2005年数学及详细解析(江苏卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- （3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为 （A）)33B π++ （B）)36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016（8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β；③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80（10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79 （11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2005年江苏省南通市中考数学试卷(课标卷)
2005年江苏省南通市中考数学试卷（课标卷）一、选择题（共12小题，满分28分）1．（2分）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（2分）计算a3÷a，结果是（）A．a B．a2C．a3D．a43．（2分）下列角度中，是多边形内角和的只有（）A．270°B．560°C．630°D．1800°4．（2分）下列事件中，是确定事件的是（）A．明年元旦海门会下雨B．成人会骑摩托车C．地球总是绕着太阳转D．去北京要乘火车5．（2分）“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（）A．B．C．D．＜的解集在数轴上表示正确的是（）6．（2分）不等式组：A．B．C．D．7．（2分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm8．（2分）已知△ABC的三边长分别为：6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm 9．（3分）如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD＝13cm，cos B，则AC的长等于（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm10．（3分）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，2b）B．（﹣2a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）11．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4B．﹣1＜x＜3C．x＜﹣1或x＞4D．x＜﹣1或x＞312．（3分）用3根火柴棒最多能拼出（）A．4个直角B．8个直角C．12个直角D．16个直角二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）103 000用科学记数法表示为．14．（3分）若x：y＝1：2，则．15．（3分）若两圆外切，圆心距为8cm，一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为cm．16．（3分）计算：．17．（3分）已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为cm2（结果保留π）．18．（3分）如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（10分）（1）计算；（2）计算．20．（7分）解方程．21．（7分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝600m，EF＝100m，求这段弯路的半径．22．（7分）海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被多少条？23．（8分）已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．（1）当n＝5时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为；（2）当n＝k时，共向外作出了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为（用含k的式子表示）．24．（8分）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：得分多者胜，则游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？25．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD＝4cm，AB＝8cm，求CF的长．26．（9分）某同学根据2004年江苏省内五个城市商品房销售均价（即销售平均价）的数据，绘制了如下统计图：（1）这五个城市2004年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？（2）若2002年A城市的商品房销售均价为1600元/平方米，试估计A城市从2002年到2004年商品房销售均价的年平均增长率约是多少？（要求误差小于1%）27．（9分）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算从计算结果看，你有何感想？（不超过30字）28．（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣10，0），B（﹣8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△P AB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m （m＞0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求周长L与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．2005年江苏省南通市中考数学试卷（课标卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，满分28分）1．（2分）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵﹣2×（）＝1，∴﹣2的倒数是．故选：D．2．（2分）计算a3÷a，结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【解答】解：a3÷a＝a2．故选：B．3．（2分）下列角度中，是多边形内角和的只有（）A．270°B．560°C．630°D．1800°【解答】解：因为在这四个选项中是180的整数倍的只有1800度，故选D．4．（2分）下列事件中，是确定事件的是（）A．明年元旦海门会下雨B．成人会骑摩托车C．地球总是绕着太阳转D．去北京要乘火车【解答】解：A、随机事件；B、随机事件；C、必然事件，即确定事件；D、随机事件．故选：C．5．（2分）“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（）A．B．C．D．【解答】解：“圆柱与球的组合体”的三视图依次为长方形的上边有一个圆，长方形的上边有一个圆，圆环，故选A．＜的解集在数轴上表示正确的是（）6．（2分）不等式组：A．B．C．D．＜，【解答】解：解不等式组得再分别表示在数轴上，如图：故选：B．7．（2分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE．∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．又∵BC＝8，∴AC＝10（cm）．故选：C．8．（2分）已知△ABC的三边长分别为：6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm【解答】解：设△DEF的另两边为xcm，ycm，若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，则：，解得：x＝5，y＝6；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，则：，解得：x＝3.2，y＝4.8；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，则：，解得：x，y；故选：C．9．（3分）如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD＝13cm，cos B，则AC的长等于（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm【解答】解：由圆周角定理知，∠D＝∠B，∴cos D＝cos B CD：AD．又∵AD＝13，∴CD＝5．在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC＝12．故选：D．10．（3分）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，2b）B．（﹣2a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）【解答】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2∴对应点是（﹣2a，﹣2b）故选：B．11．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4B．﹣1＜x＜3C．x＜﹣1或x＞4D．x＜﹣1或x＞3【解答】解：因为抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（﹣1，0）；根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），因为抛物线开口向上，当y＜0时，﹣1＜x＜3．故选：B．12．（3分）用3根火柴棒最多能拼出（）A．4个直角B．8个直角C．12个直角D．16个直角【解答】解：如图所示，当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时（是立体图形）图中说的是AB，CD，EF三条火柴棒，可构成12个直角（∠AOC，∠BOC，∠COE，∠COF，∠AOD，∠BOD，∠DOF，∠DOE，∠AOF，∠BOF，∠AOE，∠BOE）．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）103 000用科学记数法表示为 1.03×105．【解答】解：103 000＝1.03×105．14．（3分）若x：y＝1：2，则．【解答】解：设x＝k，y＝2k，∴．15．（3分）若两圆外切，圆心距为8cm，一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为5cm．【解答】解：根据题意，得另一个圆的半径是8﹣3＝5．16．（3分）计算：．【解答】解：．故答案为．17．（3分）已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为8πcm2（结果保留π）．【解答】解：由正弦的概念知，底面半径＝4sin30°＝2，则底面周长＝4π，侧面积4π×4＝8πcm2．18．（3分）如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（，0）．【解答】解：作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1＝BP1，A1D＝DA2＝DP2，则OA•OB＝4，∴OA＝OB＝AA1＝2，OA1＝4，设A1D＝x，则有（4+x）x＝4，解得x＝﹣2+2，或x＝﹣2﹣2（舍去），则OA2＝4+2x＝4﹣4+44，A2坐标为（4，0）．故答案为：（4，0）．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（10分）（1）计算；（2）计算．【解答】解：（1）原式＝﹣6+8﹣3＝﹣1；（2）原式＝﹣6．20．（7分）解方程．【解答】解：方程两边都乘（4﹣x），得x﹣3﹣（4﹣x）＝﹣1，去括号、整理，得2x＝6，解得x＝3，当x＝3时，4﹣x≠0．所以，x＝3是原方程的解．21．（7分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝600m，EF＝100m，求这段弯路的半径．【解答】解：连接OC．设这段弯路的半径为R米则OF＝OE﹣EF＝R﹣100∵OE⊥CD∴CF CD600＝300根据勾股定理，得OC2＝CF2+OF2即R2＝3002+（R﹣100）2解之，得R＝500所以这段弯路的半径为500米．22．（7分）海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被多少条？【解答】解：设购买羽绒被x条，则购买羊毛被（80﹣x）条．根据题意，得415x+150（80﹣x）≤20000．（3分）整理，得265x≤8000．解之得x．（5分）∵x为整数∴x的最大整数值为30．答：最多可购买羽绒被30条．（7分）23．（8分）已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．（1）当n＝5时，共向外作出了9个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为S；（2）当n＝k时，共向外作出了3（k﹣2）个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为（用含k的式子表示）．【解答】解：（1）当n＝5时，共有3×（5﹣2）＝9个小等边三角形，∴每个小三角形与大三角形边长的比，∵大三角形的面积是S，∴每个小三角形的面积为；‘（2）由（1）可知，当n＝k时，共有3×（k﹣2）＝3（k﹣2），每个小三角形的面积为．24．（8分）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：得分多者胜，则游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？【解答】解：（1）这个游戏对双方不公平．∵P（拼成电灯）；P（拼成小人）；P（拼成房子）；P（拼成小山），∴杨华平均每次得分为（分）；季红平均每次得分为（分）．∵＜，∴游戏对双方不公平．（2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，拼成电灯得1分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．（答案不惟一，其他规则可参照给分）25．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD＝4cm，AB＝8cm，求CF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AD∥BC∴OA＝OB＝OC，∠DAE＝∠OCB（两直线平行，内错角相等）∴∠OCB＝∠OBC∴∠DAE＝∠CBF又∵AE OA，BF OB∴AE＝BF∴△ADE≌△BCF；（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，∴∠DGF＝90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°∴∠DGF＝∠DCB又∵∠FDG＝∠BDC∴△DFG∽△DBC∴由（1）可知F为OB的中点，所以DF＝3FB，得∴∴FG＝3，DG＝6∴GC＝DC﹣DG＝8﹣6＝2在Rt△FGC中，cm．