Z变换收敛域总结及习题

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Z变换习题(1)

k k
1 2
.... ....
2 1
k
3
k
2
1
1 j
3
j
e 3,
1 j
3
j
e 3
2
2
2
2
jn
j
n
f (n) 2 u(n) e 3 u (n) e 3 u(n)
2 u ( n ) cos( n ) u ( n )
3
[ 2 cos( n )] u ( n )
3
10
z 1)( z 2
1)
1 | z | 2 | z | 1 | z | 1
8
Z反变换
解：
(1)
F(z)
z
1
2
3 3
z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
F(z) 1 z 2 z 3 z 1 3 z 2
f (n) 1 (1)n u(n) 2 2n u (n 1)
3
3
1| z|2 f (n) 是双边序列
1 ( 1 )n z n
n 2
n 2
2z 1 2z
收敛域：2z 1 即：z 1 2
极点为：z 1 零点为：z 0 2
3
Z变换
3.求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域：
x(n)
1 2
n
u(n)
解：
ZT
x(n)
x(n)zn
n
n0
1 2
n
zn
零点：
1 1 1 z1 2
11
Z反变换
7已知 X (z)
2z2 3z
,若收敛域分别为1 z 2和 2 z 3
(z 1)(z 2)(z 3)

双边z变换定义及收敛域

Rx+
n2 ≤ 0
7
(4)双边序列
n为任意值时皆有值
其z变换：X (z) = x(n)z−n + ∑x(n)z−n ∑
n=0 −1 ∞
n=−∞
前式Roc: 0 ≤ z < Rx+ 后式Roc: Rx− < z ≤ ∞
∴当Rx− ≥ Rx+时，Roc : ∅ 当Rx− < Rx+时，Roc : Rx− < z < Rx+
0
Rx −
Re[z]
n1 ≥ 0
包括z =5∞处
因果序列 • n1≥0的右边序列的右边序列 • Roc: Rx− ≤| z |≤ ∞ • 因果序列的z变换必在∞处收敛因果序列的z变换必在∞ 收敛域一定是某个圆的外部
Rx −
j Im[z]
Re[z] n1 ≥ 0
0
包括z =∞处
6
(3)左边序列
n=−∞
∞
P( z ) 令X ( z ) = Q( z)
j Im z] [
Re[z]
则X(z)的零点：使X(z)=0的点，即P( z ) = 0和当Q ( z )阶次高于P ( z )时 Q ( z ) → ∞ X(z)的极点：使X(z) → ∞的点，即Q ( z ) = 0和当P ( z )阶次高于Q ( z )时P ( z ) → ∞
2
(1)有限长序列 1)有限长序列
x(n), n ≤ n ≤ n2 1 x(n) = 其 n 他 0,
其Z变换 X (z) = ∑x(n)z−n ：
n=n1 n2
j Im[z]
Roc至为 0 < z < ∞ 少：
有限z平面有限平面

复习 z变换

总结 • 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， X(z)不能唯一地确定一个序列同时给出收敛域才能唯一确定。同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： X(z)在收敛域内解析，不能有极点，在收敛域内解析 –右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有右边序列的限极点所在圆之外 –左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有左边序列的限极点所在圆之内
一、 Z变换的定义变换的定义
双 z 换 X(z) = 边变
n= ∞ －
x(n)z−n ∑
∞
二、z变换的收敛域变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n) ，能使 X(z) = ∑ (n)z−n x
n=− ∞ ∞
收敛的所有z 值之集合为收敛域。
即足满
n=− ∞
x(n)z−n < ∞ 的域 R C 区（O ） ∑
z反变换反变换
部分分式展开法部分分式展开法
1．z变换式的一般形式．变换式的一般形式
N(z) b +b z +b z2 +L b −1zr−1 +b zr + r 2 r X(z) = = 0 1 D z) a0 +a z +a2z2 +L ak−1zk−1 +ak zk ( + k− 1
anu(n) z >a z 换基形 z变的本式 ↔ n z −a −a u(−n−1 z < a )
同理[ຫໍສະໝຸດ ]∞a−nx(n) ↔X(az)
(R

