晶体投影含球面投影(特选内容)
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晶体的投影
结晶学与矿物学
乌尔夫网(Wulff net) 乌尔夫网
• 将投影平面标上刻度 • 规定 ϕ 起始于E ρ 起始点于中心
结晶学与矿物学
晶体测角(crystal goniometry) 晶体测角
结晶学与矿物学
乌尔夫网应用举例
例一：晶面M的坐标为ρ =30º和ϕ = 40º，作M的极射赤平投影
(a)
结晶学与矿物学
面角守恒定律
• 面角守恒定律 (law of Steno): 同种晶体之间, 对应晶面间的夹角恒等。
两图中的晶面 a, b, c ? 面角 面角的表达
结晶学与矿物学
晶体的球面投影(spherical projection)
• 以晶体的中心为球心，任意长 为半径，作一球面；然后从球 心出发（注意：不是从每个晶 面本身的中心出发），引每一 晶面的法线，延长后各自交球 面于一点，这些点便是相应晶 面的球面投影点。
Planes now = points But still 3-D！
结晶学与矿物学
球面坐标
• Similar to 地球的经纬 度(计数方法有差异)
• 方位角(经度) ϕ: 0 ~ 360° • 极距角(纬度) ρ: 0 ~ 180°, 从北极开始 • 点M的坐标？
M
结晶学与矿物学
极射赤平投影
• 以赤道平面为投影 平面，以南极(S)为 视点，将球面上的 各个点线进行投影
2. 晶体的投影
• • • • 面角守恒定律 晶体的球面投影及其坐标 极射赤平投影和乌尔夫网(Wulff net) 乌尔夫网应用举例
结晶学与矿物学
晶体投影的目的
• Stereographic Projection want to represent 3-D 3crystal on 2-D paper 2-
高考化学晶体投影知识点
高考化学晶体投影知识点晶体投影是高考化学中的重要知识点之一，理解和掌握晶体投影的相关概念和方法对于解决晶体结构问题具有重要意义。
下面将介绍晶体投影的相关知识点及其应用。
一、晶体投影的定义晶体投影是指将三维晶体结构中的原子、分子或离子的投影投射在一个平面上，用二维图形来表示晶体的结构。
晶体投影可以帮助我们更清晰地观察晶体的结构，便于分析和研究晶体的性质。
二、晶体投影的方法1. 平行投影法平行投影法是一种常用的晶体投影方法，通过将所有原子在一个平面上投影，使得所有原子在投影图上的尺寸和位置与真实晶体结构一致。
可以使用线段或圆点表示原子，根据需要选择合适的比例尺和投影方向进行绘制。
2. 立体投影法立体投影法是另一种常用的晶体投影方法，它可以提供三维晶体结构的立体感。
通常使用矩形或六边形的投影图形表示晶体结构，其中不同的原子用不同的颜色或符号表示。
三、晶体投影的应用1. 晶体结构分析晶体投影可以帮助我们分析和解释晶体的结构。
通过观察晶体投影图，可以确定晶体中的基本单元和各个原子的位置关系，进而推断晶体的晶格类型、空间群和化学组成等信息。
2. 晶体性质研究晶体投影还可以用于研究晶体的物理和化学性质。
通过观察晶体投影图的形状和对称性，可以推断晶体的晶胞参数、晶体的晶系和晶体的晶体学类别，进而预测晶体的性质，如硬度、光学性质等。
3. 材料设计和合成晶体投影在材料科学和工程中有着广泛的应用。
通过研究晶体投影图，可以了解晶体的结构特征和原子排列方式，从而指导新材料的设计和合成。
四、晶体投影的难点和注意事项1. 投影方向的选择选择合适的投影方向是进行晶体投影的关键。
不同的投影方向可以呈现不同的晶体结构信息。
经验上，选择高对称轴或者对称平面作为投影方向，可以简化晶体投影图的绘制，并且更容易把握晶体的对称性。
2. 投影图的分析正确理解和分析晶体投影图对于解决晶体结构问题至关重要。
需要注意的是，晶体投影图只能提供晶体中原子位置在投影面上的信息，需要结合其它实验数据和理论知识进行综合分析。
晶体的测量与投影
晶体的测量与投影
一、面角守恒定律：
实际晶体形态〔歪晶〕：偏离理想
晶体形态。
“歪晶〞导致
同种矿物晶
体形态变化
无常，给形
态研究带来
困难。
尽管形态各不相同, 看似无规, 但对应 的晶面面角相等, 即发现“面角守恒定 律〞：
二、晶体测量： 就是测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角〔晶面法
线的夹角〕的区别！ 它们之间的关系为互补的关系。
当今，落地式铣镗床开展的最大特 点是向 高速铣 削开展 ，均为 滑枕式 (无镗 轴)结构 ，并配 备各种 不同工 艺性能 的铣头 附件。 该结构 的优点 是滑枕 的截面 大，刚 性好， 行程长 ，移动 速度快 ，便于 安装各 种功能 附件， 主要是 高速镗 、铣头 、两坐 标双摆 角铣头 等，将 落地铣 镗床的
这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。 如果A点在下半球，就与北极点N连线。
下面进行晶体的投影。
1、晶面的球面投影： 将晶面转化为球面上
的点：
晶面的方位就可用点的球 面坐标方位角与极距角 来表征。
〔相当于纬度与经度〕
重点要掌握方位角与极 距角的含义!