（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）26．（9分）某同学根据2004年江苏省内五个城市商品房销售均价（即销售平均价）的数据，绘制了如下统计图：（1）这五个城市2004年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？（2）若2002年A城市的商品房销售均价为1600元/平方米，试估计A城市从2002年到2004年商品房销售均价的年平均增长率约是多少？（要求误差小于1%）【解答】解：（1）中位数是2534（元/平方米），极差是3515﹣2056＝1459（元/平方米）；（2）设A城市2002年到2004年的年平均增长率为x，由题意，得1600（1+x）2＝2119，（1+x）2＝1.324375，∵x＞0，∴1+x＞0，当x＝0.15时，（1+x）2＝1.152＝1.3225＜1.324375，当x＝0.16时，（1+x）2＝1.162＝1.3456＞1.324375，可知1.15＜1+x＜1.16，∴0.15＜x＜0.16．答：平均增长率约为15%（或16%等，答案不惟一）．27．（9分）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算从计算结果看，你有何感想？（不超过30字）【解答】解：（1）设y＝kx+b，∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320．∴解之，得∴y与x的函数关系式为y＝﹣80x+720．（3分）（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y＝380时，380＝﹣80x+720，得x＝4.25．该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395（元）．显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．（5分）（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则W＝xy＝x（﹣80x+720）＝﹣80（x）2+1620，∴当x时，W最大值＝1620，（7分）要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50a≥W最大值+780，即50a≥1620+780，解之，得a≥48元．所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，（8分）由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．（9分）28．（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣10，0），B（﹣8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△P AB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m （m＞0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求周长L与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．【解答】解：（1）过点B作BQ⊥OA于点Q，（如图1）∵点A坐标是（﹣10，0）∴点A1坐标为（﹣10+m，﹣3），OA＝10又∵点B坐标是（﹣8，6）∴BQ＝6，OQ＝8在Rt△OQB中，OB∴OA＝OB＝10，tanα由翻折的性质可知，P A＝OA＝10，PB＝OB＝10∴四边形OAPB是菱形∴PB∥AO∴P点坐标为（﹣18，6）∴P1点坐标为（﹣18+m，3）；（2）①当0＜m≤4时，（如图2），过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1，则B1Q1＝6﹣3＝3设O1B1交x轴于点F∵O1B1∥BO∴∠α＝∠β在Rt△FQ1B1中，tanβ∴∴Q1F＝4∴B1F5∵AQ＝OA﹣OQ＝10﹣8＝2∴AF＝AQ+QQ1+Q1F＝2+m+4＝6+m∴周长l＝2（B1F+AF）＝2（5+6+m）＝2m+22；②当4＜m＜14时，（如图3）设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB于点H 由平移性质，得OH＝B1F＝5此时AS＝m﹣4∴OS＝OA﹣AS＝10﹣（m﹣4）＝14﹣m∴周长L＝2（OH+OS）＝2（5+14﹣m）＝﹣2m+38．（说明：其他解法可参照给分）第21页（共21页）。
2005考研数一真题答案及详细解析
当F(x) 为偶函数时，有 F(— x)=F(x),
于是 F'(- X) • (—1) = F'(x),
即— f(— X) = j(x), 也即八— x) = — f(x),
可见 f(x) 为奇函数；
I: f +-c 勹 反过来，若 f(x) 为奇函数，则 f (t)dt 为偶函数，从而 F(x) = Ct)dt
1
x2
X
2 'xE(—1,1)'
I。厂 r 从而
(17)解
X2 f(x)=2S(x)+
l+x
=2xarctanx
—
lnCl
+x
2
x2 )+
1 +x
2
'
+x)广(x)dx=(x 2 +x)广(x) 3 - (2x+1)广(x)心
�-f'.<zx + 1)广!:)dx"
xE(-1,1).
『+ 。 = — (2x+1)f'(x)
g(�)=f(�)+� — 1=0,
c II)根据拉格朗日中值定理 ， 存在r;E (0,�),1;E C�,1),使得
f'( 1/ )
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05年江苏高考数学试卷
第三章数列 第四章三角函数 第五章平面向量 第六章不等式
第七章直线与和圆的方程
第八章圆锥曲线 第九章立体几何 第十章排列组合、二项式 定理
（19）求轨迹方程
（6）抛物线（11）椭圆 （4）、（8）、（21） （9）二项式定理（12）排列组合（20）概率
第十一章统计与导数
（7）平均数与方差（14）导数（22）函数与 导数
（3）今年试题虽然难度提高，但试卷总体不 偏不怪；
基础知识直接应用的题：1，2，3，4，6，7，8， 9，13，14
基础知识直接应用，但有一定思维要求的题：16 知识灵活运用，对能力要求比较高：5，10，11、 12，18 有新意的题：13，16，22 来源于课本的题：10，19
（4）今年试题运算量偏大（除1，2，13）， 偏离“少考一点算，多考一点想”要求。
（7）今年试卷难度比去年有所下降，但均分不高。 一方面由于试卷本身运算量大、小题用时太多，影 响学生做解答题，另一方面那就要从我们自身寻找 原因。
二、试题分析
（一）选择题、填空题 12道选择题和6道填空题，涉及集合、函数、 数列、三角、立几、解几、排列组合、二项式 定理、统计、简易逻辑、导数、不等式、向量 等高中数学的绝大部分知识，注重考查学生的 基础知识、基本技能，。不刻意追求知识点的 全面覆盖，突出对支撑数学学科知识体系的重 点知识进行重点考查。同时试题多为常见题型， 都可用一些常用方法得以解决，有利于考生充 分展示自己的能力。
(1) x a时, y x ( x a) x ax
2 3 2 2
2 2 y 3x 2ax 3x( x a), 令y 0, 得x 0或x a 3 3 2 ①当 a 0，即a 0时，f ( x)在1,2上为增函数 3 m f (1) 1 a. 2 ②当 a 0，即a 0时，f ( x)在1,2上为增函数 3 m f (1) 1 a.
