第八章第八节第二课时圆锥曲线的综合应用课时作业经典高考练习及答案详解

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高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-10圆锥曲线的综合问题课时提升作业理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-10圆锥曲线的综合问题课时提升作业理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知点F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)为椭圆上一点,则点P到两焦点距离之积的最大值是( )A.8B.2C.10D.4【解析】选A.设椭圆长半轴的长为a,则a2=8,因为·≤==a2=8(当且仅当=时取等号)2.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )A.2B.C.D.【解析】选C.设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5.弦长|AB|=4×≤.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A. B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.因为y2=8x,所以Q(-2,0),设过Q点的直线l方程为y=k(x+2).l与抛物线有公共点,联立得方程组整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点,当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-16k4≥0,即0<k2≤1.又因为k=0符合题意,所以-1≤k≤1.4.P是双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【解题提示】注意两圆圆心的坐标是双曲线的焦点,利用双曲线的定义即可解决.【解析】选D.设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,易知(|PM|-|PN|)max=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2×3+3=9.5.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.只有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选D.设点A(x1,y1),B(x2,y2).因为A,B两点到直线x=-2的距离之和等于5,所以x1+2+x2+2=5.所以x1+x2=1.由抛物线的定义得|AB|=x1+1+x2+1=3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB⊥x轴时,是最小焦点弦)为4,所以不存在满足条件的直线.【误区警示】解答本题易出现以下错误:由于忽略焦点弦的最小值,从而导致错误结论.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·邯郸模拟)如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则= .【解析】由题意可得C,F,将C,F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中,得因为a>0,b>0,p>0,两式相比消去p得=,化简整理得a2+2ab-b2=0.此式可看作是关于a的一元二次方程,由求根公式得a==(-1±)b,取a=(-1)b,从而==+1.答案:+17.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则的最小值为.【解析】由题意,=,所以b=a,所以c=2a,e=2,==+≥(当且仅当a=2时取等号),则的最小值为.答案:8.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线的离心率为.【解析】设A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线-=1的交点,所以由双曲线的对称性得A,B 关于原点对称,所以B(-x1,-y1),所以k1k2=·=.因为点A,C都在双曲线上,所以-=1,-=1,两式相减,可得k1k2=>0,对于+ln|k1|+ln|k2|=+ln|k1k2|,函数y=+lnx(x>0),由y′=-+=0,得x=0(舍)或x=2,x>2时,y′>0,0<x<2时,y′<0,所以当x=2时,函数y=+lnx(x>0)取得最小值,所以当+ln(k1k2)最小时,k1k2==2,所以e==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·唐山模拟)已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点,且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若A,B是椭圆E的左、右端点,O为原点,P是椭圆E上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交y轴于点M,N,问·是否为定值,说明理由.【解析】(1)由抛物线y2=12x,得焦点为(3,0),由已知可知椭圆的焦点在x轴,且a=3,又a-c=1,则c=2,所以b2=a2-c2=5,故椭圆E的方程为+=1;(2)设P(x0,y0),则5+9=45,且A(-3,0),B(3,0),又直线PA:y=(x+3),直线PB:y=(x-3),令x=0,得:=,=,故·===5为定值.【加固训练】(2015·陕西高考)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程.(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.【解题提示】(1)先由已知求出椭圆长半轴长,进而得出椭圆的标准方程.(2)将直线方程代入椭圆方程,得两根之和与两根之积与k的关系式,将之代入直线AP与AQ的斜率之和整理式消k后得证.【解析】(1)由题意知=,b=1,综合a2=b2+c2,解得a=,所以,椭圆的方程为+y2=1.(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,从而直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.10.(2016·深圳模拟)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值.(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围.【解析】(1)由已知得,F1(-,0),F2(,0),设点P(x,y),则+y2=1,且-2≤x≤2.所以·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-=x2-2,当x=0,即P(0,±1)时,(·)min=-2;当x=±2,即P(±2,0)时,(·)max=1.(2)由题意可知,过点M(0,2)的直线l的斜率存在.设l的方程为y=kx+2,由消去y,化简整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,又∠AOB为锐角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0,即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,所以(1+k2)·-2k·+4>0,解得k2<4,所以<k2<4,即k∈∪.(20分钟40分)1.(5分)(2016·长沙模拟)已知抛物线C:y2=4x,点P(m,0),O为坐标原点,若在抛物线C上存在一点Q,使得∠OQP=90°,则实数m的取值范围是( )A.(4,8)B.(4,+∞)C.(0,4)D.(8,+∞)【解析】选B.以OP为直径的圆的方程为+y2=,将y2=4x代入整理可得x2+(4-m)x=0,所以x=0或x=m-4,因为在抛物线C上存在一点Q,使得∠OQP=90°,所以m-4>0,所以m>4.2.(5分)(2016·邯郸模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,则|OA|2+|OB|2(O为坐标原点)的最小值为( )A.4B.8C.10D.12【解析】选 C.当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,方程为x=1,则A(1,2),B(1,-2),|OA|2+|OB|2=5+5=10.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,|OA|2+|OB|2=+++=+4x1++4x2=(x1+x2)2-2x1x2+4(x1+x2)=-2+4设=t,则t>2,|OA|2+|OB|2=t2+4t-2=(t+2)2-6(t>2),所以|OA|2+|OB|2>10.综上可知:|OA|2+|OB|2的最小值为10.3.(5分)已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意得则(b-a)x2+2ax-a-ab=0.所以x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2,根据·=0,得x1x2+y1y2=0,得1-(x1+x2)+2x1x2=0,因此1++2×=0,化简得=2,即-=2.答案:24.(12分)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)的长轴、短轴、焦距分别为A1A2,B1B2,F1F2,且|F1F2|2是与|B1B2|2的等差中项.(1)求椭圆C1的方程.(2)若曲线C2的方程为(x-t)2+y2=(t2+t)2,过椭圆C1左顶点的直线l与曲线C2相切,求直线l被椭圆C1截得的线段长的最小值.【解析】(1)由题意得|B1B2|=2b=2,|A1A2|=2a,|F1F2|=2c,a2-b2=c2,又2×(2c)2=(2a)2+22,解得a2=3,c2=2,故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为A1(-,0),易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+).由直线l与曲线C2相切得=(t+)t,整理得=t.又因为0<t≤,所以0<≤,解得0<k2≤1.联立消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+9k2-3=0.直线l被椭圆C1截得的线段一端点为A1(-,0),设另一端点为B,解方程可得点B的坐标为,所以|A1B|==.令m=(1<m≤),则|A1B|==.由函数y=3m-的性质知y=3m-在区间(1,]上是增函数,所以当m=时,y=3m-取得最大值2,从而|A1B|min=.5.(13分)(2016·临汾模拟)如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,分别以HF,EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.(1)求证:直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上.(2)若点N是直线l:y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1,F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P,Q和S,T.是否存在点N,使得直线OP,OQ,OS,OT的斜率kOP,kOQ,kOS,kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得F(,0),C(,1).由=λ,=λ,得R(λ,0),R′(,1-λ).又E(0,-1),G(0,1),则直线ER的方程为y=x-1,①直线GR′的方程为y=-x+1.②由①②,得M.因为+===1,所以直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上.(2)假设存在满足条件的点N(x0,y0),则直线NF1:y=k1(x+1),其中k1=,直线NF2:y=k2(x-1),其中k2=,由消去y并化简,得(2+1)x2+4x+2-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,因为OP,OQ的斜率存在,所以x1≠0,x2≠0,所以≠1,所以kOP+kOQ=+=+=2k1+k1·=k1=-.同理,得kOS+kOT=-,所以kOP+kOQ+kOS+kOT=-2=-2·=-,因为kOP+kOQ+kOS+kOT=0,所以-=0,即(k1+k2)(k1k2-1)=0,由点N不在坐标轴上,知k1+k2≠0,所以k1k2=1,即·=1,③又y0=x0+2,④解③④得,x0=-,y0=,所以满足条件的点N存在,其坐标为.【加固训练】(2015·北京高考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示).(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)椭圆+=1(a>b>0)过P(0,1),所以b2=1,离心率e====,所以a=,所以椭圆方程为+y2=1.因为P(0,1),A(m,n),所以直线PA的方程为y-1=x,直线PA与x轴交于M,令y=0,则xM=,所以M.(2)因为P(0,1),B(m,-n),所以直线PB的方程为y-1=x,直线PB与x轴交于N,令y=0,则xN=,所以N.设Q(0,y0),tan∠OQM==,tan∠ONQ==,因为∠OQM=∠ONQ,所以tan∠OQM=tan∠ONQ,所以=.所以===2,所以y0=±.因此,存在点Q(0,±),使∠OQM=∠ONQ.。

