平面向量基本定理导学案
2.3.1 平面向量基本定理导学案
2.3.1 平面向量基本定理 学习目标：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
（4）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（5）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
重点：平面向量基本定理； 难点：平面向量基本定理的理解与应用。
一、相关知识1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa= 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb 3. 向量共线定理：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。
二、预习自测（学习建议）自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，请同学们独立完成下面的题目。
1、已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e2、已知 ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB =a ，AD =b ，试用a 、b表示MA 、MB 、MC和MD 。
3、向量的夹角： 我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
探究一 给定一个向量是否一定可以用“一个”已知非零向量表示？探究二 平面内给定一个向量是否一定可以用“两个”已知不共线向量表示？平面向量基本定理：说明：1、我们把不共线向量1e 、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组 。
2、定理中，1e ，2e是两 向量。
3 、a是平面内的任一向量，且实数对21,λλ是惟一的。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学 2.3.1平面向量的基本定理导学案苏教版必修4
2.3.1 平面向量的基本定理【课前预习】 一、回顾复习1.已知b 与a (0a ≠)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使 。
2.平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？二．新知感受预习课本P74-75相关内容，填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号. 1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使 。
其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的 。
2.一个平面向量a 用一组基底,1e 2e表示成 的形式，我们称它为向量a 的 。
当1e ,2e所在直线互相垂直时，这种分解也成为向量a 的 。
说明：(１)平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。
(２)平面内向量的基底不唯一，即同一平面内任何一组不共线的向量都可作为表示这一平面内的所有向量的基底。
(３)零向量不可以作为基底。
【概念运用】1. 设,1e 2e 是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ） （1）1e+2e 和1e -2e ；（2）31e -22e 和42e -61e ；（3）1e +22e 和21e +2e ；（4）1e +2e 和2e。
2. 设a ,b 是不共线的向量，若实数μλ,满足λ3a +(10-μ)b =λ2b +(2μ+1)a, 则_______________,==μλ。
3. 已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB ＝a，AC ＝b ，则AM ＝ 。
4.下列说法中，正确的是 。
（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；（2）一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；（3）零向量不可作为基底中的向量。
【典型例题】例1 如图, 平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，,AB a AD b ==，试用基底,a b 表示,,,MC MA MB MD 和。
导学案1：2.2.1 平面向量基本定理
必修四第二章 平面向量2．2.1 平面向量基本定理教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量基本定理2、难点：平面向量基本定理[知识要点]．平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一；(5)一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解。
当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解[预习自测]1.下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2(2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2 (3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2 (e 1、e 2不共线) A. (2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D. (1)(2)(3)(4)2.设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则OP 用OA 、OB 表示式为（ ） A. OP =OA +λOBB. OP =λOA +(1-λ) OBC. OP =λλ++1OB OAD.OB OA OP λλ-+=111 3.若a 、b 是不共线的两向量,且AB =λ1a +b , AC =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=04.设OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且OP =(1-t) OA +t OB (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线.5.当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件.[归纳反思]能力提升6.已知向量a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?7.如下图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以a 、b 为基底分解向量AM 与HF . 分析：以a ，b 为基底分解AB 与HF ，实为用a 与b 表示向量AM 与HF .答案预习自测:1. A2. C3. D5. p =q =06. 存在,λ=-2μ能使d 与c 共线7.解：由H 、M 、F 所在位置有：AM =AD +DM =AD +21DC =AD +21AB =b ＋21a ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH ＝AB ＋AD BC 2131 ＝AB ＋31AD －21AD ＝a －61b。
人教A版高中数学必修4第二章2.3.1平面向量基本定理导学案