2、极射赤平投影： 将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体，网 格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知 道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说 明。
1、晶面的球面坐标〔方位角与极距角〕，作晶面的投影。
2、两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
即：将球面上 的点与南极点 〔或北极点〕 连线，该连线 与赤平面的交 点就是极射赤 平投影点。
一、面角守恒定律：
实际晶体形态〔歪晶〕：偏离理想
晶体形态。
“歪晶〞导致
同种矿物晶
体形态变化
无常，给形
态研究带来
困难。
尽管形态各不相同, 看似无规, 但对应 的晶面面角相等, 即发现“面角守恒定 律〞：
二、晶体测量： 就是测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角〔晶面法
线的夹角〕的区别！ 它们之间的关系为互补的关系。
当今，落地式铣镗床开展的最大特 点是向 高速铣 削开展 ，均为 滑枕式 (无镗 轴)结构 ，并配 备各种 不同工 艺性能 的铣头 附件。 该结构 的优点 是滑枕 的截面 大，刚 性好， 行程长 ，移动 速度快 ，便于 安装各 种功能 附件， 主要是 高速镗 、铣头 、两坐 标双摆 角铣头 等，将 落地铣 镗床的
这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。 如果A点在下半球，就与北极点N连线。
下面进行晶体的投影。
1、晶面的球面投影： 将晶面转化为球面上
的点：
晶面的方位就可用点的球 面坐标方位角与极距角 来表征。
〔相当于纬度与经度〕
重点要掌握方位角与极 距角的含义!
2、极射赤平投影： 将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
吴氏网是一个平面网， 但要把它看成是一个空间的球体，网 格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知 道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。
晶体的上述投影过程可借用吴氏网很方便地进行，下面举例说 明。
1、晶面的球面坐标〔方位角与极距角〕，作晶面的投影。
2、两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
即：将球面上 的点与南极点 〔或北极点〕 连线，该连线 与赤平面的交 点就是极射赤 平投影点。
06-晶体投影(结晶学与矿物学)
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
N
(a)
(b) S
第三章 晶体的测量与投影
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
N B
B
D O CD N C
A
S (a)
A
第三章 晶体的测量与投影
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
-43m
第三章 晶体的测量与投影
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
第三章 晶体的测量与投影
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
第六章. 单形与聚形
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
2＇
Z
6＇ ＇ 4＇
7＇ ＇
6＇ 7＇ 5 1 7
3
Y
3＇
5＇
X 6＇ ＇ ＇ 5-2
7＇ ＇ ＇4
6 2
L22P
5-3
对称轴和旋转反伸轴的作图符号 P29 表4-1
第六章. 单形与聚形
3-5. 晶体的对称要素和晶面投影实例
m3m
c
第三章 晶体的测量与投影
第三章 晶体的测量与投影
3.3.3 极射赤平投影 (stereographic projection)
投影基圆是投影平面
大圆: 过球心的平面，投影到基圆上是大圆弧，
小圆: 平面半径小于球的半径的平面，投影到基圆上是小 圆或小圆弧。
N A N
O
a C
B
O
S
(a)
2-8
(b)
(c)
第2章 晶体投影
§2.1 面角守恒定律 §2.2 晶体的测量 §2.3 晶体的极射赤平投影
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪 晶”。
3
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
双圈反射测角仪
投影
8
§2.4 晶体的极射赤平投影
一、极射赤平投影的原理 二、极射赤平投影的方法和步骤 三、吴氏网
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
9
一、极射赤平投影的原理
• • 取任一点O为投影中心，以一定的半径做一个球 通过球心作一个水平面，与投影球相交为一大圆，它相当于球的赤 道，称为基圆；基圆面称为赤道平面； 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；投影轴与投影球的两个交点N 和S，即投影球的北极和南极，也分别称为上目测点和下目测点。 子午面：包含投影轴的直立平面。 基本原理： 以赤道平面为投影平面，以南 极S(或北极N)作为目测点，由 S(或N)向球面上的点作直线， 连线与赤道平面的交点即为相 应点的极射赤平投影点。
