幂函数及函数与方程05

合集下载

幂指对函数及方程

幂、指、对函数及方程方法指导：一、幂函数1. 幂函数的定义函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．2. 幂函数的图像研究pq y x =的图像特点，其中p q是既约分数（最简分数）．3. 幂函数的性质（1）对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．（2）幂函数一定过点(1,1)．（3）当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．（4）在1x =的右侧由上至下k 递减．二、指数函数1. 指数运算法则（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、（2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R2. 指数函数的定义函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．3. 指数函数的图像4. 指数函数的性质（1）函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．（2）指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．（3）函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．（4）非奇非偶函数（5）无零点（6）函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞内是减函数．（7）在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增长缓慢；在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．（8）无最值（9）函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．（10） x y a =的图像与1()x y a=的图像关于y 轴对称．三、指数方程（1）同底型：()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．（2）基本型：① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．（3）代换型：① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4）图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．四、对数1. 对数的定义若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．2. 对数的性质若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么（1）零和负数没有对数（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =（3） log ()log log a a a MN M N =+，log ()log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a=【拓展公式】 3. 常用的对数以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．五、对数函数1. 对数函数的定义函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．2. 对数函数的图像3. 对数函数的性质（1）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．（2）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．（3）函数定义域(0,)+∞，值域R ．（4）非奇非偶函数．（5）对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．（6）对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <；对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．（7） y 轴是对数函数的渐近线．（8）当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．（9）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．六、对数方程（1）同底型：()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩．（2）基本型：log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．（3）代换型：2log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4）图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．典型题解：幂、指、对函数的图像及性质特殊方程1.比较下列各题中两个值的大小（1）323()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3-（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2π 2．若4333423494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．813．如图，幂函数223()Z m m y xm --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，求此函数解析式．4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103xx +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．5．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（）A 0B 1C 2D 37．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．8．已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.9.若关于x 的方程2(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。

幂函数和指数函数的方程和不等式

幂函数和指数函数的方程和不等式幂函数和指数函数是高中数学中常见的两类函数，它们在解方程和不等式问题中有着重要的应用。

本文将介绍幂函数和指数函数的基本性质，并探讨如何解幂函数和指数函数的方程和不等式。

一、幂函数的方程和不等式解法1. 幂函数的定义和性质幂函数的一般形式为f(x) = ax^b，其中a和b为常数，且a≠0。

幂函数的定义域是所有正实数和0。

当b为正数时，幂函数是递增函数；当b为负数时，幂函数是递减函数；当b=0时，幂函数为常数函数。

2. 解幂函数的方程对于幂函数的方程f(x) = ax^b = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将幂函数的表达式转化为指数形式：ax^b = c ==> x^b = c/a；b) 对等式两边取底数为x的对数，得到b*logx = log(c/a)；c) 解出x的值：x = (c/a)^(1/b)。

3. 解幂函数的不等式对于幂函数的不等式f(x) = ax^b ≤ c或ax^b ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到ax^b = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据幂函数的性质，确定不等式的符号：当b为正数时，≤变为≥，≥变为≤；当b为负数时，≤变为≤，≥变为≥。

二、指数函数的方程和不等式解法1. 指数函数的定义和性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的定义域是所有实数。

2. 解指数函数的方程对于指数函数的方程f(x) = a^x = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将指数函数的表达式转化为对数形式：a^x = c ==> x = loga(c)。

3. 解指数函数的不等式对于指数函数的不等式f(x) = a^x ≤ c或a^x ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到a^x = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据指数函数的性质，确定不等式的符号：当a大于1时，≤变为≥，≥变为≤；当0<a<1时，≤变为≤，≥变为≥。

幂函数与指数方程的解法

幂函数与指数方程的解法幂函数和指数方程是数学中常见的两类问题，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍幂函数和指数方程的基本概念，并探讨它们的解法。

