置信区间
置信区间求法
置信区间求法什么是置信区间在统计学中，置信区间是用来估计一个参数真实值范围的一种统计方法。
置信区间表示了我们对于总体参数的不确定性，给出了一个范围，该范围内有一定的概率包含了真实的总体参数。
置信区间通常由两个值组成，下限和上限，表示了参数的估计范围。
置信区间的计算方法依赖于样本数据和所选择的置信水平。
置信水平置信水平是指在重复抽样的情况下，统计方法会产生包含真实参数的区间的频率。
常见的置信水平有95%和99%。
95%置信水平表示，在进行100次抽样时，大约有95次的置信区间会包含真实参数值。
同样地，99%置信水平表示，在进行100次抽样时，大约有99次的置信区间会包含真实参数值。
选择置信水平的大小需要根据具体的应用场景和对结果的要求来决定。
较高的置信水平会导致置信区间变宽，包含更多的可能取值，但也会增加错误估计的概率。
置信区间的计算方法置信区间的计算方法通常依赖于所研究的统计量和总体分布的已知信息。
以下是一些常见的置信区间计算方法：1. 样本均值的置信区间当总体的分布是正态分布，并且总体标准差已知时，可以使用以下公式计算样本均值的置信区间：其中，是样本均值，是总体标准差，是样本容量，是对应于所选置信水平的标准正态分布的临界值。
2. 样本均值的置信区间（总体标准差未知）当总体的分布是正态分布，但总体标准差未知时，可以使用以下公式计算样本均值的置信区间：其中，是样本均值，是样本标准差，是样本容量，是对应于所选置信水平和自由度的t分布的临界值。
3. 比例的置信区间当研究的统计量是比例时，可以使用以下公式计算比例的置信区间：其中，是样本比例，是样本容量，是对应于所选置信水平的标准正态分布的临界值。
置信区间的应用举例为了更好地理解置信区间的应用，我们可以通过一个实际的例子来说明。
假设我们想要估计一家电商平台上某商品的平均评分，我们从该平台上随机抽取了100个用户的评分数据。
我们想要计算出该商品评分的置信区间，以便了解该评分的可信程度。
置信区间公式表
置信区间公式表 在统计学中，置信区间是用来估计一个参数或者变量真实值的范围。
置信区间公式表则是用来计算这些置信区间的具体公式的总结。
本文将介绍常见的统计参数和对应的置信区间计算公式，以及实际举例说明，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、均值的置信区间公式1.总体均值的置信区间公式（大样本）当总体标准差已知时，总体均值的置信区间公式为： 置信区间 = 样本均值 ± Z分数 *（总体标准差 / 根号下样本容量）2.总体均值的置信区间公式（小样本）当总体标准差未知时，总体均值的置信区间公式为： 置信区间 = 样本均值 ± t分数 *（样本标准差 / 根号下样本容量） 举例说明：假设某地的成年人平均身高是170厘米，现在随机抽取了50名成年人，测得的样本平均身高是168厘米，样本标准差为3厘米。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如95%），这个样本的置信区间为166.4厘米至169.6厘米。
二、比例的置信区间公式总体比例的置信区间公式为： 置信区间 = 样本比例 ± Z分数 * 根号下（（样本比例 *（1 - 样本比例））/ 样本容量） 举例说明：某商品在一个网上商城上的购买成功率为0.65。
现在随机抽取了300个订单，其中成功购买的数量为200个。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如90%），这个样本的置信区间为0.616至0.684。
三、方差的置信区间公式总体方差的置信区间公式为： 置信区间 = （（n - 1） * 样本方差） / X^2分数（α/2，n - 1）至（（n - 1） * 样本方差） / X^2分数（1 - α/2，n - 1） 举例说明：假设某批产品的重量服从正态分布，我们随机抽取了12个产品，测得的样本方差为9。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如99%），这个样本的置信区间为5.77至27.44。
置信区间公式表是统计学中一个重要的工具，可以帮助我们了解样本估计值的真实范围。
置信区间 公式
置信区间公式
置信区间是指在一定置信水平下，对总体参数（如均值、比例等）给出的区间估计。
其计算公式可以根据不同的参数类型和样本情况而有所不同。
下面是一些常见的置信区间计算公式：
1. 总体均值的置信区间（样本容量大于30）：
t置信区间 = [样本平均数 - Z分数×标准误差, 样本平均数+ Z分数×标准误差]
t其中，Z分数是根据置信水平查表得到的，标准误差是样本标准差除以样本容量的平方根。
2. 总体比例的置信区间（二项分布）：
t置信区间 = [样本比例 - Z分数×标准误差, 样本比例 + Z 分数×标准误差]
t其中，Z分数和标准误差的计算方式与1相同，样本比例是指样本中符合条件的比例。
3. 总体方差的置信区间（样本容量大于30）：