z变换的收敛域

z变换的收敛域
z变换的收敛域是指在哪些复平面上的z值，使得z变换的级数或积分收敛。

z变换的收敛域通常按照其包含在复平面第一象限
（Re(z)>0,Im(z)>0）还是全平面（包括虚轴）来分类，分别称为单边收敛和双边收敛。

对于时域信号x(n)的z变换X(z)，其收敛域的判断方法为：
1.通过分析x(n)的极限，确定z变换的极点和零点，并求出其可能的收敛域。

2.通过柯西收敛原理，判断z变换的收敛域。

3.对于一些标准的信号，比如因果序列、双边指数信号等，可以直接列出其z变换并判断收敛域。

在工程应用中，通常只需关注z变换的最小收敛域，即最小包含其所有极点的收敛域。

最小收敛域也称为“ROC”，表示因果性和稳定性的限制条件。

信号系统Z变换习题讲解

信号系统Z 变换习题讲解7-1 分别绘出下列各序列的图形。

（1）[](1/2)[]n x n u n = （2）[]2[]n x n u n = （3）[](1/2)[]n x n u n =- （4）[](2)[]n x n u n =- 解：7-2 分别绘出下列各序列的图形。

（1）[][]x n nu n =-- （2）[]2[]n x n u n -= （3）[](1/2)[]n x n u n -=- （4）[](1/2)[]n x n u n =-- 解：1234(1)01234(2)(3)[n ](2)(1)(4)7-3 分别绘出下列各序列的图形。

（1）[]sin 5n x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）[]cos 105n x n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 解：7-5 序列x [n ]如图题7-5所示，把x [n ]表示为δ[n ]的加权与延迟之线性组合。

图题7-5解： []2[3][]3[1]2[3]x n n n n n δδδδ=-+-+-+-7-7 求下列序列的z 变换X (z )，并注明收敛域，绘出X (z )的零极点图。

（1）(1/2)nu [n ] +δ [n ] （4）(1/2)n {u [n ] - u [n -8]} （5）δ [n ] -15δ [n -2]解：1011(1)()[()[][]]()[]221212111222n n n nn n n X z u n n z z n z z z z z z δδ∞∞∞---=-∞==-∞=+=+-=+=>--∑∑∑(2)∞--=-∞=--=--=--==>--∑∑718881711(4)()()([][8])()22111()()220111()22n n n nn n X z u n u n z z z z z z z zδδ∞-=-∞-=--=->∑21(5)()([][2])51105n n X z n n z z z7-8 求双边序列x [n ] =||(1/2)n 的z 变换，标明收敛域及绘出零极点图。

信号分析第六章第一节z变换及收敛域

说明:相同的z 变换,对不同的收敛域，其时域信号不同,故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
X
11
(3)双边序列的收敛
第
j Im[z]
页
x k b k k b 0
Re[ z ]
或xkb k kb k k 1
k0
k0
0b1
xk b k
bkkz
zb
zb
1
Z变换存在
离散系统的Z变换分析
连续系统的拉氏变换分析
X
4
第
第一节 Z 变换
页
一.Z变换的提出—由拉氏变换引出
连续信号等间隔采样抽样信号
x s(t) x (t)T (t) x (t) (t k)T x (k)T ( t k)T
k 0
k 0
单边拉氏变换
X s (s)
0
x(kT) (t kT)est dt
2.离散时间信号与系统
序列的变换与运算，差分方程求解,包括时域经典法和卷积和法.
X
3
第
二.变换域分析法
页
1.连续时间信号与系统：频域分析、复频域分析。微分方程转化为S(或jw）的代数方程卷积积分转换为代数乘
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为Z代数方程。卷积和转换为代数乘
bk k 1
b1 k k 1
b 1 xk b k
k
Z变换不存在
z
z b1
z b1
1
k
若0b1
1b 则RO:Cb z 1
b
b
环状区域
X
12
第
收敛域性质综述页
★因果序列的ROC为 z R1的圆外区域；