第3页 第4页探究三、有关向量夹角的计算例3 已知两个非零向量a 与b 的夹角为ο60，试求下列向量的夹角 （1）a 与b -；（2）b a 32与【课堂检测】1.下列向量 1e 和2e 可作为基底的是 （ ） A. 1e =-2e , 2e =2e B. 1e =,b a - 2e =,b a + C. 1e =e ,2e = e 2 D. 1e =,b a +- 2e =,a b -2.若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u rB ．EF OF OE=-u u u r u u u r u u u rC ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u rD ．EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r3.已知D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）.A 12BC BA -+u u u r u u u r .B 12BC BA --u u u r u u u r.C 12BC BA -u u u r u u u r .D 12BC BA +u u u r u u u r4.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-5.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r二、填空题7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r8.已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r9.已知向量12,e e u r u u r 不共线,实数x 、y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+u r u u r u r u u r,则则x -y 的值等于。
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理导学案 苏教版必修4
2.3.1 平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 预习交流1基底中的向量e 1，e 2可以为零向量吗？提示：不可以．倘若向量e 1，e 2中有一个向量为零向量，那么两向量必为共线向量，这与基底的定义相矛盾，故基底中的向量e 1，e 2均不可以为零向量．预习交流2在表示向量时，基底惟一吗？提示：不惟一，同一平面可以有无数组不同的基底．因此，对不同的基底，同一向量的分解是不惟一的，但基底给定时，向量的表示方法惟一．2．平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e 1，e 2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解．预习交流3(1)下列说法中，正确的是__________．①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．(2)在正方形ABCD 中，以AB →，AD →为基底，则向量AC →可分解为__________．提示：(1)②③ (2)AB →＋AD →一、平面向量基本定理的理解如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量． 思路分析：运用基底概念与平面向量基本定理进行判断． 解：(1)正确．若λ≠0，则e 1＝－μλe 2，从而向量e 1，e 2共线，这与e 1，e 2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定． (3)正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe 1＋μe 2的形式，反之也成立．(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe 1＋μe 2才惟一确定．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是__________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.答案：②⑤解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫e 1－110e 2，即2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线， ∴⑤不能作基底．1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e 1，e 2是基底，则必有e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线，如0与e 1，e 1与2e 1，e 1＋e 2与2(e 1＋e 2)等均不能构成基底．二、用基底表示向量如图所示，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MA →，MB →，MC →，MD →.思路分析：题目条件显示：四边形ABCD 是平行四边形且a ，b 是基底．依据平行四边形的性质可知点M 平分两条对角线，结合向量的平行四边形法则及向量的线性运算可表示待求向量．解：∵四边形ABCD 是平行四边形且AB →＝a ，AD →＝b ， ∴AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a .又点M 平分两条对角线AC ，BD ，∴MC →＝12(a ＋b )，MA →＝－12(a ＋b )．∴MD →＝12BD →＝12(b －a )MB →＝－MD →＝－12(b －a )．1．已知ABCDEF 是正六边形，且AB →＝a ，AE →＝b ，则BC →＝__________.答案：12(a ＋b )解析：AD →＝AE →＋ED →＝AE →＋AB →＝b ＋a ， 又AD →＝2BC →，∴BC →＝12(a ＋b )．2．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.解：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .1．平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的惟一性是相对于基底e 1，e 2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的．2．正确应用基底表示向量 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)关于基底的一个结论设e 1，e 2是平面内一组基底，当λ1e 1＋λ2e 2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0. 三、平面向量基本定理的应用已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．思路分析：(1)由题意可知A 是BC 的中点，利用平行四边形法则求OC →，利用三角形法则求DC →；(2)利用C ，D ，E 三点共线，结合共线向量定理求解． 解：(1)∵A 为BC 中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)设OE →＝λOA →， 则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b ，即(λ＋2m －2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线且为非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．i ，j 是两个不共线的向量，已知AB →＝3i ＋2j ，CB →＝i ＋λj ，CD →＝－2i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，试求实数λ的值．解：∵A ，B ，D 三点共线， ∴AD →与AB →共线．设AD →＝mAB →， 则AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3i ＋2j )＋(－i －λj )＋(－2i ＋j ) ＝(3－λ)j ＝m (3i ＋2j )， ∵i ，j 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＝0，3－λ＝2m .∴m ＝0，λ＝3. 2．已知ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD .求证：M ，N ，C 三点共线．解：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b .∴MN →＝13MC →.∴MN →∥MC →.又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线．1．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题．2．证明三线共点，先证明其中两条相交于一点，然后证明第三条也经过这个点． 3．证明三点共线，需说明两点：①三点确定的向量中有两向量共线，②两共线向量有公共点．1．设O 是ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是__________．(填序号)答案：①③解析：由基底的概念可知．2．如图所示，△ABC 中，若D ，E ，F 依次是AB 的四等分点，则以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底时，CF →＝________.