一、幂函数的定义与解法幂函数是指函数的自变量以某个固定的数为底数，指数是自变量的函数。

幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数。

为了求解幂函数，我们可以采用以下步骤：1. 如果幂函数给定了特定的数值求解，我们可以直接将数值代入函数中计算得到结果。

2. 如果幂函数的幂指数是一个分式，我们可以将其化简为整数指数，利用指数运算的性质进行计算。

3. 若幂指数为负数，我们可以将幂函数的表达式倒置后，求解其正指数情况，并取倒数得到结果。

4. 对于幂函数之间的等式关系，我们可以通过将它们的底数和指数分别相等，进而求解出未知数。

二、指数方程的定义与解法指数方程是指方程中含有未知数的指数，我们需要求解出使方程成立的未知数的值。

我们可以采用以下方法来求解指数方程：1. 利用对数的性质将指数方程转化为对数方程，然后通过解对数方程求解出未知数。

2. 利用指数的性质将指数方程中的底数统一为同一个数，然后通过等式关系求解。

3. 对于指数方程中的分式指数，我们可以通过化简为整数指数的形式，再进行计算。

三、幂函数和指数方程的应用举例下面通过两个具体的例子来说明幂函数和指数方程的应用。

例子1：解决幂函数问题考虑幂函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，在 x = 2 处求解函数的值。

将 x = 2 代入幂函数中，得到 f(2) = 2 * 2^3 - 3 * 2^2 + 2 * 2 - 1 = 2 * 8 - 3 * 4 + 4 - 1 = 16 - 12 + 4 - 1 = 7。

因此，当 x = 2 时，幂函数的值为 7。

例子2：解决指数方程问题考虑指数方程 2^x = 16，我们需要找到使方程成立的未知数 x。

根据指数的性质，我们可以将方程改写为 2^x = 2^4。

高一数学幂函数;函数与方程知识精讲

芯衣州星海市涌泉学校高一数学幂函数；函数与方程【本讲教育信息】一.教学内容：幂函数；函数与方程二.本周教学目的1.理解幂函数的概念，会画出幂函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图象，能根据上述幂函数的图象，理解幂函数的变化情况和性质。

2.理解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数一样的指数式值的大小。

3.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解函数的零点与方程根的联络。

4.可以借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的本质。

〔一〕幂函数观察下面两组函数两组函数的自变量各在什么位置？1.幂函数的定义一般的，我们把形如a y x =的函数称为幂函数〔powerfunction 〕，其中x 是自变量，a 是常数。

2.幂函数a y x =的性质画出以下两组幂函数的图象观察图象，你能找出这几个函数有什么一一共同特征吗？幂函数a y x =〔a>0〕的性质〔1〕函数的图象都过〔0，0〕，〔1，1〕；〔2〕在第一象限内，函数的图象随x 的增大而上升，函数在区间[)0,+∞上是单调增函数。

画以下幂函数的图象观察它们的一一共同特征：幂函数a y x =〔a<0〕的性质〔1〕图象过〔1，1〕点；〔2〕在第一象限内，函数的图象随x 的增大而下降，函数在区间(0,)+∞上是单调减函数。

〔二〕函数与方程画出函数223y x x =--的图象，观察图象，指出x 取哪些值时，y ＝0。

1.方程的根与函数的零点对于函数y ＝f 〔x 〕，把使f 〔x 〕＝0的实数x ，叫做函数y ＝f 〔x 〕的零点.函数的零点就是方程f 〔x 〕＝0的实数根，也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标。

2.关系图方程f 〔x 〕＝0有实数根函数y ＝f 〔x 〕的图象与x 轴有交点函数y ＝f 〔x 〕有零点考虑：如何对函数在某区间是否有零点作出判断呢？3.定理：假设函数y ＝f 〔x 〕在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f 〔a 〕f 〔b 〕<0，那么，函数y ＝f 〔x 〕的图象在区间〔a ，b 〕内必然至少穿越x 轴一次，即至少有一个零点，亦即存在c ∈〔a ，b 〕，使得f 〔c 〕＝0。

