对角称为内 错角。
内错角的性质：两直线平行，内错角相等。
三线八角的性质
同旁内角的定义及性质 两个角都在截线的同一侧，并且夹在两被截线之间，这样的一对角称为同旁内角。
同旁内角的性质：两直线平行，同旁内角互补。
垂直线的性质证明
垂直线的性质定理
如果一条直线垂直于一个平面，那么 这条直线垂直于该平面上任意一条直 线。
证明过程
通过构造垂线，利用垂线的定义和三 角形的高来进行证明。
对角线的性质证明
对角线的性质定理
在一个n边形中，从任一个顶点出发的对角线有(n-3)条。
初一数学第二学期名校优选小专题02 三线八角识别问题
初一数学第二学期名校优选小专题02 三线八角识别问题【模型讲解】如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．(1)在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；(2)∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.【解析】解：(1)如题图所示：同位角共有5对：分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；(2)由三线八角的判断方法∠4和∠5是由c，b，d三线组成，并且构成“U”形图案，所以∠4和∠5是同旁内角，同理可得：∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．【模型演练】1．如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？2．如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．3．如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？1∠和2∠；2∠∠；3∠和5∠；3∠和4∠；4∠和7∠.和6∠；6∠和A4．如图，∠1与∠2，∠3与∠4，分别是什么关系？分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？5．下列图中∠1与∠2，∠3与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？是什么角？6．如图，图中共有多少对同位角，多少对内错角，多少对同旁内角．7．在图中，分别找出一个角与α配对，使两个角成为：(1)同位角；(2)内错角；(3)同旁内角，并指出是由哪条直线截另外两条直线而得．8．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．9．如图所示，在标出的7个角中，与∠1是内错角、同旁内角的各有哪几个？与∠5是同位角的有哪几个？10．(1)如果把下图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠2与∠3呢？(2)如果把下图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？∠5与∠2呢？11．如图所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角；(2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角；(3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角；(4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角．12．如图所示．①∠AED和∠ABC可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角；②∠EDB和∠DBC可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角；③∠EDC和∠C可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角．13．如图：(1)找出直线DC，AC被直线BE所截形成的同旁内角；(2)指出∠DEF与∠CFE是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的什么角；(3)试找出图中与∠DAC是同位角的所有角．14．如图：∠1和∠4是AB、_______被_______所截得的________角，∠3和∠5是_______、_____被_______所截得的_________角，∠2和∠5是______、_______被_______所截得的________角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是________.15．（1）如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠2与∠3呢？（2）如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？∠5与∠6呢？16．如图，BE是AB的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（1）∠A和∠D；（2）∠A和∠CBA；（3）∠C和∠CBE．17．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．（1）如图1，直线1l ，2l 被直线3l 所截，在这个基本图形中，形成了______对同旁内角．