2021年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业理(含解析)新人教A版

2021年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0 解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案：D2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．22解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D3．(xx·山西适应性训练考试)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是( )A ．1B ．2C ．3 D. 3解析：S ＝12(|PP 1|＋|QQ 1|)·|P 1Q 1|＝12×|PQ |×|PQ |×sin 30°＝12×4×12＝1. 答案：A4．(xx·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：因为双曲线的离心率e ＝c a＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p2×3p ＝3，又p >0，所以p ＝2.答案：C5．(xx·东北三校第二次联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.12B.14C.22D.33解析：由题知m 2＋n 2＝c 2，即n 2＝c 2－m 2，n 2是2m 2与c 2的等差中项，有2m 2＋c 2＝2n 2＝2c 2－2m 2得m 2＝c 24即m ＝c 2，又因c 是a 与m 的等比中项，所以am ＝c 2，即a ·c 2＝c 2，c a ＝12，选A.答案：A6．(xx·浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D 二、填空题7．(xx·河南十所名校第三次联考)圆x 2＋y 2－2x ＋my －2＝0关于抛物线x 2＝4y 的准线对称，则m ＝________.解析：由条件易知圆心在抛物线x 2＝4y 的准线y ＝－1上，得m ＝2. 答案：28．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案：x ＋y ＝09．(xx·江西卷)抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p2＝32，解得p ＝6. 答案：6 三、解答题10．(xx·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝ 2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．11．(xx·江西卷)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)③ 代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－34k 2＋3④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k .所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24k 2－34k 2＋3－8k24k 2＋3＋1 ＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．12．(xx·湖北武汉调考)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x .得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可是x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →||FB →|＋|FD →||EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k2＋1＋1＋()2＋4k 2＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.[热点预测]13．(xx·辽宁五校第一联合体考试)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )、N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m2(x ＋2)，①直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn4(x 2－4)，由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0，∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0，化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，代入，得2k 4m2－123＋4k2－8mk m－k3＋4k2－2m＝0，整理得m＝－4k.∴直线l的方程为y＝k(x－4)，因此直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．21576 5448 呈 x28442 6F1A 漚P] o39967 9C1F 鰟r%423362 5B42 孂xF。

圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、选择题：1.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4,则m 等于( )A.4 Ｂ.5 C ．7 D.8【解析】由242(10)()2m m ---=，得8m =,故选：D2．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ )A B.12 C D ．23【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，,a所以e . 3.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（）Ａ.４ B.３ C ．2 D ．１答案:C4．若m 是2和８的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B D 答案:D５．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( ）A 答案:Ｄ6.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ )Ａ．0 Ｂ.1 C ．2 D ．答案:Ｃ7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为1２，则到另一个焦点的距离为（ )A ．22或２Ｂ.7 Ｃ．２２Ｄ.2【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=,所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．8．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则||||PM PN -的最大值为（ ) Ａ．6 B ．７Ｃ．８ D.9【解析】设双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F ，,则圆22(5)4x y ++=的圆心为1F ,半径12r =.圆22(5)1x y -+=的圆心为2F ,半径21r =．所以max 111||||||2PM PF r PF =+=+,min 222||||||1PN PF r PF =-=-．由双曲线定义得12||||6PF PF -=，所以max 12(||||)||2(||1)9PM PN PF PF -=+--=．故选:D9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( )A ．2 B.４ C.8 D ．1６【解析】准线方程为x p =-,由已知得810p +=,所以2p =，所以焦点到准线的距离为24p =．1０．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，,向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为( ） AB1 C11 【解析】设正ABC △的边长为2，向量12DE BC =,则D E ，分别是AB AC ，的中点.由双曲线定义知||||2BE EC a -=，所以a 1c =所以离心率1ce a=．故选：Ｄ 11.两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是且a b >,则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ) A ．5(0)16-，Ｂ.2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5，【解析】依题意得920a b ab a b +=⎧⎪=⎨⎪>⎩,解得54a b ==，,所以抛物线方程为254y x =-，其焦点坐标为1(0)5-，,故选：C1２.已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为( ）Ａ.49 B ．23 C ．595【解析】设00()P x y ，，则000049y y x a x a ⋅=-+-,化简得220022149x y a a+=，可以判断2249b a =，2451()19b e a =--故选:Ｄ13.已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆上,且满足0OA OB +=（O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=,若椭圆的离心率等于22，则直线AB 的方程是（ ) Ａ． 2y = B ．2y = Ｃ.3y = D ．3y 答案:A14.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．3 B 17 Ｃ5 D ．92答案:B15.若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数)有共同的焦点F 1,F ２,Ｐ是两曲线的一个公共点,则12||||PF PF ⋅等于ﻩﻩ( ）A ．m p +ﻩB ．p m - C.m p - D ．22m p -答案：Ｃ16.若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点,且满足20a b ->，20a b +>,则该点P 一定位于双曲线（ )A.右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上Ｄ．不能确定答案:Ａ１7.如图,在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=,AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ，为焦点,且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（） A.3 ﻩＢ.1 ﻩC ．32Ｄ.2答案:A【解析】设c AB 2||=，则在椭圆中,而在双曲线中,1８.221+=表示的曲线是（ )A.焦点在x 轴上的椭圆Ｂ.焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。