t置信区间 = [(n-1) ×样本方差 / χ分数（α/2, n-1），(n-1) ×样本方差 / χ分数（1-α/2, n-1）]
t其中，n是样本容量，α是置信水平，χ分数是根据置信水平和自由度查表得到的。
需要注意的是，在计算置信区间时，需要保证样本是随机且独立的，并且总体分布符合正态分布或二项分布的要求。
如果不满足这些
条件，就需要使用其他的置信区间计算方法。
置信区间 公式
置信区间公式
置信区间是指在一定置信水平下，对总体参数的估计区间，常用于样本的统计推断。
置信区间的计算需要依赖于样本的大小、样本的均值和标准差以及置信水平等因素。
下面是置信区间的公式：对于均值的置信区间：
样本大小大于30：置信区间为样本均值±Z值×标准误差
样本大小小于等于30：置信区间为样本均值±t值×标准误差其中，标准误差为样本标准差除以样本大小的平方根
对于比例的置信区间：
置信区间为样本比例±Z值×标准误差
其中，标准误差为√(样本比例×(1-样本比例)/样本大小)
以上是常用的置信区间公式，不同的置信水平和不同的样本情况都会对计算结果产生影响，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的公式和参数。
- 1 -。
置信区间通俗理解
置信区间通俗理解
置信区间是指通过对样本调查结果进行统计分析后，得出一个区间，这个区间的意义是包含了真实参数的可能范围，通常是在一定的
置信水平下得到的。
换句话说，如果我们重复进行相同样本的研究，
我们有一个很高的概率从这个置信区间中找到实际参数。
比如，如果
在95%的置信水平下得到了一个置信区间，那么，在一百次重复实验中，有95次的实际参数会落在这个置信区间内，只有5次会在这个区间之外。
举个例子来说，我们想知道全国成年人的平均收入是多少，我们
可能只能抽查一部分人口来进行统计分析。
我们得出的结果是平均月
工资为5000元，同时我们还能计算出一个置信区间，比如4500元-5500元。
这个置信区间不是我们想象的可能真值所在的区间，而是采
样误差导致的“偏差”，因此置信区间需要通过置信度水平来解释和
阐述。
如果我们的置信度水平是90%，那么在90%的概率下，真实的平
均月工资值在4500元-5500元之间，因此这个置信区间可以用来说明
我们对真实平均月工资的估计不确定，具体的数据只是一个样本的估
计值，而不是真实值。
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
置信区间的计算公式
置信区间的计算公式置信区间是统计学中一种重要的概念，它是用来估计一个总体参数的一种统计技术。
置信区间是一个可以把一个总体参数的可能取值范围限定在一定范围内的统计技术。
置信区间的计算公式是：置信区间=（样本均值-置信度α/2的标准误差，样本均值+置信度α/2的标准误差）。
置信度α是一个介于0到1之间的数字，它表示置信区间的置信程度，一般来说，α越大，置信区间越宽，置信程度越低；α越小，置信区间越窄，置信程度越高。
标准误差是一个衡量样本均值与总体均值之间差异的量，它是样本均值的可信度的度量。
置信区间的计算公式是：置信区间=（样本均值-置信度α/2的标准误差，样本均值+置信度α/2的标准误差）。
置信区间的计算可以帮助我们更好地了解总体参数的可能取值范围，从而更好地掌握总体参数的变化趋势。
置信区间的计算公式是一种统计技术，它可以帮助我们更好地了解总体参数的可能取值范围，从而更好地掌握总体参数的变化趋势。
置信区间的计算公式是：置信区间=（样本均值-置信度α/2的标准误差，样本均值+置信度α/2的标准误差）。
置信度α是一个介于0到1之间的数字，它表示置信区间的置信程度，标准误差是一个衡量样本均值与总体均值之间差异的量，它是样本均值的可信度的度量。
置信区间的计算公式是一种重要的统计技术，它可以帮助我们更好地了解总体参数的可能取值范围，从而更好地掌握总体参数的变化趋势。
置信区间的计算公式是：置信区间=（样本均值-置信度α/2的标准误差，样本均值+置信度α/2的标准误差）。
置信度α和标准误差是置信区间计算公式的两个重要参数，它们可以帮助我们更好地了解总体参数的可能取值范围，从而更好地掌握总体参数的变化趋势。
置信区间的解释及求取
置信区间的解释及求取-学习了解95%置信区间（Confidence Interval,CI）：当给出某个估计值的95%置信区间为【a,b】时，可以理解为我们有95%的信心（Confidence）可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%。
有时也会说90%，99%的置信区间，具体含义可参考95%置信区间。