（2）如图2，平面内三条直线1l ，2l ，3l 两两相交，交点分别为A 、B 、C ，图中一共有______对同旁内角．（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．（4）平面内n 条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．18．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置1∠跳到终点位置3∠有两种不同路径，路径1：193∠−−−−→∠−−−→∠同旁内角内错角；路径2：1126103∠−−−→∠−−−→∠−−−→∠−−−−→∠内错角内错角同位角同旁内角.试一试：（1）写出从起始位置1∠跳到终点位置8∠的一种路径；（2）从起始位置1∠依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置8∠？19．探究题：(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；(3)根据以上探究的结果，n(n 为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有 对．(用含n 的式子表示)答案与解析【模型讲解】如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．(1)在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；(2)∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.【解析】解：(1)如题图所示：同位角共有5对：分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；(2)由三线八角的判断方法∠4和∠5是由c，b，d三线组成，并且构成“U”形图案，所以∠4和∠5是同旁内角，同理可得：∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．【模型演练】1．如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】同位角有∠1和∠5；∠4和∠3；内错角有∠2和∠3；∠1和∠4；同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2．【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案．【解析】解：∵∠1和∠5在截线AC同侧，在被截直线BE，CE同方向所成的角；∠4和∠3，在截线CE 的上方，被截直线DB、EB的左侧，∴同位角有∠1和∠5；∠4和∠3，共2对；∵∠2和∠3在截线BD两侧，被截直线AC与CE内部；∠1和∠4在截线BE两侧，被截直线AC与CE 内部，∴内错角有∠2和∠3；∠1和∠4,共2对；∵∠3和∠5在截线CD同侧，被截直线CB与DB内部；∠4和∠5在截线CE同侧，被截直线CB与EB 的内部；∠4和∠2在截线BE同侧，被截直线DB与DE的内部，∴同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2，共3对.【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．2．如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．【答案】同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8；同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,结合图形进行分析即可．【解析】同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8；同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．【点评】本题主要考查了三线八角,解题关键是掌握同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形．3．如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？1∠和2∠；2∠∠；3∠和5∠；3∠和4∠；4∠和7∠.和6∠；6∠和A【答案】答案见解析.【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的定义进行解答即可.【解析】1∠和2∠是直线ED和直线BD被直线AB所截而产生的同位角；2∠和6∠是直线AB和直线AC被直线BD所截而产生的内错角；∠是直线AB和直线BD被直线AC所截而产生的同位角；6∠和A3∠和5∠是直线ED和直线CD被直线EC所截而产生的同旁内角；3∠和4∠是直线ED和直线BC被直线EC所截而产生的内错角；4∠和7∠是直线BE和直线BC被直线EC所截而产生的同旁内角.【点评】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知三线八角的定义是解题的关键.4．如图，∠1与∠2，∠3与∠4，分别是什么关系？分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？【答案】∠1与∠2是直线AB、BC被直线AC所截形成的同位角，∠3与∠4是直线AB、AC被直线BC 所截形成的同位角．