Matlab中常用的几个函数

Family Short name Order Nr,Nd r for reconstruction d for decomposition
Biorthogonal bior Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5 Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6, 8 Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5, 7, 9 Nr = 4 , Nd = 4 Nr = 5 , Nd = 5 Nr = 6 , Nd = 8
no yes yes possible possible
Support width
2Nr+1 for rec., 2Nd+1 for dec.
% 的支撑宽度依次为 2Nr+1 和 2Nd+1； //尺度函数φ 和 φ 小波ψ
% 的支撑宽度都是 Nr+Nd-1。-注释 和ψ
Filters length bior Nr.Nd
Family Short name Order N Examples
Daubechies db N strictly positive integer db1 or haar, db4, db15
Orthogonal Biorthogonal Compact support DWT CWT
yes yes yes possible possible
General characteristics: Compactly supported biorthogonal spline wavelets for which symmetry and exact reconstruction are possible with FIR filters (in orthogonal case it is impossible except for Haar).
且
φ (t )
的支撑区间为
[0,2 p − ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ] = [0,3]
，
ψ (t )
的支撑区间为
[ − p + 1, p ] = [−1,2] 。
Matlab 中常用的几个函数：
我们可以通过 waveinfo 函数获得工具箱中的小波函数的主要性
质；小波函数 psi 和尺度函数可以通过 wavefun 函数计算，滤波 器可以通过 wfilters 函数产生。
φ (t ) = ~ φ (t ) = ψ (t) = ~ ψ ( t ) =
~
~
~
2 ∑ h jφ (2t − j )
j
2 ∑ h j φ (2t − j)
j
~
~
2 ∑ g jφ (2t − j)
j
（2.6.4）
2 ∑ g j φ (2t − j)
j
~
在 Matlab 中，输入命令 waveinfo('bior')可以获得 Biorthogonal 函 数的一些主要性质。 waveinfo('bior')
BIORINFO Information on biorthogonal spline wavelets.
Biorthogonal Wavelets
N
h = {h0 , h1 ,L, hN −1 } ，其中
~ ~ ~
~
=2p 是一个偶数。 令 g n = ( −1) n hN −1− n ， 则 g = {hN −1, − hN −2 ,L, h1, −h0} ， 则
相应的 Daubechies 小波ψ (t ) 有 p 阶消失矩，则
∀0 ≤ k < p − 1 ，都有
< φ k , j , φk ,l >= 0 < ψ k , j ,ψ k ,l >= 0
< φ k , j ,ψ k , l >= 0
∀j ≠ l , j , l ∈ Z
∀j, l ∈ Z
则称ψ (t ) 为正交小波，而 h = {hn }称为正交小波滤波器。 （ 2）双正交小波滤波器 若滤波器组 h , g, h, g 满足以下两尺度方程和小波方程：
Support width Filters length
2N-1 2N
Regularity Symmetry Number of vanishing moments for psi
about 0.2 N for large N far from
N
Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 194-202.
在 Matlab 中，输入命令 waveinfo('haar')可以获得 haar 函数的一 些主要性质： waveinfo('haar')
HAARINFO Information on Haar wavelet.
Haar Wavelet
General characteristics: Compactly supported wavelet, the oldest and the simplest wavelet.
1
haar is not continuous yes
1
Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 194-202.
在 Matlab 中，输入命令 waveinfo('db')可以获得 Daubechies 函数 的一些主要性质。 waveinfo('db')
bior 3.7 bior 3.9 bior 4.4 bior 5.5 bior 6.8
16 20 9 9 17
4 4 7 11 11
Regularity for psi rec. Symmetry Number of vanishing moments for psi dec. Nr-1 //应该为 Nr -注释 Nr-1 and Nr-2 at the knots yes
DBINFO Information on Daubechies wavelets.
Daubechies Wavelets
General characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimum-phase filters.
% 和ψ 的消失矩阶数。 注意：Nr,Nd 具有相同的奇偶性。依次为ψ
与我们讲义中的符号稍微不同的是，Matlab 中将 ( h, g ) 理解为分 %, g % 为重构滤波器，相应地，ψ 和ψ % 依次为分解小 解滤波器， h 波和重构小波。
( )
Examples
bior3.1, bior5.5
Orthogonal Biorthogonal Compact support DWT CWT
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0 otherwise. wavelet function psi = 1 on [0 0.5[, = -1 on [0.5 1] and 0 otherwise.
