误差理论与数据处理-浙江大学-绪论
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误差理论与数据处理
湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：误差理论与数据处理课程代码：06018（理论）第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《误差理论与数据处理》课程是高等教育自学考试光机电一体化工程专业的一门沟通课程，是一门基础性很强的课程，理论严密、系统完整、逻辑性很强，也是工科学生的一门方法论课程。
没有测量就没有科学。
人类进行的科学研究和生产实践中都离不开测量，由于测量结果中存在误差是必然的和普遍的现象，误差的存在使得测量结果的可靠性和可信赖度大打折扣，甚至使测量试验结果丧失应有的意义和价值。
在当今的信息技术时代，任何科学试验和生产实践所获得的大量数据信息，必须经过合理的数据处理并给出科学的评价才有其实际价值。
《误差理论与数据处理》课程研究误差存在的一般规律、分析误差的影响因素和产生原因、减小误差对测量结果的影响、以及科学实验和工程实际中常用静态测量数据和动态测量数据的各种常用处理方法。
二、课程目标与基本要求课程目标：使学员系统地掌握误差理论与数据处理的基本概念、理论与方法，并且能够灵活进行误差分析、测量结果评价和试验数据处理，具有较强的分析问题与解决问题的能力。
基本要求：通过学习，学员应能正确理解有关测量、误差、精度、显著性检验等基本概念和它们之间的内在联系，正确理解和应用误差理论与数据处理的基本定律和公式，如：贝赛尔公式、随机误差标准差合成公式、随机误差极限差合成公式、最小二乘法原理、正归方程、回归方程等，能运用所学知识正确确定测量方案并解决一些简单的误差合成与分配问题。
三、与本专业其它课程的关系本课程的先修课程主要有：高等数学、概率论与数理统计、大学物理、矩阵代数、检测理论、工程测试技术、过程控制与自动化仪表、信号与系统等。
本课程的重点内容包括：误差的基本性质与误差处理、误差的合成与分配、测量不确定度、线性参数的最小二乘估计、回归分析、动态测试数据处理基本方法、动态测量误差及其评定等。
学好本课程，将为本专业后续专业课程的学习打下基础。
误差理论与数据处理
服从正态分布的随机误差具有以下特征：
①单峰性。绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大。
②对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。
③有界性。绝对值很大的误差出现的概率很小，甚至趋近于零。
④抵偿性。随机误差的算术平均值随着测量次数的增加而越来越趋于零，即
1
lim n n
n
xi
i 1
计分布规律，可以用统计学方法估算随机误差。
3．异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有 3 准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
统计理论表明，测量值的偏差超过 3 的概率已小于 1%。因此，可以认为偏差超过 3
的测量值是由于其它因素（实验装置故障、测量条件的意外变化、较强的外界干扰）或过
失造成的异常数据，应当剔除。方法是用偏差 xi
Sx
(xi x)2 n 1
(7)
S x 的统计意义： S x 小，说明随机误差的分布范围窄，小误差占优势，各测量值的离 散性小，重复性好。反之， S x 大，各测量值的离散性大，重复性差。
一般情况下，在多次测量后，是以算术平均值表达测量结果的，而算术平均值本身也
是随机量，也有一定的分散性，可用平均值的标准偏差 S 来表征这一分散性： x
不确定度（Uncertainty）是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，用
符号U 表示。通过不确定度可以对被测量的真值所处的量值范围做出评定，而被测量的真
值将以一定的概率（例对于标准不确定度 P=68.3%）落在这个范围内；同时不确定度大小 反映了测量结果可信程度的高低，不确定度越小，测量结果与被测量的真值越接近。
为了能更直观地反映测量结果的优劣，需要引入相对不确定度 E ，即
(实验数据)3.误差理论和数据处理
对于n个测量数据，样本的平均偏差为
d d1 d 2 d n n
在正态分布下
0.8s
这样就有
3s 4
缺点：由于 d 所以替代会产生误差。 优点：4 d 法比较简便，不用查表。 用4d法判定异常值时： （1）先将可疑异常值除去后，计算其余（n－1） 个测量值的平均值及平均偏差 d 。 （2）如果可疑异常值χ与 x 之差的绝对值不小 于4 d ，即 x x 4d 则该值为异常值应舍去，否则为正常值应保留。
3.4 测量数据的合理性检验
虽然从理论上讲，测量中的系统误差、随 机误差与过失误差性质各异不难分辨。但 在实际过程中，这几种误差总是纠缠在一 起而难以区分。实验数据的合理性检验就 是利用数理统计方法对误差进行分析，从 而正确地评价测量数据，并对如何有效改 进实验提供有用的信息。
3.4.1 可疑值检验