数学高考知识点幂函数

数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。

在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。

一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。

2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。

当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。

3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。

4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。

二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。

这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。

2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。

这一性质在求解极限时常常会被用到。

3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。

三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。

2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。

在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。

《幂函数》讲义

《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。

其中x 是自变量，α 是常数。

需要注意的是，幂函数的系数必须为 1 ，例如 y ＝ 2x^3 就不是幂函数，而 y ＝ x^3 就是幂函数。

二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）当α 为整数时若α 为偶数，幂函数的图像在第一、二象限，关于 y 轴对称，在第一象限，函数单调递增；在第二象限，函数单调递减。

例如，y ＝ x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点，对称轴为 y 轴。

若α 为奇数，幂函数的图像在第一、三象限，关于原点对称，在第一象限，函数单调递增；在第三象限，函数单调递减。

比如，y ＝x^3 的图像是一个经过原点，穿过第一、三象限的曲线。

（2）当α 为分数时若α 的分子为奇数，分母为偶数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增。

若α 的分子为偶数，分母为奇数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增，且图像在 x 轴上方。

2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限，函数单调递减。

例如，y ＝ x^（－1) ，也就是 y ＝ 1/x ，其图像是双曲线，分布在第一、三象限。

三、幂函数的性质1、定义域当α 为整数时，定义域为 R；当α 为分数时，分母为偶数时，定义域为 0, ＋∞），分母为奇数时，定义域为 R。

2、值域与定义域和α 的取值有关。

3、奇偶性当α 为整数时，若α 为偶数，函数为偶函数；若α 为奇数，函数为奇函数。

当α 为分数时，需要根据具体情况判断奇偶性。

4、单调性当α ＞ 0 时，函数在第一象限单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限单调递减。

四、幂函数的应用1、在物理学中的应用例如在研究自由落体运动时，下落的距离与时间的关系可以用幂函数来表示。

2、在经济学中的应用如成本与产量的关系，可能符合幂函数的特征。

3、在数学建模中的应用通过建立幂函数模型来解决实际问题，如人口增长、资源消耗等。

幂函数教程及函数与方程（用）

幂函数教程及函数与方程（用）幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：y x =2y x = 3y x = 12y x =1y x -=定义域奇偶性在第Ⅰ象限单调增减性定点（公共点）3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 例题精讲例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；例2．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．例4、求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．y x =Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -=2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x-=4．函数y ＝52x 的单调递减区间为（）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 5．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥06．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是。

《幂函数与方程》课件

幂函数的积分与微分
幂函数的积分：幂函数f(x)=x^n的积分为(x^(n+1))/(n+1)+C
幂函数的微分：幂函数f(x)=x^n的微分为nx^(n-1)dx
幂函数的积分与微分的关系：幂函数的积分与微分是互逆的，即f(x)=∫(f'(x)dx)
幂函数的积分与微分的应用：在解决实际问题中，幂函数的积分与微分可以简化计算过程，提高计算效率。
幂函数与方程的拓展知识
幂函数的极限与连续性
幂函数的极限：当x趋近于无穷大时，幂函数的极限为无穷大幂函数的连续性：当x趋近于无穷大时，幂函数的连续性为无穷大幂函数的极限与连续性：当x趋近于无穷大时，幂函数的极限与连续性为无穷大幂函数的极限与连续性：当x趋近于无穷大时，幂函数的极限与连续性为无穷大
幂函数的导数公式：f(x)=x^n，f'(x)=nx^(n-1) 幂函数的导数性质：幂函数的导数是幂函数本身幂函数的导数应用：求解幂函数的极限、求幂函数的最大值和最小值幂函数的导数与方程：幂函数的导数可以用来求解幂函数方程
03
方程的解法
一元二次方程的解法
公式法：利用公式x = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a求解
单击此处添加副标题
幂函数与方程PPT课件
汇报人：
目录
01 02 03 04 05
添加目录项标题幂函数的概念与性质
方程的解法幂函数与方程的应用幂函数与方程的拓展知识
01
添加目录项标题
02
幂函数的概念与性质
幂函数的定义
幂函数：形如 y=x^n的函数，其中n为常数
幂函数的定义域： x>=0
电磁学：描述电场、磁场等物理量