举
例
立方体
三 方 柱
20
投影图的解读
四方单锥
斜方柱
四方柱 三方单锥
21
1.做立方体6个晶面的极射赤平投影
2.做八面体8个晶面的极射赤平投影
3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴
22
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0 A’
方位角在基圆上度量，
2
§2.1 面角守恒定律
成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件的影响，而 形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪 晶”。
3
4
面角守恒定律（law of constancy of angle），亦称斯丹诺定律（law Steno）:同种矿物的晶体，其对应晶面间的夹角恒等。
双圈反射测角仪
投影
8
§2.4 晶体的极射赤平投影
一、极射赤平投影的原理 二、极射赤平投影的方法和步骤 三、吴氏网
目的：将晶面在三维空间分布的规律性转化为二维平面图
9
一、极射赤平投影的原理
• • 取任一点O为投影中心，以一定的半径做一个球 通过球心作一个水平面，与投影球相交为一大圆，它相当于球的赤 道，称为基圆；基圆面称为赤道平面； 垂直于赤平面的直径NS称为投影轴；投影轴与投影球的两个交点N 和S，即投影球的北极和南极，也分别称为上目测点和下目测点。 子午面：包含投影轴的直立平面。 基本原理： 以赤道平面为投影平面，以南 极S(或北极N)作为目测点，由 S(或N)向球面上的点作直线， 连线与赤道平面的交点即为相 应点的极射赤平投影点。
举
例
立方体
三 方 柱
20
投影图的解读
四方单锥
斜方柱
四方柱 三方单锥
21
1.做立方体6个晶面的极射赤平投影
2.做八面体8个晶面的极射赤平投影
3.做菱形十二面体12个晶面的极射赤平投影
对称面？对称轴
22
在赤平投影图上,方位角() 与极距角() 怎么体现?
= 0 A’
方位角在基圆上度量，
第二章晶体的投影
ρ ϕ= 0 ϕ
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
晶体学基础-球面投影
22:14
11
晶体投影要解决的问题？ -晶向（面）间关系的表达
1.晶面的夹角
P1与P2面的夹角－－ OP1与OP2夹角φ： 过P1，P2与球心O做一大圆， P1P2的弧度。
Байду номын сангаас
22:14
13
（三）乌氏网（Wulff net)
刻度球的
极射赤平投影面 度量
22:14
15
乌氏网的应用
两极点之间角度测量
22:14
16
♣在投影图上任一个极点对应的密勒指数的确定：
一个晶面在空间的取向可以由它的法线与三个晶轴 [100]、[010]及[001]的夹角确定。
h:k:l=acosρ:bcosσ:ccosτ
注意： 量度两个极点间的角度，
是过两个极点的经线来量度。
计算机绘制任意投影面的标准极图。
22:14
17
晶体结构对称性：
材料科学基础
Fundamentals of Materials Science
晶体学基础-球面投影
22:14
0 绪论
材料科学与工艺 的基础理论
第1章 原子结构与结合键
Atomic Structure and binding bond
第2章 晶体学基础 Basis of Crystallography 第3章 晶体结构 Crystal Structure 第4章 晶体缺陷 Crystal defects 第5章 非晶体与准晶结构 Amorphous and
Quasicrystal Structure
第6章 相图 Phase Diagram 第7章 固体扩散 Solid Diffusion 第8章 凝固与结晶 Solidification and Crystallization 第9章 烧结与聚合 Sintering and Polymerization 第10章 固态 相变 Solid Phase Transformation
晶体投影
投影平面，称为投影基圆。 取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。 若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。 为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。 或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
第2章 晶体的测量与投影
规定： 规定：凡是北半球上的点 以南极为视点， 以南极为视点，而南半 球上的点则以北极为视 点，以使所有的投影点 都落在基圆内。 都落在基圆内。 球面上位于赤道上的点， 球面上位于赤道上的点， 其极射赤平投影点均落 在基圆上； 在基圆上；北（南）极 的投影点即是基圆的中 心。
北半球的点标记： 北半球的点标记： 南半球的点标记：× 南半球的点标记： 北半球的某两个点的投影位置重合时， 南、北半球的某两个点的投影位置重合时， 标记： 标记： ×
⑴掌握极射赤平投影原理 ⑵用目估方法作晶体的极射赤平投影图
一、面角守恒定律 （law of constancy of angles） ）
同种矿物的晶体， 同种矿物的晶体，其对应晶面间 的角度守恒。 的角度守恒。
歪晶——理想状态下成长的同种晶体，理论上 理想状态下成长的同种晶体， 歪晶 理想状态下成长的同种晶体 应具有完全相同的外形。但在自然界中， 应具有完全相同的外形。但在自然界中，没 有完全相同的外部条件同时存在， 有完全相同的外部条件同时存在，因此同种 晶体，由于生长条件的差异， 晶体，由于生长条件的差异，会使相同晶面 发育的形状和大小有很大差异，形成歪晶。 发育的形状和大小有很大差异，形成歪晶。