答案：34e 1＋14e 2解析：CB →＝e 1，CA →＝e 2， ∴AB →＝e 1－e 2. ∵AF →＝34AB →，∴AF →＝34(e 1－e 2)．∴CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2. 3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1＋e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线时，λ的值为__________．答案：12解析：∵a ，b 共线，∴存在惟一实数m ，使得a ＝m b ， 即2e 1＋e 2＝m (e 1＋λe 2)．∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，1＝mλ.∴m ＝2，λ＝12.4．△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝________.答案：23a ＋13b解析：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理，得|AD ||DB |＝|CA ||CB |＝21，所以D 为AB 的三等分点，且AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，所以CD →＝CA →＋AD →＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b .5．如图所示，已知AB →＝tAC →(t ≠0)，O 是平面内任一点(不在直线AB 上)，试以OA →＝a ，OB →＝b 为基底表示OC →.解：∵AB →＝tAC →， ∴AC →＝1tAB →.∴OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋1tAB →＝OA →＋1t(OB →－OA →)＝a ＋1t(b －a )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1t a ＋1tb .。
导学案平面向量基本定理
§2.3.1平面向量基本定理学习目标1. 掌握平面向量基本定理;了解平面向量基本定理的意义.重点难点重点：平面向量基本及应用难点：两个向量的夹角问题（预习教材P93—P94） 复习1：向量b 、()0a a ≠ 是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e + 、122e e - .预习案（预习教材P93—P94）问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+ 的向量表示呢？1. 平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数,21,λλ使 。
其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
注意：(1) 我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=OA ,a =OB b ，则 叫做向量a 与b 的夹角。
如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a 与b 同向； 当 时，表示a 与b 反向； 当 时，表示a 与b 垂直。
记作：a b ⊥ .探究案例1、已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2AB CD =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a = ，AB b = 。
试用,a b 为基底表示DC ,,BC EF .例2、已知a ＝b ＝１，3=+b a ，求a 与b 的夹角及b a -与b 的夹角.能力拓展 例３、如图所示，在ΔOAB 中,,,b OB a OA ==M,N 分别是边OA,OB 上的点，且OM =a 31, ON ,21b =设AN 与BM 交于点Ｐ，试以b a ,为基底表示OP .归纳反思1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示。
高中数学 2.3.1《平面向量的基本定理》导学案 新人教A版必修4
2.3.1《平面向量的基本定理》导学案【学习目标】 1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【重点难点】1. 教学重点：平面向量基本定理2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用【学法指导】:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫.【知识链接】（一）复习回顾 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |= ；（2）λ>0时λa 与a 方向 ；λ<0时λa 与a 方向 ；λ=0时λa =2．运算定律结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b )= .3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 .(二)阅读教材,提出疑惑:如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?【学习过程】（一）定理探究：平面向量基本定理：探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量（二）例题讲解例1 已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e .例2、如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和MD例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例 5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.【学习反思】【拓展提升】1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e 1、e 2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).。
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：（1）|λ|=（2）λ>0时，λ与方向；λλ=0时，λ=2．运算定律：结合律：λ(μ)=；分配律：(λ+μ)=，λ(+)=3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.新知梳理：1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟：(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数.3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。
当=，、同向；当=，、反向；统称为向量平行，记作如果=，与垂直，记作⊥。
对点练习：1.设、是同一平面内的两个向量，则有()A.、一定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共线，则+与＝6-2的关系（）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与，与．(填共线或不共线).【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量 2.5+3变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）+2. （2）-+3例2:如图，，不共线，且，用，来表示变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.【课堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()（）A．1B．2C．3D2.如图，正六边形ABCDEF中，=A．B．C．D．3.在中，，，，为的中点，则____________.（用表示）【课时作业】1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ），则（）A．=,=B．=0,=0C．=0,=D．=,=02．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M 是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于()A．1B.12C.14D.183．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)．4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.6如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．7.如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP→＝p，用p表示CQ→.【延伸探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4。
