【2018-2019】公文数学word版本 (12页)
（完整版）2019年全国成人高考数学试卷及答案（word版本）
（完整版）2019年全国成⼈⾼考数学试卷及答案（word 版本）绝密★启⽤前2019年成⼈⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学（⽂史财经类）第Ⅰ卷（选择题，共85分）⼀、选择题：本⼤题共17⼩题，每⼩题5分，共85分，在每⼩题给出的4个选项中只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设全集=U {1,2,3,4}，集合M={3,4} ，则=M C UA.{2，3}B.{2，4}C.{1，4} D .{1，2}2.函数x y 4cos =的最⼩正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2 3.设甲：0=b ⼄：函数b kx y +=的图像经过坐标原点，则A 甲是⼄的充分条件但不是必要条件B. 甲是⼄的必要条件但不是充分条件C 甲是⼄的充要条件D. 甲既不是⼄的充分条件也不是⼄的必要条件4.已知,21tan =α则)4tan(πα+= A.-3 B.31- C.31 D.3 5.函数21x y -=的定义域是A.{x x |≥-1}B. {x x |≤1}C. {x x |≤-1}D. {|x -1≤x ≤1}6.设,10<A. 1B. 120<C.0log 21x 7.不等式|21+x |21>的解集为 A. {|x 01<<-x } B. {|x 10-<>x x 或} C. {|x 1->x } D. {|x 0D.24种9.若向量),1,1(),1,1(-==b a 则=-b a 2321 A.(1，2) B.(1，-2) C.(-1，2) D .(-1，-2) 10.0213)2(161log -++=A.5B.4C.3D.211.函数542--=x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，则|AB|=A.3B.4C.5D.612.下列函数中，为奇函数的是A. 32+-=x yB. xy 2-= C.32-=x y D.x y cos 3= 13.双曲线116922=-y x 的焦点坐标是 A. (-5，0) , (5，0) B.(0,7-) ,(0,7 ) C. (0，-5) , (0，5) D.)7,0(),7,0(-14.若直线01=-+y mx 与直线0124=++y x 平⾏，则m=A. -1B. 0C. 1D.215.在等⽐数列{n a }中，4a 65=a ，则7632a a a a =A.12B. 24C. 36D.7216.已知函数)(x f 的定义域为R, 且,14)2(+=x x f 则=)1(f17.甲⼄各⾃独⽴地射击⼀次，已知甲射中10环的概率为0.9，⼄射中10环的概率为0.5，则甲⼄都射中10环的概率为A. 0.2B. 0.25C. 0.45D.0.75⼆．填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分。
公文数学教案
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)公文数学第一节复习十以内的加法活动目标：1、复习10以内的加法，能准确迅速地进行运算。
2、发展幼儿的灵敏性，培养幼儿良好的游戏秩序。
活动准备：算式题（挂于幼儿胸口）、彩旗（旗上有数字）、布置场景、停车场标记、沙包（上面有数字）、篓子（有数字1—10）、奖品（有算式题）、塑圈、黑板。
活动重点与难点：重点是上学期所学内容，难点是复习10以内加法活动过程：一、导入游戏师：今天天气真好让我们开着汽车一起到数学宫玩玩吧！（幼儿听音乐开汽车进活动室）师：数学宫到了，让我们把车停到停车场，胸口算式的得数就是你的车位号。
师：汽车停好了，我们一起进数学宫吧。
二、闯关游戏1、录音：欢迎来到数学宫，请闯第一关：对暗号。
师：进数学宫还得闯关啊！让我们看看闯关的要求是什么！师：老师说一个数，你们对一个数，两数合成小旗上的数。
这样就能闯关成功。
师：嘿！嘿！我说数字2。
幼儿：嘿！嘿！我说数字6，2和6合成8。
2、录音：小朋友你们真棒！欢迎进入第二关：投掷。
师：这一关的要求是什么呢？让我们一起再来看一看。
师：请小朋友算出沙包上的得数，然后站在线上投到相应的数篓子里。
（幼儿分组检查）3、录音：小朋友你们真能干，快快来闯最后一关吧！第三关：看谁报得多。
师：这一关的要求是：听一个数，请你说说有哪些算式的得数等于它。
4、录音：祝贺你们闯关成功。
博士爷爷还为你们准备了很多的礼物。
请你找一找跟你胸口得数一样的就是爷爷送给你的礼物。
; 三、结束部分今天你们玩得开心吗？那让我们一起带着礼物开着开汽车回家吧！公文数学第二节复习20之内的加法教学目标：1.通过学生的交流，发现20以内进位加法的多种计算方法，体验算法的多样化，培养学生的发散思维。
2.通过比较、抽象、概括，形成“凑十”的思想。
3.通过计算和比较，学生对不同的算式能灵活选用不同的方法，并能正确计算。
4.同学之间相互交流算法，体验算法多样化。
2019版文数通用版第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算 一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a )n＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r·a s ＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N . (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m blog m a(a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)． 1．化简(a 23·b －1)-12·a -12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a .2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.3.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝(log 23－2)2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零．1．化简－x3x的结果是()A．－－x B.x C．－x D.－x解析：选A依题意知x<0，故－x3x＝－－x3x2＝－－x.2．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则xy的值为________．解析：∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y. 又x>0，y>0，x－2y>0，故x＝y不符合题意，舍去．所以x＝4y，即xy＝4.答案：4二次函数1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象定义域R R值域单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称A．－4 B．4 C．－2 D．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D.⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92. [清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝4幂函数1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象 3．常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且x ≠0} 值域 R[0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ∈R ，且y ≠0}奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点(0,0)，(1,1)(1,1)解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝⎛⎭⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝⎛⎭⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数[过双基]指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1) a ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质当x ＝0时，y ＝1，即过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数1A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y ＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x ，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )mi n ＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )mi n ＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数对数函数的图象与性质 y ＝log a x (a >0，且a ≠1) a >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域性质当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0<x <1时，y ∈(－∞，0)；当x >1时，y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时，y ∈(0，＋∞)； 当x >1时，y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数aA.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x 的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23(2x －1) 的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x －1)≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________． 解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2. 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数， 所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或 12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1， ＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( ) 解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：xy ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x<log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值．