主成分分析计算方法和步骤56323

主成分分析法的步骤和原理

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（PrincipalComponentAnalysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。

[2]采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。

（二）主成分分析法代数模型假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。

设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。

假设X 是以n 个标量随机变量组成的列向量，并且μk 是其第k 个元素的期望值，即，μk=E(xk)，协方差矩阵然后被定义为： Σ=E{(X -E[X])(X-E[X])}=(如图对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X p Z 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p ………………Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。

（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。

第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。

但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。

而主成分分析法可以很好地解决这一问题。

主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。

它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。

主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量;④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。

结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。

如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。

表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.279 0.329 0.252重点高校数0.345 0.204 0.310教工人数0.963 0.954 0.896本科院校数 1.000 0.938 0.881招生人数0.938 1.000 0.893教育经费投0.881 0.893 1.000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比 1.000 -0.218 0.208重点高校数-0.218 1.000 0.433教工人数0.208 0.433 1.000本科院校数0.279 0.345 0.963招生人数0.329 0.204 0.954教育经费投0.252 0.310 0.896入（元）表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。

主成分分析操作详细步骤

主成分分析操作详细步骤1.去除均值：对于给定的数据集，先计算每个特征的均值，然后将原始数据减去均值，即进行去均值处理。

这样可以使得数据的中心位于原点附近。

2.计算协方差矩阵：对去均值后的数据集，计算其协方差矩阵。

协方差矩阵描述了各个特征之间的相互关系。

协方差可以通过以下公式计算：cov(X,Y) = Σ((X-μ_X)(Y-μ_Y)) / (n-1)其中，X和Y分别是两个特征向量，μ_X和μ_Y是它们的均值，n 是样本数。

协方差矩阵是一个对称矩阵，对角线上的元素是各个特征的方差。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。

特征值表示了数据在特征向量方向上的方差，而特征向量则表示了数据在这个方向上的投影。

特征值和特征向量是成对出现的，每个特征值对应一个特征向量。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

这些主成分具有较大的特征值，表示数据在这些方向上的方差较大，所以选择这些主成分可以保留较多的数据信息。

5.数据映射：将原始的数据集映射到选取的主成分所构成的低维空间中。

对于一个样本，可以通过将其与各个主成分进行内积运算，得到其在主成分上的投影。

这样就将高维数据转换为低维数据。

6.可视化和解释：对于得到的低维数据，可以进行可视化展示，以了解数据的分布和结构。

同时，可以通过解释各个主成分的特征向量，来理解数据在不同维度上的重要特征。

7.降维应用：降维后的数据可以应用于其他任务，如数据挖掘、分类、聚类等。

由于降维后的数据具有较低的维度，所以可以提高计算效率，并且可能减小过拟合问题。

需要注意的是，主成分分析假设数据服从线性分布，并且对数据的方差敏感。

因此，在进行主成分分析之前，需要对原始数据进行归一化处理，以避免量纲对结果的影响。

另外，主成分分析还可以通过计算解释方差比例，来评估选择的主成分个数是否合适。

如果选择的主成分个数能够解释大部分的方差，那么可以认为降维后的数据已经保留了原始数据的主要信息。

(完整版)主成分分析法的原理应用及计算步骤...doc

............
zm
lm1x1
lm 2x2
lmpxp
系数lij的确定原：
①zi与zj（i≠j；i，j=1，2，⋯，m）相互无关；
②z1是x1，x2，⋯，xP的一切性合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，⋯，xP的所有性合中方差最大者；zm是与z1，z2，⋯⋯，zm－1都不相关的x1，x2，⋯xP，的所有性合中方差最大者。
标准化后的变量的协方差矩阵就是原变量的相关系数矩阵。也就是说，在标准化前后变量的相关系数矩阵不变化。
根据以上论述，为消除量纲的影响，将变量标准化后再计算其协方差矩阵，就是直接计算原变量的相关系数矩阵，所以主成分分析的实际常用计算步骤是：☆计算相关系数矩阵
☆求出相关系数矩阵的特征值i及相应的正交化单位特征向量ai
与原量Xj之的相互
关程度：
( ,
xi
)
(
, 1,2,
L
, ;
1,2,
L
, )
P Zk
kakii
p k
m
三、主成分分析法的计算步骤
主成分分析的具体步如下：
（1）算方差矩
算品数据的方差矩：Σ=(sij)pp，其中
1
n
i，j=1，2，⋯，p
sij
( xki
xi)( xkj
xj)
n
1k 1
解特征方程
I
R 0
，常用雅可比法（Jacobi）求出特征，并使其按大
小序排列1
2
p
0；
p
1,2, L , p)
2
e ( i
分求出于特征
i
的特征向量