高三数学知识点幂函数

高三数学知识点幂函数高三数学知识点：幂函数幂函数是高中数学中的重要知识点之一，它在数学建模、经济学、生物学等各个领域中有着广泛应用。

本文将介绍幂函数的定义、特征、性质以及解题方法。

一、幂函数的定义幂函数是指形如y = ax^k的函数，其中a为常数，k为实数。

在这个函数中，x是自变量，y是因变量，a称为幂函数的底数，k 称为幂函数的指数。

二、幂函数的特征1. 底数a和指数k可以是任意实数，因此幂函数具有广泛的定义域和值域。

2. 当底数a大于1时，函数图像随着自变量x的增加而上升，呈递增趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像随着自变量x 的增加而下降，呈递减趋势。

3. 幂函数的特殊情况包括指数函数（当底数a为常数e时）、常数函数（当指数k为0时）和线性函数（当指数k为1时）。

三、幂函数的性质1. 对于同一个底数a和不同的指数k1和k2，若k1 < k2，则a^k1 < a^k2。

即幂函数的值随着指数的增大而增大。

2. 幂函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)，因此幂函数是偶函数。

3. 幂函数的导数可以通过对幂函数取对数来求得，即幂函数的导数为它自身的指数乘以底数的对数。

四、解题方法1. 求幂函数的零点：设幂函数的零点为x0，则有a^k = 0，由此可得x0 = 0。

因此，幂函数的零点为x = 0。

2. 求幂函数的定义域和值域：根据幂函数的定义，可以推导出幂函数的定义域为全体实数集，当底数a大于0时，幂函数的值域为(0, +∞)；当底数a小于0时，幂函数的值域为(-∞, 0)。

3. 求解幂函数方程：对于给定的幂函数方程，可以利用对数运算将其转化为对数方程，再进一步求解。

总结：本文详细介绍了高三数学中的幂函数知识点，包括定义、特征、性质以及解题方法。

通过学习幂函数的相关内容，我们可以更好地理解和应用幂函数，在数学问题的解答中得心应手。

希望本文的内容能够对高三学生的数学学习有所帮助。

数学中的函数与方程之幂函数

数学中的函数与方程之幂函数在数学中，函数和方程是基础且核心的概念。

其中，幂函数作为函数的一种形式，具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文将对数学中的函数与方程之幂函数进行探讨和论述。

一、函数与方程的概念在数学中，函数是一个独特的映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

函数可以表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量，即通过自变量x的取值确定因变量f(x)的值。

方程则是等式的一种特殊形式，它表达了两个函数相等的关系。

二、幂函数的定义与性质1. 幂函数的定义：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是实数。

a称为幂指数，x称为底数。

幂函数的定义域可以是实数集（当a 为有理数）或正实数集（当a为无理数）。

2. 幂函数的性质：幂函数的性质与幂指数a的正负和零有关。

当a 为正数时，幂函数呈现递增的趋势；当a为负数时，幂函数呈现递减的趋势；当a为零时，幂函数为常函数。

三、幂函数与其他函数的关系1. 幂函数与线性函数：当幂指数a为1时，幂函数即为线性函数。

线性函数是函数中最简单的形式，表达了自变量与因变量之间的简单线性关系。

2. 幂函数与指数函数：当底数x为正数且幂指数a为实数时，幂函数即为指数函数。

指数函数表达了幂指数的重复乘法的关系。

3. 幂函数与对数函数：幂函数和对数函数是互为反函数的关系。

对数函数是指数函数的逆运算，用来求解指数方程。

四、幂函数的应用幂函数在实际生活中有许多应用，以下列举几个常见例子：1. 金融领域：复利计算中使用的复利公式即涉及到幂函数的概念，用于计算投资的本息和。

2. 物理学：许多物理规律和现象可以用幂函数来描述，比如牛顿第二定律中的动能和位能。

3. 经济学：边际效用递减法则中的边际效用函数是幂函数的形式，描述了每个单位的消费带来的额外满足程度递减的规律。

综上所述，幂函数是数学中重要的函数形式之一，在函数与方程的研究中具有重要作用。

通过对幂函数的定义、性质和应用的探讨，我们对数学中的函数与方程有了更深入的理解和认识。

幂函数高考知识点总结

幂函数高考知识点总结幂函数是高中数学中非常重要的一部分内容，也是高考中经常出现的知识点之一。

幂函数在数学中具有广泛的应用，不仅仅体现在纵坐标的数值关系上，更是涉及到图像特征、函数性质以及解题方法等方面。

下面我将对幂函数的相关知识进行总结和梳理，希望对大家复习和备考有所帮助。

1、幂函数的定义和性质幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数，而x是变量。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数。