解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22 x 1＋1－1＋22 x 2＋1 ＝2(2 x 1－2 x 2)(2 x 1＋1)(2 x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2 x 1－2 x 2<0，(2 x 1＋1)(2 x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x ＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立，化简得2t2－(m－2)t－m＋1>0，∴Δ＝(m－2)2＋8(m－1)<0，解得－2－22<m<－2＋22，故m的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度幂函数5年3考幂函数的性质二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质[典例]－2)·x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2 D．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析](1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y＝x12在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案](1)B(2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2．若(a ＋1)-13<(3－2a ) -13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)-13<(3－2a ) -13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下： [即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2.2．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：(1)二次函数的图象与性质；(2)二次函数的最值问题.1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a . ①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )mi n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a，a ∈[1，＋∞).4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8] 一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )mi n ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )mi n ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )mi n ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－3x ＋2>0，f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3. 5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m ≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1. 7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ① 当0≤－a 2≤1时，f (x )mi n ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }， ∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )mi n ]mi n ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )mi n 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f (x )x ，令g (x )＝f (x )x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示， 若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ －4ha ＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22， 则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立， 所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a . 当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则b a ＝1－2⎝⎛⎭⎫k ＋122k ＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2， 则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R . 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减，故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝⎛⎭⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 指数函数的图象 5年3考 指数函数图象的应用 指数函数的性质 5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝e x ·x 2e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x ·x 2e －2x ＋1＝e x ·x 21＋e 2x＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x－1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]指数函数的性质1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ． B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确； C 中，∵0.8－1＝1.25， ∴问题转化为比较∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴， 即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵,0<， ∴，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0.[方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a的取值，及结合指数函数的性质求解．角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x≤2，则y＝4x－12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12，∵1≤t≤4，∴t＝1时，y max＝52.答案：5 2[方法技巧]形如y＝a2x＋b·a x＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝a x转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选B由f(1)＝19，得a2＝19，解得a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝⎝⎛⎭⎫13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________________．解析：∵|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．答案：f(－4)>f(1)[方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y ＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y， 所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥23+11x y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 故1x ＋1y的最大值为1. 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0.答案：⎝⎛⎭⎫－13，0 1．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D.法二：由2x (x －a )<1得a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )mi n .又y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (x )>f (0)＝－1， 所以a >－1，选D.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32一、选择题1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A ∵g (x )＝21－x ＝f (－x )，∴f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．。
KUMON公文数学-B
＋
9
(56).
73 0
＋ 97
B104B
KUMON ¤
P7 月 日 时 分至 时 分
姓名：
(57).
91 4
＋ 95
(61).
51 2
＋ 89
(58).
97 8
＋ 50
(62).
89 3
＋
10 1
(59).
55 5
＋ 76
(60).
27 8
＋ 60
(63).
78 6
＋ 34
(64).
55 9
＋ 49
87
.
5
＋ 54
B115A
KUMON ¤
P28 月 日 时 分至 时 分
姓名：
(225)
42
.
7
＋ 15
(229) .
26
＋ 10
(226)
85
.
8
＋ 33
(227) .
68
＋ 96
(228)
15
.
8
＋ 43
(230)
77
.
3
＋ 84
(231)
29
.
9
＋ 54
(232)
70
.
5
＋ 32
B115B
KUMON ¤
(47).
12 8
＋
10 4
(44).
61 9
＋ 57
(48).
90 1
＋ 20
B104A
KUMON ¤
P6 月 日 时 分至 时 分
姓名：
(49).
45 2
＋ 81
(53).