【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解析】∠1与∠2是直线AB、BC被直线AC所截形成的同位角，∠3与∠4是直线AB、AC被直线BC所截形成的同位角．【点评】本题考查了同位角的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.5．下列图中∠1与∠2，∠3与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？是什么角？【答案】图①，∠1与∠2是直线c、d被直线l所截而成的同位角；图②，∠1与∠2是直线AB、CD被直线BC所截而成的同位角；∠3与∠4是直线AB、CD被直线AC所截而成的内错角；图③，∠1与∠2是直线AB、CD被直线AG所截而成的同位角；∠3与∠4是直线AG、CE被直线DC所截而成的内错角；图④，∠1与∠2是直线AD、CB被直线AC所截而成的内错角；∠3与∠4是直线AB、CD被直线AC所截而成的内错角．【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析即可．【解析】图①，∠1与∠2是直线c、d被直线l所截而成的同位角；图②，∠1与∠2是直线AB、CD被直线BC所截而成的同位角；∠3与∠4是直线AB、CD被直线AC所截而成的内错角；图③，∠1与∠2是直线AB、CD被直线AG所截而成的同位角；∠3与∠4是直线AG、CE被直线DC所截而成的内错角；图④，∠1与∠2是直线AD、CB被直线AC所截而成的内错角；∠3与∠4是直线AB、CD被直线AC所截而成的内错角．【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．6．如图，图中共有多少对同位角，多少对内错角，多少对同旁内角．【答案】有6对同位角，4对内错角，4对同旁内角.【分析】利用同位角，内错角，以及同旁内角定义判断即可得到结果．【解析】同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9.【点评】解答此题的关键在掌握同位角、内错角和同旁内角的概念，注意同位角在截线的同侧，在被截线的同一方向上；内错角在截线的两侧，在被截线的内侧；同旁内角在截线的同侧，在被截线的内侧．7．在图中，分别找出一个角与α配对，使两个角成为：(1)同位角；(2)内错角；(3)同旁内角，并指出是由哪条直线截另外两条直线而得．【答案】(1)∠3，(2)∠1，(3)∠2，直线EF，GH被直线AB所截得的；或(1)∠6，(2)∠5，(3)∠4，直线DC，AB被直线GH所截得的．【分析】根据同位角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同位角.内错角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角.同旁内角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,结合图形进行分析即可进行分析即可.【解析】解：解:(1)∠α和∠3是同位角,是直线EF、GH被AB所截而成;(2) ∠α和∠1是内错角,是直线EF、GH被AB所截而成;(3) ∠α和∠2是同旁内角,是直线EF、GH被AB所截而成.【点评】本题考查三种角的定义，熟悉掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题关键.8．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．【答案】∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠7是同位角，∠1与∠BAD是同旁内角，∠2与∠9没有特殊的位置关系，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角．【分析】根据同旁内角、同位角、内错角和对顶角的概念即可解答.【解析】由图可知：∠1与∠2是同旁内角.∠1与∠7是同位角.∠1与∠BAD是同旁内角.∠2与∠9没有特殊的位置关系.∠2与∠6是内错角.∠5与∠8是对顶角.【点评】本题考查的知识点是同旁内角、同位角、内错角和对顶角，解题的关键是熟练的掌握同旁内角、同位角、内错角和对顶角.9．如图所示，在标出的7个角中，与∠1是内错角、同旁内角的各有哪几个？与∠5是同位角的有哪几个？【答案】见解析【分析】由于∠1与∠4在截线l1的两旁，又夹在被截的两条直线l4与l5之间，得出它们是内错角，同理，还可找出∠1的另外一个内错角；接下来利用同位角和同旁内角的定义，分别找出∠5的同位角和∠1的同旁内角，即可使问题得解.【解析】与∠1是内错角的有∠4，∠7；与∠1是同旁内角的有∠5，∠6；与∠5是同位角的有∠7.【点评】本题考查的知识点是三线八角的问题，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的知识. 10．(1)如果把下图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠2与∠3呢？(2)如果把下图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？∠5与∠2呢？【答案】（1）∠1与∠2是一对内错角，∠2与∠3是一对同旁内角；（2）∠4与∠5是一对同位角，∠5与∠2是一对同旁内角【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义进行判断．