--晶体中水平晶面投影于基圆中心； 晶体中水平晶面投影于基圆中心； 晶体中水平晶面投影于基圆中心 --直立晶面投影于基圆上； 直立晶面投影于基圆上； 直立晶面投影于基圆上 --倾斜晶面投影于基圆内； 倾斜晶面投影于基圆内； 倾斜晶面投影于基圆内 --近于直立的晶面的投影靠近基圆， 近于直立的晶面的投影靠近基圆， 近于直立的晶面的投影靠近基圆 近于水平的晶面的投影靠近圆心。 近于水平的晶面的投影靠近圆心。
(3)平面的极射赤平投影 平面的极射赤平投影
结晶学及矿物学晶体测量及投影
第七页，共26页。
2.极射赤平投影
将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
即：将球面上的 点与南极点（或 北极点）连线， 该连线与赤平面 的交点就是极射 赤平投影点。
这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对 应点的分布规律。
第八页，共26页。
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
= 0
第二十二页，共26页。
不同形态的石英晶体
第二十三页，共26页。
返回
不同形态的正长石晶体
上图—体视图； 下图—剖视图
第二十四页，共26页。
返回
面角示意图
第二十五页，共26页。
返回
小圆的投影
平行小圆
第二十六页，共26页。
倾斜小圆
返回
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距
圆心的距离（h = r tan /2） 。
第九页，共26பைடு நூலகம்。
(1)晶面的极射赤平投影
规律：
晶体上水平晶面的赤平投影点位于基圆中心；
直立晶面的赤平投影点位于基圆圆周上；
倾斜晶面的赤平投影点位于基圆内，其倾斜程度愈 接近水平，其赤平投影点距基圆中心愈近，反之， 则愈靠近基圆的圆周。
链接水平大圆的投影形成基圆直立大圆的投影形成直径倾斜大圆的投影形成大圆弧直立小圆的投影形成小圆弧返回大圆返回小圆吴氏网是一个平面网但要把它看成是一个空间的球体网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角所以只要知道方位角与极距角就可以用吴氏网进行投影
一、面角守恒定律
实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。 (图) (图)
第二页，共26页。
二、晶体测量
测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹 角）的区别！它们之间的关系为互补的关系。 (图) 通常都用面角（晶面法线的夹角）。
2.极射赤平投影
将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：
即：将球面上的 点与南极点（或 北极点）连线， 该连线与赤平面 的交点就是极射 赤平投影点。
这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对 应点的分布规律。
第八页，共26页。
在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?
= 0
第二十二页，共26页。
不同形态的石英晶体
第二十三页，共26页。
返回
不同形态的正长石晶体
上图—体视图； 下图—剖视图
第二十四页，共26页。
返回
面角示意图
第二十五页，共26页。
返回
小圆的投影
平行小圆
第二十六页，共26页。
倾斜小圆
返回
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距
圆心的距离（h = r tan /2） 。
第九页，共26பைடு நூலகம்。
(1)晶面的极射赤平投影
规律：
晶体上水平晶面的赤平投影点位于基圆中心；
直立晶面的赤平投影点位于基圆圆周上；
倾斜晶面的赤平投影点位于基圆内，其倾斜程度愈 接近水平，其赤平投影点距基圆中心愈近，反之， 则愈靠近基圆的圆周。
链接水平大圆的投影形成基圆直立大圆的投影形成直径倾斜大圆的投影形成大圆弧直立小圆的投影形成小圆弧返回大圆返回小圆吴氏网是一个平面网但要把它看成是一个空间的球体网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角所以只要知道方位角与极距角就可以用吴氏网进行投影
一、面角守恒定律
实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。 (图) (图)
第二页，共26页。
二、晶体测量
测量晶面之间的夹角。 注意：晶面夹角与面角（晶面法线的夹 角）的区别！它们之间的关系为互补的关系。 (图) 通常都用面角（晶面法线的夹角）。
晶体的投影
2.2.2晶体的投影（1）极射赤平投影极射赤平投影的投影过程为先经过球面投影，再由球面投影转换到称为赤道平面的投影面上。
如图2-16所示，首先取一定点O作为投影中心，以此点为球心，以一定长为半径作一球面，称为投影球。
然后通过球心作一水平平面，称赤道面。
投影面与球相交的水平圆，称基圆或赤道。
垂直投影面过球心的直径NS称投影轴，N为北极点或上目测点，S为南极点或下目测点。
投影过程分为如下两步：①球面投影如图2-17所示，将晶体放在投影球中心，晶体中心与球心重合，自中心作每个晶面的法线，延伸与球面相交，交点称相应晶面的极点，如图中a和b两点，这些极点就是晶面在球面的投影点。
②极射赤平投影以南极S为目测点进行极射赤平投影。
由S向球面上的极点作连线，连线与赤道平面的交点即为极点的极射赤平投影点。