置信区间具体计算方式为:(1) 知道样本均值(M)和标准差(ST)时：置信区间下限：a=M - n*ST; 置信区间上限：a=M + n*ST;当求取90% 置信区间时n=1.645当求取95% 置信区间时n=1.96当求取99% 置信区间时n=2.576(2) 通过利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法获得估计值分布时：先对所有估计值样本进行排序，置信区间下限：a为排序后第lower%百分位值; 置信区间上限：b为排序后第upper%百分位值.当求取90% 置信区间时 lower=5 upper=95;当求取95% 置信区间时lower=2.5 upper=97.5当求取99% 置信区间时lower=0.5 upper=99.5当样本足够大时，（1）和（2）获取的结果基本相等。
参考资料：http://140.116.72.80/~smallko/ns2/confidence_interval.htmConfidence Limits: The range of confidence interval附MATLAB 求取置信区间源码：%%% 置信区间的定义90%，95%，99%-------Liumin 2010.04.28clearclcsampledata=randn(10000,1);a=0.01; %0.01 对应99%置信区间，0.05 对应95%置信区间，0.1 对应90%置信区间if a==0.01n=2.576; % 2.576 对应99%置信区间，1.96 对应95%置信区间，1.645 对应90%置信区间elseif a==0.05n=1.96;elseif a==0.1n=1.645;end%计算对应百分位值meana=mean(sampledata);stda=std(sampledata);sorta=sort(sampledata); %对数据从小到大排序leng=size(sampledata,1);CIa(1:2,1)=[sorta(leng*a/2);sorta(leng*(1-a/2))];%利用公式计算置信区间CIf(1:2,1)=[meana-n*stda;meana+n*stda]; …………………………………………………………………………………………。
置信区间(详细定义及计算)
0.04
X
P{ z0.04 P{X
n
2 z0.01}
n
z0.01 X
0.95
n z0.04}
0.95
z0.04
0.01
z0.01
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95. 注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。
分布，都近似有
当 n 充分大时，无论X服从什么
Z X EX ~ N (0,1) DX n
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z
2
X
n
z
2}
1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
这就是说随机区间
[ X n z 2 , X n z 2 ]
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
总体均值的置信区间
利用置信区间进行假设检验步骤
构造置信区间
首先根据样本数据构造出总体 均值的置信区间。
计算p值
为了进一步量化检验结果，可 以计算p值，即观察到的样本结 果或更极端结果出现的概率。
判断原假设是否成立
如果置信区间完全位于原假设 的拒绝域内，则可以拒绝原假 设；否则，不能拒绝原假设。
中心极限定理
即使原始数据不服从正态分布，只要 样本量足够大，样本均值的分布也会 趋近于正态分布，从而可以使用Z分 布法。
小样本情况下构建方法
t分布法
当样本量较小且总体方差未知时，样本均值的分布将服从t分布。此时，可以使用t分布法来构建总体 均值的置信区间。
Welch修正
当两个样本的方差不同或样本量不相等时，可以使用Welch修正的t检验来构建总体均值的置信区间。
样本量增加到一定程度后，置信区间收窄速度减缓
当样本量已经足够大时，再增加样本量对置信区间宽度的减小作用将变得有限。
如何确定合适样本量
根据预期效应大小确定样本量
考虑可接受的误差范围
如果预期效应较大，则所需样本量相对较 小；反之，如果预期效应较小，则需要更 大的样本量来检测这种效应。
在确定样本量时，还需要考虑可接受的误 差范围。较小的误差范围需要更大的样本 量来保证估计的精度。
总体均值估计方法
点估计
点估计是用样本统计量直接作为总体参数的估计值，例如用样本均值估计总体 均值。
区间估计
区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数的一个估计区间，即置信区间。 通过构造合适的统计量，并利用抽样分布理论，可以确定置信区间的上下限。
置信区间(详细定义及计算)
X
n
z 2 ]
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
这就是说随机区间
2
2
[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95.