KUMON公文数学-3A
3A101b KUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=+33369+37+1110+33+3337+33+31+5+3+3+3 时 分3姓 名3A102a月 日+16+++151334 时 分133A102bKUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=3+1173314+933103+12315++3+++3333A101a月 日++3+1714468812+3姓 名2++ 时 分时 分33+3A102bKUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=月 日 时 分3A103a14+17+3+15+33131112+38+37+38+34+39+3姓 名5+3 时 分315+3+7+3311+33A103bKUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=姓 名3++616+331316+3310+310+3+311+3+8+3 月 日 时 分时 分+3+371731315+3473A102a3+3+3A104b KUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=3A105a151418+311+317+3+314+3+316+3+31010+3+8315+312+++36姓 名8+3 月 日33 时 分时 分73A105b KUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=3A104a+312+31814+351512+316+31713++313+3+33811+99+3 月 日 时 分3姓 名6+3+3+3+3 时 分3A106b KUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=161593A107a+219+318+3+21417+3+213+3+210++21237+327+12+329+3+姓 名月 日8 时 分时 分3A107b KUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=3A106a19+314+316+318+317+313+310+3+8+3+3511+163315+11++3姓 名+31093 时 分时 分月 日33A108b KUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=3A109a1820+3+319+314+3315+317+16+3+31018+317+3314+38+13+3+3姓 名9 时 分时 分+310 月 日3A109b KUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=3A108a21+3320+18+3+15+311+3+3+311+316+1217+1213+3333+ 时 分时 分3161538+7+3姓 名月 日3A110b KUMO N～（8）=（9）=（10）=（1）=（11）=（2）=（12）=（3）=（13）=（4）=（14）=（5）=（15）=（6）=53A111a311++11姓 名时 分月 日 时 分1+++3118+31412+3+317+16+313+311+339+3+1243A111bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=（7）=173A110a+121++20+8314+5+2+11313+姓 名3+1+1 月 日11+33310+ 时 分时 分1+7+6973A112bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=11+2111+10+8+1++4+2 时 分时 分月 日6姓 名1113A113a+1+352210227++256+9+3A113bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=+1111+129+8186++11117+1姓 名1++++1611 月 日3A112a时 分429时 分7+4+1+3A114bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=+9+1112+11+9+111+11010+17+15+13+15+1 月 日 时 分 时 分姓 名12+3A115a1+1173A115bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=3A114a86128112++117+1+1116+++++1911+3+14+1 月 日4+1111姓 名1 时 分时 分3A116bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=3A117a69+2+210+292+2885++7+224+6+25+222223+姓 名2++ 月 日 时 分时 分3A117bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=3A116a+1011+28+22359+21232+27+2+2+422+2+6+2+22+姓 名月 日 时 分 时 分3A118bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=+312+211+29+2528++5+27+23+2333332++3姓 名时 分 时 分3A119a月 日4+31+3A119bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=461110+9+33103+8+2+7+6+32785+3+223+323A118a月 日 时 分 时 分2+2姓 