2020年高中数学课时作业本圆锥曲线综合题(含答案)

2020年高中数学课时作业本圆锥曲线综合题1.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A.x 2＋y 2=2B.x 2＋y 2=4C.x 2＋y 2=2(x ≠±)D.x 2＋y 2=4(x ≠±2)22.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A.πB.4πC.8πD.9π3.已知log 2x ，log 2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x ，y)的轨迹为( )4.若直线y=2x ＋与抛物线x 2=2py(p>0)相交于A ，B 两点，则|AB|等于( )p 2A.5pB.10pC.11pD.12p5.双曲线2x 2-y 2=-16的准线方程为________.6.椭圆C ：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y=(x ＋c)与椭圆x2a2y2b23C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________.7.设P 是椭圆＋=1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2=1和(x-4)2＋y 2=1上的点，则x225y29PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________.8.到直线y=-4的距离与到A(0，-2)的距离的比值为的点M 的轨迹方程为________.29.已知平面内的动点P 到定直线l ：x=2 的距离与点P 到定点F(，0)之比为.222(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？10.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d，A(-1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.答案解析1.答案为：D ；解析：设P(x ，y)，因为△MPN 为以MN 为斜边的直角三角形，∴MP 2＋NP 2=MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2=16.整理得，x 2＋y 2=4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2.∴轨迹方程为x 2＋y 2=4(x ≠±2).2.答案为：B ；解析：设P(x ，y)，代入|PA|=2|PB|，得(x ＋2)2＋y 2=4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2=4，所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.所以点P 的轨迹所围成的图形的面积等于4π.3.答案为：A ；解析：由2log 2y=2＋log 2x ，得log 2y 2=log 24x ，∴y 2=4x(x>0，y>0)，即y=2(x>0).x 4.答案为：B ；解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=4p ，∴y 1＋y 2=9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|=y 1＋y 2＋p=10p.5.答案为：y=±463解析：原方程可化为-=1.∵a 2=16，c 2=a 2＋b 2=16＋8=24，∴c=2.y216x286∴准线方程为y=±=±=±.a2c 16264636.答案为：-13解析：直线y=(x ＋c)过点F 1(-c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2=60°，3从而∠MF 2F 1=30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1=c ，MF 2=c ，3所以该椭圆的离心率e===-1.2c 2a 2c c ＋3c37.答案为：8,12解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1=12，最小值为PF 1-1＋PF 2-1=8.8.答案为：＋=1y28x24解析：设M(x ，y)，由题意得=.化简得＋=1.|y ＋4|x2＋ y ＋2 22y28x249.解：(1)设点P(x ，y)，依题意，有=.整理，得＋=1. x －2 2＋y2|x －2 2|22x24y22所以动点P 的轨迹C 的方程为＋=1.x24y22(2)由题意，设N(x 1，y 1)，A(x 2，y 2)，则B(-x 2，-y 2)，＋=1，＋=1.x 214y 212x 24y 22k 1·k 2=·===-，为定值.y1－y2x1－x2y1＋y2x1＋x2y 21－y 2x 21－x 22－12x 21－2＋12x 2x 21－x 21210.解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x=-1.由抛物线的定义，知|PF|=d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.22＋125如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为=.12(2)把点B的横坐标代入y2=4x中，得y=±，12因为>2，所以点B在抛物线内部.自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).由抛物线的定义，知|P1Q|=|P1F|，　则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|=|BQ|=3＋1=4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

高考经典圆锥曲线习题(含答案)

高考圆锥曲线试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线22110x y -=的焦距为（）2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（）（A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A .B.C .D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y x D ．1422=+y x 7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163B ．83C ．316D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)429．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.（2007上海文）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P （0，-4）作抛物线G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且＝。