2005江苏高考数学及答案
2005年高考数学江苏卷试题及答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,12.函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ） A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A1的距离为（ ） A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．07.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中kx 的系数不可能是 （ ） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 10.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ ）A ．97-B ．31-C ．31D ．9711.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22D ．2112.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0 二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置13.命题“若b a >，则122->ba ”的否命题为__________14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________16.若[)1,,618.03+∈=k k a a ，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； ⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立005年高考数学江苏卷试题及答案参考答案(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B（13）若b a >，则122->ba （14）014=--y x（15）]1,43()0,41[ -（16）-1 （17）2 （18）-2 （19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），由已知PN 2PM =，得222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4)32(81答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为8165； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则278)321()32()(242242=-=-C A P ，6427)431()43()(143342=-=-C B P ，由于甲、乙设计相互独立，故86427278)()()(2222=⋅==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81； （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=41，由于各事件相互独立，故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=41×41×43×（1-41×41）=102445，答：乙恰好射击51024（21）（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，∴SB=22，同理SE=22，又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=46， ∴∠46 所以异面直线CD 与SB 所成的角是46 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600，∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA BA=A ，∴BC ⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小8282arccos-π（22）（Ⅰ）由题意，|2|)(2-=x x x f当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x ；当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得1+=x 综上，所求解集为}21,1,0{+ (Ⅱ)设此最小值为①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=，因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=)32(332)('2x a x x ax x f -=-=若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， 所以1)1(-==a f m 若32<<a ，则2321<<a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或)2(4)2(-==a f m当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=37172)2(421011a a a a a a a m（23）（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ②②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证。
2005年考研数学试题答案与解析(数学一)
2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线的斜渐近线方程为【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，，于是所求斜渐近线方程为（2）微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为（3）设函数，单位向量，则=.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量}的方向导数为：因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为，，，于是所求方向导数为=（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】=（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2 .【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】=+++=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）设函数, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A). （B）.(C). (D). [ B ] 【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=, 则，，，且，，. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A). (B). (C). (D). [ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令，则，.由于线性无关，于是有当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二：由于，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得.(C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得.[ C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1,b=0.4 [ B ]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A)(B)(C)(D)[ D ]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，，可排除(A);又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项.因为，且相互独立，于是故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令，.则==（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记则由于所以又从而（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,; f(3)=2,由分部积分，知==（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（）存在使得；（）存在两个不同的点，使得【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在使得，即.（）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（）求函数的表达式.【分析】证明（）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】（）l2 Co X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则.（）设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得所以，从而（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（）求a的值；（）求正交变换，把化成标准形；（）求方程=0的解.【分析】（）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（）二次型对应矩阵为，由二次型的秩为2，知，得a=0.（）这里，可求出其特征值为.解，得特征向量为：，解，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（）由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（） (X,Y)的边缘概率密度；（）的概率密度【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（）关于X的边缘概率密度===关于Y的边缘概率密度===（）令，1）当时，；2）当时，=;3) 当时，即分布函数为：故所求的概率密度为：（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（）的方差；（）与的协方差【分析】先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知相互独立，且，（）==（）=====。
2005考研数学一真题及答案解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SXn nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ， }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.834381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n -∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)0,S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,应用零点定理，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l=++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ， 由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③ ④⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y + （III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
2005年数学一考研数学试题答案与解析