名++3A120bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=3A121a119+18+16+110+132+11+姓 名+3月 日 时 分时 分33333+3912++++8574+3A121b KUMO N～（7）=（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=253A120a110+1+37+14+1+5++119+1110113+30+33+202 时 分15+3+3 时 分 月 日姓 名3A122b KUMO N～（7）=（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=11+111+19+110+1110+18+11+97+3+12+1姓 名+15+143A123a时 分月 日 时 分+173A123bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=12+11+11+1+1+19+111+17+15+61+13A122a34+ 时 分月 日6+8+ 时 分111810姓 名3A124b KUMO N～（7）=（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=2++118211+10+210+29+2+2277+224+姓 名+2+ 月 日+53A125a5+2322 时 分 时 分33A125bKUMO N～（7）=（1）=（8）=（2）=（9）=（3）=（10）=（4）=（11）=（5）=（12）=（6）=（13）=3A124a102+6+2+58+++32时 分2222 月 日811+29+26+2102+ 时 分+222+姓 名4+23A131bKUMO N～（8）=（1）=（9）=（2）=（10）=（3）=（11）=（4）=（12）=（5）=（13）=（6）=（14）=（7）=（15）=3A132a姓 名25+145+5+1+34+344+4+12++3343+23+332 月 日 时 分 时 分++15+33+213A132b KUMO 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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
公文数学辅导资料
专家答疑篇问：做公文作业为什么要有“标准完成时间”？答：“标准完成时间”起两个作用：第一是检测孩子对这部分知识掌握的熟练程度，以确认目前适合他学习的恰到好处的进度；第二是制约孩子在规定的时间内集中注意完成作业，以训练他在短时间内高效学习的能力。
这个“标准完成时间”是日本公文教育研究会的老师们根据世界上一千多万孩子的学习能力统计测量后确定，有其科学性与普遍意义，是一般的孩子都能够达到、或者说通过训练后能够达到的。
如果说孩子们通过参加公文式的学习能养成良好的学习习惯，那么“标准完成时间”起了很重要的作用。
问：孩子做3A题超时怎么办？答：孩子学习超时要分析原因，要有针对性地寻找解决的办法。
如果是因为写字速度比较慢，那可能跟孩子手、腕部小肌肉尚在发育有关。
在前面做4A部分时，能不能在10分钟以内完成？是不是做4A部分时进度太快？同时4A结束测试可能也没在达到规定的要求？现在既然已经在做3A了，那平时除了做公文作业，可适当地增加一些类似4A的写数、画画的练习，进一步加强运笔写字的能力。
如果是因为注意力不集中，边做作业边会想到其他的事，那可不好。
家长需要花点时间帮他改掉这个坏习惯。
具体地说，就是给他规定好每天做公文作业的时间，在他做作业的时间里，远远地看着他，如发现他不专心了，马上提醒他（当然还要及时地鼓励），直到他能完全独立专心地完成作业为止。
对有些孩子而言，好的学习习惯的养成可能要花长一点的时间哦。
总之，孩子可塑性很强，从小养成了良好的学习习惯，将受益终生；同样坏习惯也会对他的进步和发展起不良的作用。
问：公文式学习中为什么要“复习”？答：“复习”即是对已做过的内容再做。
复习的目的是为了让学生对后面的内容学得更加顺利，能轻松得100分。
只有轻轻松松得了100分，进入后面的学习才不会感到困难。
才能轻松、愉快地向前学习。
问：进公文班学习为什么要低出发点？答：所谓低出发点即是让学生在自己会做的地方开始学。
学生依靠自己的能力轻松地解决问题，他会觉得学习是件愉快的事情。
2018-2019-mba数学word版本 (8页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==mba数学篇一：201X年全国MBA联考数学真题解析201X年全国MBA联考数学真题解析篇二：201XMBA数学真题答案详解201XMBA数学真题答案详解1. 解析：增长率问题，实际提前两天完成，即8天完成，设工作总量为a,则计划每天的工作总量为,实际每天的工作总量为a/8,设每天的产量比计划提高了x，则a/10(1+x)=a/8,解得x=25%答案 C2. 解析：工程问题，设乙丙两公司单独完成分别需要x,y天，由甲、乙两公司共同承保需28天完成可得(1/60+1/x)×28=1,同理(1/x+1/y)×35=1,解得y=105答案：E3.解析：设低于60分以下的人数最多有x人，则高于90分的人数为3x，又因为总人数为30，所以x+3x≤30，解得x≤7.5所以60分一下的人数最多为7人答案B4.解析：由于乙行走一圈需要8分钟，乙一共走了25分钟，所以乙走的圈数是25÷8=3.125(圈)甲比乙多走一圈即甲走了4.25圈。
用甲行走的路程除以甲行走的时间得出甲的速度为66答案C5.二元一次方程的应用，设甲乙两商店的进货量分别为x,y。
由题意得：(x-15):(y-10)=8:7，(x-15)-(y-10)=5联立方程解得x=55,y=45。
所以甲乙两店的总进货量为100。
6.解析：考察最基本的列项公式答案为E 的运用7.解析：考察两个相似三角形的面积和边长的关系，面积比等于相似比的平方，由题意得：△ADE∽△ABC，利用这两个相似三角形可以求出DE的长答案：D8.解析：如果点A,B关于直线ax+bx+c=0对称，则经过这两点的直线与直线ax+bx+c=0垂直，并且A,B两点到直线ax+bx+c=0的距离相等。