2021年高考数学 8.10圆锥曲线的综合问题课时提升作业理北师大版

2021年高考数学 8.10圆锥曲线的综合问题课时提升作业理北师大版一、选择题1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )(A)-2 (B)- (C)-4 (D)-2.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )(A)1 (B) (C)2 (D)23.(xx·赣州模拟)若不论k为何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则b的取值范围是( )(A)(-,) (B)[-,](C)(-2,2) (D)[-2,2]4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(xx·合肥模拟)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )(A)+2 (B)+1(C)-2 (D)-16.(能力挑战题)若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是( )(A)(0,+∞) (B)(,+∞) (C)(,+∞) (D)(,+∞)二、填空题7.(xx·南京模拟)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F,若<k<,则椭圆离心率的取值范围为.8.(xx·宝鸡模拟)设连接双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则的最大值为.9.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,则的值为.三、解答题10.(xx·西安模拟)设椭圆C的两焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),且经过点P(1,),M为椭圆上的动点,以M为圆心,MF2为半径作☉M.(1)求椭圆C的方程.(2)若☉M与y轴有两个交点,求点M横坐标的取值范围.(3)是否存在定☉N,使☉M与☉N总相切?若存在,求☉N的方程;若不存在,说明理由.11.(xx·合肥模拟)已知抛物线x2=4y的焦点是椭圆C:+=1(a>b>0)一个顶点,椭圆C的离心率为,另有一圆O,圆心在坐标原点,半径为.(1)求椭圆C和圆O的方程.(2)已知M(x0,y0)是圆O上任意一点,过M点作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,求证:l1⊥l2.12.(能力挑战题)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线C2:y2=4x的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|=.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.(1)求椭圆C1的方程.(2)证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.答案解析1.【解析】选 D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F(0,),取直线y=,则其与y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)·()=-.【方法技巧】求与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥.∴长轴的最小值为2.3.【解析】选B.因为直线y=k(x-2)+b恒过(2,b)点,又当x=2时,y2=x2-1=3,∴y=±.数形结合知,当点(2,b)在双曲线内部或在双曲线上时,符合要求,所以b∈[-,].4.【解析】选C,设P(x0,y0),则+=1即=3-,又∵F(-1,0),∴·=x0·(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(·)∈[2,6],所以(·)max=6.5.【思路点拨】画出图像,通过图像可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,根据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,显然当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min==.∴(d1+d2)min=-1.6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2====;e1====.∵三角形两边之和大于第三边,∴2c+2c>10,即c>,∴e1·e2==>,因此选B.7.【解析】由题意知:B(c,),∴k===1-e.又<k<,∴<1-e<,解得<e<.答案:(,)8.【思路点拨】将用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=·2a·2b=2ab,S2=·2·2=2(a2+b2),=(a>0,b>0),∴=≤(当且仅当a=b时取等号).答案:9.【解析】设直线PA的斜率为k PA,PB的斜率为k PB,由=2px1,=2px0,得k PA==,同理k PB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么=-2.答案:-210.【解析】(1)∵2a=|PF1|+|PF2|=+=4,∴a=2.∴b2=a2-c2=22-12=3.∴椭圆C的方程为+=1.(2)设M(x0,y0),则☉M的半径r=,圆心M到y轴的距离d=|x0|,⇒3+8x0-16<0⇒-4<x0<.又∵-2≤x0≤2,∴-2≤x0<.故点M横坐标的取值范围为[-2,).(3)存在☉N:(x+1)2+y2=16与☉M总相切,☉N的圆心为椭圆的左焦点F1.由椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=4,∴|MF1|=4-|MF2|,∴两圆相内切.11.【解析】(1)由x2=4y可得,抛物线焦点坐标为(0,1),由已知得b=1,又e=,∴=,a2=b2+c2,得a2=4,∴=. ∴椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=5.(2)若点M的坐标为(2,1),(2,-1),(-2,-1),(-2,1),则过这四点分别作满足条件的直线l1,l2,若一条直线斜率为0,则另一条斜率不存在,则l1⊥l2;若直线l1,l2斜率都存在,则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k(x-x0),由得x2+4[kx+(y0-kx0)]2=4,即(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)·x+4(y0-kx0)2-4=0,则Δ=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0,化简得(4-)k2+2x0y0k+1-=0.又+=5,∴(4-)k2+2x0y0k+-4=0.设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2满足(4-)k2+2x0y0k+-4=0, ∴k1·k2==-1,∴l1⊥l2.12.【思路点拨】(1)根据抛物线的方程,求出其焦点坐标,然后求出椭圆的焦点坐标,通过定义建立方程,化简即可得到椭圆C1的方程.(2)设出点T的坐标,将抛物线方程代入圆的方程,得到一元二次方程,利用此方程恒成立求解.【解析】(1)∵抛物线C2:y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴点F2的坐标为(1,0).∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),抛物线C2的准线方程为x=-1.设点P的坐标为(x1,y1),由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1,∵|PF2|=,∴x1+1=,解得x1=.由=4x1=,且y1>0,得y1=.∴点P的坐标为(,).在椭圆C1:+=1(a>b>0)中,c=1.2a=|PF1|+|PF2|=+=4,∴a=2,b==,∴椭圆C1的方程为+=1.(2)设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,∵圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,∴|MN|=2=4,∴r=,∴圆C3的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=4+(*),∵点T是抛物线C2:y2=4x上的动点,∴=4x0(x0≥0),∴x0=.把x0=代入(*)消去x0整理得:(1-)-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)方程(**)对任意实数y0恒成立,∴解得∵点(2,0)在椭圆C1:+=1上,∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点(2,0).K23419 5B7B 孻31902 7C9E 粞d"f<27353 6AD9 櫙35305 89E9 觩6[Au32349 7E5D 繝=。

(江苏专用)高考数学总复习第八章第8课时圆锥曲线的综合应用课件

a ＋b
a ＋b
a ＋b
2 x0 y2 0 2 2 2 2 2 2 ∵ 2－ 2＝1，∴ b x0－ a y0＝ a b ，∴上 a b
a2b2 式＝ 2 2＝定值． a ＋b
x y 3．在椭圆＋＝ 1 上若存在点 P，使 45 20 ∠ F1PF2 为锐角，求 P 点横坐标的取值范围．
2
2
3．在圆锥曲线问题中，探求参数的取值范围是重要题型，解题的关键是构建关于参数的不等关系． 4．最值问题常常需通过建立目标函数或目标量的不等式进行研究，另外还要注意运用“数形结合”、“几何法 ”求最值．
课前热身 x 2 y2 1．若椭圆 2＋ 2＝ 1，经过(3,1)点，求 m n m2＋ n2 的最小值．
1 2 当且仅当 a ＝ 2即 a＝ ± 时取 2 8a
2
4
“＝”．故点 C 和点 B 到 x 轴的距离不能同时取得最小值．
【名师点评】
使用基本不等式，求
最值时要注意考查等号能否取到及取
等号的条件．
变式训练 x2 1．设 a 为常数，求点 A(0，a)与椭圆 25 y2 ＋＝ 1 上的点 P(x， y)所连线段长的最 9 大值．
x2 m m 4．已知函数 y＝＋ x＋的 m＋ 1 m＋ 1 m＋ 1 图象，不论 m 取何值 (m≠－ 1)恒过某一定点，求该定点的坐标．
解：将函数解析式整理成关于 m 的方程得(x－y＋1)m＋x2－y＝0.
∵定点(x，y)的坐标，使上式对一切
m∈R(m≠－1)恒成立，
x－ y＋ 1＝ 0 ∴ 2 x － y＝0
9 1 解：由已知 2＋ 2＝ 1， m n 9 1 ∴ m ＋ n ＝ (m ＋ n )m2＋n2