主成分分析完整版

主成分分析完整版一、主成分分析的原理1.标准化数据：先对原始数据进行标准化处理，以确保不同变量的尺度一致。

2.计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算协方差矩阵，矩阵中的元素表示不同变量之间的相关性。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：按照特征值的大小选择最重要的k个特征值和它们对应的特征向量，称之为主成分。

5.数据转换：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。

二、主成分分析的方法1.方差解释比：主成分分析通过特征值展示了每个主成分的重要性。

方差解释比是计算每个主成分的方差所占总方差的比例。

选择解释总方差的比例较高的主成分，可以保留更多的信息。

2.累计方差解释比：累计方差解释比是计算前n个主成分的方差解释比之和。

通过选择累计方差解释比较高的主成分，可以保留更多的原始数据信息。

3.维度选择：主成分分析可以通过选择合适的主成分数来实现数据降维。

通过观察特征值的大小和累计方差解释比，可以选择合适的主成分数。

三、主成分分析的应用1.数据可视化：主成分分析可以将高维度的数据转换为低维度的数据，从而方便可视化。

通过在二维或三维空间中绘制主成分，可以更好地理解数据的分布和关系。

2.特征提取：主成分分析可以提取数据中的最重要特征，从而减少数据维度并保留主要信息。

特征提取可以在分类、聚类等问题中提高算法的效果。

3.数据压缩：主成分分析可以将高维度的数据压缩为低维度的数据，从而节省存储空间和计算时间。

压缩后的数据可以用于后续分析和处理。

4.噪音过滤：主成分分析通过保留数据中最重要的特征，可以减少噪音的影响。

通过滤波后的数据可以提高实验测量的准确性和稳定性。

综上所述，主成分分析是一种强大的数据降维技术，可以在许多领域中应用。

熟悉主成分分析的原理、方法和应用，对于理解数据和提升数据分析的能力具有重要意义。

主成分分析法的原理应用及计算步骤

主成分分析法的原理应用及计算步骤1.计算协方差矩阵：首先，我们需要将原始数据进行标准化处理，即使每个特征都有零均值和单位方差。

假设我们有m个n维样本，数据集为X，标准化后的数据集为Z。

那么，计算协方差矩阵的公式如下：Cov(Z) = (1/m) * Z^T * Z其中，Z^T为Z的转置。

2.计算特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和特征向量。

特征值表示了新坐标系中每个特征的重要性程度，特征向量则表示了数据在新坐标系中的方向。

将协方差矩阵记为C，特征值记为λ1, λ2, ..., λn，特征向量记为v1, v2, ..., vn，那么特征值分解的公式如下：C*v=λ*v计算得到的特征向量按特征值的大小进行排序，从大到小排列。

3.选择主成分：从特征向量中选择与前k个最大特征值对应的特征向量作为主成分，即新坐标系的基向量。

这些主成分可以解释原始数据中大部分的方差。

我们可以通过设定一个阈值或者看特征值与总特征值之和的比例来确定保留的主成分个数。

4.映射数据：对于一个n维的原始数据样本x，通过将其投影到前k个主成分上，可以得到一个k维的新样本，使得新样本的方差最大化。

新样本的计算公式如下：y=W*x其中，y为新样本，W为特征向量矩阵，x为原始数据样本。

PCA的应用：1.数据降维：PCA可以通过主成分的选择，将高维数据降低到低维空间中，减少数据的复杂性和冗余性，提高计算效率。

2.特征提取：PCA可以通过寻找数据中的最相关的特征，提取出主要的信息，从而减小噪声的影响。

3.数据可视化：通过将数据映射到二维或三维空间中，PCA可以帮助我们更好地理解和解释数据。

总结：主成分分析是一种常用的数据降维方法，它通过投影数据到一个新的坐标系中，使得投影后的数据具有最大的方差。

通过计算协方差矩阵和特征向量，我们可以得到主成分，并将原始数据映射到新的坐标系中。

PCA 在数据降维、特征提取和数据可视化等方面有着广泛的应用。

(完整word版)主成分分析的计算步骤

主成分分析的计算步骤样本观测数据矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x X 212222111211 第一步：对原始数据进行标准化处理)var(*j jij ij x x x x -= ),,2,1;,,2,1(p j n i ==其中 ∑==ni ij j x n x 11 21)(11)var(j ni ij j x x n x --=∑= ),,2,1(p j =第二步：计算样本相关系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211 为方便，假定原始数据标准化后仍用X 表示，则经标准化处理后的数据的相关系数为:tj nt ti ij x x n r ∑=-=111 ),,2,1,(p j i =第三步：用雅克比方法求相关系数矩阵R 的特征值（p λλλ 21,）和相应的特征向量()p i a a a a ip i i i 2,1,,,21==。