根据点到直线的距离公式和两直线垂直斜率的关系可以得到答案。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)文数(含答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z =A．1+2i B．-1+2iC．1-2i D．-1-2i3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=A．2B．2C．52D．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x-，则当x<0时，f(x)= A．e1x--B．e1x-+C ．e 1x ---D ．e 1x --+ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15 B ．55C ．33 D ．25512．设F为双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A ．2B ．3C．2 D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
公文中数字的规范使用
公文中数字的规范使用一、数字概述数字主要包括汉语数字和阿拉伯数字两种。
其中，汉字数字通常是指“一、二、三、四、五、六，七、八、九、十”及其大写“壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾”等数字，阿拉伯数字主要指“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”十个数字。
不论是汉字数字，还是阿拉伯数字，在公文中的使用都具有严格的规定和统一的用法。
二、公文中数字使用的常见瑕疵在公文创制中，由于写作主体对数字使用的有关规定不熟悉，规范意识、标准意识不强，审核程序不严格、不规范，汉字数字和阿拉伯数字的错用、滥用、误用、混用及表达不够精练等数字使用不规范情况层出不穷，屡见不鲜，普遍存在，如“2008年”写作“08年”，“七八天”写作“七、八天”，“腊月十五”写作“腊月15”，“一年4季”，“1,300,000,000人”等等，这些数字的不规范使用现象，都在一定程度上影响了文章的质量和发文机关的形象，汉字使用规范化、标准化亟待重视和加强。
三、汉语数字的规范使用（一）长期已来约定俗成的定型的词语、词组、成语、短语、惯用语、缩略语或具有修辞色彩的词语中作为语素的数字，必须使用汉字。
如：一概、九州、三翻四次、八仙过海、零点方案、二一添作五、见其一未见其二、不管三七二十一、九牛二虎之力、行百里者半九十，等等。
（二）星期、季度的表述及规范化简称、统称用语需使用汉字型数字，如：星期一，星期六、第二季度、第四季度，二万五千里长征、十六届四中全会、七届三中全会等。
（三）中国历史纪年、干支纪年、夏历月日、各民族非公历纪年的表述，应使用汉字型数字。
如:万历十五年、丙寅年九月二十三日、戊子年四月十七日、腊月初八，正月十五，藏历阳木龙年八月二十六日等。
同时，为了表达得更加明白清楚，可在它们的后边用阿拉伯数字进行括注。
如康熙二十一年（1682年）。
（四）相邻的两个数字并列连用表示概数的，须使用汉字数字，且之间不能用符号隔开，如:“三四天”不能写成“三、四天”，“八九万套”不能写成“八、九万套”。
上海公文数学教材
竭诚为您提供优质文档/双击可除上海公文数学教材篇一：公文数学公文数学目录b为本词条添加义项名展开1概述“公文数学”是日本经过长期实践检验而推行的一种数学训练模式。
它的优势在于培养学生的自学能力，养成良好的学习习惯，提高单位学习时间效率和计算准确性。
建校初期我们在教学中就引进了“公文数学”这种先进的教学方法，让学生每天坚持15－20分钟的训练，持之以恒。
目前相当一部分三、四年级学生的数学水平已达到初中一、二年级的水平。
四年的实践证明，学生自主学习的能力和学习数学积极性得到提高，不良的学习习惯得到纠正，使学生“勤学”与“巧学”有机的结合了起来，每个学生潜在的能力被很好发掘了出来，并得到最大限度地发展。
2起源1954年，当时担任高中数学老师的公文日本公文教育研究会公先生（是日本公文教育研究会的创始人），为自己上小学二年级的长子编写了一套数学习题集，这就是公文式学习法的起源。
其效果除了能提高学生的数学能力外，还能培养学生自学自习的能力，奠定良好的学习基础。
从那以后，公文式学习法就以开发学生能力的有效方法在世界上30个国家推广，目前有200多万学生在利用公文式学习法学习。
3课程介绍公文式教材的编排原则是，让学生在最短的时间内获得最大的学习效果；同时考虑到计算在高中数学中所占的绝对比重，公文式突破了学校的教学大纲，以培养学生的计算能力为公文数学突破口，精心编排了一套循序渐进的数学教材，帮助学生实现“自学自习到高中教材”的目标。
公文式数学教材从简单的划线练习到高等数学，跨越了从幼儿园到大学整个阶段，由于公文式采取了小步前进的学习方式，将整套教材细分多个阶段，尽可能的减低了学习阶段间的落差，便于每个学生自学自习，因此任何人都可以借用这套教材来提高自己的学习能力，取得意想不到的效果。
公文式数学教材自问世以来，不断从实际的运用中吸取经验，不断加以修订，力求使教材在题量、顺序、例题等各方面得到不断的完善，达到最佳的学习效果。
公文数学辅导对照表
公文数学辅导对照表（5A-A）
级别
5A
4A
3A
学习目标
1-10 11-20 21-30 31-40
1 通过用铅笔做题，培养孩子的握 笔能力、运笔能力、做题能力和注 意力 2 通过做题时的数数练习和数字 连图的画线练习，使孩子更熟练的 掌握 30 以内的数字
线的练习 1
SCT
线的练习 2
线的练习 3
整式的运算 2
四元一次方程组
二次方程 2
141-150
整式的运算 3
方程应用题 1
二次方程 3
151-160 一元一次方程 1
方程应用题 2
二次函数及其图像 1