2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线的斜渐近线方程为【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，，于是所求斜渐近线方程为（2）微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为（3）设函数，单位向量，则=.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量}的方向导数为：因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为，，，于是所求方向导数为=（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】=（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么 2 .【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则= .【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】=+++=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）设函数, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A) . （B）.(C) . (D) . [ B ]【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=, 则，，，且，，. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令，则，.由于线性无关，于是有当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二：由于，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得.(C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得.[ C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为1 b 0.1已知随机事件与相互，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5事件与相互，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A) (B)(C) (D) [ D ]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，，可排除(A);又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项.因为，且相互独立，于是故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令，.则==（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 则 由于 所以 从而 （17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2,由分部积分，知==（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在使得；（II）存在两个不同的点，使得【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ）令，则[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II ） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有；（II ）求函数的表达式.证明（I ）的是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）l 2 C o X l 3如图，将C 分解为：，另作一条曲线围 .（II ） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得由③得，将代入④得 所以，从而（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换，把化成标准形；（III ） 求方程=0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（I I ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （II I ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为，，得a=0.（这里 可求出其特征值为.解 ，得特征向量为：，解 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：=③④（III）由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的解方程组为：,不妨设,则其通解为为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（I） (X,Y)的边缘概率密度；（II）的概率密度【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I）关于X的边缘概率密度===关于Y的边缘概率密度===（II）令，1）当时，；2）当时，=;3) 当时，即分布函数为：故所求的概率密度为：（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I）的方差；（II）与的协方差【分析】先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知相互独立，且，（I）==（II）=====。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（集合）一、选择题：1．(2005北京文、理)设全集U =R ，集合M ={x |x >1}，P ={x |x 2>1}，则下列关系中正确的是A ．M=PB ．P MC ．M P （D ）M P R=【答案】C【详解】{|1P x x =>或1}x <-{|1}M x x =>易得M P【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.2．(2005福建文)已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于（）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2}解：∵P=[0,2],{|},Q x x N P Q =∈∴ ={0,1,2},选(D)3.(2005广东)若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N =（B ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}解:∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或，∴M ∩N }0{=，故选B ．4．(2005湖北文、理)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6解：集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ⋅=其对应的和有一个重复：0+6=1+5,故P+Q 中的元素有8个,选(B)5．(2005湖南文)设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（C U A）∩B=（）A．{0}B．{－2，－1}C．{1，2}D．{0，1，2}[评述]:本题考查集合有关概念，补集，交集等知识点。
【思路点拨】本题涉及集合的简单运算.【正确解答】由题意得：{}{}2,1)(,2,1=⋂=B CuA CuA 则,故选C.【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答.6.(2005江苏)设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3}（B ）{1,2,4}（C ）{2,3,4}（D ）{1,2,3,4}答案：D[评述]：本题考查交集、并集等相关知识。
2005年江苏高考试卷及参考答案
2005年江苏高考试卷及参考答案化学试题第一卷（选择题共74分）可能用到的相对原子质量：H�1，C�12，O�16，Na�23，Mg�24，Al�27，S�32，Cl�35.5，K�39，Ca�40，Mn�55，Fe�56，Ag�108，Ba�137一. 选择题（本题包括8小题，每小题4分，共32分。
每小题只有一个选项符合题意）1. 2005年1月，欧洲航天局的惠更斯号探测器首次成功登陆土星的最大卫星��土卫六。
科学家对探测器发回的数据进行了分析，发现土卫六的大气层中含有95%的氮气，剩余的气体为甲烷和其他碳氢化合物。
下列关于碳氢化合物的叙述正确的是（）A. 碳氢化合物的通式为B. 石油的主要成分是碳氢化合物C. 乙炔是含碳量最高的碳氢化合物D. 碳氢化合物中的化学键都是极性键2. 保护环境是每一个公民的责任。
下列做法：（1）推广使用无磷洗涤剂；（2）城市生活垃圾分类处理；（3）推广使用一次性木质筷子；（4）推广使用清洁能源；（5）过量使用化肥、农药；（6）推广使用无氟冰箱。
其中有利于保护环境的是（）A. （1）（2）（4）（5）B. （2）（3）（4）（6）C. （1）（2）（4）（6）D. （3）（4）（5）（6）3. 氮化铝（AIN）具有耐高温、抗冲击、导热性好等优良性质，被广泛应用于电子工业、陶瓷工业等领域。
在一定条件下，氮化铝可通过如下反应合成：下列叙述正确的是（）A. 在氮化铝的合成反应中，N2是还原剂，Al2O3是氧化剂B. 上述反应中每生成2molAlN，N2得到3mol电子C. 氮化铝中氮元素的化合价为-3D. 氮化铝晶体属于分子晶体4. 氢气（H2）、一氧化碳（CO）、辛烷（C8H18）、甲烷（CH4）的热化学方程式分别为：（）相同质量的完全燃烧时，放出热量最少的是（）A. B.C. D.5. 下列叙述不正确的是（）A. 硝酸银溶液通常保存在棕色试剂瓶中，是因为硝酸银见光易分解B. 乙醇的沸点比甲醚（CH3�O�CH3）高，主要原因是乙醇分子间能形成氢键C. 反应能在水溶液中进行，是因为比更难溶于水D. 常温下浓硫酸可贮存于铁制或铝制容器中，说明常温下铁和铝与浓硫酸不反应6. 下列除去杂质的实验方法正确的是（）A. 除去CO中少量O2：通过灼热的Cu网后收集气体B. 除去K2CO3固体中少量：置于坩埚中加热C. 除去苯中溶有的少量苯酚：加入适量浓溴水反应后过滤D. 除去FeCl3酸性溶液中少量的FeCl2：加入稍过量双氧水后放置7. 已知Co2O3在酸性溶液中易被还原成的氧化性依次减弱。
2005年江苏高考试卷及参考答案
2005年江苏高考试卷及参考答案化学试题第一卷（选择题共74分）可能用到的相对原子质量：H�1，C�12，O�16，Na�23，Mg�24，Al�27，S�32，Cl�35.5，K�39，Ca�40，Mn�55，Fe�56，Ag�108，Ba�137一. 选择题（本题包括8小题，每小题4分，共32分。
每小题只有一个选项符合题意）1. 2005年1月，欧洲航天局的惠更斯号探测器首次成功登陆土星的最大卫星��土卫六。
科学家对探测器发回的数据进行了分析，发现土卫六的大气层中含有95%的氮气，剩余的气体为甲烷和其他碳氢化合物。
下列关于碳氢化合物的叙述正确的是（）A. 碳氢化合物的通式为B. 石油的主要成分是碳氢化合物C. 乙炔是含碳量最高的碳氢化合物D. 碳氢化合物中的化学键都是极性键2. 保护环境是每一个公民的责任。
下列做法：（1）推广使用无磷洗涤剂；（2）城市生活垃圾分类处理；（3）推广使用一次性木质筷子；（4）推广使用清洁能源；（5）过量使用化肥、农药；（6）推广使用无氟冰箱。
其中有利于保护环境的是（）A. （1）（2）（4）（5）B. （2）（3）（4）（6）C. （1）（2）（4）（6）D. （3）（4）（5）（6）3. 氮化铝（AIN）具有耐高温、抗冲击、导热性好等优良性质，被广泛应用于电子工业、陶瓷工业等领域。
在一定条件下，氮化铝可通过如下反应合成：下列叙述正确的是（）A. 在氮化铝的合成反应中，N2是还原剂，Al2O3是氧化剂B. 上述反应中每生成2molAlN，N2得到3mol电子C. 氮化铝中氮元素的化合价为-3D. 氮化铝晶体属于分子晶体4. 氢气（H2）、一氧化碳（CO）、辛烷（C8H18）、甲烷（CH4）的热化学方程式分别为：（）相同质量的完全燃烧时，放出热量最少的是（）A. B.C. D.5. 下列叙述不正确的是（）A. 硝酸银溶液通常保存在棕色试剂瓶中，是因为硝酸银见光易分解B. 乙醇的沸点比甲醚（CH3�O�CH3）高，主要原因是乙醇分子间能形成氢键C. 反应能在水溶液中进行，是因为比更难溶于水D. 常温下浓硫酸可贮存于铁制或铝制容器中，说明常温下铁和铝与浓硫酸不反应6. 下列除去杂质的实验方法正确的是（）A. 除去CO中少量O2：通过灼热的Cu网后收集气体B. 除去K2CO3固体中少量：置于坩埚中加热C. 除去苯中溶有的少量苯酚：加入适量浓溴水反应后过滤D. 除去FeCl3酸性溶液中少量的FeCl2：加入稍过量双氧水后放置7. 已知Co2O3在酸性溶液中易被还原成的氧化性依次减弱。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(16计数原理、二项式定理)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（16计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2005北京文)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B【详解】分两个步骤进行。
第一步：先考虑安排甲工程队承建的项目，有C 14种方法；第二步：其余的4个队任意安排，有44A 种方法。
故，不同的承建方案共有1444C A 种。