第二章Z变换例题

解：（1）对题中的差分方程两边作z变换，得
Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)
所以
H (z)
Y (z) X (z)
z 1
1 z1
z 2
(z
z a1)(z
a2 )
可求得零点为 z 0 , z
极点为 z1 a1 0.5(1 5) 1.62, z2 a2 0.5(1 5) 0.62
（1） x(n) a n , a 1
（2）（3）（4）
x(n)
1 2
n
u
n
x(n)
1 2
n
u
n
1
x(n) 1 , n 1
n
分析：Z[x(n)] x(n)zn 中，n的取值范围是 x(n) n
的有值范围，z变换的收敛域是满足
x(n)zn M 的z值范围。
n
解：
（1）由z变换的定义可知：
1 2
z
2
因而，x1(n)为n 0时有值的左边序列，x2 (n)为n 0 时
有值的右边序列。则
x1 (0)
lim
z0
X1
z
lim
z0
1 4
z
z2
0
得
x2
(0)
lim
z
X
2
(z)
lim
z
1 3
z
z
1 2
1 3
x(0)
x1(0)
x2
(0)
1 3
例5 有一信号y(n)与另两个信号 x1(n)和x2 (n) 的关系是
un
式中 a1 1.62, a2 0.62 由于H(z)的收敛域不包括单位圆，故这是个不稳定系统

2第二章-z变换

p0 p1e j p2 e j 2 pM e jM H ( e j ) d 0 d1e j d 2 e j 2 d N e jN
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽样信号的傅里叶变换。

c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2

z变换的收敛域

所谓比值判定法就是说若有一个正项级数
n=∞
∑ a ，令它的后项与前项的比值等于 ρ ，即
∞ n
an+1 lim =ρ n→∞ a n
ρ <1,级数收敛。 ρ >1,级数发散。 ρ =1,不能肯定。
2) 根值判定法
根等于 ρ 所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次所谓根值判定法，
lim n an = ρ
n=∞
x(n)zn ∑
∞
已知两序列分别为x u(n)， (n)=例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=u(- 1)，分别求它们的z变换， anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们的收敛域。的收敛域。解： X1(z) = ZT(x1(n)) = ∑an zn
n=0 ∞
ρ <1,级数收敛。 ρ >1,级数发散。 ρ =1,不能肯定。
n→∞
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题下面利用上述判定法讨论几类序列的z
三、几类序列的收敛域
有限长序列（有始有终序列） 1、有限长序列（有始有终序列）这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 (n1 ≤ n ≤ n2 ) 此 n 时z变换为 X (z) = x(n)zn n ≤n≤n
根据级数的理论，根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件，足绝对可和条件，即要求
n=∞
∑| x(n)z
∞
n
|< ∞
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 —— 法和根值判定法。法和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
n
X (z) =

第5章Z变换

第五章
基本要求
Z变换
1、深刻理解Z变换的定义，收敛域和基本性质 2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用序列的Z变换 3、深刻理解Z变换与拉普拉斯变换的关系 4、正确理解Z变换的性质的应用条件 5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数
法求Z反变换
1
第五章
5.1
5.2
Z变换
Z变换及其收敛域
Z反变换
2
5.1
Z变换及其收敛域
一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换
设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，
则
xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0

其中T为抽样时间对上式两边取拉氏变换，得到：

X S ( s) xs (t )e dt
在一个收敛半径Rx2，级数在以原点为中心、
Rx2为半径的圆内绝对收敛
综合此两项，左边序列的收敛域为
jIm[z]
0 z Rx 2
0
Re[z]
16
3、收敛域的形式
双边序列
这类序列是指当n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可看作一个左边序列和一个右边序列之和。其Z变换为