161-170 一元一次方程 2
方程应用题 3
二次函数及其图像 2
171-180 一元一次方程 3
不等式
二次函数及其图像 3
181-190 一元一次方程 4
A 以前的复习
SCT
加法 1
加法 2
加法 3
加法 4
加法 5
加法 6
加法 7
减法 1
减法 2
减法 3
1-2
减法 4
减法 5
减法 6
减法 7
减法 8
减法 9
减法 10
加法和减法 1
加法和减法 2
【小学阶段】
公文数学辅导对照表（B-F）
级别
B
C
D
学习目标 1-10
在 A 教材的加减法心算能力的基础 上，培养了加减法的笔算能力，并 为学习 C 教材打好基础。
131-140
2 位数减法 2
有余数的除法 2
除数是 2 位数的除法 6
141-150
（完整版）2019年全国成人高考数学试卷及答案（word版本）
（完整版）2019年全国成人高考数学试卷及答案（word版本）绝密★启用前2019年成人高等学校招生全国统一考试数学（文史财经类）第Ⅰ卷（选择题，共85分）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分，在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设全集=U {1,2,3,4}，集合M={3,4} ，则=M C UA.{2，3}B.{2，4}C.{1，4} D .{1，2}2.函数x y 4cos =的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2 3.设甲：0=b 乙：函数b kx y +=的图像经过坐标原点，则A 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.已知,21tan =α则)4tan(πα+= A.-3 B.31- C.31 D.3 5.函数21x y -=的定义域是A.{x x |≥-1}B. {x x |≤1}C. {x x |≤-1}D. {|x -1≤x ≤1}6.设,10<<="">A. 1<<="" bdsfid="90" p="">B. 120<<x< bdsfid="92" p=""></x<>C.0log 21x 7.不等式|21+x |21>的解集为 A. {|x 01<<-x } B. {|x 10-<>x x 或} C. {|x 1->x } D. {|x 0<="">8.甲、乙、丙、丁4人排成一行，其中甲、乙必须排在两端，则不同的排法共有A. 2种B. 4种C. 8种D.24种9.若向量),1,1(),1,1(-==b a 则=-b a 2321 A.(1，2) B.(1，-2) C.(-1，2) D .(-1，-2) 10.0213)2(161log -++=A.5B.4C.3D.211.函数542--=x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，则|AB|=A.3B.4C.5D.612.下列函数中，为奇函数的是A. 32+-=x yB. xy 2-= C.32-=x y D.x y cos 3= 13.双曲线116922=-y x 的焦点坐标是 A. (-5，0) , (5，0) B.(0,7-) ,(0,7 ) C. (0，-5) , (0，5) D.)7,0(),7,0(-14.若直线01=-+y mx 与直线0124=++y x 平行，则m=A. -1B. 0C. 1D.215.在等比数列{n a }中，4a 65=a ，则7632a a a a =A.12B. 24C. 36D.7216.已知函数)(x f 的定义域为R, 且,14)2(+=x x f 则=)1(fA. 3B. 5C. 7D.917.甲乙各自独立地射击一次，已知甲射中10环的概率为0.9，乙射中10环的概率为0.5，则甲乙都射中10环的概率为A. 0.2B. 0.25C. 0.45D.0.75二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
公文数学测试一年下学期（合集五篇）
公文数学测试一年下学期（合集五篇）第一篇：公文数学测试一年下学期公文数学测试2（一年级下学期）一、10以内的加减法0+6＝0+0＝1+2＝1+9＝10-8＝2+3＝2+8＝4--3＝3+6＝5-1＝ 6-4＝4+6＝9-0＝5+5＝6+2＝ 7+2＝7+3＝8+1＝9-2＝9-7＝ 8-1＝8-5＝8-7＝3+1＝5-4＝3+3＝二、求未知加数2+（）=104+（）=85+9+（）=93+（）=7（）+3=9（）+1=10（三、连加、连减、加减混合运算2+6+2=5+3+2=4+0+3=1010—1—4=7—2+4=8+2—6=10四、20以内的进位加法9+2=9+6=8+5=7+6=7+8=6+6=5+8=4+7=8+4=8+7=9+9=5+9=7+7=9+7= ＝7-5＝＝4+4＝（）=10（）+6=10）+7=10（）+9=10 —3—7=9—3—6= —4+3=3+6—8=3+8=8+8=3+9=5+6=4+9=6+8=7-3 3-1第二篇：公文测试第一部分选择题-11一、单项选择题本大题共30小题，每小题1分，共30分在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1．公文区别于其他文章的主要之点是A．公文形成的主体是国家机关及其他社会组织B．公文形成的条件是行使职权和实施管理C．公文是具有法定效用与规范格式的文件D．公文是办理公务的重要工具之一2．《关于××厂进口ＳＤ6型自动车床的请示》，作者是A．××厂B．××厂的负责人C．起草文件的刘秘书D．签发文件的董厂长3．不相隶属的机关之间联系工作，应当用A．通报B．通知C．函D．意见4．下列撰写公文常见的缺点，属于“语句表述不完整”的问题是A．滥用省略B．篇幅冗长C．交代不明D．眉目不清5．下列“请示”的结束语中得体的是A．以上事项，请尽快批准B．以上所请，如有不同意，请来函商量C．所请事关重大，不可延误，务必于本月10日前答复D．以上所请，妥否﹖请批复6．几个机关联合发文，只能标明A．