【解析】（1）∠1与∠2是一对内错角，∠2与∠3是一对同旁内角；（2）∠4与∠5是一对同位角，∠5与∠2是一对同旁内角.【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．11．如图所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角；(2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角；(3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角；(4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角．【答案】见解析【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析即可．【解析】(1)∠BED与∠CBE是直线DE，CB被直线EB所截成的内错角；(2)∠A与∠CED是直线AD，DE被直线AC所截成的同位角；(3)∠CBE与∠BEC是直线CB，CE被直线BE所截成的同旁内角；(4)∠AEB与∠CBE是直线AE，BC被直线EB所截成的内错角．【点评】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系．12．如图所示．①∠AED和∠ABC可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角；②∠EDB和∠DBC可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角；③∠EDC和∠C可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角．【答案】ED；BC；AB；同位；ED；BC；BD；内错；ED；BC；AC；同旁内【解析】解：（1）∠AED和∠ABC可看成是直线ED、BC被直线AB所截得的同位角；（2）∠EDB和∠DBC可看成是直线ED、BC被直线BD所截得的内错角；（3）∠EDC和∠C可看成是直线ED、BC被直线AC所截得的同旁内角．故答案为ED，BC，AB，同位；ED，BC，BD，内错；ED，BC，AC，同旁内．点评：本题考查了同位角、内错角、同旁内角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．13．如图：(1)找出直线DC，AC被直线BE所截形成的同旁内角；(2)指出∠DEF与∠CFE是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的什么角；(3)试找出图中与∠DAC是同位角的所有角．【答案】(1)∠FBC和∠CFB，∠DFB和∠FBA是直线DC，AC被直线BE所截形成的同旁内角．(2)∠DEF 与∠CFE是由直线AG，DF被直线EF所截形成的内错角．(3)∠DAC的同位角：∠EBH，∠DCH，∠EDF，∠GEF.【解析】试题分析：（1）根据同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，分别进行分析即可；（2）根据∠DEF与∠CFE的边以及位置特征即可做出判断；（3）根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析．试题解析：(1)∠FBC和∠CFB，∠DFB和∠FBA是直线DC，AC被直线BE所截形成的同旁内角；(2)∠DEF与∠CFE是由直线AG，DF被直线EF所截形成的内错角；(3)∠DAC的同位角：∠EBH，∠DCH，∠EDF，∠GEF.【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．14．如图：∠1和∠4是AB、_______被_______所截得的________角，∠3和∠5是_______、_____被_______所截得的_________角，∠2和∠5是______、_______被_______所截得的________角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是________.【答案】CD，BE，同位；AB，BC，AC，同旁内AB，CD，AC，内错；∠4和∠5【解析】试题分析：根据图形先确定出三线八角，再根据同位角、内错角和同旁内角的定义即可得出答案．试题解析：∠1和∠4是AB、CD被BE所截得的同位角，∠3和∠5是BC、AB被AC所截得的同旁内角，∠2和∠5是AB、CD被AC所截得的内错角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是∠4和∠5.15．（1）如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠2与∠3呢？（2）如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？∠5与∠6呢？【答案】（1）∠1与∠2是内错角，∠2与∠3是同旁内角；（2）∠4与∠5是同位角，∠5与∠6是对顶角．【解析】试题分析：根据同位角、同旁内角、同位角、对顶角的定义进行判断即可．试题解析：（1）观察图形，根据内错角的定义可知∠1与∠2是内错角，根据同旁内角的定义可知∠2与∠3是同旁内角；（2）根据同位角的定义可知∠4与∠5是同位角，根据对顶角的定义可知∠5与∠6是对顶角．16．如图，BE是AB的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（1）∠A和∠D；（2）∠A和∠CBA；（3）∠C和∠CBE．