用Excel制作频数分布表和直方图
输入数据
对数据进行分组，得到分组结果
调出数据分析工具
工具菜单
加载宏
分析工具库
原始数据+分组结果：
原始数据+分组结果：
工具菜单 数据分析 直方图
输入相关数据项目
得到频数分布表和简易直方图
对直方图进行修饰
频率
10 15 20 25 30 0 1 2 14 19 直方图 26 15 12 7 3 1 0
在作直方图时，要注意分组问题。组数的多少 往往影响直方图反映数据分布的效应。 如果组数过多，每组所占的区间就很狭窄，这 不仅造成计算上的麻烦，而且也有可能因随机 因素导致某组内数据稀少，甚至没有； 如果组数过少，那么落在每组内的数据就较多， 从而掩盖了组内数据变化的情况。在实际应用 中，一般当数据多于100个时，宜分为10~20 组，当数据少于50个时，分为5~6组为宜。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差理论与数据处理课件第01章绪论
1-1
误差理论与数据处理
修正值
修正值(correction) 与误差绝对值相等、符号相反 的值，一般用c表示。
c x x0 x
在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公 式的形式给出。 在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储 在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。 修正结果（correction result）是将测得值加 上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。
由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的 准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常 值）予以剔除。具体见第四章。
1-22
误差理论与数据处理
三类误差的关系及其对测得值的影响
系统误差和随机误差 的定义是科学严谨， 不能混淆的。但在测 量实践中，由于误差 划分的人为性和条件 性，使得他们并不是 一成不变的，在一定 条件下可以相互转化。 也就是说一个具体误 差究竟属于哪一类， 应根据所考察的实际 _ 3 问题和具体条件，经 分析和实验后确定。 标准差
1-12
误差理论与数据处理
二、误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
主要来源
测量设 备误差
测量方 法误差
测量环 境误差
测量人 员误差
1-13
误差理论与数据处理
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。
1-11
xm 1 100% 100% 1% x1 100
误差理论与数据处理
第一章误差理论与数据处理
➢ “现代科学的进步越来越依靠尖端仪器的发展”
➢ 近80年来，与科学仪器密切相关的诺贝尔奖获得 者达38人
• 工业、国防
6
二、测量的基本概念
定义：确定被测对象的属性和量值为目的的全部操作
被测对象：宇宙万物（固液气体、动物、植物、天体 ……） 被测信息：物理量（光、电、力、热、磁、声、…）
化学量（PH、成份…） 生物量（酶、葡萄糖、…） …… 全部操作： 检测器具：传感器、检测仪器、检测装置、检测系统 检测过程：信号采集、信号处理、信号显示、信号输出
Mole摩尔
mol
- in terms of the value of the Avogadro constant
NA，由阿夫伽德罗常数NA的值导出
Candela坎德拉 cd
- in terms of the intensity of a specified source 特 定光源的强度
张钟华，香山会议报告，2008.10
- in terms of the value of the Planck constant h，
由普朗克常数h的值导出
- in terms of the value of the elementary charge e，由基本电荷e的值导出
Kelvin开尔文 K
- in terms of the value of the Boltzman constant k，由波尔兹曼常数k的值导出
中间变换 测量装置
显示及 记录装置
实验结果 处理装置
8
四、测量方法分类
• 1. 直接测量 （绝对测量、相对测量） 间接测量
• 2. 开环测量与闭环测量 • 3. 偏差法、零位法、微差法
➢ 近80年来，与科学仪器密切相关的诺贝尔奖获得 者达38人
• 工业、国防
6
二、测量的基本概念
定义：确定被测对象的属性和量值为目的的全部操作
被测对象：宇宙万物（固液气体、动物、植物、天体 ……） 被测信息：物理量（光、电、力、热、磁、声、…）
化学量（PH、成份…） 生物量（酶、葡萄糖、…） …… 全部操作： 检测器具：传感器、检测仪器、检测装置、检测系统 检测过程：信号采集、信号处理、信号显示、信号输出
Mole摩尔
mol
- in terms of the value of the Avogadro constant