X ( z)
n
nz

n
z 2 ( z 1)
4、指数序列 a nu(n)
的Z变换
n n
z a u( n ) a u( n ) z
n n 0

(az )
n 0

1 n
当
az
1
1 ，级数收敛
1 z z a u(n ) 1 za 1 az

Z变换的定义与收敛域

c)零点、极点和增益常数表示
H ( z ) = kz
( N M )
( z z (1))( z z (2) ( z z ( M )) ( z p(1))( z p (2)) ( z p ( N ))
L
d) 2阶因子表示
H ( z) = ∏
k =1
b0 k + b1k z 1 + b2 k z 2 1 2 a0 k + a1k z + a2 k z
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) = H ( z ) z = e j
(1) m! 1 = (m 1)! ( z a) 2+ m 1
m 1
= ma ( m +1) = (k + 1) a k
z =0
k
x[k ] = (k + 1)a u[k 1]
系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和
LTI系统稳定的充要条件：
∑ k = ∞
∞
h[k ] < ∞
H(z)的收敛域包含单位圆
留数法求Z反变换留数法求反变换
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2πj
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
= ∑ Re s{ X ( z ) z k 1 } z = p

§8.3 Z变换的收敛域

n2 n n1
值,此时z变换为 X z x nz n，由于n1、 n2是有限整数，
z变换式为有限项级数。由该级数可以看出：
(1)当n10, n2 0时, X(z)除z= 、 z= 0外在z 平面上处处收敛，即收敛域为0<|z|<。 (2)当n10, n2 0时, X(z)除z= 外在z 平面上处处收敛，即收敛域为|z|<。 (3)当n10, n2>0时, X(z)除z= 0外在z 平面上处处收敛，即收敛域为|z|>0。
1 1 若该序列收敛，则要求 3z 1 即收敛域为：z 3 1 半径为的圆外 3
j Im( z )
1
3
0
Re(z )
返回
例8-3-3
0 求信号x( n) 1 n 2
n
n0 的z变换的收敛域。 n0
n n n
X (z)
x ( n) z
n
即： z lim n xn Rx1 则级数收敛，Rx1为收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。
(1)当n10时,收敛域包括z= 点，则|z|> Rx1 。(因果序列为特例)
(2)当n10,时,收敛域不包括z= 点，则Rx1<|z|<。
如因果序列：x( n) a n un 当
z b 1
z z b 1
若 0b1
1 b b
1 则ROC : b z b
例8-3-4
返回
四．总结
★x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心
的圆环；
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；
★有限长序列的ROC为整个 z 平面

第1-2章 Z变换

X ( z)
而
Cn
n
Cn z n

Rx z Rx
2 j c n 0, 1, 2,
X ( z ) z n 1dz
1
j Im[ z ]
C
其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。
Rx
Rx
0
Re[ z ]
21z变换的定义与收敛域22z反变换23z变换的基本性质和定理24序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换傅立叶变换的关系25离散系统的系统函数系统的频率响211z变换的定义对于一个序列xn它的z变换定义为其中z为一个复变量上式定义的z变换称为双边z变换或标准z变换212z变换的收敛域由于xn的z变换是一个无穷级数就必然存在收敛和发散的问题仅当级数收敛时才可将xz表示成一个闭合形式按照级数理论级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件即使上式成立的所有z值的集合称为xz的收敛域不同形式的序列其收敛域不同
k 1
k 0 k 0
求Ｚ反变换的方法通常有：围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法
1、围线积分法（留数法）
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 Rx z Rx , （Rx 0, Rx ）内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即

1/ 4
0
4 Re[ z ]
z2 例2：X ( z ) ，z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4)
j Im[ z ]
C
解：收敛域是圆的外部
x ( n )是右边序列
又 lim X ( z ) 1，
z
1/ 4
0
4