主办机关的发文字号B．所有机关的发文字号C．至少两个机关的发文字号D．根据情况临时规定的发文字号7．一般应标识签发负责人姓名的文件是A．上行文B．平行文C．下行文D．越级行文8．主送机关是A．有隶属关系的上级机关B．受理公文的机关C．收文机关D．需要了解公文内容的机关9．下列文种必须以领导人签发日期为成文日期的是A．会议报告B．条例C．工作总结D．请示10．特殊情况越级向上行文，应抄送给A．直属上级机关B．直属下级机关11．A12．D13．C14．C15．CC．系统内的所有同级机关D．有业务联系的机关11．“请示”可以直接交给领导者个人的是A．领导人直接交办的事项B．与领导人直接相关的事项C．重要文件D．机密文件12．下列哪个事由，根据《办法》，不可以使用“决定”A．严惩严重破坏社会治安的犯罪分子的工作安排B．大兴安岭森林特大火灾事故的处理C．授予×××全国劳动模范的称号的嘉奖D．在太平洋×地区试验运载火箭，使过往船只周知13．答复上级机关的询问，使用A．通报B．请示C．报告D．通知14．根据事由：“××公司发行重点钢铁企业债券”，应使用的文种是A．通报B．通知C．通告D．决定15．《××广播局关于向××县土地局申请划拨建设电视转播台用地的请示》，该标题主要的错误是A．违反报告不得夹带请示的规定B．违反应协商同意后再发文的规定C．错误使用文种，应使用函D．错误使用文种，应使用报告16．负责公文处理工作的是本机关的A．档案室B．业务处C．收发室D．办公厅室17．公文办理主要分为16．D17．A18．B19．A20．BA．收文和发文B．拟办与承办C．登记与分发D．整理与保管18．文件的拆封是文书人员的职责。
公文数学(乘法)
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四、乘一乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
3×2= 3×3= 3×4= 3×5= 3×6= 3×7= 3×8= 3×9=
(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)
3×3= 3×5= 3×7= 3×9= 3×2= 3×4= 3×6= 3×8=
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四、乘一乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
3×5= 3×1= 3×9= 3×0= 3×4= 3×7= 3×2= 3×8=
(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)
3×7= 3×0= 3×5= 3×2= 3×6= 3×8= 3×4= 3×9=
三一得三 三二得六 三三得九 三四十二 三五十五 三六十八 三七二十一 三八二十四 三九二十七
3×6= 3×7= 3×8= 3×9=
C16b
三、填一填
(1) (2) (3)
3、6、9、12、（ 12、（ 6、9、12、15（ 12、15（ 9、12、15、18（ 12、15、18（
）（ ）（ ）（
313三一得三326三二得六339三三得九3412三四十二3515三五十五3618三六十八3721三七二十一3824三八二十四3927三九二十七二乘一乘131636232737333838434939535c16a2到3的乘法口诀一念一念下面的乘法口诀然后在方框中划圆念得越快越好
C16a
2到3的乘法口诀
C20a 2到3的乘法口诀 一、填一填 (1) (2) (3) 2、4、6、8、10、( 10、 3、6、9、12、15、( 12、 15、 )( )( )( )( )( )( ) ) )
公务员考试常用数学公式汇总(完整打印版)之令狐文艳创作
公务员考试常用数学公式汇总(完整版)令狐文艳一、基础代数公式1. 平方差公式：（a ＋b ）×（a －b ）＝a 2－b 22. 完全平方公式：（a±b）2＝a 2±2ab ＋b 2 完全立方公式：（a ±b ）3=（a±b ）(a 2 ab+b 2)3. 同底数幂相乘: a m ×a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数，a≠0）同底数幂相除：a m ÷a n ＝a m －n （m 、n 为正整数，a≠0）a 0＝1（a≠0） a -p ＝pa1（a≠0，p 为正整数）4. 等差数列：（1）s n ＝2)(1n a a n ⨯+＝na 1+21n(n-1)d ；（2）a n ＝a 1＋（n －1）d ；（3）n ＝da a n 1-＋1；（4）若a,A,b 成等差数列，则：2A ＝a+b ；（5）若m+n=k+i ，则：a m +a n =a k +a i ； （其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和） 5. 等比数列： （1）a n ＝a 1q －1；（2）s n＝q q a n -11 ·1）－（（q ≠1）（3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab ；（4）若m+n=k+i ，则：a m ·a n =a k ·a i ； （5）a m -a n =(m-n)d （6）nm a a ＝q (m-n)（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和）6.一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)其中：x 1=a acb b 242-+-；x 2=a acb b 242---（b 2-4ac ≥0）根与系数的关系：x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=a c二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边； （1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