全国名校高考专题训练8圆锥曲线填空题(数学)

全国名校高考专题训练08圆锥曲线二、填空题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a (x +1)的准线方程是x = -3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0)2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y 2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。

答案：y 2=－8x3、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案：5164、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 答案：1＜e ≤25、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = . 答案：3－16、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：107、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：28、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．答案：[π4,π3].2ca≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴43ππθ≤≤ 9、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x=上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ . 答案：5或－1310、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足2=，则动点C 的轨迹方程是 . 答案：14122=+y x 11、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF .答案：812、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为答案：45 13、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝。

2025高考数学圆锥曲线的综合应用课件练习题

心对称，连接 CC 1，由题意可知，所得曲线为椭圆，
椭圆的短轴长为2，长轴长 C 1 C ＝2 2 ，所以长半轴长 a ＝ 2 ，短半轴长 b ＝1，

故半焦距 c ＝ 2 − 2 ＝1，所以椭圆的离心率 e ＝＝
例1
例2
训练1
例3
训练2
2
.
2
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突破5
圆锥曲线的综合应用
命题点2 圆锥曲线在实际生活中的应用
则 N 的横坐标为－(18－5)＝－13.
设点 M ， N 的纵坐标分别为 y 1， y 2，
由图形，知｜ y 1－ y 2｜＝｜5.55－4｜＝1.55.
设抛物线的方程为 x 2＝－2 py ( p ＞0)，将点 M ， N 的坐标代入，得(－18)2＝
－2 py 1 ，(－13)2＝－2 py 2，
1
，该方

程表示两条直线，正确.综上选ACD.
例1
例2
训练1
例3
训练2
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突破5
例2
圆锥曲线的综合应用
2
2
已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ：＋＝1交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为
4
3
M (1， m )( m ＞0).
1
2
(1)证明： k ＜－ .
[解析] 解法一
设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)，
cos
3
∠ BAC ＝－， AB ⊥ BD ，则 E 的离心率为(
5
A.
5
2
B.
17
3
C.
10
2
例1
B )
D. 5

(广西专用)版高中数学 8.5圆锥曲线的综合问题课时提能训练理新人教A版

- 1 - 【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 8.5圆锥曲线的综合问题课时提能训练理新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.设e 为椭圆x 22－y 2m ＝1(m>－2)的离心率，且e∈(22，1)，则实数m 的取值范围为( ) (A)(－1,0) (B)(－2，－1)(C)(－1,1) (D)(－2，－12) 2.抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个3.(预测题)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 29＝1的两个焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边三角形，则a 2等于( )(A)12 (B)274 (C)12或274 (D)16 4.(2012·防城港模拟)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )(A)(－2,1) (B)(1,2)(C)(2,1) (D)(－1,2)5.(2011·新课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )(A)18 (B)24 (C)36 (D)486.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝2px(p>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则椭圆的离心率是( )(A)1＋52(B)3－1 (C)2－1 (D)2＋1二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1PF ⊥2PF .若△PF 1F 2面积为9，则b ＝ .。

高考数学总复习第八章第8课时圆锥曲线的综合应用课时闯关(含解析)