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。 由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么 分布，都近似有
[1,2 ] 为常数区间。
3
定义7.7 设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1 则称区间 [1,是2 ] 的置信水平（置信度）为 1
的置信区间. 1 和2 分别称为置信下限和置信上限
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
Z X EX ~ N (0,1) DX n
[ X n z 2 , X n z 2 ]
置信区间
sn2
m n
作为1 的2近似置信区间。
3.方差
2 1
22且 为2 未知
由第七章定理五知,统计量
(x y) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S
2 m
(n
1)S
2 n
mn
服从t(m+n-2)分布。由此可得1 2
的置信区间为
(*)
x
y
t1 2
(m
n
2)
(m
1)s
2 m
(n
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的， 但实际应用中往往是DX未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
n
1
2
n
欲使区间长度
2z 1 2
L n
2
z 1
2
L
n
即要求
4(z ) 2 2
1
n
2
L2
第五节 二正态总体均值差和方差比的区间估计
一. 二正态总体均值差的区间估计
设 x1 , 和, xm y分1 ,别来, y自m 于正态总
体N 和N (1,的12 ) 两独立(样2 ,本22 )，相应的
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96
置信区间(详细定义及计算)
18
2.未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时, 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知 T X ~ t(n 1)
S2
n X
则对给定的α, 令
P{ S2
n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表, 可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
S
2
的概率分布是难以计算的,
2
而
p
y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
2
x
24
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
置信区间(详细定义及计算)
1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
[X
S n
t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X， 随机访问了
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
Z
~ N (0,1)
2
n
z } 1
2
2
z
2
2
z
2
7
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z
2
X
n
z
2}
1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
25个样品做试验， 得数据后计算得
x
1 25
n k 1
xk
6
取 0.05 (1 0.95), 求μ的置信区间。
解 z z0.025 1.96 n 25 x 6
2
[x
n
z
2
]
[6
1 5
1.96]
[6
高考数学置信区间
高考数学中的置信区间：概念、计算和解题方法一、什么是置信区间在统计学中，置信区间是一种用来估计未知参数的区间。
例如，我们想要估计某个班级的平均身高，但是我们没有办法测量每一个学生的身高，那么我们可以从这个班级中随机抽取一些样本，然后根据样本的平均值和标准差，计算出一个区间，这个区间就是置信区间。
我们可以说，我们有多大的置信水平（confidence level ），这个区间就包含了真实的平均身高。
二、如何计算置信区间一般来说，置信区间的计算公式是：x ±z α/2s √n其中，x 是样本平均值，z α/2 是标准正态分布的分位数，α 是置信水平的补数（例如，如果置信水平是 95%，那么 α 就是 0.05），s 是样本标准差，n 是样本容量。
例如，假设我们从一个班级中随机抽取了 30 个学生，测量了他们的身高（单位：厘米），得到了如下数据：我们可以用 Python 的 numpy 库来计算这些数据的平均值和标准差：输出结果是：如果我们想要以 95% 的置信水平估计这个班级的平均身高，那么我们可以查表得到 z α/2 的值是 1.96。
然后代入公式，得到：181.5±1.969.574√30简化后得到：181.5±3.41也就是说，我们以 95% 的置信水平估计这个班级的平均身高在 178.09 厘米到 184.91 厘米之间。
三、如何解释置信区间有时候，人们会误解置信区间的含义，认为它表示真实参数有多大的概率落在这个区间内。
其实，这是不正确的。
因为真实参数是一个固定的值，它要么在这个区间内，要么不在这个区间内，不存在概率的问题。
正确的理解方式是：如果我们重复进行同样的抽样和计算过程，那么有多大比例的置信区间会包含真实参数。
例如，在上面的例子中，我们以 95% 的置信水平估计了这个班级的平均身高在 178.09 厘米到 184.91 厘米之间，这并不意味着这个班级的平均身高有 95% 的概率在这个区间内，而是意味着如果我们重复进行 100 次抽样和计算，那么大约有 95次的置信区间会包含这个班级的真实平均身高。