【答案】见解析【解析】试题分析：（1）（2）同旁内角，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间．（3）内错角，“内”指在被截两条直线之间；“错”即交错，在第三条直线的两侧．（一个角在第三直线左侧，另一角在第三直线右侧）试题解析：（1）∠A和∠D是由直线AE、CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角；（2）∠A和∠CBA是由直线AD、BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角；（3）∠C和∠CBE是由直线CD、AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．17．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．（1）如图1，直线1l ，2l 被直线3l 所截，在这个基本图形中，形成了______对同旁内角．（2）如图2，平面内三条直线1l ，2l ，3l 两两相交，交点分别为A 、B 、C ，图中一共有______对同旁内角．（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．（4）平面内n 条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角． 【答案】（1）2；（2）6；（3）24；（4）()()12n n n --【分析】（1）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；（2）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；（3）画出四条直线两两相交的图形，然后根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；（4）根据同旁内角的概念结合前3问的答案找出规律即可得出答案．【解析】（1）如图其中同旁内角有CAB ∠与EBA ∠，DAB ∠与ABF ∠，共2对；故答案是：2；（2）如图其中同旁内角有BAC ∠与BCA ∠，BAC ∠与ABC ∠，ABC ∠与BCA ∠，DAB ∠与ABE ∠，FBC ∠与BCI ∠，ACJ ∠与CAK ∠，共6对，6321=⨯⨯，故答案是：6；（3）如图其中的同位角有BAC ∠与BCA ∠，BAC ∠与ABC ∠，ABC ∠与BCA ∠，CAF ∠与AFE ∠，CAF ∠与ACE ∠，AFE ∠与CEF ∠，ACE ∠与CEF ∠，CED ∠与CDE ∠，CDE ∠与CDE ∠，DCE ∠与CED ∠，IBC ∠与BCD ∠，BCD ∠与CDJ ∠，KDE ∠与DEP ∠，PEF ∠与EFM ∠，AFN ∠与FAG ∠，BAG ∠与ABH ∠，BFE ∠与FBE ∠，FBE ∠与BEF ∠，DAF ∠与ADF ∠，AFD ∠与ADF ∠，IBE ∠与JEB ∠，MFD ∠与FDK ∠，HBM ∠与BFN ∠，IAD ∠与ADJ ∠共24对，24432=⨯⨯，故答案是：24；（4）根据以上规律，平面内n 条直线两两相交，最多可以形成(1)(2)n n n --对同旁内角，故答案是：()()12n n n --．【点评】本题主要结合同旁内角探索规律，掌握同旁内角的概念并找出规律是解题的关键．18．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置1∠跳到终点位置3∠有两种不同路径，路径1：193∠−−−−→∠−−−→∠同旁内角内错角；路径2：1126103∠−−−→∠−−−→∠−−−→∠−−−−→∠内错角内错角同位角同旁内角.试一试：（1）写出从起始位置1∠跳到终点位置8∠的一种路径；（2）从起始位置1∠依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置8∠？ 【答案】（1）1128∠→∠→∠内错角同旁内角（答案不唯一）；（2）能跳到终点位置8∠.其路径为 1105118∠→∠→∠→∠→∠同位角内错角同旁内角同位角（答案不唯一）【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可；（2）先判断能够到达终点位置，在根据定义给出具体路径即可.【解析】（1）可以是这样的路径：1128∠→∠→∠内错角同旁内角.（答案不唯一）（2）从起始位置1∠依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置8∠.其路径为 1105118∠→∠→∠→∠→∠同位角内错角同旁内角同位角（答案不唯一）.【点评】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键.19．探究题：(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；(3)根据以上探究的结果，n(n 为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有 对．(用含n 的式子表示)【答案】(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n (n -1)，n (n -1)，n (n -1)．【分析】根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．【解析】（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．故答案为：4，2，2；（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．故答案为：12，6，6；（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n-1）对，内错角有n（n-1）对，同旁内角有n（n-1）对，故答案为：2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．。