NA，由阿夫伽德罗常数NA的值导出
Candela坎德拉 cd
- in terms of the intensity of a specified source 特 定光源的强度
张钟华，香山会议报告，2008.10
- in terms of the value of the Planck constant h，
由普朗克常数h的值导出
- in terms of the value of the elementary charge e，由基本电荷e的值导出
Kelvin开尔文 K
- in terms of the value of the Boltzman constant k，由波尔兹曼常数k的值导出
中间变换 测量装置
显示及 记录装置
实验结果 处理装置
8
四、测量方法分类
• 1. 直接测量 （绝对测量、相对测量） 间接测量
• 2. 开环测量与闭环测量 • 3. 偏差法、零位法、微差法
浙江大学分析化学 2.误差及分析数据的统计处理
系统误差产生的原因
a.方法误差—— 选择的方法不够完善 例： 重量分析中沉淀的溶解损失； 滴定分析中指示剂选择不当。 b.仪器误差——仪器本身的缺陷 例： 天平两臂不等，砝码未校正； 滴定管，容量瓶未校正。
系统误差产生的原因:
c.试剂误差—— 所用试剂有杂质 例：去离子水不合格； 试剂纯度不够（含待测 组份或干扰离子）。 d.主观误差—— 操作人员主观因素造成 例：对指示剂颜色辨别偏深 或偏浅；滴定管读数不准。
如何判断是否存在系统误差
• 对照试验(标准试样,标准物质) • 加入回收实验 在没有标准样品可 供分析的情况下，人们可采用加入 回收实验检查方法的准确度。 • 回收率= (X2-X1)/X加入 • X1_ 加入前测定值__ • X2 加入后测定值 • X加入加入量
取5mL水样在10mL容量瓶中用水稀释至刻度后， 用滴定法测得铜离子为100 mmol/L 3; 另取5 mL 相同的水样,加入10mL容量瓶中后, 再加入1ml 浓 度为1mol/L的铜离子标准溶液后,用水稀释至刻度, 用滴定法测得铜离子含量为191 mmol/L, 求回收 率.
-1 U 1
-2 U 2
测定值的置信区间
u =（ x- ）/ u =±1 x=± 68.3% u=±2 x=±2 95.5% u=±3 x=±3 99.7
置信度表示测定值落在某 一定范围内的概率。 例如:在u分别为1,2,3时，测 定值落在（μ ± u ）范围 (置信范围) 内的概率分别为 68.3, 95.5和99.7%
平均偏差（d） =(0.1+0.1+0+0.1+0.1)/5=0.08 乙组 平均值=3.0 d1=-0.2, d2=0, d3=0, d4=0, d5=0.2 平均偏差（d） =(0.2+0+0+0+0.2)/5=0.08
《误差分析与处理》第一章 绪论
1-27
误差理论与数据处理 第一章 概述 引用误差（fiducial error of a measuring instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
二、测量的分类
测量
非 等 权 测 量 非 电 量 测 量
直 接 测 量
间 接 测 量
静 态 测 量
动 态 测 量
等 权 测 量
电 量 测 量
精 密 测 量
工 程 测 量
1-11
误差理论与数据处理 第一章 概述
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过 量值的变换与计算。
(0.5 10l / m)μm =0.0006m，但用来测量 1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。
前者的相对误差为 r1 / l 0.6 106 / 0.01 0.6 104 后者的相对误差为 r2 / l 10.5106 /1 1.1105 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类
静态测量
指在测量过程中被测量可以认为 是固定不变的。因此，不需要考虑 时间因素对测量的影响
在日常测量中，大 多接触的是静态测 量。对于这种测量， 被测量和测量误差 可以当作一种随机 变量来处理
动态测量
指被测量在测量期间随时间（或 其他影响量）发生变化
误差理论与数据处理 第一章 概述 引用误差（fiducial error of a measuring instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
二、测量的分类
测量
非 等 权 测 量 非 电 量 测 量
直 接 测 量
间 接 测 量
静 态 测 量
动 态 测 量
等 权 测 量
电 量 测 量
精 密 测 量
工 程 测 量
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误差理论与数据处理 第一章 概述
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过 量值的变换与计算。
(0.5 10l / m)μm =0.0006m，但用来测量 1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。