【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.2．(2005北京理)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A ．484121214C C CB ．484121214A A CC ．33484121214A C C C D ．33484121214A C C C【答案】A【详解】本题可以先从14人中选出12人即1214C ,然后从这12人中再选出4人做为早班即412C ,最后再从剩余的8人选出4人安排为中班即48C ,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得不同的排法为：124414128C C C .【名师指津】 排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.3．(2005福建文、理)从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有44P 种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有11332343C C C P 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有22132433C C C P 种选择方案,综上不同的选择方案共有44P +11332343C C C P +22132433C C C P =240,选(B)4．(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况：情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种)5．(2005湖南文)设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A ．20 B ．19 C ．18D ．16[评析]:本题考查直线方程和排列组合知识交汇问题. 【思路点拨】本题涉及直线的位置关系与排列组合知识.【正确解答】[解法一]:从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数的排列有25A 种其中取1,2和2,4或2,1和4,2表示相同直线.所以所得不同直线条数为:。
【高考试卷】2005年高考数学(江苏卷)试题及答案
【高考试卷】2005年高考数学江苏卷试题及答案 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A Y I =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2.函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ）A ．32log 2-=x yB ．23log 2-=x yC ．23log 2x y -=D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（ ）A ．43B ．23C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ） A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615C ．87 D ．0 7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.98.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βαI ，m =γβI ，n =αγI ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是 （ ）A ．10B ．40C ．50D ．8010.若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ ） A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 11.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．31 C ．22 D ．21 12.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置 13.命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为__________ 14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________ 15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________ 16.若[)1,,618.03+∈=k k a a ，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________ 18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +•的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE ⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）；⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合；⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且 Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数 ⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立。
概论2005江苏高考数学试卷
概论2005江苏高考数学试卷作者：刘立华笔者就2005江苏高考数学试卷作了分析：数学试卷整体在2004年的基础之上平稳的上升，试卷紧紧围绕教学考试大纲。
试卷整体情况如下：选择题第1、2、3、4、6、7、8、9题，填空题第13、14、15题可以说都是最基本的概念题，大部分学生可以做到95%的正确。
选择题第5、11、12题是如何找切入点的问题，有一定的提高。
象第5题，可以用正弦定理求解，但灵活的学生也可以用特殊值法求解（比如令B=600 和 B=900 时，一下子就可以筛选出正确的答案）第11题是三角函数运算中常见的思路-------整体思想（ απ-6 → 2（απ-6）→απ232+ = -π 2（απ-6） ）；第12题比较新颖，但关键还是突破，从哪条棱考虑是关键！再来看看填空题：第16题可以说灵活度比较大，可以验证（毕竟k 是整数），第17、18题有一定的提高：考查学生的综合分析能力了，当然，第18题也可以灵活的用特殊法解决（比如三角形ABC 为正三角形）这就要考生知道特殊性和普遍性的联系了。
总体来看，填空题借鉴了上海高考的模式，这也是我们值得注意的地方！下面我们来看一下解答题。
第19、20、21题是基本题，关键是考查学生的双基能力，对绝大部分考生来说应当可以解决（这里就不详细讲了）；提高部分在第22题和第23题，但这两题也并不是说对中等学生不能得分！我们先看这两题的第一问其实很基本，只要动一动就可以得分的；像第22题的第二问，思路是很明确的，一般的学生按思路往下写，多少也是能拿到一部分的分的！第23题的第三问其实是建立在第二问的结论“{a}是等差数列”上的，而我们由题条n的，所以第三问也是可以做一部分的了，也就件是可以得出4a5-=nn是说能得分的了。
当然，这两题要完整的做出来，那并不是那么容易的，毕竟这两题是拔高题！以上简单的分析了试卷的题型结构，可以看出：今年数学试卷的得分点还是很多的，我们来初步估算一下最基本的得分：选择题8条40分+填空题3条12分+解答题基本分40分=92分，在考虑其他均衡因素，对中等考生而言得分应当在90分到100分甚至更高！这样一看，今年我省的数学均分应当和去年相差不大，还是比较平稳的！当然，以上只是笔者的一点看法，亦有不成熟的地方，智者见智。
2005年江苏省盐城市数学中考试题(有答案)
绝密★启用前盐城市二OO五年高中阶段教育招生统一考试数学试卷(考试时间120分钟试卷满分150分考试形式：闭卷) 第一部分(选择题，共30分)注意事项：1．答题前务必将姓名、准考证号、科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔将对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效。
3．考试结束，将答题卡和试卷一并交回。
一、选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分)1．一3的绝对值是A．一3 B．3 C．一13D．±32．将不等式组13 xx≥⎧⎨≤的解集在数轴上表示出来，应是AB3．在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CM·MD=A．28 B．21 C．12 D．74．在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4秒时，该物体所经过的路程为A．28米B．48米C，68米D．88米5．如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，则与△DEF全等的三角形有A．1个B．2个C．3个D．5个6．下列因式分解中，结果正确的是A．x2-4=(x+2)(x-2)B．1—(x+2)2=(x+1)(x+3)C．2m2n-8n3=2n(m2一4n2)D．x2一x+14=x2(1—1x+214x)7．在△ABC中，D、C分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，∠ADE=30°，∠C=120"，则∠AA．60°B．45°C．30°D．20°8．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于O，则PC与PD的大小关系是A．PC>PD B．PC=PDC．PC<PD D．不能确定9．如图，反比例函数y=kx与直线y=一2x相交于点A，A点的横坐标为一1，则此反比例函数的解析式为0 1 3 0 1 30 1 3 0 1 3C BDEAACO PDBA ．y=2x B ．y=12x c ．y=—2x D ．y=一12x10．现规定一种新的运算“※”：a ※b=a b ，如3※2=32=9，则12※3= A ．18 B ．8 C ．16 D ．32第二部分(非选择题，共120分)注意事项：第二部分试题答案用钢笔或圆珠笔直接写在试卷上。
2005考研数学一真题及答案解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为_____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y ,则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yuy x u ∂∂=∂∂∂(D)222xuy x u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ(B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B (13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为XY 0100.4a1b0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b ==(B)0.4,0.1a b ==(C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SX n (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数.计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分)求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.证明:(1)存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰ 的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形.(3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .(2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =.(2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为.4121-=x y 【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=212lim )(lim 22=+=∞→∞→x x x x x f x x ，[]41)12(2lim )(lim -=+-=-=∞→∞→x xax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx e x e y dx x dx x =2191ln 31x C x x x +-，由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(n u ∂∂=33.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n }的方向导数为：γβαcos cos cos z uy ux un u∂∂+∂∂+∂∂=∂∂因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9z z u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(n u∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅（4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π.【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz3=.)221(2sin 33200402R d d d R ⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B 2.【分析】将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则}2{=Y P =4813.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n n n x x f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x x x x f n n n =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.