置信区间的通俗理解
置信区间的通俗理解
置信区间是指一个统计推断的结果，它表示了一个区间范围，这个区间范围包含了真实参数的可能取值。
通俗地说，置信区间就是一个区间，我们可以非常有把握地认为，真实参数落在这个区间内。
这个区间的两端被称为置信限，通常是上限和下限。
置信区间是统计学中非常重要的一个概念，它用于表示我们对于一个未知参数的不确定性程度。
通常情况下，我们无法直接观测到真实参数的取值，因此需要通过样本数据来进行统计推断。
这时候，置信区间就能够帮助我们对真实参数的取值范围进行估计。
在实际应用中，置信区间经常被用来判断一个结果是否显著。
如果一个置信区间包含了一个特定的值，那么我们就可以认为这个结果不显著；反之，如果一个置信区间不包含这个值，那么我们就可以认为这个结果是显著的。
总之，置信区间是一种用于表示统计推断结果的区间范围，它能够帮助我们对真实参数的取值范围进行估计，并且在实际应用中具有重要的意义。
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4、小结
正态总体均值 的置信水平为1 的单侧置信区间
, X
S n
t
(n
1)
,
单侧置信上限
X
S n
t
(n
1),
,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信水平为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
.
单侧置信上限 2
作业
考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
2、基本概念
1). 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本X1, X2 , , Xn 确定的统 计量 ( X1, X2 , , Xn ) , 对于任意 满足 P { } 1 , 则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置信下限.
2
~ 2(n 1),
有
(n 1)S 2
P
2
2 1
(n
1)
1,
即
P 2
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
1
,
于是得 2 的一个置信水平为1 的单侧置信区间
2
0,
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
,
的置信水平为 1 的单侧置信上限
2
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
.
3、典型例题
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.
X1, X2 , , Xn 是一个样本,
由 X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,
即
P X
S n
t
(
n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为 1 的单侧置信区间
X
S n
t
(n
1),
,
的置信水平为 1 的置信下限 X
S n
t
(n
1).
又根据 (n 1)S 2
t0.10 (11 14 2) 1.3195,
经计算得 x 129.18, s1 5.72, y 123.36,
sw2
10 5.722 13 5.732 11 14 2
5.732
,
s2 5.73,
由表6.1得所求 1 2 的置信水平为0.90的置信下限为 1 2
(129.18 123.36) 1.13195 5.73 1 1 11 14
解 现在 n 10, 1 0.95, 0.05,
t0.05 (10 1) 1.8331 ,
经计算得 x 11.72 , s 0.69.
由表6.1得所求置信上限为 x
s n
t 0.05
(9)
12.12
例3 下面分别列出了某地25～35岁吸烟和不吸 烟的男子的血压（收缩压，以mm – kg计）. 设两样本分别来自总体 N (1, 2 ) , N (2 , 2 ) ,
6.6 单侧置信限
1、问题的引入 2、基本概念 3、典型例题 4、小结
1、问题的引入
在以上各节的讨论中,对于未知参数 , 我们给 出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们
关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在
1 , 2 , 2 均未知，两样本相互独立，求
1 2 的置信水平为0.90的置信下限。
吸烟
不吸烟
124 133 133 125
130 118 135 115 129
134 127 125 131
122 122 120 123 127
136 135 118
128 116 122 120
解 现在 n1 11, n2 14, 1 0.90, 0.9950,
t (n 1) t0.05(4) 2.1318,
的置信水平为 0.95 的置信下限
x
s n
t
(n
1)
1065.
例2 下面列出了自密歇根湖中捕获的10条鱼的聚氯联苯 （以mg/kg计）的含量（这是一种有毒化学物）：
11.5 12.0 11.6 11.8 10.4 10.8 12.2 11.9 12.4 12.6 设样本来自正态总体 N (, 2 ) , , 2 均未知。试求 的置信水平为0.95的单侧置信上限。
又如果统计量 ( X1, X 2 , , X n ), 对于任 意 满足 P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单侧置信区 间, 称为 的置信水平为1 的单侧置信上限.
2). 正态总体均值与方差的单侧置信区间
设正态总体 X 的均值是, 方差是 2 (均为未知) ,