人教版七年级数学下册第五章《 三线八角》优课件
CA
1 4
E5 B6 7
23 F D
∠5与∠2是一对 同位 角；
∠2与∠7是一对 内错 角．
先找截线，
（3）∠3和∠4是直线 AB 和直线 EF 被直线 CD 所截得的内错角；
紧抓图形结构特 征（F、Z、U）
∠4和∠7是直线 CD 和直线 EF 被直线 AB 所截得的 同位 角；
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三线八角
课标引路
知识梳理
平面上两直线被一直 线所截，得到八个角， 称为“三线八角”．
1．同位角
观位察于：直∠线1l的和同∠侧5 ，同时位于直线a、b的同一方， 对这于样直的线一l对来角说是，同∠位1角和.∠5位于 直线l的同侧 ， 对于直线a、b来说， ∠1和∠5位于 直线a、b的上方 ，
图2．中内还错有角几对同位角？分别是什么？
l
12
b
43
a
56 87
观位察于：直∠线3l的和两∠侧5 ，同时夹在直线a、b之间，这样 对的于一直对线角l是来内说错，角∠. 3和∠5位于 直线l的两侧 ，
3对图．于中同直还旁线有内a、几角b对来说内，错∠角3？和分∠别5位是于什位么于？直线a、b之间 ，
位观于察直：线∠l4的和两∠同5 侧，同时夹在直线a、b之间，这 样对的于一直对线角l来是说同，旁∠内4角和.∠5位于 直线l的同侧 ，
∠2和∠4是直线 AB 和直线 EF 被直线 CD 所截得的 同旁内角．
指点迷津
重点： 同位角
内错角 同旁 内角
位置关系
在两被截直线的同一方 在截线的同一侧 位置相同
在两被截直线的内部 在截线的两侧 内部交错
初一三线八角知识点
三线八角教学重点和难点三线八角的意义是重点，能在各种变式的图形中找出这三类角既是重点，也是难点教学过程设计一、从学生原有的认识结构提出问题教师提问：1两条直线相交后产生了几个角?每两个角之间的关系是什么?(除平角外，产生四个角，对顶角相等，邻补角互补)2三条直线之间也可以有什么样的位置关系?(可以让学生用手中的铅笔表示直线)在学生回答的基础上，教师打出投影，(四种情况，如图2—30)(1)三条直线都没有交点(2)两条直线平行被第三条直线所截(3)三条直线两两相交，有三个交点(4)三条直线交于一点上节课是对相交的两条直线所形成的四个角进行研究，今天我们就对三条直线相交后形成的八个角如图2—30(3)进行研究，简称为：三线八角(板书课题)二、三线八角的意义1教师用谈话方式提出问题：在图2—31中，l1和l3(或l2和l3)所形成的四个角是有公共顶点的，而每两个角之间的关系从位置来分，可分为两类：对顶角和邻补角，而上面四个角和下面四个角是没有公共顶点的，那么上面的一个与下面的一个又有什么样的位置关系呢?这就是下面所要研究的问题2分析特点，形成概念(1)同位角的意义先引导学生分析∠1和∠5有什么共同特点?在学生回答的基础上，教师归纳总结出共同特点是：均在直线l3的一侧，且分别在l1和l2的上方，像这样的两个角叫作同位角请同学们指出：图中还有同位角吗?(答：∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7)(2)内错角的意义(3)同旁内角的意义(这两种角的教法类似同位角，如果学生要问∠1和∠6，∠1和∠7是什么关系，可以简单说一下，不问也不说)3变式练习，揭露概念本质属性(1)如图2—32，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的?∠1与∠2，∠2与∠4，∠2与∠3答：∠1与∠2是l2、l3被l1所截而得到的一对同旁内角∠2与∠4是直线l2、l1被l3所截而得到的同旁内角∠2与∠3是l2、l1被l3所截而得到的同位角(2)如图2—33，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角答：同位角有：∠2与∠3，∠4与∠7，∠4与∠8；内错角有∠1与∠3，∠6与∠8，∠6与∠7；同旁内角有∠3与∠8，∠1与∠4(3)如图2—34，指出图中∠1与∠2，∠3与∠4的关系答：∠1与∠2是内错角，∠3与∠4也是内错角4正确识别这三类角应注意的问题(1)识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条线被哪一条直线所截(2)抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找出同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角三、综合应用，课堂练习1找出如图2—35中的对顶角和邻补角答：对顶角有四对：它们是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8；邻补角有∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1，∠5与∠8，∠8与∠6，∠6与∠7，∠7与∠5(还可以找出图2—35中相等的角