第四步：选择重要的主成分，并写出主成分表达式主成分分析可以得到p 个主成分，但是，由于各个主成分的方差是递减的，包含的信息量也是递减的，所以实际分析时，一般不是选取p 个主成分，而是根据各个主成分累计贡献率的大小选取前k 个主成分，这里贡献率就是指某个主成分的方差占全部方差的比重，实际也就是某个特征值占全部特征值合计的比重。

即贡献率=∑=p i ii1λλ 贡献率越大，说明该主成分所包含的原始变量的信息越强。

主成分个数k 的选取，主要根据主成分的累积贡献率来决定，即一般要求累计贡献率达到85%以上，这样才能保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息。

另外，在实际应用中，选择了重要的主成分后，还要注意主成分实际含义解释。

主成分分析中一个很关键的问题是如何给主成分赋予新的意义，给出合理的解释。

一般而言，这个解释是根据主成分表达式的系数结合定性分析来进行的。

主成分分析法的原理应用及计算步骤

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。

而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。

为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。

主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。

主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。

二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP（比如p个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

主成分分析法的原理应用及计算步骤

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。

而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。

为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。

主成分分析正是这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合6210x 较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：✍主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

✍主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。

✍主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

✍主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。

二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

(完整word版)主成分分析的计算步骤

主成分分析的计算步骤样本观测数据矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x X 212222111211 第一步：对原始数据进行标准化处理)var(*j jij ij x x x x -= ),,2,1;,,2,1(p j n i ==其中 ∑==ni ij j x n x 11 21)(11)var(j ni ij j x x n x --=∑= ),,2,1(p j =第二步：计算样本相关系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211 为方便，假定原始数据标准化后仍用X 表示，则经标准化处理后的数据的相关系数为:tj nt ti ij x x n r ∑=-=111 ),,2,1,(p j i =第三步：用雅克比方法求相关系数矩阵R 的特征值（p λλλ 21,）和相应的特征向量()p i a a a a ip i i i 2,1,,,21==。

第四步：选择重要的主成分，并写出主成分表达式主成分分析可以得到p 个主成分，但是，由于各个主成分的方差是递减的，包含的信息量也是递减的，所以实际分析时，一般不是选取p 个主成分，而是根据各个主成分累计贡献率的大小选取前k 个主成分，这里贡献率就是指某个主成分的方差占全部方差的比重，实际也就是某个特征值占全部特征值合计的比重。

即贡献率=∑=p i ii1λλ 贡献率越大，说明该主成分所包含的原始变量的信息越强。

主成分个数k 的选取，主要根据主成分的累积贡献率来决定，即一般要求累计贡献率达到85%以上，这样才能保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息。

另外，在实际应用中，选择了重要的主成分后，还要注意主成分实际含义解释。

主成分分析中一个很关键的问题是如何给主成分赋予新的意义，给出合理的解释。

一般而言，这个解释是根据主成分表达式的系数结合定性分析来进行的。

（完整版）主成分分析法的原理应用及计算步骤..

（完整版）主成分分析法的原理应⽤及计算步骤..⼀、概述在处理信息时，当两个变量之间有⼀定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有⼀定的重叠，例如，⾼校科研状况评价中的⽴项课题数与项⽬经费、经费⽀出等之间会存在较⾼的相关性；学⽣综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学⾦次数等之间也会存在较⾼的相关性。

⽽变量之间信息的⾼度重叠和⾼度相关会给统计⽅法的应⽤带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决⽅案是削减变量的个数，但这必然⼜会导致信息丢失和信息不完整等问题的产⽣。

为此，⼈们希望探索⼀种更为有效的解决⽅法，它既能⼤⼤减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的⼤量丢失。