【新导学案】高中数学人教版必修四：231《平面向量的基本定理》.doc
2. 3. 1《平面向量的基本定理》导学案【学习目标】1、知道平面向量基木定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【重占聊占】1.教車重兀平面向量基本定理2.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用【学法指导】：通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺梨.【知识链接】（一）复习回顾1.实数与向量的积：实数入与向量刁的积是一个向量，记作：x a（1）| _________ 5 |= ；____________________________ （2）入＞0时入方与方方向 ___ ；入＜0时入力与力方向；入=0时入2.运算定律结合律：入（卩方）= ______ ；分配律：（入+p）N= _____ , ^（a+b）= _________ .3•向量共线定理向量方与非零向量万共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入, 使 .（二）阅读教材，提出疑惑：如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量？【学习过程】（一）定理探究：平面向量基本定理：____________________________________________________________________ 探究：⑴ 我们把不共线向量6、°叫做一表示这一平面内所有向量的______________________ ；（2）_______________________ 基底不惟一，关键是；（3）由定理可将任一向量a在给出基底e】、£.2的条件下进行分解；⑷ 基底给定时，分解形式_________ .即X,入2是被石唯一确定的数量（二）例•题讲解■ • - » •例1己知向量引，e2求作向量2.5勺+3e2 .例2、如图占B0的两条对角线交于点M,且AB=a. AD=b ,用万，方表示胚4, MB ,D C例3己知AB£p的两条对角线AC与BD交于E, O是任意一点，求证:OA + OB-^OC + OD=4OE例4 （1）如图，OA, 0B 不共线，AP=xAB（t 04,方表示0?.（2）设刃、西不共线，.点P在O、A、B所在的平面内，且OP = （l-t）OA + tOB（te R）.求证：A、B、P三点共线.例5已知a=2e r3e2f b= 2ei+3e2,其中引，血不共线,向量c=2e l-9e2f问是否存在这样的实数2、"，使2 =航+加与c共线.【学习反思】【拓展提升】1.设°、02是同一平面内的两个向量，则有（）A.®、02—定平行B©、02的模相等C.同一平面内的任一向量a都有。
平面向量基本定理导学案
§2.3.1平面向量基本定理高一（ ）班 姓名： 上课时间：【目标与导入】1、学习平面向量基本定理及其应用；2、学会在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。
【预习与检测】1、点C 在线段AB 上，且35AC AB --→--→= ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（ ）A 、23B 、32C 、-23D 、-322、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→+共线，则k 的值为（ ）。
.1.1.1.0A B C D -± 3、已知向量12,e e →→，作出向量1223OA e e →→=+与122(3)OB e e →→=+-。
两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA 分解成两个向量：在1e →方向上的____与在2e →方向上的______，OB 则分解成_____与_____。
4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果12,e e →→是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的______向量a →，有且只有一对实数12,λλ，使_____________，其中不共线的向量12,e e →→叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。
5、已知两个非零向量,a b →→，作,O A a O B b →→→→==，则()0180A O B θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a →与b →的__________，若0θ=︒,则a →与b →_______；若180θ=︒,则a →与b →__________；若90θ=︒,则a →与b →_______，记作______。
【精讲与点拨】如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC=14BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→为基底表示,,AM MH MD →→。
C2e →1e →A B【检测与纠错】1、设12,e e →→是同一平面内的两个向量，则有（ ）12.,A e e →→一定平行 12.,B e e →→的模相等.C 同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈.D 若12,e e →→不共线，则同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈2.在ABCD 中，23BP BC →→=，若,AB a BC b →→→→==, PD →=( )A 、13a b →→+ B 、13a b →→-+ C 、13a b →→- D 、13a b →→--【作业与预习】A 组：如图所示，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，设1AB e →→=，2AD e →→=，以1e →，2e →为基底表示,,,EF BC CD AC →→→→。
高一数学平面向量基本定理导学案
山西省原平市第一中学2012-2013学年高一数学平面向量基本定理导学案| § 4-05平面向量基本定坯“—、学习目标卩(1)使学生了解平面问量的基本定理及其意义；心(2)使学生会用平而向量的基本宦理处理向量共线问题。
文本研读问题一：请阅读P93到P94•思考前的内容，回答下列问题。
1 •平而向量基本左理是：2.一个平而内可以有多组“基底”吗？3.两个非零向量的兆角指什么？4.向量垂直的概念是什么？5 •指出下列两个向量的夹角:(1)非零向量2、B同向(2)非零向Ma x B反向6.若不共线的向Me1? e2是某一平而内的所有向量的一组基底，且me,+ne2 =xej+|.ie2 ,则m, n,九,卩之间存在什么关系？问题二：谙阅读下而•的例题。
例题:如下面左图,|BA|=6,|BF|=2»|BC| = 4>/3 , ZFBC=150°,ZFBA=60°>若BA = a,BF = b, 用向Ma . B表示向量反解：如上面右图，过C作BF的平行线与BA交于点D,作BA的平行线与BF的反向延长线交于点E,则由向量加法的平行四边形法则反二BD + BE由ZFBC=150S ZFBA=60°可知ZEBC=30°, ZBCE二90。
于是BD二CE二BCtan30。
二 4 x — =4, BE二-BC = -二&3cos 30°y]3TX|BA|=6,|BF|=2,由向量数乘的泄义，BD =|BA,BE =-4BF.^BC = |BA-4BF = |a--4b课堂检测1•设丘表示“向北偏西15。
走10km J 6表示“向南偏东75。
走5knT,〔蓋示“向南偏西45。