幂函数的定义域由指数b的正负决定，若b为正整数，则定义域是全体实数；若b为负整数，则定义域是x ≠ 0的一切实数；若b为0，则幂函数的定义域是x > 0的一切实数。

当只考虑幂函数f(x)在正数定义域上的取值时，幂函数的图像可以分为两种情况：当a > 1时，图像呈现递增趋势；当0 < a < 1时，图像则呈现递减趋势。

2、幂函数的图像特征通过观察幂函数的图像，我们可以得出一些重要的结论。

首先，当幂函数的系数a为正数时，图像都经过第一象限的点(1, a)。

其次，当幂函数的指数b为奇数时，幂函数的图像对称于y轴；当幂函数的指数b为偶数时，幂函数的图像具有原点对称性。

除此之外，我们还可以通过改变系数a和指数b的值，来改变幂函数图像的特征，如峰值的高低、函数图像的陡峭程度等。

3、幂函数的运算与应用幂函数的求导是高中数学中的重要内容之一。

对于幂函数f(x) =ax^b，其中a为常数，b为实数，我们可以通过求导的方法来确定幂函数的导函数形式。

具体来说，当指数为整数时，我们可以利用幂函数的定义进行求导；当指数为实数且不为整数时，我们则需要利用对数函数的性质来求导。

此外，由于幂函数具有多种性质和特点，在解决实际问题时也能够提供很多启示和方法。

4、幂函数的解题技巧和例题分析在高考中，幂函数常常出现在各种数学题目中，因此熟练掌握幂函数的解题方法是非常重要的。

对于幂函数的解题技巧，我们可以利用以下几点进行分析和总结：首先，要熟悉幂函数的性质和特点，了解其图像形态和函数性质；其次，要能够根据题目给出的条件和要求，建立幂函数方程或不等式；最后，要善于运用数学方法和思维工具，进行合理的推导和计算。

幂函数函数与方程

幂函数、函数与方程、函数模型及应用一、知识综述幂函数：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= ax (a ∈R)的函数称为幂函数，其中a 为常数。

（二）准确理解幂函数的定义：①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m ax ,y=()amx ,y=a x +m,y=()ax m +等均不是幂函数； ②不要把指数函数和幂函数混淆起来；（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；几种重要的幂函数的图象：函特数征性质y=xy=2xy=3xy=12xy=1x -图像定义域 x ∈R x ∈R x ∈R x ∈[0, +∞) x ∈R(R ≠0)值域 y ∈R y ∈[0, +∞) y ∈Ry ∈[0, +∞) y ∈R 且y ≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在x ∈（-∞，0）y 为减函数在x ∈（0，+∞） y 为增函数增函数增函数在x ∈（-∞，0）y 为减函数在x ∈（0，+∞）y 为减函数定点（1，1）、（0，0）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（1，1）（四）幂函数与凹、凸函数：1．凹、凸函数的定义：①几何描述：我们把函数图形向上凸的函数，称为凸函数；我们把函数图形向下凸的函数，称为凹函数； ②代数描述：设点1M 、2M 在函数图象上，线段1M 2M 所对应的函数为y=g(x),x ∈[1x ,2x ],当0x ∈[ 1x , 2x ]时，关于y=f(x),若总有f(0x )≤g(0x ),则称函数y=f(x)为凸函数当0x ∈[1x ,2x ]时，关于y=f(x),若总有f(0x )≥g(x ),则称函数y=f(x)为凹函数函数与方程 1.二次函数(1)定义：形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫二次函数.(2)图像：二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是抛物线，对称轴方程为___________，顶点坐标为_______________.①当a <0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增； ②当a >0时，图像开口________，函数在_________上递减，在__________上递增. (3)二次函数的解析式的三种形式：一般式：_________________；顶点式：_________________；两根式：_________________. (4)二次函数的零点：①△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图像与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． ②△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图像与x 轴有一个交点，二次函数有一个零点． ③△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图像与x 轴无交点，二次函数无零点． 2.函数与方程(1)函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数．．x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