前者的相对误差为 r1 / l 0.6 106 / 0.01 0.6 104 后者的相对误差为 r2 / l 10.5106 /1 1.1105 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类
静态测量
指在测量过程中被测量可以认为 是固定不变的。因此，不需要考虑 时间因素对测量的影响
在日常测量中，大 多接触的是静态测 量。对于这种测量， 被测量和测量误差 可以当作一种随机 变量来处理
动态测量
指被测量在测量期间随时间（或 其他影响量）发生变化
误差理论与数据处理-绪论
《误差理论与数据处理》
第23页
一、误差的定义及表示法
测量误差 被测量真值
式中：L —— 实际测得的数值； L0 —— 被测量的真值； ΔL —— 测量误差。
被测量真值是未知的理想概念，因此测量误差也是 一个理想概念，一般情况下测量误差是不可能得知的。
因为误差始终存在于一切观测实验之中，任何测量 都不可避免地存在着测量误差。
第5页
教学进度安排
课次 1 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
主要内容 概述，测量与误差的基本概念，有效数字与数据运算 误差理论的数学基础－概率统计基础知识 随机误差。产生原因、分布 系统误差及粗大误差，产生的原因、特征与发现，系统误差的减小与消除 非等精度测量，“权”，误差的传递、合成与分配
、新设备的产生。
《误差理论与数据处理》
第19页
误差理论与数据处理与理工科学生的关系
• 国际上于1993年制订出了《测量不确定度表达指南》 (GUM)（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement )，1995年又作了修订。
• 我国于1999年1月批准发布了《测量不确定度评定与表 示》（JJF1059－1999 ），1999年5月1日起实施。
《误差理论与数据处理》
第8页
第一章 概 论
第一节 第二节 第三节 第四节
实验、测量 与 误差理论 误差的基本概念 误差的分类 有效数字与数据运算
《误差理论与数据处理》
第9页
第一节 实验、测量 与 误差理论
实验
人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的 各种现象进行研究，各个学科所研究的科学领域不同，但各 个学科有一个共同点,即：
误差理论与数据处理课件(全)
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
（四）复杂规律变化的系统误差
（一）实验对比法 （二）残余误差观测法
（五）计算数据比较法
（一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1。替代法 2。抵消发 3。交换法
一、粗大误差产生的原因 （1）测量人员的主观原因 （2）客观外界条件的原因
第一节：研究误差的意义 1、始终存在着误差 意义：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生 的原因，以消除和减少误差。
2）正确处理测量和实验数据 3）正确组织实验过程
由于误差的存在，使测量数据之间产生矛 盾。
( )实际 180
( )理论 180
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1 diag( 1 , 1 1 )
a11 a22 ann
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵 的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
第1章误差理论与数据处理绪论
5．重复性 和 再现性
• 重复性——测量结果的重复性是指用同一种方法、同
一仪器(或量具)，同一观察者在相同的环境条件下， 在短时间内，对同一特定的待测量进行连续地多次测 量结果之间的一致程度。
• 再现性—— 测量结果的再现性是指用不同的方法、
不同的仪器(或量具)，或在不同的环境条件下比单次 测量长的时间内，对同一特定的待测量进行多次测量 结果之间的一致程度。
误差理论与数据处理
主讲： 任传胜 副教授
E-mail: rencs@
课 程 简 介
• 1.课程的性质、目的与任务
• 本课程是机械设计制造及其自动化和测控技术与 仪器专业的重要专业基础课。通过本课程的学习，使 学生掌握测量数据处理的基本方法。了解研究误差的 意义、随机误差、系统误差和粗大误差产生的原因、 特征、判断和处理方法，误差的合成与分配，线性参 数的最小二乘法处理等内容。
3.主要内容及学时分配——第一单元
• 第一单元 绪论（学时数：3学时） • 学习目的和要求： • 本单元首先介绍了研究误差的意义，误差的 基本概念，精度，有效数字与其基本概念。 • 重点和难点： • 误差的基本概念，研究误差的意义。
3.主要内容及学时分配—第二单元