泄15km”，写出下列「向量的夹角:(1)7 与B(2)(a+b)与E2.在上题中，用向Ma > 6表示向量c交流.点评四、实战演练1.已知a = h b = 2,且a-b与a垂直，则a与B的夹角是2•设e H e2是不共线的两个向OA F x1e1+y1e2, OB=x:e,+yoe2> AP=瓦那么可等于⑷[(1 一氐+ X』)y,+ 咒]e2(B) [Xi+(i— )x』e]+[ y】+(l_ )yj 52(0 [(1+ )xi+ xje ]+[(i+ )y,+ yJ ®(D) [X1+(1+ )x』Q]+[ y,+(l+ )y：l523.设R且A,B,C三点不共线，则AB+ BC+ CA=0r J^立的充要条件是(A) | | = | | = | | (B) 二二(C) + + 二0 (D)二二二04.已知疋为A氏与AD的和向感且AC = a, BD=/J,则AR •可用乳5表示为_______________5.设e lt e2是不共线的两个向虽:，若a=2e,-e2t方二3§-262・试判断W,丘能否作为基底？五.能力提升(A) 60°(B) 30°(0 135°(D) 45°】.如图，在AAOB中伍专贰貳冷西,AD与BC相交于M点，设云“，西二⑴试用二B表示向MOM： (2J在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过M点，设0E= OA, OF= 面•求证：+3 =7六.小结与反馈。
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）第一篇：《平面向量基本定理》教学设计《平面向量基本定理》教学设计一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。
内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。
从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。
（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。
）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。
二、目标和目标解析1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。
2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。
3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。
4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。
5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。
三、教学问题诊断分析1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。
[精品]新人教版必修四高中数学2.3.1《平面向量的基本定理》导学案
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231《平面向量的基本定理》导案【习目标】 1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底表示 【重点难点】1 教重点：平面向量基本定理 []2 教难点：平面向量基本定理的理解与应用【法指导】通过回顾复习向量的线性运算提出新的疑惑为新授内容做好铺垫【知识链接】 （一）复习回顾1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa[] （1）|λa|= ；（2）λ>0时λa与a方向 ；λ<0时λa与a方向 ；λ=0时λa= 2．运算定律结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b)=3 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 (二)阅读教材提出疑惑如何通过向量的线性运算表示出平面内的任意向量?【习过程】 （一）定理探究：平面向量基本定理：探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式 即λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量（二）例题讲解例1 已知向量1e ，2e 求作向量 251e +32e例2、如图 ABD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示，MB，MC和MD例3已知ABD的两条对角线A与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t∈R)用，表示（2）设OA、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且=-+∈求证：A、B、P三点共线(1)()OP t OA tOB t R例5 已知a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,d a bλμλμ、使与c共线=+【习反思】[]【拓展提升】1设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A e1、e2一定平行B e1、e2的模相等同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)2已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A不共线B共线相等 D无法确定3已知向量e1、e2不共线，实数、y满足(3-4y)e1+(2-3y)e2=6e1+3e2，则-y的值等于( )A3 B-3 0 D24已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= 5已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线)。
导学案026平面向量基本定理及其坐标表示
平面向量的基本定理及其坐标表示考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定 理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档. 教学过程基础梳理一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果e 21与e 是同一平面内的两个（ ）向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 21与e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对 （ ） 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ （ ） ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设向量OA ＝xi ＋yj ，则向量OA 的坐标(x ，y)就是 的坐标，即向量OA ＝(x ，y)，则A 点坐标为 ( ) ，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝ ( ， ) a －b ＝( ， ) λa ＝ ( ， )．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB ＝（ ）| AB |＝ .三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔双基自测1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－23．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－354．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝ma ＋nb ，则nm＝________.典例分析考点一 平面向量基本定理[例1] (2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.变式1．(2012·舟山模拟)如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP ＝m OP1＋n op2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二、平面向量的坐标运算[例2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝ ( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(－3，－5)D ．(－2，－4)变式2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． 