幂函数及函数与方程(教师)

幂函数及函数与方程知识点1 幂函数 1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上；（3）当2,2α=-时，幂函数是；当11,1,3,3α=-时，幂函数是．（4）任何幂函数都不过象限；（5）当0α>时，幂函数的图象过． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于对称．考向一幂函数的定义【例1】►讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x-=（5）12y x-=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增．（4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减．【训练1】比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<考向二二次函数的图像和性质【例2】►（2010大连一模）函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式．解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.【训练2-1】 ►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.答案 D【训练2-2】（2011沈阳模拟）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考向三幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝223m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1. 而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.【训练3】已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．知识点2:函数与方程函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．考向一函数零点与零点个数的判断【例1-1】►(2010·福建)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．A ．3B ．2C ．7D ．0[审题视点] 函数零点的个数⇔f (x )＝0解的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数．解析法一由f (x )＝0得⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎨⎧x ＞0，－2＋ln x ＝0，解得x ＝－3，或x ＝e 2. 因此函数f (x )共有两个零点．法二函数f (x )的图象如图所示可观察函数f (x )共有两个零点．答案 B 【例1-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析：在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图：发现当0≤m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个交点．即函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点．答案：[0,1)【训练1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析法一函数f (x )＝log 3x ＋x －3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f (2)＝log 32－1＜0，f (3)＝1＞0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内．法二方程log 3x ＋x －3＝0可化为log 3x ＝3－x ，在同一坐标系中作出y ＝log 3x 和y ＝3－x 的图象如图所示，可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内．答案 C【例1-3】 f （x ）的定义域为R ，且f （x ）＝21(0)(1)(0)x x f x x -⎧⎨⎩－ ≤－＞,若方程f （x ）＝x ＋a 有两不同实根，则a 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（－∞，1]C ．（－∞，1）D ．（－∞，＋∞）f(x)=f(x-1)这个条件,当x ∈(0,1]时,x-1∈(-1,0] f(x)=f(x-1)=[2^(1-x)]-1 x ∈(0,1] 类推有f(x)=f(x-1)=[2^(2-x)]-1 x ∈(1,2]也就是说,x ＞0的部分是将x ∈(-1,0]的部分,周期性向右推移1个单位长度得到的,图像如下：斜线就是y=x+a可以看到,红线是过分界点的线,绿色是一般情况下的,但是二者都是有两个交点的（注意红色通过了空心点）,而蓝色直线就是分界,当红绿色直线在蓝色线上方时,只有一个交点,因此蓝色曲线的a 值就是临界值,算得a=1,低于蓝色直线的线族a ＜1,因此a 的范围就是a ＜1.【例1-4】设函数()1f x n =-,N n n n x ∈+∈),1.[，则满足方程x x f 2log )(=根的个数是（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．无数个解：根据题意，详细画出f （x ）和g （x ）在同一坐标系中函数图象，①当n=0时，f （x ）=-1，x ∈[0，1），则log 2x=?1?x=∈[0，1） ②当n=1时，f （x ）=0，x ∈[1，2），则log 2x=0?x=1∈[1，2） ③当n=2时，f （x ）=1，x ∈[2，3），则log 2x=1?x=2∈[2，3）④当n=3时，f （x ）=2，x ∈[3，4），则log 2x=2?x=4?[3，4）⑤当n=4时，f （x ）=3，x ∈[4，5），则log 2x=3?x=8?[4，5）由此下区x 的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了，即有3个根．故选C ．【训练1-3】已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.考向二有关二次函数的零点问题【例2-1】►是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间(－1,3）上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．[审题视点] 可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验．解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)< 0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1) ＝4(1－a )(5a ＋1) < 0.所以a <－15或a >1. 综上所述，a ＜－15或a ＞1.【训练2-1】关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时 (1)有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2；解设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a －2)(a ＋1)．(1)由已知条件⎩⎨⎧Δ> 0，x 1＋x 2＝2a ＞0，x 1·x 2＝a ＋2＞0，解得a >2.(2)由已知条件⎩⎨⎧Δ>0，1<a <3，f (1)>0，f (3)>0，解得2<a <115.(3)由已知条件f (2)<0，解得a >2.。