（江苏专用）2013年高考数学总复习第八章第8课时圆锥曲线的综合应用课时闯关（含解析）[A 级双基巩固]1.椭圆M ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2.求椭圆离心率的取值范围．解：|PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，则2c 2≤a 2≤3c 2,2e 2≤1≤3e 2，∴33≤e ≤22. ∴椭圆M 离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22. 2．已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，求长半轴长的最小值．解：法一：∵a ＋b ＋c ＝4，∴b ＋c ＝4－a .又b 2＋c 2＝a 2，∴b 2＋c 2≥b ＋c 22⇒a 2≥－a 22，解得a ≥4(2－1)．法二：由a 2＝b 2＋c 2，设b ＝a cos θ，c ＝a sin θ，则a (cos θ＋sin θ＋1)＝4，a ＝4cos θ＋sin θ＋1≥42＋1＝4(2－1)．∴此椭圆长半轴长的最小值为4(2－1)．3.如图所示，曲线G 的方程为y 2＝2x (y ≥0)．以原点为圆心，以t (t >0)为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C .(1)求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；(2)设曲线G 上点D 的横坐标为a ＋2，求证：直线CD 的斜率为定值．解：(1)由题意知，A (a ，2a )．因为|OA |＝t ，所以a 2＋2a ＝t 2. 由于t >0，故有 t ＝a 2＋2a ，①由点B (0，t )，C (c,0)的坐标知，直线BC 的方程为x c ＋y t＝1.又因点A 在直线BC 上，故有a c＋2at＝1，将①代入上式，得a c ＋2aa a ＋＝1解得c ＝a ＋2＋a ＋.(2)因为D (a ＋2，a ＋)，所以直线CD 的斜率为k CD ＝a ＋a ＋2－c＝a ＋a ＋2－a ＋2＋a ＋＝a ＋－a ＋＝－1. 所以直线CD 的斜率为定值．4.如图：A 、B 是定抛物线y 2＝2px (p >0是定值)的两个定点，O 是坐标原点且OA →·OB →＝0.求证直线AB 必过定点，并求出这个定点．解：显然OA ，OB 必有斜率且斜率均不为零．设OA 的斜率为k ，则OA ：y ＝kx .当k ≠±1时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px .得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，同理B (2pk 2，－2pk )．∴k AB ＝2pk ＋2pk 2p k2－2pk2＝k1－k 2.AB 的方程为：y ＋2pk ＝k1－k2(x －2pk 2)，整理得：－yk 2＋(2p －x )k ＋y ＝0.(*) 令⎩⎪⎨⎪⎧－y ＝0，2p －x ＝0，y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝0.则(*)对于一切实数k 均成立，故直线AB 过定点(2p,0)．当k ＝±1时，AB ⊥x 轴，其方程为x ＝2p .它也经过点(2p,0)，故直线AB 必过定点(2p,0)． 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y ＝x相切于坐标原点O .椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心坐标为(m ，n )(m <0，n >0)，则该圆的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝8已知该圆与直线y ＝x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则|m －n |2＝22，即|m －n |＝4.①又圆与直线切于原点，将点(0,0)代入得m 2＋n 2＝8.②联立方程①和②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.故圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)|a |＝5，∴a 2＝25，则椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，其焦距c ＝25－9＝4，右焦点为(4,0)，那么OF ＝4.要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于|OF |的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为圆心，半径为4的圆(x －4)2＋y 2＝16与(1)所求的圆的交点数．通过联立两圆的方程解得x ＝45，y ＝125，即存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长．6．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，423，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2两点．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上是否存在点P (x ，y )，使P 到定点A (a,0)(其中0<a <3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给出证明．解：(1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵椭圆过M ，N 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋329n ＝1，92m ＋2n ＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝14.∴椭圆方程为x 29＋y 24＝1.(2)设存在点P (x ，y )满足题设条件， ∴|AP |2＝(x －a )2＋y 2，又x 29＋y 24＝1，∴y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29. ∴|AP |2＝(x －a )2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －95a 2＋4－45a 2(|x |≤3)，若9a 5≤3，即0<a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2，依题意，4－45a 2＝1⇒a ＝±152∉⎝⎛⎦⎥⎤0，53；若95a >3，即53<a <3时，当x ＝3时，|AP |2的最小值为(3－a )2，依题意(3－a )2＝1. ∴a ＝2，此时点P 的坐标是(3,0)．故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是(3,0)．7．(2012·盐城质检)已知在△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2,0)和(2,0)，点C 在x 轴上方．(1)若点C 的坐标为(2,3)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； (2)若∠ACB ＝45°，求△ABC 的外接圆的方程；(3)若在给定直线y ＝x ＋t 上任取一点P ，从点P 向(2)中圆引一条切线，切点为Q ，问是否存在一个定点M ，恒有PM ＝PQ ？请说明理由．解：(1)因为AC ＝5，BC ＝3，所以椭圆的长轴长2a ＝AC ＋BC ＝8.又c ＝2，所以b ＝23，故所求椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵ABsin C＝2R ，∴2R ＝42，∴R ＝2 2. 又圆心在AB 的垂直平分线上，故可知圆心为(0，s )(s >0)，则由4＋s 2＝8.∴s ＝2，故△ABC 的外接圆的方程为x 2＋(y －2)2＝8. (3)假设存在这样的点M (m ，n )，设点P (x ，x ＋t )，因为恒有PM ＝PQ ，所以(x －m )2＋(x ＋t －n )2＝x 2＋(x ＋t －2)2－8，即(2m ＋2n －4)x －(m 2＋n 2－2nt ＋4t ＋4)＝0对x ∈R 恒成立．