，即四对对顶角)2如图2—36，如果∠1=∠2=∠7，那么还有哪些角是相等的答：∠1与∠4是邻补角，∠2与∠5是邻补角，∠3与∠6是邻补角∠7与∠8是邻补角，因为∠1=∠2=∠7，∠2=∠3(对顶角相等)，所以∠1=∠2=∠3=∠7，则∠4=∠5=∠6=∠8(等角的补角相等)3如图2—37中，若∠1=∠2，证明：∠3与∠4是互补的角证明：因为∠1=∠3，(对顶角相等)∠1=∠2，(已知)所以∠2=∠3(等量代换)又因为∠2+∠4=180°所以∠3+∠4=180°(等量代换)即∠3与∠4是互补的角此题在证明的分析中，可以用以下逻辑思考的过程，即“执果索因”法若要证∠3与∠4互补，即证∠3+∠4=180°，但∠4与∠2的和为180°，因此需证∠3=∠2，由于∠3=∠1(对顶角相等)，∠1=∠2是已知，所以∠2=∠3而写出证明过程时，要从先证∠2=∠3出发，最后得到∠3+∠4=180°以上的几何证明题的思考过程是一种常见的方法，它是从要证明结果的出发，探索要得出这个结果时，应具备的条件，只要将条件准备充足，就能得到要求的结果四、小结1教师先提出以下问题：(1)在所学的知识中，直线的位置关系是怎样形成和发展的?(2)学了哪些相互关系的角?(3)寻找同位角、内错角和同旁内角关键应准确找到什么?2在学生回答的基础上，教师指出，(1)(投影)直线位置关系所对应的基本图形结构如图2—38(2)学过六咱相互关系的角①互为余角，②互为补角(邻补角是特殊情形)，③对顶角，④同位角，⑤内错角，⑥同旁内角(3)寻找同位角，同旁内角关键在于准确找到三线(两线被第三线所截)五、作业1选书中习题2以下六个题供选用(1)指出图2—39(1)中，①∠2和∠5的关系是___________；②∠3和∠5的关系是___________；③∠2和____是直线____、______被_____所截，形成的同位角；④∠1和∠4呢?∠3和∠4呢?∠6和∠7是对顶角吗?(2)指出图中2—39(2)中，①∠C和∠D的关系：②∠B和∠GEF的关系；③∠A和∠D的关系；④∠AGE和∠BGE的关系；⑤∠CFD和∠AFB的关系(3)如图2—39(3)，用数学标出的八个角中①同位角有________________；②内错角有________________；③同旁内角有_______________；(4)如图2—39(4)，若∠1=∠2，可推出∠1与∠ADE______________；∠1与∠BDE__________________(5)判断正误：如图2—39(5)，①∠1和∠B是同位角；②∠2和∠B是同位角；③∠2和∠C是内错角；④∠EAD和∠C是内错角；(6)如图2—39(6)，①∠1和∠4是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠2和∠7是内错角；④∠1和∠4是同旁内角；⑤∠1和∠2是同旁内角；板书设计课堂教学设计说明1本教案为1课时45分钟2上节课讨论了两条直线相交以后所形成的四个角，这一节课是进一步讨论三条直线相交后所形成的八个角，所以在教课过程，要运用基本图形结构将所学的知识及其内在联系向学生展示3在讲三线八角概念时，一定要细致地分析、顾名思义，把握住两个关键的环节，“三条线与一条线”，尽量给出变式的图形，让学生分辨清楚4这节课虽然不涉及两条直线平行后被第三条直线所截的问题，但在可能的情况下，将平行线的图形让学生见到，对下一步的学习很有好处，例如，平行四形中的内错角，学生开始接受起来有一定困难，在这一课时中，出现这个基本图形，为以后学习打下基础5在课堂练习中，用到等量代换的公理，建议教师参考小资料，将等量公理补充给学生6本课时对“执果索因”的方法进行了介绍在今后的学习中经过教师多次引导，学生就会建立正确的思维习惯。
找“三线”识“八角”
找“三线” 识“八角“三线八角”是反映一条直线截两条直线所形成的八个角的位置关系，教材中我们分别称之为同位角、内错角、同旁内角，这条直线叫做截线，两条直线叫做被截线。
在教学中教师反复强调“同位角在截线同旁，在截线同方向；内错角在截线两旁，在被截线之间；同旁内角在截线同旁，在被截线之间。
”但是在实际学习中，学生往往张冠李戴、顾此失彼，除因概念本身牵扯到的线多角多外，笔者认为，主要在于没有找准截线和被截线。
如图，直线c截直线a、b，那么直线c叫做截线，直线a、b叫做被截线。
由定义可知，/1 与/2是同位角，/2与/3是内错角，/2与/4是同旁内角。
然而同时我们还发现，/1 和/2各有一条边都在截线c 上，另两条边分别在被截线b、c上。
/2与/3、/2与/4情况也一样。
于是我们有如下结论：两角的边所在的公共直线即为截线，两角另一边所在的直线为被截线。
下面看例题。
例1 判断图中/1与/2、/2与/3、/1与/3的位置关系？分析：/1的两条边所在的直线为直线a、b,Z2的两条边所在的直线为直线a、c,则公共直线a为截线，直线b、c为被截线。
由于/ 1、/2在直线a同旁，直线b、c右方，故/1与Z2为同旁内角，同理/2与/3为内错角，/1与/3为同旁内解：（略写）。
例2：找出图中同位角、内错角、同旁内角。
分析：图中共有4 条直线，没有说谁是截线被截线，那么任何一条都有可能作为截线。
因此，我们每3 条一组进行组合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四组，在①②③中，所有的角都有公共顶点，故无同位角、内错角、同旁内角；在①②④中，直线BE与直线AD BC 都相交，故为BE截线，直线AD BC为被截线；在①③④中3条直线两两相交，那么每条直线均可作为截线；在②③④中，直线AC与直线AD BC都相交，故为AC截线，直线AD BC为被截线。
再根据定义即可求解。