6.幂函数,函数与方程

第五节幂函数，函数与方程一、知识梳理1.幂函数的定义：形如的函数称为幂函数，这里的α是实数， x 为自变量。

(注意幂函数解析式的形式特点)2.五种常见的幂函数的图像与性质：3．幂函数的图象和性质拓展： ()()f x x R αα=∈4.方程的根与函数的零点：(1)函数的零点就是方程f(x)=0的实数根;(2)函数的零点就是函数y=f(x)的图像与x 轴交点的横坐标; (3)若()()()F x f x g x =-，则函数的零点也可看作()()f x g x 与图像交点的横坐标.5. 零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图像是连续不断的曲线，并且有f(a)•f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a, b ）内有零点。

（注：此方法只能判断是否有零点，但不能确定零点的个数，若已知函数的单调性则有可能判断出零点的个数。

且此定理不可逆，即它的逆命题是错误的。

）二、跟踪训练1.下列函数中过（0,0），（1,1）的偶函数是（）A.12y x = B.4y x = C.2y x -= D.13y x =2.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A. 1,3B. －1,1C. －1,3D. －1,1,3 3.已知幂函数223()(22)()nnf x n n x n Z -=+-⋅∈的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A. －3B. 1C. 2D. 1或2 4.下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12 时，幂函数y ＝x α是（0，+∞）上的增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数 5.函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36.函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)7.函数f(x)＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)8.函数1212xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39.下列函数中，是幂函数的是；（1）12+=x y （2）121-=x y（3）32-=xy （4）22x y -=10.幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。

指对幂函数及函数与方程(5知识点+4重难点+7技巧+4易错)(原卷版)2025高考数学一轮知识清单

专题04指对幂函数及函数与方程（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a =()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nmnaa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。

（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。

幂函数的高级应用解方程与不等式

幂函数的高级应用解方程与不等式幂函数的高级应用：解方程与不等式幂函数是数学中常见的一种函数形式，具有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨幂函数的高级应用，特别是如何使用幂函数来解方程和不等式。

一、幂函数解方程解方程是数学中最基本的问题之一。

幂函数的形式为$f(x) = ax^m$，其中$a$为常数，$m$为自然数。

为了解方程$f(x) = 0$，我们可以将方程转化为等价的幂等式，即$ax^m = 0$。

由于幂函数在定义域内恒大于等于零，要使幂函数等于零，必然需要$x=0$。

因此，解方程$f(x) =0$的唯一解为$x=0$。

二、幂函数解不等式与解方程类似，解不等式也是数学中常见的问题。

对于不等式$f(x) \geq 0$，可以将其转化为对应的幂不等式$ax^m \geq 0$。

根据幂函数的性质，当$a>0$且$m$为偶数时，幂函数在$(-\infty, 0]$和$[0,+\infty)$上均大于等于零；当$a>0$且$m$为奇数时，幂函数在整个实数集上大于等于零。

因此，对于幂函数$f(x) \geq 0$，解为：- 当$a>0$且$m$为偶数时，$x \in (-\infty, 0] \cup [0, +\infty)$；- 当$a>0$且$m$为奇数时，$x \in (-\infty, +\infty)$。

对于不等式$f(x) > 0$，可以将其转化为对应的幂不等式$ax^m > 0$。

同样根据幂函数的性质，当$a>0$且$m$为偶数时，幂函数在$(0,+\infty)$和$(0, -\infty)$上均大于零；当$a>0$且$m$为奇数时，幂函数在$(0, +\infty)$和$(-\infty, 0)$上大于零。