（B ）F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[A ]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰x dt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=221x ,排除(D);故应选(A).（9）设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂.（B ）2222y u xu ∂∂=∂∂.(C)222y u y x u ∂∂=∂∂∂.(D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂.[B ]【分析】先分别求出22x u ∂∂、22yu ∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu --++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu -+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ，于是)()()()(22y x y x y x y x xu -'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u -'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ，)()()()(22y x y x y x y x yu -'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，可见有2222y u xu ∂∂=∂∂，应选(B).（10）设有三元方程1ln =+-xz ey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).[D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xz e y z xy ,分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=1ln -+-xz e y z xy ,则z e y F xz x +='，yz x F y -='，x e y F xz z +-='ln ，且2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F .由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ.(B)02≠λ.(C)01=λ.(D)02=λ.[B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ，0)(2221121=++αλαλk k k .由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B .(B)交换*A 的第1行与第2行得*B .(C)交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D)交换*A 的第1行与第2行得*B -.[C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得B A E =12，于是12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y 0100.4a1b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[B ]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即a=))(4.0(b a a ++,由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S为样本方差，则(A))1,0(~N X n (B)).(~22n nS χ(C))1(~)1(--n t S X n (D)).1,1(~)1(2221--∑=n F XX n n i i[D ]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A);又)1(~0-=-n t S X n n S X ，可排除(C);而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为∑=-n i i n X X 222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F X X n n X X n i in i i 故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数.计算二重积分⎰⎰++D dxdy y xxy .]1[22【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令}0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ，}0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++D dxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=2021310320cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.834381=+（16）（本题满分12分）求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim =+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记121(1)(),(1,1)2(21)n n n S x x x n n -∞=-=∈--∑，则1211(1)(),(1,1)21n n n S x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑.由于(0)0,(0)0,S S '==所以2001()()arctan ,1x xS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n n n x x x x ∞-=-=∈-+∑从而22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x =-++∈-+（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+302.)()(dx x f x x 【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,2)0(='f ;f(3)=2,.0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+30303022302)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x =dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-303030)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I ）存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f 【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（I ）令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=‐1<0,F(1)=1>0,应用零点定理，存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ）在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f 于是.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】（I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l =++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ）设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂.24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y xx y x y ∂+--+==∂++ ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++②比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2. y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得535242,y cy y -=所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ）求a 的值；（II ）求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ）求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】（I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（I ）二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知0200011011=-++-=a a a a A ，得a=0.（II ）这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ.解0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③④⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +（III ）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.【分析】AB=O,相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r （1）若k 9≠,则r(B)=2,于是r(A)1≤,显然r(A)1≥,故r(A)=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3‐r(A)=2,矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2)若k=9，则r(B)=1,从而.2)(1≤≤A r 1）若r(A)=2,则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ）(X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z 【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x =.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ）令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1）当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2）当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-==241z z -;3)当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z 即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ）i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov 【分析】先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E （I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]111[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 22111(=.1)1(1)1(222n n n n n n -=-⋅+-（II ）)])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --==)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211(2)(XE X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
江苏2005高考数学试题分析
江苏2005高考数学试题分析
崔永富
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2005(000)007
【摘要】@@ 一、试卷的总体特点rn今年的高考数学试卷难度比去年有所增加,送分题几乎没有了,取而代之的是数量颇多的中等难度题型;很多大题目都是容易上手、起点较低,第一问比较简单;试卷总体平稳,没有怪题和偏题;在题型结构上有所调整,选择题仍为12题,填空题从去年的4题增加到6题,分值没有变化,简解答题从去年的6题减少到5题,试卷总计23题,比去年增加一题.这样的调整对学生的运算能力要求有所提高,符合给学生多一点思考空间的精神,有很好的导向性.