从而⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2n －4＝0，m 2＋n 2－2nt ＋4t ＋4＝0，消去m ，得n 2－(t ＋2)n ＋(2t ＋4)＝0 (*)，因为方程(*)的判别式为Δ＝t 2－4t －12，所以①当－2<t <6时，因为方程(*)无实数解，所以不存在这样的点M . ②当t ≥6或t ≤－2时，因为方程(*)有实数解，且此时直线y ＝x ＋t 与圆相离或相切，故此时这样的点M 存在．[B 级能力提升]1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴交于点F (2,0)． (1)求直线l 的方程；(2)如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；(3)若在(1)、(2)情形下，设直线l 与椭圆的另一个交点为Q ，且PM →＝λPQ →，当|OM →|最小时，求λ对应的值．解：(1)P (3，2)，F (2,0)，∴根据两点式得，所求直线l 的方程为y －02－0＝x －23－2，即y ＝2(x －2)．∴直线l 的方程是y ＝2(x －2)．(2)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵一个焦点F (2,0)，∴c ＝2，即a 2－b 2＝4.①∵点P (3，2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，∴9a 2＋2b2＝1.②由①②解得a 2＝12，b 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为 x 212＋y 28＝1. (3)由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －，x 212＋y 28＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－2 2.∴Q (0，－22)，PQ →＝(－3，－32)． ∵PM →＝λPQ →＝(－3λ，－32λ)， ∴OM →＝OP →＋PM →＝(3－3λ，2－32λ)． ∴|OM →|＝－3λ2＋2－32λ2＝27λ2－30λ＋11＝ 27⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－592＋83， ∴当λ＝59时，|OM →|最小．2.如图，已知⊙O ′过定点A (0，p )(p >0)，圆心O ′在抛物线x 2＝2py 上运动，MN 为圆O ′在x 轴上截得的弦，令AM ＝d 1，AN ＝d 2，∠MAN ＝θ.(1)当O ′点运动时，MN 是否有变化？请证明你的结论；(2)求d 1d 2＋d 2d 1的最大值及取得最大值时的θ的值．解：设圆心O ′(x 0，y 0)，则圆O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2.令y ＝0，得x 2－2x 0x ＋x 20＝p 2，解得x M ＝x 0－p ，x N ＝x 0＋p . 所以MN ＝x N －x M ＝2p ，即MN 是定值．(2)d 21＝(x 0－p )2＋p 2，d 22＝(x 0＋p )2＋p 2，d 1d 2＝x 40＋4p 4，所以d 1d 2＋d 2d 1＝d 21＋d 22d 1d 2＝2x 20＋4p 2x 40＋4p 4≤2x 20＋4p 212x 20＋2p 22＝2 2.当且仅当x 20＝2p 2时，等式成立，即x 0＝±2p (y 0＝p )时，d 1d 2＋d 2d 1取得最大值．此时∠MO ′N ＝90°，所以θ＝45°.3．一束光线从点F 1(－1,0)出发，经直线l ：2x －y ＋3＝0上一点P 反射后，恰好穿过点F 2(1,0)．(1)求P 点的坐标；(2)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆C 的方程； (3)由(2)，设点Q 是椭圆C 上除长轴两端点外的任意一点，试问在x 轴上是否存在两定点A 、B ，使得直线QA 、QB 的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件下的定点A 、B 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设F 1关于l 的对称点为F (m ，n )，⎩⎪⎨⎪⎧则n m ＋1＝－12，且2·m －12－n 2＋3＝0，解得m ＝－95，n ＝25，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，25，故直线F 2F 的方程为x ＋7y －1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －1＝0，2x －y ＋3＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，13.(2)因为PF 1＝PF ，根据椭圆定义，得2a ＝PF 1＋PF 2＝PF ＋PF 2＝FF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－95－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－02＝22，所以a ＝ 2. 又c ＝1，所以b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(3)假设存在两定点为A (s,0)，B (t,0)，使得对于椭圆上任意一点Q (x ，y )(除长轴两端点)都有k QA ·k QB ＝k (k 为定值)，即y x －s ·y x －t ＝k ，将y 2＝1－x 22代入并整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12x 2－k (s＋t )x ＋kst －1＝0…(*)．由题意，(*)式对任意x ∈(－2，2)恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＋12＝0k s ＋t ＝0kst －1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－12s ＝2t ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12s ＝－2t ＝2.所以有且只有两定点(2，0)，(－2，0)，使得k QA ·k QB 为定值－12.4．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且B (－1，－3)．(1)求椭圆C 和直线l 的方程；(2)记曲线C 在直线l 下方部分与线段AB 所围成的平面区域(含边界)为D .若曲线x2－2mx ＋y 2＋4y ＋m 2－4＝0与D 有公共点，试求实数m 的最小值．解：(1)由离心率e ＝63，得a 2－b 2a ＝63，即a 2＝3b 2.①又点B (－1，－3)在椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1上，即－2a 2＋－2b 2＝1.②解①②得a 2＝12，b 2＝4.故所求椭圆方程为y 212＋x 24＝1.由A (2,0)，B (－1，－3)得直线l 的方程为y ＝x －2.(2)曲线x 2－2mx ＋y 2＋4y ＋m 2－4＝0，即圆(x －m )2＋(y ＋2)2＝8，其圆心坐标为G (m ，－2)，半径r ＝22，表示圆心在直线y ＝－2上，半径为22的动圆．由于要求实数m 的最小值，由图可知，只需考虑m <0的情形．设⊙G 与直线l 相切于点T ，则由|m ＋2－2|2＝22，得m ＝±4，当m ＝－4时，过点G (－4，－2)与直线l 垂直的直线l ′的方程为x ＋y ＋6＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋6＝0，x －y －2＝0，得T (－2，－4)．因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为－1,2，所以切点T ∉D .由图可知当⊙G 过点B 时，m 取得最小值，即(－1－m )2＋(－3＋2)2＝8，解得m min ＝－7－1.。