主成分分析正式这样⼀种能够有效降低变量维数，并已得到⼴泛应⽤的分析⽅法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少⼏个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下⼏个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数⼏个因⼦之后，因⼦将可以替代原有变量参与数据建模，这将⼤⼤减少分析过程中的计算⼯作量。

↓主成分能够反映原有变量的绝⼤部分信息因⼦并不是原有变量的简单取舍，⽽是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的⼤量丢失，并能够代表原有变量的绝⼤部分信息。

↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因⼦参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应⽤带来的诸多问题。

↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数⼏个因⼦，如何使因⼦具有⼀定的命名解释性的多元统计分析⽅法。

⼆、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的⼀种⽅法。

其基本思想是设法将原来众多的具有⼀定相关性的指标X1，X2，…，XP （⽐如p 个指标），重新组合成⼀组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最⼤程度的反映原变量Xp 所代表的信息，⼜能保证新指标之间保持相互⽆关（信息不重叠）。

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法与步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间得差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题得负载程度。

但由于各指标都就是对同一问题得反映,会造成信息得重叠,引起变量之间得共线性,因此,在多指标得数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后得指标能否充分反映个体之间得差异,成为研究者关心得问题。

而主成分分析法可以很好地解决这一问题。

主成分分析得应用目得可以简单地归结为: 数据得压缩、数据得解释。

它常被用来寻找与判断某种事物或现象得综合指标,并且对综合指标所包含得信息给予适当得解释, 从而更加深刻地揭示事物得内在规律。

主成分分析得基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上得影响;②根据标准化后得数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵得特征根与特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含得信息给予适当得解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。

结合数据进行分析本题分析得就是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年得相关统计数据(见附录)，从相关得指标数据我们无法直接评价我国各省市得高等教育绩效，而通过表5-6得相关系数矩阵，可以瞧到许多得变量之间得相关性很高。

如：招生人数与教职工人数之间具有较强得相关性，教育投入经费与招生人数也具有较强得相关性，教工人数与本科院校数之间得相关系数最高，到达了0、963，而各组成成分之间得相关性都很高，这也充分说明了主成分分析得必要性。

表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0、279 0、329 0、252重点高校数0、345 0、204 0、310教工人数0、963 0、954 0、896本科院校数1、000 0、938 0、881招生人数0、938 1、000 0、893表5-7给出得就是各主成分得方差贡献率与累计贡献率，我们选取主成分得标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分得解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量得平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往就是因为选择得指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。

但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。

而主成分分析法可以很好地解决这一问题。

主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。

它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。

主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。

结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。

如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。

表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.279 0.329 0.252重点高校数0.345 0.204 0.310教工人数0.963 0.954 0.896本科院校数 1.000 0.938 0.881招生人数0.938 1.000 0.893教育经费投0.881 0.893 1.000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比 1.000 -0.218 0.208重点高校数-0.218 1.000 0.433教工人数0.208 0.433 1.000本科院校数0.279 0.345 0.963招生人数0.329 0.204 0.954教育经费投0.252 0.310 0.896入（元）表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异,研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。

但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。

而主成分分析法可以很好地解决这一问题。

主成分分析的应用目的可以简单地归结为:数据的压缩、数据的解释。

它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释,从而更加深刻地揭示事物的内在规律。

主成分分析的基本步骤分为:①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵R;③求出R矩阵的特征根和特征向量;④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。

结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。

如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。

表5-6相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.2790.3290.252重点高校数0.3450.2040.310教工人数0.9630.9540.896本科院校数1.0000.9380.881招生人数0.9381.0000.893教育经费投0.8810.8931.000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比1.000-0.2180.208重点高校数-0.2181.0000.433教工人数0.2080.4331.000本科院校数0.2790.3450.963招生人数0.3290.2040.954教育经费投0.2520.3100.896入（元）表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。

主成分分析法的原理应用及计算步骤

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。

而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。

为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。

主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。

↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。

二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法与步骤:在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。

但由于各指标都就是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。

而主成分分析法可以很好地解决这一问题。

主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。

它常被用来寻找与判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。

主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根与特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。

结合数据进行分析本题分析的就是全国各个省市高校绩效评价,利用全国2014年的相关统计数据(见附录),从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效,而通过表5-6的相关系数矩阵,可以瞧到许多的变量之间的相关性很高。

如:招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性,教育投入经费与招生人数也具有较强的相关性,教工人数与本科院校数之间的相关系数最高,到达了0、963,而各组成成分之间的相关性都很高,这也充分说明了主成分分析的必要性。