• 第二单元 误差的基本性质与处理 • （学时数：12学时） • 学习目的和要求： • 本单元是误差理论最重要的基础内容之一，也 是正确分析误差的前提。主要介绍了随机误差、 系统误差、粗大误差的基本性质、产生原因、处 理方法。通过对本单元学习，应熟悉各种误差的 概念；了解各类误差产生的原因；熟悉测量结果 的数据处理方法。 • 重点和难点： • 粗大误差的基本性质；产生原因；处理方法。
2．测量的分类
• 根据测量条件划分 • （1）等精度测量 在相同的测量精度条件下(同一测 量水平的观测者、同一精度的测量仪器、同样环境条 件、同样实验方法等)对同一待测量所做的重复性测量， 称为等精度测量。 • （2）非等精度测量 在不同的测量精度条件下 (不同测量水平的观测者、不同精度的仪器、不同方法、 不同环境等)对同一待测量所做的测量，称为非等精度 测量。
误差理论与数据处理知识总结
第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
误差理论与数据处理总结
定义：
2
2 1 2
n
2
n
i 1
n
2 i
当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称 t 分 布计算。即
第二节系统误差 一、系统误差产生的原因 （1 ）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆 测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的 不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪 器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径 偏差。 （ 2 ）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏 差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等 （3 ）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算 公式等所引起的误差； （4 ）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读 出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时 总有一个滞后的倾向等。 二、系统误差的特征 系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变 化。 (a) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 （1）不变系统误差（2）线性变化的系统误差： （3）周期性变化 的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差 三、系统误差的发现 （一）实验对比法（适用于不变的系统误差） ： （二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差） ：P36 Vi li x 结论；任一测量值的残差为系统误差与测量 列系统系统误差平均值之差 (无法发现不变系统误差) （三）残差校核法： 1、用于发现线性系统误差。 （马利科夫准则） 将测量列中前 K 个残差相加，后 n-K 个残差相加（当 n 为
n
lim x ta x
（式中 t a —置信系数，由给定的置信概率 P 1 a 和自由度
误差理论及数据处理
③培养和提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联 系实际和事实求是的科学作风，严肃认真的工作态度，勇于探 索、坚忍不拔的钻研精神以及遵守纪律、团结协作、爱护公物 的优良品德。
实验前认真预习
首先，在实验前，大家应该仔细阅读实验讲义和有关资 料，弄清实验目的和实验原理，搞清楚本次实验要测量什么 量，使用什么方法，需要那些仪器，主要的操作步骤及注意 事项。然后在此基础上写好预习报告。
绪 论 实验误差及数据处理
康
耘
2012.03.-2012.12
绪
论
物理学是一门实验科学。物理概念的确定,物理规律
的发现、建立和检验，都是通过实验结果概括出来的。因
此，从古至今物理实验在物理学的创立和发展上都占有十 分重要的地位。物理学作为许多应用科学的基础，在科技 发展中的重要作用益加凸现。而物理实验在物理学的建立 和发展中一直起着重要的作用。
在实验中可能遇到一些问题，这是大家应看作是学习的良 机，要冷静地分析和处理之，如果自己不能解决，可请教指导 教师或与其讨论。对待实验数据要严肃认真、一丝不苟，要用 钢笔或圆珠笔记录好原始数据，做到准确、清楚、有次序，做 完实验后，要将实验数据交指导教师检查，得到认可后，再将 仪器整理复原，方可离开实验室。
第 二 节
系统误差及修正
系统误差的特征是具有确定的规律性，原则上讲可以消除，但不能通 过多次重复测量来减小或消除，因此，系统误差的处理较为复杂。他要求 实验者既要有较好的理论基础，又要有丰富实践经验。所以对系统误差修 正只作原则性介绍。
一.系统误差的发现