图2-18表示了由图2-17的球面投影到极射赤平投影的转换。
图2-19给出了它们的极射赤平投影图。
如果晶面的极点位于下半球，若以S为目测点，则晶面的极射赤平投影点将在基圆之外，在这种情况下，应以N为目测点。
为了区分上下半球的极点，上半球极点的投影用“○”表示，下半球极点的投影用“×”表示。
从图2-17和图2-19可以看出，晶体上水平晶面的投影点位于基圆的中心（晶面E、F）；直立晶面的投影点位于基圆上（晶面C、D、G、H）；倾斜晶面的投影点位于基圆内（晶面A、B），倾斜度越近水平，其投影点距基圆中心越近。
极射赤平投影在晶体学中已广泛应用于晶体的对称、晶体定向、晶面符号和晶带符号等。
图2-20是等轴晶系的六八面体晶体，其对称要素的极射赤平投影见图中所示。
（2）对称要素的极射赤平投影①对称面的投影：将对称面扩展与投影球相交，所得球面上的大圆有如下几种（图2-21（a））：水平对称面的投影与基圆重合（图2-21（b）中a）；直立对称面的投影为通过基圆中心的直线（图2-21（b）中b）；倾斜面的投影是以基圆直径为弦的大圆弧（图2-21（b）中c，只表示上半球投影）。
第三章 晶体的测量与投影
第一节
晶体测角 CRYSTAL GONIOMETRY
晶体测量的目的： 晶体测量的目的：
通过测角数据，恢复晶体晶面的空间位置， 揭示晶体几何规律。
注意： 注意：
为了测量方便， 为了测量方便，一般测定晶面的法线夹角 晶面夹角的补角），称面角。 ），称面角 （晶面夹角的补角），称面角。
面角:晶面法线之间的夹角。 面角:晶面法线之间的夹角。
1．晶体的球面坐标系
将晶体置于球面坐标系内。 将晶体置于球面坐标系内。 方位角（azimuthal angle,经度）：指包含晶面法线的 方位角 azimuthal angle 子午面与零度子午面之间的夹角，, 即φ值。 极距角（polar angle,纬度）：指北极与晶面法线之间 极距角 polar angle 的夹角，即ρ 值。 即晶面法线与球面交点的方位角Φ（经度）和极距角ρ （纬度）称为该晶面的球面坐标（spherical 球面坐标（ 球面坐标 coordinate） coordinate）。 晶面的球面坐标反映了该晶面在晶体上的空间的方位。
0°
° 30 3
30 °
0°
60
30
°
2 7 0°
21
0°
° 50 1
18 0°
12
0°
9 90°
0°
24
第五节
1
吴尔夫网简介
吴氏网成网原理
A
吴氏网极射赤平投影举例： 吴氏网极射赤平投影举例：
已知某一晶面M的球面坐标为： Φ=120° ρ=66° 已知某一晶面M的球面坐标为： Φ=120°， ρ=66°。 步骤： 步骤： 用一张透明纸蒙在吴氏网上，描出基圆、基圆中心及Φ=0 Φ=0° 1）用一张透明纸蒙在吴氏网上，描出基圆、基圆中心及Φ=0°点。 Φ=0°为起点，在基圆上顺时针方向找到并在透明纸上标出120 120° 2）以Φ=0°为起点，在基圆上顺时针方向找到并在透明纸上标出120°点。 将基圆中心与该点相连，其连线一定是球面上Φ=120 的经线的投影， Φ=120° 3）将基圆中心与该点相连，其连线一定是球面上Φ=120°的经线的投影，即晶 的投影点一定位于该半径上。 面M的投影点一定位于该半径上。 使透明纸以基圆中心旋转，至透明纸上Φ=120 Φ=120° 4）使透明纸以基圆中心旋转，至透明纸上Φ=120°点落在吴氏网的任意直径的 一端之上。此时，从基圆中心沿此直径方向向外数66 66° 即得到ρ=66 ρ=66° 一端之上。此时，从基圆中心沿此直径方向向外数66°，即得到ρ=66°同心 圆与Φ=120 半径的交点，将该点标在透明纸上便是M的赤平投影点。 Φ=120° 圆与Φ=120°半径的交点，将该点标在透明纸上便是M的赤平投影点。
《结晶学与矿物学》-第二章-五-晶体的极射赤平投影
五、晶体的极射赤平投影极射赤平投影原理：投影所借助的几何要素：投影球、投影面（赤平面）、投影轴, 北极点与南极点（目测点）。
具体投影过程为：球面上任一点A与南极点S连线，即为投影点。
此连线与投影面（赤道平面）的交点A’（示模型）这样就将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。
如果A点在下半球，就与北极点N连线。
晶体的极射赤平投影：将晶面的空间分布转化为平面上的点的分布。
1、晶体的球面投影：将各晶面转化为球面上的点：此点称晶面的球面投影点。
具体做法：从球心做每个晶面的法线，该法线与球面的交点。
晶面的方位就可用球面投影点的球面坐标方位角与极距角来表征。
（相当于纬度与经度）方位角ϕ：包含该点的子午面与0︒子午面的夹角；极距角ρ：该点与北极点的夹角。
重点要掌握方位角ϕ与极距角ρ的含义!（示模型）2、晶体的极射赤平投影：将晶面的球面投影点再转化为赤平面上的点：即：将球面上的点与南极点（或北极点）连线，该连线与赤平面的交点就是极射赤平投影点。
（示模型）这样，晶体上所有晶面的分布规律就反映在赤平面上的对应点的分布规律。
下面各点代表怎么样的晶面？在赤平投影图上, 方位角与极距角怎么体现?即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投影点距圆心的距离（h = r tan ρ/2）。
ϕ= 0ρϕA’1. 请判断下图中各点的方位角与极距角。
2. 请判断模型上的各晶面的方位角与极距角（模型示范）。
晶体投影
P
E
S A N F
如图：平面A的面痕 为EFNS，极点为P。 可 以 看 出 P 与EFNS 成90º