高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十

课时分层作业五十九圆锥曲线的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·六安模拟)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为( ) A. B.5 C. D.4【解析】选A.因为c===2,所以F2(2,0).因为点P的横坐标为2,所以PQ⊥x轴.由-y2=1,解得y=±,所以|PQ|=.因为点P,Q在双曲线C上,所以|PF1|-|PF2|=2,|QF1|-|QF2|=2,所以|PF1|+|QF1|=4+|PF2|+|QF2|=4+|PQ|=4+=,所以△PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=+=.2.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2| 的最大值是( )A.9B.16C.25D.【解析】选C.根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤=25,所以最大值为25.3.(2018·秦皇岛模拟)设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【解析】选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|P A|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.【变式备选】如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )A.3<m<4B.m>C.3<m<D.<m<4【解析】选D.由椭圆方程可知m-3>4-m>0,所以<m<4.4.(2018·九江模拟)抛物线y2=12x上的点与直线3x-y+5=0的最近距离为( )A. B. C. D.【解析】选B.抛物线上的点到直线的距离d==[(y-2)2+16]≥=.当且仅当y=2时,等号成立.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选B.如图,若将直线3x-y+5=0平移,则移到刚好与抛物线y2=12x相切时,切点到直线的距离最小.设与3x-y+5=0平行的切线为3x-y+t=0,代入抛物线方程得y2-4y+4t=0,Δ=16-16t=0,所以t=1,所以最近距离d==.5.(2018·赣州模拟)设F1,F2是椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A, B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为|AF1|+|AF2|=4, |BF1|+|BF2|=4,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=8,显然,当|AB|最小时, |AF2|+|BF2|有最大值,而|AB|min ==b2,所以, 8-b2=5,解得b2=3, c2=1,从而e=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线x2=8y上有一条长为10的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为________.【解析】由题意知,抛物线的准线l:y=-2,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|==,因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥10.所以|AA1|+|BB1|≥10,2|MM1|≥10,即|MM1|≥5.故点M到x轴的距离d≥3.故AB的中点到x轴的最短距离为3.答案:37.(2018·洛阳模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴端点到直线y=a2x的距离为1,则双曲线的离心率的最小值为________.【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴端点(0,b)或(0,-b)到直线y=a2x的距离为1,所以=1,即b2=1+a4,所以离心率e=====≥=,当且仅当a2=,即a=1,b=时取等号.答案:8.(2018·长治模拟)已知椭圆+=1和直线l:x-y+9=0,在l上任取一点M,则经过点M且以椭圆的焦点F1,F2为焦点,长轴最短的椭圆的方程为________.【解析】因为F1(-3,0),F2(3,0),易知F1关于l:x-y+9=0的对称点F1′(-9,6),所以F1′F2的方程为x+2y-3=0.所以得交点M(-5,4),即过M(-5,4)的椭圆,长轴最短.由|MF1|+|MF2|=2a,则2a=6,所以a2=45,又c2=9,所以b2=36.故所求椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知F(,0)为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,B1,B2,A为椭圆的下、上、右三个顶点,△B2OF 与△B2OA的面积之比为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)试探究在椭圆C上是否存在不同于点B1,B2的一点P满足下列条件:点P在y轴上的投影为Q,PQ的中点为M,直线B2M交直线y+b=0于点N,B1N的中点为R,且△MOR的面积为.若不存在,请说明理由;若存在,求出点P的坐标.【解析】(1)由已知得===.又c=,所以a=2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)假设存在满足条件的点P,设其坐标为P(x0,y0)(x0≠0),则Q(0,y0),且M.又B2(0,1),所以直线B2M的方程为y=x+1.因为x0≠0,所以y0≠1,令y=-1,得N.又B1(0,-1),则R,所以|MR|==.直线MR的方程为y-y0=-,即2yy0+x0x-2=0,所以点O到直线MR的距离为d==1,所以S△MOR=|MR|·d=×1=,解得y0=,又+=1,所以x0=±,所以存在满足条件的点P,其坐标为.10.(2018·武邑模拟)已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),A是圆F1上的一动点,线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上,且对角线EG,FH过原点O,若k EG·k FH=-,求证:四边形EFGH的面积为定值,并求出此定值.【解析】(1)因为P在线段F2A的中垂线上,所以|PF2|=|PA|.所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4>|F1F2|,所以轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=2,所以b=,故轨迹C的方程为+=1.(2)不妨设点E,H位于x轴的上方,则直线EH的斜率存在,设EH的方程为y=kx+m,E(x1,y1),H(x2,y2). 联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2=-,x1x2=.①由k EG·k FH==-,得==-.②由①,②,得2m2-4k2-3=0.③设原点到直线EH的距离为d=,|EH|=|x1-x2|=,S四边形EFGH=4S△EOH=2|EH|·d=,④由③,④,得S四边形EFGH=4,故四边形EFGH的面积为定值,且定值为4.1.(5分)已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|,|AB|≤4,当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4.【变式备选】(2018·西宁模拟)在平面直角坐标系xOy中, P是椭圆+=1上的一个动点,点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选A.因为椭圆方程为+=1,所以焦点坐标为B和B′,连接PB′,AB′,根据椭圆的定义,得|PB|+|PB′|=2a=4,可得|PB|=4-|PB′|,因此|PA|+|PB|=|PA|+=4+, 因为|PA|-|PB′|≤|AB′|,所以|PA|+|PB|≤2a+|AB′|=4+1=5,当且仅当点P在AB′延长线上时,等号成立,综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.2.(5分)(2018·三明模拟)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则(其中e为椭圆C的离心率)的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选C.本题主要考查椭圆的定义与性质、点到直线的距离公式,考查了逻辑推理能力与计算能力.因为点Q为线段PF2的中点,所以OQ是三角形PF1F2的中位线,则|PF1|=2|OQ|=2b,则|PF2|=2a-2b,且PF1与PF2垂直,则4b2+4(a-b)2=4c2,解得2a=3b,e=,所以=≥,当且仅当a=时,等号成立.3.(5分)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是________.【解析】以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则|FM|>p,即y0+>p,所以y0>,即y0>2. 答案:(2,+∞)4.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得·=0?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由c=1,a-c=1,得a=2,所以b=.故椭圆C的标准方程为+=1.(2)由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得m2=3+4k2.设P(x P,y P),则x P=-=-,y P=kx P+m=-+m=,即P.因为M(t,0),Q(4,4k+m),所以=,=(4-t,4k+m).所以·=·(4-t)+(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,所以得t=1.所以存在点M(1,0)符合题意.5.(13分)(2018·成都模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点到右焦点F(1,0)的距离为2.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线交椭圆C于A,B两点,交直线l:x=4于点P,若|PA|=λ1|AF|,|PB|=λ2|BF|,求证:λ1-λ2为定值.【解析】(1)由题意有:c=1,且=2,所以a=2,b2=a2-c2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意直线AB过点F(1,0),且斜率存在,设方程为y=k(x-1),将x=4代入得P点坐标为(4,3k).由消元得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ>0且方法一:因为|PA|=λ1|AF|,所以λ1==,同理λ2==,且与异号. 所以|λ1-λ2|=====0.所以λ1-λ2为定值0.方法二:由题意,当x1>1>x2时,有=λ1,且=-λ2,所以(x1-4,y1-3k)=λ1(1-x1,-y1),且(x2-4,y2-3k)=-λ2(1-x2,-y2), 所以λ1=,同理λ2=-,从而λ1-λ2=+=-1--1-=-2-=-2+=-2+=0.当x1<1<x2时,同理可得λ1-λ2=0.所以λ1-λ2为定值0.方法三:由题意直线AB过点F(1,0),设方程为x=my+1(m≠0),将x=4代入得P点坐标为,由消元得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ>0且因为|PA|=λ1|AF|,所以λ1===.同理λ2==,且与异号,所以|λ1-λ2|====0.又当直线AB与x轴重合时,λ1-λ2=0,所以λ1-λ2为定值0.【变式备选】如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上.(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.【解析】(1)因为直线AB过定点M(0,2),由题意知直线AB的斜率一定存在,所以可设直线AB的方程为y=kx+2.由得x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-8.又直线AO的方程为y=x,直线BD的方程为x=x2,联立解得D点的坐标为.又x1x2=-8,=4y1,所以====-2,所以动点D在定直线y=-2上.(2)由题意可知,切线l的斜率存在且不为0.设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y,化简得x2-4ax-4b=0.因为l为切线,所以Δ=(-4a)2+16b=0,化简得b=-a2,所以切线l的方程为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2点的坐标为N1,N2,则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,所以|MN2|2-|MN1|2为定值8.。

高三数学课时作业：第8章第9节圆锥曲线的综合问题

课时作业一、选择题1．(2014·信阳模拟）设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ）A。

错误!B．[－2，2]C．［－1，1］D．[－4,4］C [易知抛物线y2＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2，0），于是，可设过点Q（－2,0)的直线l的方程为y＝k（x＋2）(由题可知k是存在的）,联立错误!⇒k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0。

当k＝0时，易知符合题意;当k≠0时,其判别式为Δ＝(4k2－8）2－16k4＝－64k2＋64≥0,可解得－1≤k≤1.]2．已知双曲线x2－错误!＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点,则，的最小值为( ) A．－2 B．－错误!C．1 D．0A [设点P(x,y），其中x≥1.依题意得A1(－1，0)，F2(2，0),由双曲线方程得y2＝3(x2－1)．PA1―→,·PF2―→，＝（－1－x，－y)·(2－x，－y)＝（x＋1)(x－2）＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋3(x2－1）－x －2＝4x2－x－5＝4错误!错误!－错误!，其中x≥1.因此，当x＝1时,，取得最小值－2。

］3．已知椭圆错误!＋错误!＝1的焦点是F1,F2,如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结论正确的是( ) A．P点有两个B．P点有四个C．P点不一定存在D．P点一定不存在D ［设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5,b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3＜4＝b，即圆与椭圆不可能有交点．］4．（2014·东北四校联考）设P是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，M,N分别是两圆：（x＋4）2＋y2＝1和(x－4）2＋y2＝1上的点,则｜PM|＋｜PN｜的最小值、最大值分别为（) A．9,12 B．8，11C．8，12 D．10，12C [如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋｜PB|＝2a＝10,连接PA，PB分别与圆相交于M,N两点，此时|PM|＋｜PN|最小，最小值为｜PA|＋｜PB｜－2R＝8;连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时｜PM|＋｜PN|最大，最大值为|PA｜＋|PB｜＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12。

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