Family Short name Examples Orthogonal
这些系数定义了著名的
小波滤波器。在
Matlab 工具箱中，Daubechies 小波滤波器用 db2 表示，Haar 小 波用 db1 表示，后面的数字表示这种小波消失矩阶数。
用 φ (t ) ，ψ (t ) 表示 D4 确定的标准化正交尺度函数和小波，则
φ (t ) = 2 [ h0φ (2t ) + h 1φ (2t − 1) + h 2φ(2t − 2) + h 3φ (2t − 3) ] ψ (t ) = 2 [ h3φ (2t ) − h2φ (2t −1) + h1φ(2t − 2) − h0 φ(2t − 3)]
See Information on reverse biorthogonal spline wavelets.
滤波器可以通过 wfilters 函数产生。
[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters('haar') [Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters('db1')
∀j ≠ l , j , l ∈ Z
∀j , k , l ∈ Z
~
则称尺度函数 φ , φ 为对偶尺度函数，称小波函数ψ ,ψ 为对偶小波。 称ψ ,ψ 为双正交小波； 滤波器组 h , g, h, g 称为双正交小波滤波器组。 （ 3）消失矩概念的理解 直观理解： 1 阶消失矩，能够使常数函数在一次小波变换后细节函数变 成零。 2 阶消失矩，能够使常数函数与线性函数在一次小波变换后 细节函数都变成零。 3 阶消失矩，能够使常数函数、线性函数和二次函数在一次 小波变换后细节函数变成零。 …………. 在一些参考书中，在构造 Daubechies 紧支撑正交小波时，采 用了以下结论： 对于 p 阶消失矩的 Daubechies 滤波器
1k hN −1 − 2k hN −2 + 3k hN −3 −L + ( N − 1)k h1 − N k h0 = 0
这个结论尚待证明。 我们在 2.4.2 节应用了该结论构造 D4 小波。
D4 是滤波器长度为
４，消失矩阶数为 ２ 的小波，即 p = 2 。
设 h = {h0 , h1 , h2 , h3} ，则由（2.4.5） 、 （2.4.6）及（2.4.8）可知，h 满足如下条件：
~
~
其中， g n = ( −1) n h1− n ， g n = ( −1) n h1− n 。 且
~ < φ k , j , φ k ,l >= 0 ~ < ψ k , j ,ψ k ,l >= 0 ~ < φk , j ,ψ k ,l >= 0 ~ < ψ k , j ,φ k ,l >= 0
Remark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and decomposition functions and filters are close in value.
Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 271-280.
几个概念的理解： （ 1） 正交小波 若滤波器 h = {hn }满足如下两尺度方程和小波方程：
φ (t ) = 2
j =−∞ +∞
∑ h φ (2t − j )
j
+∞
ψ (t ) = 2 ∑ g jφ (2t − j)
j =−∞
其中， g j = ( −1) j h1− j ，且ψ (t ) 满足以下条件，
max(2Nr,2Nd)+2 but essentially ld effective length of Lo_D lr effective length of
Hi_D
%与g % // （Matlab 中） 分解滤波器 h 和 g 的有效长度； 在讲义中为 h
的有效长度 -注释 bior 1.1 bior 1.3 bior 1.5 bior 2.2 bior 2.4 bior 2.6 bior 2.8 bior 3.1 bior 3.3 bior 3.5 2 6 10 5 9 13 17 4 8 12 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4
Haar haar haar is the same as db1 yes
Biorthogonal Compact support DWT CWT
yes yes possible possible
Support width Filters length Regularity Symmetry Number of vanishing moments for psi 2
h0 h2 + h1h3 = 0
h0 + h1 + h2 + h3 = 2
h3 − h2 + h1 −h0 = 0 1h3 − 2h2 + 3 h1 − 4 h0 = 0
解方程组可得：
h0 = 1+ 3 3+ 3 3− 3 1− 3 , h1 = , h2 = , h3 = 4 2 4 2 4 2 4 2 D4 Daubechies