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表示 。图 中P1 和P2 分别为两平面的极点。大 圆ABCD和BEDF为面痕， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和P2 两极点之间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点P1 和 P2 ，如图中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶系的标准投影对所有立方晶系晶体都是相同的。
但在其他晶系中、必须考虑点阵常数对点阵面夹角的影 响，所以对某一具体晶体都具有它自己特有的极射赤面标准
投影，它们彼此之间是不能通用的。
因此，极射赤面投影多用于研究立方晶系晶体，而在其 他晶系中用的比较少。
乌式网绘图计算（投影基圆半径R=9） 角度 大圆弧半径 R/(COS(C4*PI()/180)) 5 10 15 9.034 9.139 9.317 小圆弧半径 =R/(COS(C4*PI()/180))R*tan((45-C4/2)*PI()/180) 0.787 1.587 2.412
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上 两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面， 再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度 差，即为两极点间夹角。图中极点P1与P2之间的夹角为30°。
如果球面投影上原有P1、
P2 两个极点，要确定晶 体 绕AB轴转动某个角度后极 点P1、P2的位置。
1. 球面投影
晶体的测量与投影(含实习)晶体生长简介
a1
● Φ=0°
a6
●
a2
立方体的6个晶面和
9个对称面的投影
h
35
3、吴氏网（Wulff net)
3、吴氏网：
用来进行极射赤平投影的工具。
吴氏网的组成：
基圆、直径、大圆弧、小圆弧
它们各是什么投影而成？
h
36
水平大圆的投影形成基圆， 直立大圆的投影形成直径
倾斜大圆的投影形成大圆弧
直立小圆的投影形成小圆弧
（由Burton、Cabrera、Frank三人提出）： 在晶体生长界面上螺旋位错露头点所出现的凹角及其
所延伸形成的二面凹角可作为晶体生长的台阶源，促
进光滑界面上的生长。
位错的出现，在晶体的界面上提供了一个永不消失
的台阶源。台阶以位错处为中心呈螺旋状分布，螺 旋式的台阶并不随着原子面网一层层生长而消失， 使螺旋式生长持续下去。
3）由于晶面是向外平行推移生长的，所以同种矿物不同晶 体上对应晶面间的夹角不变。——面角守恒定律。
4）晶体由小长大，许多晶面向外平行移动的轨迹形成以晶
体中心为顶点的锥状体称为生长锥或砂钟状构造（如普通 辉石的砂钟状构造）。
h
9
锆石的生长环带实例
科研成果图，2008，科学通报。
h
10
h
11
2、螺旋生长理论： BCF模型
h
37
吴氏网（Wulff net)
• 球面坐标的量角规：
基圆上的核度度量方位角φ， 直径上的核度度量极距角ρ； 大圆弧上的核度度量晶面的面角（晶面法线的夹角）。
• 吴氏网的网面相当于极射赤平投影面，目测点投影于网 的中心，圆周为投影球上的水平大园，即基圆，两条直径 相当于两个相互垂直且垂直于投影面的直立大圆的投影， 大圆弧相当于球面上倾斜大圆的投影，小圆弧相当于球面 上垂直投影面的直立小圆的投影。
晶体的投影和倒易点阵ppt课件
正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
9
二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
3
2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
23
2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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2023年10月17日1时53分
四、倒易点阵的基本性质
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
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二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
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2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
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2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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四、倒易点阵的基本性质
材料科学研究：晶体的投影与标准极图
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
标准极射赤面投影图（简称标准极图）：是以晶体的某一简单 晶面为投影面，将各晶面的球面投影再投影到此平面上去所形成的 投影图。
立方晶系中主要晶面的球面投影
立方晶系中（001）、（011）、（111）标准极图
举例
任意晶面赤面投影坐标 ：立方系（111）晶面
极点P的投影几何示意图
二 、球面投影
1.定义： 球面投影是指晶体位于投影球的球心，将其晶面和晶向以一定
的方式投影到球面上的一种方法。 注意： 1）晶体的尺寸相比于投影球可以忽略；
2）晶体的所有晶面均可认为通过球心。
2.分类：迹式和极式两种
球面投影