【总页数】1页(P22)
【作者】崔永富
【作者单位】200092,上海市杨浦高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=- 一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A （B ）13 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
把答案填在答题卡相应位置。
（13）命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 . （14）曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是 .（15）函数y =的定义域为 .（16）若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = .（17）已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . （18）在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA(OB +OC)的最小值是 .三、解答题：本大题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （19）（本小题满分12分） 如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得.PM =试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.（20）（本小题满分12分，每小问4分） 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3.4假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （Ⅲ）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？（21）（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二、第三小问满分各4分） 如图，在五棱锥S －ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.（Ⅰ）求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； （Ⅱ）证明BC ⊥平面SAB ；（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D 的大小（本小问不必写出解答过程）.（22）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分） 已知,a R ∈函数2().f x x x a =-（Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值.（23）（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分） 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且 1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数. （Ⅰ）求A 与B 的值；（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列；1>对任何正整数m 、n 都成立.B E2005年江苏高考考数学试卷解析 第一卷1． 答案：D[评述]：本题考查交集、并集等相关知识。
[解析]：因为A }2,1{=⋂B ，所以（A }4,3,2,1{)=⋃⋂C B ，故选D. 2.答案:A[评述]:本题考查由原函数的解析式,去求其反函数的解析式的求法. [解析]:由,321+=-x y 得321-=-y x ,则)3(log 12-=-y x , 所以其反函数为:)3(log 12--=x y ,即32log 2-=x y .故选A. 3.答案:C[评述]:本题考查了等比数列的相关概念,及其有关计算能力.[解析]:设等比数列{a n }的公比为q(q>0),由题意得:a 1+a 2+a 3=21,即3+3q+3q 2=21,q 2+q-6=0, 求得q=2(q=-3舍去),所以a 3+a 4+a 5=q 2(a 1+a 2+a 3)=4,8421=⨯故选C.4.答案:B[评述]:本题考查了正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点到平面的距离,可以转化为三角形中利用面积公式计算,或利用“等积代换法”计算等。
[解析]：如图，作AM BC ⊥，连接A 1M.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,易证平面AMA 1垂直于平面A 1BC,再证AN M A 1⊥,即AN 为点A 到平面A 1BC 的距离.在直角三角形AA 1M 中,易求得:AN=23.或利用等积代换法:由BC A A ABC A V V 11--=,可求点A 到平面A 1BC 的距离.故选B.5.答案:D[评述]:本题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用。
[解析]：在ABC ∆中，由正弦定理得：,233sin =B AC 化简得AC=,sin 32B B CA1 B1 C1 MN A233)3(sin[=+-ππB AB ，化简得AB=)32sin(32B -π， 所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+B sin 32+)32sin(32B -π=3+.3)6sin(6cos 3sin 33++=+πB B B 故选D.6.答案:B[评述]:本题考查了抛物线的定义,抛物线的性质等相关知识的综合运用. [解析]:由题意抛物线为:y x 412=,则焦点为F(0,)161,准线为:y=161-; 由抛物线上的点M(x 0,y 0)到焦点的距离与到准线的距离相等,推得:16150=y , 即M 点的纵坐标为,1615故选B. 7.答案:D[评述]:本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等。
[解析]：7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为： 9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5 则平均数为：5.946.955.94.96.94.94.9≈=++++=x ，即5.9=x 。
方差为：016.0])5.95.9()5.94.9()5.94.9[(512222=-+⋅⋅⋅+-+-=s 即 016.02=s ， 故选D.8.答案:B[评述]:本题考查了立体几何中面面垂直、平行的性质和判定；线面平行的性质及相关线线、线面平行的判定等，同时考查了空间想象能力，综合推理能力等。
[解析]：（1）由面面垂直知，不正确；（2）由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； （3）由线面平行判定定理知，正确；（4）由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确。
综上所述知，（3），（4）正确，故选B 。
9．答案：C[评述]：本题考查了二项式定理的展开式及各项系数等知识的综合运用。
[解析]：55544523353225415505522222)2(⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=+C x C x C x C x C x C x =32808040102345+++++x x x x x ，比较系数知：x k (k=1,2,3,4,5) 的系数不可能为：50，故选C 。
10.答案：A[评述]：本题考查三角函数两角和公式，倍角公式及三角恒等变形和相关计算能力。