提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.考点三、平面向量共线的坐标表示[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )A.14 B.12 C ．1D ．2变式3．(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB ∥a ，则实数y 的值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是：a ∥b(b ≠0)⇔a ＝λb ，或x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未知数的值．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． 两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.本节检测1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB.12－32C ．－32a －12bD ．－32＋12b4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b是不共线的向量，A B＝λa ＋b ，A C＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若A C ＝a ，B D ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23＋13C.12a ＋14bD.13＋236．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a的坐标为________．7．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.自我反思。
导学案025平面向量基本定理及其坐标表示
平面向量的基本定理及其坐标表示考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定 理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档. 教学过程基础梳理一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理：如果e 21与e 是同一平面内的两个（ ）向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e21与e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对 （ ） 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ （ ） ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设向量OA ＝xi ＋yj ，则向量OA 的坐标(x ，y)就是 的坐标，即向量OA ＝(x ，y)，则A 点坐标为 ( ) ，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝ ( ， ) a －b ＝( ， ) λa ＝ ( ， )．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB ＝( ， )， | AB |＝ .三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔双基自测1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－23．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35 D.⎝⎛⎭⎫45，－35 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝ma ＋nb ，则nm＝________.1．平面向量基本定理的理解(1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底．(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的．(3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算． 2．共线向量充要条件的应用技巧两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：已知坐标，判定平行；已知平行，可求参数．但要注意与共线向量定理结合应用，如果求与一个已知向量共线的向量时，用后者更简单．典例分析考点一 平面向量基本定理[例1] (2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·舟山模拟)如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP ＝m OP1＋n op2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0[冲关锦囊]用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二、平面向量的坐标运算 [例2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(－3，－5)D ．(－2，－4)[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．[冲关锦囊]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算． 2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.考点三、平面向量共线的坐标表示 [例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )A.14B.12 C ．1D ．2[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 4．(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量 a ＝(1,2)，若AB ∥a ，则实数y 的值为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8[冲关锦囊]向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是：a ∥b(b ≠0)⇔a ＝λb ，或x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未知数的值．一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．23．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)， 则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD＝k BC (k ∈R)， 由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。
【新导学案】高中数学人教版必修四：231《平面向量的基本定理》(2).doc
2. 3. 1《平面向量的基本定理》导学案【学习目标】1、知道平面向量基本定理；2、理解平而里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【重点难点】1.教学重点：平面向量基本定理2.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用【学法指导】：通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫.【知识链接】(-)复习回顾1.实数与向量的积：实数入与向量&的积是一个向量，记作：入万(1)| 51= _______ ； (2)入＞0时入方与万方向_____ ；入＜0时入N与0方向____ ；入=0时入万=2.运算定律结合律：(p5)= _________ ；分丙己律：(入+卩)万= ____ , ^(a+b )= _____________ .3.向量共线定理向量庁与非零向量方共线的充要•条件是:有且只有一个非零实数入，使_________ .(二)阅读教材，提出疑惑：如何通过向M的线性运算来表示出平面内的任意向量？