(1)实验对比，就是用不同的测量原理、方法和仪器来测量同一物理量， 改变某项实验条件、实验参数等进行对比。分析这些实验结果有无明显差 异，来判断是否存在系统误差。 (2)理论分析，分析实验所依据的理论公式要求的条件与实际情况有无 差异，分析仪器所要求的使用条件是否满足等。理论分析是研究系统误差 的重要方法，但是要分析恰当。 (3)数据分析，因为随机误差服从一定的统计分布规律，如果所测数据 不遵从这种规律，则说明存在系统误差。如果按测量次序记录的数据具有 单向或周期性变化特征，说明存在固定的或周期性的系统误差。
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重点与难点
误差定义及表达形式 测量误差来源的分析 测量误差按误差性质的分类处理 有效数字定义及选取
第一节 研究误差的意义
门捷列夫 (1834-1907)
科学始于测量 ， 没有测量，便没有精 密的科学。
门捷列夫
第一节 研究误差的意义
开尔文（1824-1907）
我常说的一句话是： 当你能够测量你所关注的事物， 而且能够用数量来描述他的时候， 你就对其有所认识；当你不能测 量他，也不能将其量化的时候， 你对他的了解就是贫乏和不深入 的。 开尔文
一、误差的定义及表示法
引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
出版社，第2版，2014
2. 费业泰。《误差理论与数据处理》。机械工业出
版社，第6版，2013
3. 秦岚。《误差理论与数据处理习题集与典型题
解》。机械工业出版社，第1版，2013
课外参考书
董大均。《误差分析与数据处理》。清华大学出版社，第1版，2013 杨旭武。《实验误差原理与数据处理》。科学出版社，第1版，2009 马宏，王金波。《仪器精度理论》。北京航空航天大学出版社，第1版，2014 毛英泰。《误差理论与精度分析》。国防工业出版社，第1版，1982 熊有伦。《精密测量中的数学方法》。中国计量出版社，第1板，1989 谭久彬。《精密测量中的误差补偿方法》。哈尔滨工业大学出版社，第1版，1995 宋俊峰。《怎样减少测量误差》。机械工业出版社，1984 罗马诺夫著，李青岳等译。《误差理论与最小二乘法》。高等教育出版社，第1版，1955 赵长胜。《测量数据处理研究》。测绘出版社，第1版，2013 邓勃。《分析测量数据的统计处理方法》。清华大学出版社，第1版，1995 石振东，刘国庆。《实验数据处理与曲线拟合技术》。哈尔滨船舶工程学院出版社，第1 版，1991 12. Philip R.Bevington，D.Keith Robinson著，夏元复，何云译。《物理科学中的数据处理 和误差分析》。广西师范大学出版社。第1版，2006 13. 沈云中，陶本藻。《实用测量数据处理方法》。测绘出版社，第2版，2012 14. 李建章等。《测量数据处理程序设计》。国防工业出版社，第1版，2012 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
误差理论的重要作用
测量最后一级运载火箭的速度如有 2/1000 的相对 误差，则卫星就会偏离预定轨道 100 公里，真可
谓“失之毫厘，谬以千里”。
北京市的中轴线偏离子午线两度十几分，带来的 问题是33代皇帝的龙椅坐歪了？是测量水平的限 制，还是其他的原因？
误差理论的发展简史
高斯 阐述最小二乘 法原理 奠定了数据处 理理论基础
亦 称
是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋 予特定量的值。这个术语在计量学中常用。
当今保存在国 际计量局的铂 铱合金千克原 器的最小不确 定度为0.004mg
指定值、最佳 估计值、约定 值或参考值
由国家建立的实物标准 （或基准）所指定的千 克副原器质量的约定真 值为1kg，其复现的不确 定度为0.008mg。
高尔顿 皮尔逊
个子高的父亲确有生出个子高的儿子的 倾向，同样地，个子低的父亲确有生出 个子低的儿子的倾向 高的伸了天？低的入了地？ 儿子们的身高回复于全体男子的平均身
高，即“回归”
误差理论的发展-现代误差理论
将静态测量误差与动态测量误差、系统误差和随机 误差、测量数据与测量系统、不同误差分布等融为 一体，以常见误差源的误差性质及其分布为研究基 础，以测量不确定度的原理及应用、动态测量不确 定度的分析与评定等为主要研究内容，以紧密结合 工程测量与仪器制造技术的误差修正与补偿技术为 研究热点口。在理论上突破了以统计学理论为基础 的传统研究方法，在实践上力求统一、实用、可靠 的评定准则和方法，在水平上实现了误差理论与计 算机应用技术、近代数学物理方法、测量和计量实 践，以及与标准化等紧密结合。
一、误差的定义及表示法 误差（Error）：
误差
＝
测得值
－
真值
真值（True Value）： 观测一个量时，该量本 身所具有的真实大小。
分类： 理论值 约定真值
三角形内角之 和恒为180º 一个整圆周角 为360º 国际千克基准
1Kg
一、误差的定义及表示法
约定真值(Conventional True Value）
1953~
现代误差理论
1794 最小二乘法
1632
“误差”概念