1）迹式球面投影
迹式球面投影是指晶体的几何要素（晶面、晶向）通过直接延
伸或扩展与投影球相交，在球面上留下的痕迹。
材料研究方法
晶体的投影与标准极图
课程内容
一
背景
二
球面投影
三 三 极射赤面投影
四 标准极射赤面投影（标准投影图或标准极图）
五
举例
一、背景
晶体中的晶面、晶向之间的三维空间关系研究困难，如通过某 种方法转变为二维面上的关系，研究就会容易得多，该法就是晶体 投影。 1、定义：
晶体投影是指将构成晶体的晶面和晶向等几何元素以一定的规 则投影到投影面上，使晶面、晶向等几何元素的空间关系转换成其 在投影面上的关系，该过程称晶体投影。（三维关系-二维关系） 2、投影面分类：有球面和赤平面两种 3、投影分类：为球面投影和极射赤面投影
P
（1）晶面迹式球面投影
M
是将晶面扩展与投影球面相交所得的交线
大圆，该大圆又称为晶面的迹线。 （2）晶向迹式球面投影
是将晶向朝某方向延长并与投影球面相交
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若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
8
2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
影）和同心圆族（纬线的投影）构成的网，此网称为极式网。 由图可以看出，相应于经线
族的放射状直径族仍将投影基圆等分成360°；相应于纬线族的同心小圆族将投影基圆的直
径等分成180°。
P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径优Q选1Q内2容和小圆S‘SS’‘上的分度测量出。
优选内容
如果球面投影上原有P1、 P2 两个极点 ，要确定晶 体 绕 AB 轴 转 动 某 个 角 度 后 极 点P1、P2的位置。
将球面经纬网与投影球 套在一起，并使晶体的转轴 AB与经纬网的NS轴重合， 找 到 P1、 P2两 极点 各自所 在的纬线，晶体绕AB轴转 动多少度，它们的极点也沿 各自的纬线往同方向转动相 同的度数。达到新的极点位 置P1‘、P2 ‘。
乌里夫网上的AB或CD以O点 为轴转动就相当于极式网上的 放射状直径，乌里夫网上的任 一点（如S点）绕O点转动就 画出了极式网上同心圆族的一 个同心圆，所以，以O点轴转 动的乌里夫网也能起极式网的 作用
17
优选内容
18
优选内容
19
极点沿垂直投影平面的小圆转动
优选内容
20
14
但是，极式网却不能测量出落在不同直径上的两个极射赤面投影点的角度
乌里夫网
在投影球面上，引出以AB为直径的大圆族和平行于CNDS的小圆族 （垂直于赤道平面），这两族曲线在投影一方面上形成 一坐标网，球面上 的点的位置也可用这种坐标网确定下来。
（经纬网是以NS为直径的大优圆选内族容和平行于赤道平面的小圆族）
或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
优选内容
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优选内容
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优选内容
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优选内容
12ห้องสมุดไป่ตู้
3. 极式网与乌里夫网
优选内容
13
极式网
γ
如果在投影球面上由每隔相等的间隔作出经线族和纬线族交织成经纬线坐标网，就可确
定出球面上某点P的球座标ρ和φ，也可定出它的经度ρ和纬度γ
4
如果晶体绕某一轴(如图中的NS)转动一周，则极点在参考球面上画
出—个圆，这个圆称为小圆。通常优不选过内容球心。
5
为测量球面上极点的位置，可以作一个类似地球仪的球面经纬线网，
它与参考球半径相同。经线是过NS极的大圆，它们把赤道分成360等份，
赤道是与NS轴垂直的大圆，纬线是与赤道平行的一系列小圆，它们将经
极点：某晶面法线与参考球的交点称为此晶面的极点 迹点：晶体中某个方向与参考球的交点称为此晶向的迹点
P
E
S
A
如图：平面A的面痕 为 EFNS ， 极 点 为 P 。 可 以 看 出 P 与 EFNS 成90º
N F
优选内容
3
优选内容
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表 示 。 图 中 P1 和 P2 分别为两平面的极点。大 圆 ABCD 和 BEDF 为 面 痕 ， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和 P2 两极 点 之 间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点 P1 和 P2 ， 如 图 中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶体投影
1. 球面投影 2. 极射赤面投影 3. 极式网与乌里夫网 4. 晶带的极射赤面投影 5. 标准投影
优选内容
1
晶体投影 将晶体多面体和晶体结构这类三维空间中的对象表
示在球面或二维空间平面上的方法。 此球面或平面称为称为投影面。 晶体结构表示在球面或平面上，晶体结构中的晶向
和晶面的对称分布情况能较清楚地显示出来，晶向间或 晶面间夹角也就较容易测量。
16
优选内容
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
优选内容
2
1. 球面投影
取一个半径极大(相对于晶体大小而言)的球作为参考球，让晶体处在参考球心，再把晶 体中的平面(晶面)或方向之间的角关系表示到参考球的球面上，这称为晶体的球面投影。 晶体中的平面可以用面痕或极点表示。