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公文式教材的编排原则是，让学生在最短的时间内获得最大的学习效果；同时考虑到计算在高中数学中所占的绝对比重，公文式突破了学校的教学大纲，以培养学生的计算能力为突破口，精心编排了一套循序渐进的数学教材，帮助学生实现“自学自习到高中教材”的目标。
公文式数学教材从简单的划线练习到高等数学，跨越了从幼儿园到大学整个阶段，由于公文式采取了小步前进的学习方式，将整套教材细分多个阶段，尽可能的减低了学习阶段间的落差，便于每个学生自学自习，因此任何人都可以借用这套教材来提高自己的学习能力，取得意想不到的效果。公文式数学教材自问世以来，不断从实际的运用中吸取经验，不断加以修订，力求使教材在题量、顺序、例题等各方面得到不断的完善，达到最佳的学习效果。
自学自习
“我们所提供给孩子的，应该是一种使他们倚靠自身的力量就能够顺利学习的教材，而不是那种让孩子倍感困难而老师是密不可分的。缺少了任何一个环节，就不可能做到最大限度地开发每个孩子的能力。通过一整套有系统有组织的学习教材，公文确保了每个孩子都能够按照各自的步伐，轻轻松松地往前学，同时在学习中获取自学能力。在成长的过程中他们始终感到，只要敢于尝试，任何目标都是触手可及的。以此，孩子们树立起自尊和自信。
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公文数学
第1篇 第2篇 第3篇 第4篇 第5篇 更多 顶部
第一篇：公文数学特点
第二篇：公文数学
第三篇：关于公文数学
第四篇：公文数学简介
第五篇：购买公文数学
起源
1954年，当时担任高中数学老师的公文日本公文教育研究会
公先生（是日本公文教育研究会的创始人），为自己上小学二年级的长子编写了一套数学习题集，这就是公文式学习法的起源。其效果除了能提高学生的数学能力外，还能培养学生自学自习的能力，奠定良好的学习基础。从那以后，公文式学习法就以开发学生能力的有效方法在世界上30个国家推广，目前有200多万学生在利用公文式学习法学习。
明确的目标
“公文认为，不应该进行无计划、无目的的学习。”
公文式学习法强调为每一个孩子制定进度预测和学习计划，让孩子明确经过一段时间的学习，他们能够达到什么样的目标。如果孩子的实际进度背离了学习计划，老师也能参考原先的学习情况够做出准确的判断，及时调整计划。
恰到好处的学习
“假如我们确实关心孩子的教育，就应该让孩子从一个完全与其能力相匹配的起点开始学习，然后稳步培养他的能力。”
我们所珍视的，其次是"公文全体员工"
我们将致力于携手创造我们的企业文化和良好的工作环境每一位员工认识到肩负的神圣使命和工作的意义，朝气蓬勃地投入工作并在工作中不断成长；每一位员工的待遇得以保障，并且过着充裕的生活。我们所珍视的，再次是"与所在社区的密切联系"
对于每日生活、工作在其中的社区，我们深怀感激。我们身为尽心尽责的社区一分子，为创造一个更美好的社区，积极参加保护地球环境、资源以及提高当地文化教育的各项活动，担负起对整个地球社会的义务和责任。
第二篇：公文数学
公文数学
公文数学“公文数学”是日本经过长期实践检验而推行的一种数学训练模式。它的优势在于培养学生的自学能力，养成良好的学习习惯，提高单位学习时间效率和计算准确性。建校初期我们在教学中就引进了“公文数学”这种先进的教学方法，让学生每天坚持15－20分钟的训练，持之以恒。目前相当一部分三、四年级学生的数学水平已达到初中一、二年级的水平。四年的实践证明，学生自主学习的能力和学习数学积极性得到提高，不良的学习习惯得到纠正，使学生“勤学”与“巧学”有机的结合了起来，每个学生潜在的能力被很好发掘了出来，并得到最大限度地发展。
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正文
第一篇：公文数学特点
公文的特点
因材施教
“公文式学习法突破了那种‘所有人都在同一间教室，同一段时间学习同一种内容’的传统教育理念。”教育不应只是一种单纯的大众化知识传播方式，它还应该认识到人与人之间存在能力上的差异。公文式学习法大力提倡，让能力强的孩子尽其所能地前进；能力弱的孩子则应该倒退至他们感到轻松的地方学习，等到完全掌握以后，就能够继续前进。学习能力差的孩子不应该被迫超越自己的能力进行学习。
最后，让我们将以下三条铭记在心，作为我们的行动指南，须臾不忘。
1、时常反省自己的言行是否公正并合乎道义，发誓做一个光明磊落，堂堂正 正的社会人。
2、满怀作为教育工作者的自豪和信念，做一名率直开朗，真心为任何值得喜 悦的事情而感动的人。
3、时常保持谦虚的态度，努力争取今天比昨天进步，明天又比今天进步，成为不断成长进步的人。
超学年学习
“只有当学习的主观能动性发自于内心时，孩子们才会产生向着更高教材前进的渴望。当一个人促使自己不断地挑战极限，并亲眼目睹了自己所取得的成就后，他就会相信人类和自身所能具有的潜能。”
让孩子日积月累地小步前进，每次都能得到一百分，孩子就能逐步养成以自信、积极的态度解决问题。而超学年的学习，孩子不断地挑战自我，自然地养成了沉着冷静的处事风格和自尊心。公文式学习法愿将孩子培养成为一个有理想，懂得不断学习和提高自身的人。
因为孩子间的能力各不相同，所以仅仅因为孩子们的年龄相同就让他们都学习相同的内容是不公平的。公文式学习法根据每个的孩子的能力而非年龄安排学习内容。即便是那些在学校学习成绩处于下游的孩子，只要给予与其能力水平相匹配的学习材料，也同样可以享受到学习的乐趣，取得意想不到的进步。
让孩子快乐地学习
“公文式学习法推崇适合个人需要和能力的学习方法，坚信孩子应该快乐地学习。”
只要加以正确的引导，孩子就不会感到游戏和学习之间的区别。对孩子的成长和将来而言，公文式学习法是一种宝贵的学习体验。它一贯坚持 “以孩子为本”的教育思想，让孩子在愉快的情绪下获取知识。
我们所珍视的，其次是"志同道合的人们"
我们向以公文式教室的指导老师们为代表的"热爱孩子，与我们肩并肩通过教育事业为社会做出贡献"的所有志同道合的人们致以最崇高的敬意。我们满怀真诚的谢意与热情竭尽全力地支持他们，并与他们同心协力，携手并进。