因此，对于幂函数$f(x) > 0$，解为：- 当$a>0$且$m$为偶数时，$x \in (0, +\infty) \cup (0, -\infty)$；- 当$a>0$且$m$为奇数时，$x \in (0, +\infty) \cup (-\infty, 0)$。

幂函数及函数应用(讲义及答案)

5
12.
函数
f
(x)
x
2
2x
3，x
≤
0
的零点个数为（
2 ln x，x 0
A．2
B．3
C．4
） D．5
13. 已知0 a 1，则方程a|x| | log xa | 的实数根的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14. 已知函数 f (x) 的图象是连续不断的，且有如下的 x， f (x) 的对应值表：
1 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
n 若 m，n 均为奇数，则函数 y x 是奇函数，其图象关于原点对称；若 m 为偶数，n 为奇数，则函数 y x 是偶函数，其图象关于 y 轴对称；若 m 为奇数，n 为偶数，则函数 y x 是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．
2 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
10. 比较下列各数的大小：
5
5
（1） 3 2
3.1 2 ；
6
（2） (0.3)11
5
（3） (0.88)3
(0.88)3 ；
（4）(
2
)
2 3
3
6
0.711 ；
( 1) 3 ． 4
11. 函数 f (x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是（ A．(-2，-1) B．(-1，0) C．(0，1)
） D．(1，2)
线，并且有
，那么，函数 y f (x) 在区间
内有零点，即
，使得
，这个
c 也就是方程 f (x) 0 的根．
三、二分法 1. 定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且 f (a) f (b) 0 的函数

中考重点幂函数指数函数与对数函数方程的解法

中考重点幂函数指数函数与对数函数方程的解法幂函数、指数函数和对数函数是中考数学中的重点内容，尤其是解方程的方法。

本文将介绍幂函数、指数函数和对数函数的基本概念，并详细解释如何使用它们解方程。

一、幂函数幂函数是指以自变量x为底数的函数，形式为y=a^x。

其中，a为常数且大于0且不等于1，x和y为实数。

幂函数的图像与底数 a 的大小有关，当 a 大于 1 时，幂函数在 x 轴的右侧逐渐增大；当 a 在 0 到 1 之间时，幂函数在 x 轴的右侧逐渐逼近 x 轴。

解幂函数的方程可以通过对等式两边取对数来实现。

具体过程如下所示：步骤一：设幂函数的方程为 a^x=b，其中 a>0 且a≠1，b>0 。

步骤二：对两边同时取对数，得到 ln(a^x)=ln(b) 。

步骤三：根据对数的性质，化简等式为 xln(a)=ln(b)。

步骤四：通过除以 ln(a)，解得 x=ln(b)/ln(a)。

二、指数函数指数函数是幂函数的一种特殊形式，即幂函数的底数 a 等于常数 e （自然对数的底数），即 y=e^x。

指数函数的图像呈现出递增的形态，且在 x=0 处经过点 (0,1)。

解指数函数的方程可以使用对数函数来完成。

具体步骤如下：步骤一：设指数函数的方程为 e^x=b，其中 b>0。

步骤二：对等式两边取自然对数 ln，得到 ln(e^x)=ln(b)。

步骤三：根据对数的性质，化简等式为 x=ln(b)。

三、对数函数对数函数是幂函数和指数函数的逆函数，即 y=log_a(x)。

其中，a是常数且大于 0 且不等于 1，x 和 y 是正实数。

对数函数的图像通过对x 轴的正半轴进行镜像得到。

解对数函数的方程的方法借助指数函数，具体步骤如下：步骤一：设对数函数的方程为 log_a(x)=b，其中 a>0 且a≠1，b>0。

步骤二：将对数方程转化为指数形式，得到 a^b=x。

四、幂函数、指数函数和对数函数的综合应用幂函数、指数函数和对数函数在实际问题中常常是相互关联的，需要综合应用它们解决实际问题。