面痕：晶体的某平面从球心延展开后，与参考球球面相交得到的圆称为此晶面的面痕。 圆心在球心的圆心的圆称为大圆。
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
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2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
影）和同心圆族（纬线的投影）构成的网，此网称为极式网。 由图可以看出，相应于经线
族的放射状直径族仍将投影基圆等分成360°；相应于纬线族的同心小圆族将投影基圆的直
径等分成180°。
P点的ρ和φ可由其投影点S所在的直径优Q选1Q内2容和小圆S‘SS’‘上的分度测量出。
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如果球面投影上原有P1、 P2 两个极点 ，要确定晶 体 绕 AB 轴 转 动 某 个 角 度 后 极 点P1、P2的位置。
将球面经纬网与投影球 套在一起，并使晶体的转轴 AB与经纬网的NS轴重合， 找 到 P1、 P2两 极点 各自所 在的纬线，晶体绕AB轴转 动多少度，它们的极点也沿 各自的纬线往同方向转动相 同的度数。达到新的极点位 置P1‘、P2 ‘。
乌里夫网上的AB或CD以O点 为轴转动就相当于极式网上的 放射状直径，乌里夫网上的任 一点（如S点）绕O点转动就 画出了极式网上同心圆族的一 个同心圆，所以，以O点轴转 动的乌里夫网也能起极式网的 作用
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极点沿垂直投影平面的小圆转动
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但是，极式网却不能测量出落在不同直径上的两个极射赤面投影点的角度
乌里夫网
在投影球面上，引出以AB为直径的大圆族和平行于CNDS的小圆族 （垂直于赤道平面），这两族曲线在投影一方面上形成 一坐标网，球面上 的点的位置也可用这种坐标网确定下来。
（经纬网是以NS为直径的大优圆选内族容和平行于赤道平面的小圆族）
或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
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3. 极式网与乌里夫网
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极式网
γ
如果在投影球面上由每隔相等的间隔作出经线族和纬线族交织成经纬线坐标网，就可确
定出球面上某点P的球座标ρ和φ，也可定出它的经度ρ和纬度γ
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如果晶体绕某一轴(如图中的NS)转动一周，则极点在参考球面上画
出—个圆，这个圆称为小圆。通常优不选过内容球心。
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为测量球面上极点的位置，可以作一个类似地球仪的球面经纬线网，
它与参考球半径相同。经线是过NS极的大圆，它们把赤道分成360等份，
赤道是与NS轴垂直的大圆，纬线是与赤道平行的一系列小圆，它们将经
极点：某晶面法线与参考球的交点称为此晶面的极点 迹点：晶体中某个方向与参考球的交点称为此晶向的迹点
P
E
S
A
如图：平面A的面痕 为 EFNS ， 极 点 为 P 。 可 以 看 出 P 与 EFNS 成90º
N F
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两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表 示 。 图 中 P1 和 P2 分别为两平面的极点。大 圆 ABCD 和 BEDF 为 面 痕 ， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和 P2 两极 点 之 间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点 P1 和 P2 ， 如 图 中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶体投影
1. 球面投影 2. 极射赤面投影 3. 极式网与乌里夫网 4. 晶带的极射赤面投影 5. 标准投影
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晶体投影 将晶体多面体和晶体结构这类三维空间中的对象表
示在球面或二维空间平面上的方法。 此球面或平面称为称为投影面。 晶体结构表示在球面或平面上，晶体结构中的晶向
和晶面的对称分布情况能较清楚地显示出来，晶向间或 晶面间夹角也就较容易测量。
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图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
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1. 球面投影
取一个半径极大(相对于晶体大小而言)的球作为参考球，让晶体处在参考球心，再把晶 体中的平面(晶面)或方向之间的角关系表示到参考球的球面上，这称为晶体的球面投影。 晶体中的平面可以用面痕或极点表示。
面痕：晶体的某平面从球心延展开后，与参考球球面相交得到的圆称为此晶面的面痕。 圆心在球心的圆心的圆称为大圆。