【学习过程】(一)定理探究：平面向量基本定理：____________________________________________________________探究：⑴我们把不共线向量“、5叫做表示这一平面内所有向量的___________________ ；(2)基底不惟一，关键是_________ ；(3)由定理可将任一向量a在给出基底£|、£.2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式_____ .即几入2是被方，石，石唯一确定的数量(二)例题讲解例1己知向量€] , e2求作向量2.5+3e2 .例2、如图ZZABG0的两条对角线交于点M,且AB = a, AD = b , ffl 5 ,方表示胚4, MB , MCa B和MD例3己知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点，求证：OA +OBOC + OD =4OE例4(1)如图，OA,不共线，AP={AB (t R)用0力，OB叢示OP.(2)设鬲、西不共线，•点P在0、A、B所在的平面内，且丽= (1 —/)刃+ /面(虫/?).求证:A、B、P三点共线.例5已知a=2ei-3e2» b= 2引+3幺2，其中6，e2不共线，向量c=2ei-9e2＞问是否存在这样的实数2、“，使2 = 2方+ “乙与c共线.【学习反思】【拓展提升】1.设6、©是同一平面内的两个向量，则有()A©、02 一定平行B.®、%的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=Xe^ie2(X. //£R)D.若€/、勺不共线，则同一平面内的任一向量a都有。
平面向量基本定理专题(导学案)老师版
抓本质，促学法（导学案）——平面向量基本定理专题课1、理解平面向量的加法，减法和实数与向量的积2、理解平面向量基本定理的唯一性和可分解性问题：如图1所示，在△ABC 中找出表示AB BC +，AC AB -的向量 在平行四边行ABCD 中，找出表示AB AD +，AB AD -的向量（图1） 2、实数与向量的积：a λ表示实数与向量的乘积，结果仍然是一个向量，这个向量与a 平行，长度是a 长度的|λ|倍。
当λ>0时，a λ向量与a 同向， 当λ<0时，a λ向量与a 反向， 当λ=0时，0a λ=， 3、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；二、 探究体验： 1、 选择基底向量(1) 如图2，在ABC △中，N 是 的AB 边上的点，并且BN:BA=3:5，若要表示向量NC ，可以使用哪两个向量做基底？ 反思1：基底向量是否唯一？ (图2)答：基底向量不唯一，只要是不共线的两个向量都可以作为基底向量反思2：向量a被分解后，表示是否唯一？（唯一性）答：若基底给定，那么向量a 被分解后，其表示是唯一的，即此时λ1，λ2的数值被a，1e ，2e 唯一确定.2、 用已选基底向量表示未知向量3、 如图3，在上个问题中，若以BA ，BC 为基底向量，则：BN = BA ，NA = BA , NC = BN -= BC + BA （图3）（2）在上题中，若M 是BC 边上的点，并且BM:BC=1:3则BN =35BA ，NA =25BA ,BM =13BC ；AM =-BA +13BC （图4）（3）若在此题中，AM 与CN 相交于点P ，设,AP AM NP NC λμ==,,[0,1]λμ∈，则AP =BA λ-+13λBC ①NP =35BA BC μμ-+ ②AP =NP NA -=32()55BA BC μμ--+ ③反思3：以上三个题解决了，实际上我们一直都在做什么？ 答：将未知向量用已知向量表示出来反思4：把未知向量分解转化为基底向量表示的方法是什么？ 答：(1)通过若干个三角形或平行四边形分解转化的 。
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§2.3.1平面向量基本定理高一（ ）班 姓名： 上课时间：【目标与导入】1、学习平面向量基本定理及其应用；2、学会在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。
【预习与检测】1、点C 在线段AB 上，且35AC AB --→--→= ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（ ）A 、23B 、32C 、-23D 、-322、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→+共线，则k 的值为（ ）。
.1.1.1.0A B C D -± 3、已知向量12,e e →→，作出向量1223OA e e →→=+与122(3)OB e e →→=+-。
两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA 分解成两个向量：在1e →方向上的____与在2e →方向上的______，OB 则分解成_____与_____。
4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果12,e e →→是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的______向量a →，有且只有一对实数12,λλ，使_____________，其中不共线的向量12,e e →→叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。
5、已知两个非零向量,a b →→，作,O A a O B b →→→→==，则()0180A O B θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a →与b →的__________，若0θ=︒,则a →与b →_______；若180θ=︒,则a →与b →__________；若90θ=︒,则a →与b →_______，记作______。
【精讲与点拨】如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC=14BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→为基底表示,,AM MH MD →→。
C2e →1e →A B【检测与纠错】1、设12,e e →→是同一平面内的两个向量，则有（ ）12.,A e e →→一定平行 12.,B e e →→的模相等.C 同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈.D 若12,e e →→不共线，则同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈2.在ABCD 中，23BP BC →→=，若,AB a BC b →→→→==, PD →=( )A 、13a b →→+ B 、13a b →→-+ C 、13a b →→- D 、13a b →→--【作业与预习】A 组：如图所示，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，设1AB e →→=，2AD e →→=，以1e →，2e →为基底表示,,,EF BC CD AC →→→→。
B 组：1、已知向量12122,2a e e b e e →→→→→→=-=+，1262c e e →→→=-其中12,e e →→不共线，则a b →→+与c →的关系（ ）.A 不共线 .B 共线 .C 相等 .D 无法确定 2、若向量12,e e →→不共线，实数,x y 满足()()1212342363x y e x y e e e →→→→-+-=+，则x y -的值为________;3、已知120,0λλ>>，12,e e →→是一组基底，且1122a e e λλ→→→=+，则a →与1e →__________，a →与2e →_________.（填共线或不共线）【总结与体会】1、基底有什么作用？________________________________2、要成为基底需满足什么条件？______________________3、基底唯一吗？ _______________4、基底确定了，向量分解形式唯一吗？_____________________C1e B§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算高一（ ）班 姓名： 上课时间：【目标与导入】1、学习平面向量的坐标的概念；2、能够进行平面向量的坐标运算【预习与检测】1、D 是ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →=（ ）A 、12BC BA →→+B 、12BC BA →→-+C 、12BC BA →→--D 、12BC BA →→-2、下列说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量；④基底给定时，分解形式唯一，12,λλ是被12,,a e e →→→唯一确定的数量。