表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0、279 0、329 0、252重点高校数0、345 0、204 0、310教工人数0、963 0、954 0、896本科院校数1、000 0、938 0、881招生人数0、938 1、000 0、893教育经费投0、881 0、893 1、000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比1、000 -0、218 0、208重点高校数-0、218 1、000 0、433教工人数0、208 0、433 1、000本科院校数0、279 0、345 0、963招生人数0、329 0、204 0、954教育经费投0、252 0、310 0、896入(元)表5-7给出的就是各主成分的方差贡献率与累计贡献率,我们选取主成分的标准有两个:第一,特征根大于1,因为,如果特征根小于1,说明该主成分的解释力度太弱,还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大;第二,方差贡献率大于85%,如果这两个标准不能同时符合要求,则往往就是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。

主成分分析法的原理应用及计算步骤

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。

而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。

为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。

主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。

主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。

二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP（比如p个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

主成分分析法的原理应用及计算步骤

一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题信息有一定重叠，例如，高校科研状况评价中立项课题数及项目经费、经费支出等之间会存在较高相关性；学生综合评价研究中专业基础课成绩及专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高相关性。

而变量之间信息高度重叠和高度相关会给统计方法应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接解决方案是削减变量个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题产生。

为此，人们希望探索一种更为有效解决方法，它既能大大减少参及数据建模变量个数，同时也不会造成信息大量丢失。

主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用分析方法。

主成分分析以最少信息丢失为前提，将众多原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：主成分个数远远少于原有变量个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参及数据建模，这将大大减少分析过程中计算工作量。

主成分能够反映原有变量绝大部分信息因子并不是原有变量简单取舍，而是原有变量重组后结果，因此不会造成原有变量信息大量丢失，并能够代表原有变量绝大部分信息。

主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出新综合指标（主成分）之间互不相关，因子参及数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来诸多问题。

主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定命名解释性多元统计分析方法。

二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维一种方法。

其基本思想是设法将原来众多具有一定相关性指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数互不相关综合指标Fm 来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度反映原变量Xp 所代表信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

设F1表示原变量第一个线性组合所形成主成分指标，即11112121...p pF a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含信息越多。

主成分分析的计算步骤

主成分分析的计算步骤1.数据预处理：首先，对原始数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、标准化等。

确保数据的质量以及统一度，以便更好地进行后续计算。

2.计算协方差矩阵：得到预处理后的数据后，计算协方差矩阵。

协方差矩阵可以反映不同变量之间的相关性。

协方差矩阵大小为n×n，其中n 是原始变量的个数。

3.计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

特征值是一个标量，表示对应特征向量的重要程度。

特征向量是一个n维列向量，代表主成分的方向。

4.特征值排序：将特征值按照大小降序排列，对应的特征向量也要相应地排序。

一般来说，特征值越大，对应的特征向量表示的主成分的重要性越高。

5.选择主成分数量：根据前面排好序的特征值和特征向量，确定需要选择的主成分数量。

一般可以根据累计贡献率来决定。

累计贡献率是指前k个主成分的特征值之和占总特征值之和的比例，一般要求累计贡献率达到一定的阈值，例如90%以上。

6.构建降维矩阵：根据选择的主成分数量，取对应的特征向量组成一个降维矩阵。

该降维矩阵的大小是n×k，其中n是原始变量的个数，k是选择的主成分数量。

7.数据降维：将原始数据与降维矩阵相乘，得到降维后的数据矩阵。

降维后的数据矩阵的大小是m×k，其中m是样本数量，k是选择的主成分数量。

8.主成分解释：计算降维后的数据矩阵的方差占比和累计方差占比。

方差占比是降维后的数据矩阵的方差占总方差的比例，累计方差占比是指前k个主成分的方差占总方差的比例。

通过方差占比和累计方差占比，可以评估主成分分析的效果和解释程度。

9.主成分得分：将降维后的数据矩阵乘以降维矩阵的转置，得到主成分得分矩阵。

主成分得分矩阵的大小是m×n，其中m是样本数量，n是原始变量的个数。

主成分得分表示每个样本在主成分上的投影值，可以用于后续的机器学习任务和数据可视化。

总结：主成分分析的计算步骤包括数据预处理、计算协方差矩阵、计算特征值和特征向量、特征值排序、选择主成分数量、构建降维矩阵、数据降维、主成分解释、主成分得分。