勒让德 在著作《决定 彗星轨道的新 方法》中用最 小二乘法处理 观察结果。
Y.Beers 误差理论导引 马利科夫 首次使用不确定 计量学基础 全面、系统地 度的术语 介绍误差理论， Eisenhart (1963) 是经典误差理 提出定量评价的 建议 论的总结
长的工件，其绝对误差为0.0105m。 前者的相对误差为 r1 / l 0.6 10 6 / 0.01 0.6 10 4 后者的相对误差为 r2 / l 10.5 10 6 /1 1.110 5 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
1730年，狄莫弗最早发现正态分布，1780年拉普拉斯发现
拉普拉斯 1780 高斯 1809
了中心极限定理，但均没有和误差理论结合起来！
误差理论的发展-最小二乘
欧拉：n=75，k=8的方程组求解
拉普拉斯：n=24，k=4的方程组求解
欧拉 1749 拉普拉斯 1787
通用方法：分成k组，可求唯一解，但如何分组？ 勒让德：1792年开始求解巴黎子午线长度，遇到了矛盾方 程组的问题
r
L
L0
绝对误差 被测量的真值，常用约定 真值代替，也可以近似用 测量值 L 来代替 L0 相对误差
特点：
1） 相对误差有大小和符号。 2） 无量纲，一般用百分数来表示。
一、误差的定义及表示法 绝对误差和相对误差的比较
用1μm测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差
(0.5 10l / m)μm =0.0006m，但用来测量1m
号及单位的量。 2) 单位给出了被测量的量纲，其单位与 测得值相同。
一、误差的定义及表示法
修正值(Correction) : 为了消除固定的系统误差用 代数法而加到测量结果上的值。 修正值
真值 － － 误差
测得值
特点： 1) 与误差大小近似相等，但方向相反。
2) 修正值本身还有误差。
一、误差的定义及表示法 【例1-1】
误差理论与数据处理
俞建杰 生仪学院 yjjhit@
教学目标
通过本课程的学习，掌握误差的基本 概念和误差分析的基本步骤，理解被测对 象、测试仪器精度、测试数据和测试误差 的关系，学会分析误差的来源并评估精度， 学会分析和处理实测数据的基本方法。
主要参考书
1. 钱 政， 贾 果欣。《 误差理 论 与数据 处 理》。科学
国内误差理论的发展
解放后受原苏联影响很大
国内开设误差理论课程的学校
一、武汉大学、 二、解放军信息工程大学
三、中国矿业大学
四、同济大学 五、中南大学 六、中国地质大学 七、西安交通大学
八、辽宁工程技术大学
九、北京建筑工程学院 十、河海大学
第二节 误差的基本概念
这一节将介绍测量误差的基本概念，如测量 误差的定义、分类、误差的来源等。通过这些内 容的学习，可以让读者对测量误差有个全面的了 解。
误差是针对真值而言的，真值一般都是 指约定真值。
一、误差的定义及表示法
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 误差
粗大 误差
一、误差的定义及表示法
绝对误差（Absolute Error）
绝对误差
＝
测得值
－
真值
测得值
绝对误差
L＝L－L0
被测量的真值，常 用约定真值代替
特点： 1) 绝对误差是一个具有确定的大小、符
为了纪念他在科学上的功绩，国际计量 大会把热力学温标（即绝对温标）称为 开尔文（开氏）温标，热力学温度以开 尔文为单位，是现在国际单位制中七个 基本单位之一。
第一节 研究误差的意义
钱学森(1911-2009 )
信息技术包括测量 技术、计算机技术 和通信技术，测量 技术是信息技术的 关键和基础。
钱学森
经典误差理论萌芽期
经典误差理论成熟期 现代误差理论形成和发展期
误差理论的发展-误差分布理论
经典误差理论
误差概念 误差分布 误差分类 合成分配
1）观测必然有误差，误差对称分布，小误差出现的频率高 2）正、负误差发生的几率相等，算术平均值的误差小于单 个测量误差，且误差随着观测次数增加而减小
伽利略 1632 辛普森 1755
第一节 研究误差的意义
王大珩(1915-2011 )
仪器仪表是工业生产 的“倍增器”，是高 新技术和科研的“催 化剂”，在军事上体 现的是“战斗力”。
王大珩等
第一节 研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析误差产生的原因 从根本上，消除或减小误差 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果 通过计算得到更接近真值的数据 正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法 根据目标确定最佳系统
误差理论的重要作用
惰性气体的发现者，1904年获诺贝尔物理奖 引导了电阻、电流和电动势等标准的建立 提出了瑞利散射定律，回答了天空为什么总是蓝的 提出光学仪器分辨率的概念，奠定了光谱仪的研制基础
瑞利
1882年，在测定氮气的密度时，发现从大气中分离出的 氮的密度为 1.2979/L，而用化学方法提取的氮的密度与此相 差0.0067左右。分析结果表明，空气中分离的氮含有其他成 分，由此导致了后来雷塞姆发现了空气中的惰性气体一氩。