其中正确的说法是（ ）.A ①② .B ②③④ .C ①③ .D ①②③3、在坐标系下，平面上任何一点都可用一对有序实数（即坐标）来表示，一个向量是否也可以用坐标来表示呢？若可以，它们是否是一一对应的？阅读课本P95，了解向量坐标的定义方法：（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量____________________. （2）在平面直角坐标系中，分别取与,x y 轴轴方向相同的两个单位向量,i j →→，对于平面上的任一个向量a →，有且只有一对实数,x y ，使得a x i y j →→→=+，我们把有序实数对(),x y 叫做a →的坐标，记作a →=________。
这样用坐标表示()(),,,i j →→==。
4、若()()1,2,4,5A B ，则______,______,________.OA OB AB OB OA →→→→→===-= 5、若()()1122,,,a x y b x y →→==，则_________,_________,_________.a b a b a λ→→→→→+=-==【精讲与点拨】例1：如图，已知()()3,2,3,1A B -，求,,OA OB AB →→→的坐标。
思考：若()()1122,,,A x y B x y ，则______,______,________.OA OB AB →→→===B例2、已知()()4,1,2,3a b →→==-，求,,23a b a b a b →→→→→→+-+的坐标。
例3、已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别是()()()2,1,1,3,3,4--，试求顶点D 的坐标。
【检测与纠错】完成课本P 100练习 1题、2题、3题 【作业与预习】A 组：1、设a AB →--→=，（1）已知()()2,1,0,0a A →=-，则点B 坐标为_______（2）已知()()1,3,1,5a A →=-，则点B 坐标为_______（3）已知()()2,5,1,2a B →=--，则点A 坐标为_______2、作用在坐标原点的三个力分别为()()()1233,4,2,5,3,1F F F →→→==-=，则合力F →=_____。
3、已知ABCD 的顶点(1,2),(3,1),(5,6)A B C ---，求顶点D 的坐标。
B 组：4、在ABCD 中，(3,7)AD →=，(2,3)AB →=-，对角线交于点O ，则CO --→的坐标是______.5、已知O 是坐标原点，点A在第一象限，60,OA xOA →=∠=︒求向量OA →的坐标。
【总结与体会】本节课的重点、难点？____________________________________________________ _____________________________________________________________________.§2.3.4平面向量共线的坐标表示高一（ ）班 姓名： 上课时间：【目标与导入】1、理解平面向量共线的坐标表示；2、能够熟练运用平面向量共线的坐标表示的知识解决有关向量共线问题。
【预习与检测】1、若()()1122,,,a x y b x y →→==，则()()(),,,,,,.a b a b a R λλ→→→→→+=-==∈2、若0b →→≠，且//a b →→，则a b λ→→=，用坐标表示为____________________________1212,x x y y λλ=⎧⇒⎨=⎩，消去λ有___________________。
所以，判断向量共线的条件有两种形式： ()//.____________a b a b λ→→→→⎧=⎪⎪⇔⎨⎪⎪⎩坐标表示3、证明三点共线的方法：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，只要证明______________，即可证,,A B C 三点共线。
4、设()()111222,,,P x y P x y ，则12P P 的中点P 的坐标为__________________________.5、设()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，当()121PP PP λλ→→=≠-时，______________________. 【精讲与点拨】例1：已知()()2,1,3,a b y →→==，且//a b →→，求y 。
例2：已知()()()1,1,1,3,2,5A B C --，试判断,,A B C 三点之间的位置关系。
【质疑与互动】设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()()1122,,,x y x y ，（1）当点P 是线段12P P 的中点时，求P 的坐标。
探究：（2）当P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标。
（3）当12PP PP λ→→=时，求点P 的坐标。
【检测与纠错】完成《课本》P 100 练习4题、5题、6题 【作业与预习】A 组：1、当x =_____时，向量()()2,3,,6a b x →→==-共线。
2、已知()()1,2,,1a b x →→==，若2a b →→+与2a b →→-平行，则x 的值为_____________。
3、若()()2,3,4,1a b y →→==-+，且//a b →→，则y =（ ）.6.5.7.8A B C D4、已知()()2,3,4,3A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且13||||2A P PB →→=，求点P 的坐标。
B 组：1、设31,sin ,cos ,23a b αα→→⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且//a b →→，则α的值是（ ）()()()().2.2..4444A k k ZB k k ZC k k ZD k k Z ππππαπαπαπαπ=+∈=-∈=+∈=-∈ 【总结与体会】本节课的重点是什么？_________________________________________平面向量基本定理测试班级： 成绩： 时间：一、选择题 1、若ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设=，=，则向量等于A ．+B ．－－C ．－+D ．－2、已知向量和不共线，实数x 、y 满足 (2x ﹣y)+4=5+(x ﹣2y)，则x+y 的值等于 （ ）A ．－1B ．1C ．0D ．33、若 5→ AB + 3→ CD =，且 |→ AD | = |→BC |，则四边形ABCD 是 （ ） A ． 平行四边形B ． 菱形C ． 等腰梯形D ． 非等腰梯形4、设 M 是△ABC 的重心，则→AM = （ ） A ． → AC －→ AB 2 B ． → AB + → AC 2 C ． → AC －→ AB 3 D ． → AB + →AC 35、设1e 和2e 为不共线的向量，则21e ﹣32e 与k 1e +λ2e （k ．λ∈R ）共线的充要条件是 （ ）A ．3k+2λ=0B ．2k+3λ=0C ．3k ﹣2λ=0D ．2k ﹣3λ=06、D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且==,，给出下列命题，其中正确命题的个数是 ①--=21 ② 21+= ③CF =－2121+ ④0=++CF BE AD A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题1、设向量1e 和2e 不共线，若x 31e +()y -102e =()74-y 1e +x 22e ，则实数=x ，=y ．2、设向量1e 和2e 不共线，若k 1e +2e 与1e 4-2e 共线，则实数k 的值等于 ．3、若1e 和2e 不共线，且213e e +-=，2124e e +=，21123e e +-=，则向量a 可用向量b 、表示为= ．4、设、不共线，点P 在AB 上，若μλ+=，那么=+μλ ． 三、解答题1、设21,e e 是两不共线的向量，已知2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，①若C B A ,,A BM C三点共线，求k 的值，②若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．2、设21,e e 是两不共线的向量，若21212133,82,e e e e e e -=+=+=，试证D B A ,, 三点共线．3、如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，CM 与BD 相交于点N ，若BD BN λ=， 求实数λ的值．*4、三角形ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD=41BC ，CE=31CA ，AD与BE 交于R 点，求BEREAD RD 及的值．。