解：①②③中，同位角、内错角、同旁内角均为0对；①②④中，同位角1对即/ EAD与/ EBC内错角0对、同旁内角1对即即/ DAB与/ABC①③④中，若BE为截线，AC BC为被截线时，同位角1对即/EAD 与/ EBC内错角0对、同旁内角1对即/ DAB与/ABC若BC为截线，AB AC为被截线时，同位角0对、内错角0 对、同旁内角1对即/ABC与/ACB若AC为截线，AB BC为被截线时，同位角0对、内错角1 对即/ EAC与/ ACB同旁内角1对即/ BAC与/ ACB②③④中，同位角0对、内错角1对即/DAC与/ACB同旁内角0对；故图中同位角2 对，内错角1 对，同旁内角4 对。
数学七年级下册三线八角
数学七年级下册三线八角一、三线八角的概念。
1. 三线。
- 在平面内，两条直线被第三条直线所截，这里的三条直线就简称为“三线”。
例如直线a、b被直线c所截，直线a、b是被截直线，直线c是截线。
2. 八角。
- 这三条直线相交形成八个角。
根据角的位置关系，可以分为同位角、内错角和同旁内角。
- 以直线a、b被直线c所截为例：- 同位角：在截线c的同侧，并且在被截直线a、b的同一方的两个角。
例如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角。
同位角的形状像字母“F”（可以是倒置、斜置等情况）。
- 内错角：在截线c的两侧，并且在被截直线a、b之间的两个角。
如∠3与∠5，∠4与∠6是内错角。
内错角的形状像字母“Z”（同样可以有不同的放置角度）。
- 同旁内角：在截线c的同侧，并且在被截直线a、b之间的两个角。
像∠3与∠6，∠4与∠5是同旁内角。
同旁内角的形状像字母“U”（也会有不同的摆放形式）。
二、三线八角的识别方法。
1. 先找截线。
- 在复杂的图形中，要准确识别三线八角，首先要确定哪条是截线。
截线是与另外两条直线都相交的直线。
例如在一个三角形和一条直线相交的图形中，如果我们要研究三角形的两条边与这条直线所形成的角的关系，这条直线就是截线。
2. 再根据位置确定角的类型。
- 确定截线后，观察角相对于被截直线和截线的位置。
- 如果角在截线同侧且在被截直线同一方，就是同位角；如果在截线两侧且在被截直线之间，就是内错角；如果在截线同侧且在被截直线之间，就是同旁内角。
三、三线八角的性质在解题中的应用。
1. 平行线下的三线八角性质。
- 如果两条被截直线平行（假设a∥ b，被直线c所截）：- 同位角相等，即∠1=∠5，∠2 = ∠6，∠3=∠7，∠4=∠8。
- 内错角相等，∠3=∠5，∠4=∠6。
- 同旁内角互补，∠3+∠6 = 180^∘，∠4+∠5=180^∘。
- 这些性质可以用来求解角的度数。
例如已知a∥ b，∠1 = 70^∘，求∠5的度数。
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5.1.3预习检测10道题
一、单选题
1.在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是( )
A.∠2
B. ∠3
C. ∠4
D. ∠5
3.如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（）
A. 与是同位角
B. 与
C. 与是是内错角
同旁内角
D. 与是同旁内角
4.如图，直线l1、l2、l3两两相交，则对于∠1、∠2，下列说法正确的是（）
A. ∠1、∠2是直线l1、l2被直线l3所截得的同位角
B. ∠1、∠2是直线l1、l3被直线l2所截得的同位角
C. ∠1、∠2是直线l2、l3被直线l1所截得的同位角
D. ∠1、∠2是直线l1、l2被直线l3所截得的同旁内角
5.两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”．为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下列三幅图依次表示（）
A. 同位角、同旁内角、内错角
B. 同位角、内错角、同旁内角
C. 同位角、对顶角、同旁内角
D. 同位角、内错角、对顶角
二、填空题
6.如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与________是内错角；∠B与________是同位角；∠ACB与________是同旁内角．
7.如图，直线BD上有一点C，则：
（1）∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线________所截得的________角；
（2）∠2和∠BAC是直线CE，AB被直线________所截得的________角；
（3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；
（4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线________所截得的角；
（5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线所截得的________角．
8.如图所示，能与∠1构成同位角的角有________个．
9.如图所示，AB与BC被AD所截得的内错角是________；DE与AC被AD所截得的内错角是________；∠1与∠4是直线________被直线________截得的角，图中同位角有________对．
10.如图，在∠1到∠6的六个角中，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对．。