中山大学医学统计学9.5方差分析1518
医学统计学之方差分析(pdf 10页)
回顾t检验、秩和检验 t检验应用条件及特 点： 小样本 正态性 方差齐性 秩和检验应用条件及 特点： 不符合t检验条件时•多组之间的样本均数比较例：有身高发育低下的儿童20名，应用 五种不同膳食进 行治疗，每组4名，一个疗程后各组儿童身高增加值如下 表，问五种不同膳食组身高增长的平均数间有无差别？膳食 X 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组3.3 5.1 5.5 8.3 8.5在不同的 个体间值 存在差异6.8 6.3 7.3 7.7 7.82.2 3.2 7.6 6.2 10.4 5.5 3.1 7.2 9.1 6.8X ＝6.395X i 4.450 4.425 6.900 7.825 8.375同一种膳食（组内） 的四个儿童值不同膳食组间身高增长 值平均数存在不同能否将五组分别进行t检验呢？ 按排列组合5组两两比较，共进行10次t检验。
若每次t检验犯第1类错误的概率为0.05，则不犯 第1类错误的概率为0.95，10次检验独立进行， 10次都不犯第1类错误的概率应为 0.9510=0.5987 ，故在10次t检验中至少有一次犯 第1类错误的概率为：•P：1-0.9510=0.4013>>0.05不能将五组分别两两进行t检验！方差分析!第九章 方差分析1.方差分析的基本思想和应用条件 2.完全随机设计 3.随机区组设计资料的方差分析 4.多个均数间的两两比较 5.交叉设计资料的方差分析 6.析因设计的方差分析 7.重复测量资料的方差分析 8.多个样本的方差齐性检验第一节 方差分析的基本思想和应用条件1第一节 完全随机设计的方差分析1. 方差分析的概念 方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相 同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计 学意义。
应用条件： • 各样本相互独立 • 均来自总体方差具有齐性的正态分布方差分析的基本思想 将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸 因素分解为若干变异，构造出反映各部分变 异作用的统计量（SS），之后构造假设检验 统计量（F），实现对总体均数的推断。
医学统计学八种检验方法
医学统计学八种检验方法医学统计学是医学研究中一个重要的分支，它通过对医学数据进行收集、整理和分析，以帮助医学研究者得出准确可靠的结论。
而在医学统计学中，检验方法是评价医学研究数据是否具有统计意义的一种重要工具。
下面将介绍医学统计学中常用的八种检验方法。
1.正态性检验：正态性检验是用来检验数据是否符合正态分布的统计性质。
常见的正态性检验方法有Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
2.两独立样本t检验：该方法用于检验两个不相互依赖的样本均值之间是否存在差异。
适用于连续变量的比较，例如治疗前后的体重变化。
3.配对样本t检验：配对样本t检验适用于对同一组研究对象在不同时间或不同条件下进行比较。
如药物治疗前后患者的血压比较。
4.卡方检验：卡方检验是用来检验分类变量之间是否存在关联性的方法。
适用于分组数据的比较，例如男女性别与健康状况之间的关系。
5.方差分析：方差分析是用来检验多个组之间是否存在显著差异的方法。
适用于分析多个因素对结果的影响，如不同年龄组对某种疾病发生率的影响。
6.生存分析：生存分析用于研究事件发生时间和随时间而变化的危险率。
适用于研究患者生存期、疾病复发时间等，常见的分析方法有Kaplan-Meier曲线和Cox比例风险模型。
7.相关分析：相关分析用于研究两个连续变量之间的关系。
常见的相关分析方法包括皮尔逊相关系数和Spearman等级相关系数。
8.回归分析：回归分析用于研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向的方法。
适用于分析影响因素较多的情况，如探讨年龄、性别、病情等因素对治疗效果的影响。
以上八种检验方法在医学统计学中被广泛运用，每种方法都有其适用的场景和注意事项。
在进行医学研究时，选择合适的检验方法能够提高研究结果的可靠性，从而为临床实践和医学决策提供准确依据。
因此，熟练掌握这些统计方法是每个医学研究者必备的基本技能。
医疗统计学方差
医疗统计学方差摘要：一、医疗统计学方差的定义与意义1.方差的定义2.方差在医疗统计学中的意义二、医疗统计学方差的计算方法1.总体方差计算2.样本方差计算三、医疗统计学方差的应用1.用于描述数据离散程度2.用于研究变量之间的关系四、医疗统计学方差的局限性与改进1.方差在医疗统计学中的局限性2.改进方差的方法正文：医疗统计学方差是医疗统计学中一个重要的概念，它用于衡量数据的离散程度，揭示变量之间的关系。
本文将对医疗统计学方差的定义、计算方法、应用及局限性进行详细阐述。
一、医疗统计学方差的定义与意义方差是指各个数据与其算术平均数之差的平方和的平均数。
在医疗统计学中，方差主要用于衡量数据的离散程度，反映研究对象的变异程度。
方差越大，数据的离散程度越大，反之亦然。
方差还可以用于研究变量之间的关系，为研究提供依据。
二、医疗统计学方差的计算方法医疗统计学方差的计算方法主要包括总体方差和样本方差。
总体方差是指总体中所有数据与其算术平均数之差的平方和的平均数。
样本方差是指样本中所有数据与其算术平均数之差的平方和的平均数。
总体方差的计算需要知道总体的所有数据，而样本方差只需知道样本数据。
三、医疗统计学方差的应用医疗统计学方差在实际应用中具有重要意义。
首先，方差可以用于描述数据的离散程度，为研究者提供数据分布的信息。
其次，方差可以用于研究变量之间的关系，揭示因变量随自变量变化的规律。
例如，在研究某种疾病与基因之间的关系时，可以通过计算方差分析基因型对疾病的影响。
四、医疗统计学方差的局限性与改进尽管方差在医疗统计学中具有重要意义，但它也存在局限性。
首先，方差受极端值的影响较大，极端值的出现会导致方差增大，而掩盖其他数据的分布情况。
其次，方差不能反映数据之间的相关性。
为克服这些局限性，研究者们提出了许多改进方法，如计算标准差、离散系数等。
综上所述，医疗统计学方差在医疗统计学中具有重要意义，但同时也存在局限性。
医学统计学方差分析(ANOVA)
方差分析是为了比较多个总体样本均数是否存在差别。
该方法有RA.Fisher首先提出，后来由GW.Snedecor完善，为了纪念Fisher，故称方差分析为F检验。
组间均方：MS组间=SS组间/ v组间，SS代表离均差平方和，v代表自由度，组间变异包括处理效应和随机误差。
组内均方：MS组内=SS组内/ v组内，组内差异包括随机误差。
F=MS组间/MS组内，F接近1，说明组间差异不大。
方差分析的基本思想，首先将总变异分为组间和组内变异，然后计算两者的F 值。
F值越大，说明组间差异大，处理起作用，反之，则不起作用，是由随机误差导致的。
方差分析应用条件：1）样本独立；2）来自正态总体；3）方差齐性。
方差分析包括完全随机设计（completely random design）的方差分析，又叫单向（one-way）方差分析和随机区组设计（radomized block design）的方差分析又叫双向（two-way）方差分析。
完全随机设计的方差分析是将受试对象随机化的分配到各个处理组或对照组的方法，未考虑干扰因素的影响，各个组的样本数可以不一样多。
随机区组设计的方差分析将受试对象按照性质相同或相近组成b个区组，每个区组有g个受试对象，分别随机分配到g个处理组，这样各个处理组不仅样本个数相同，生物学特性也比较均衡。
方差分析拒绝H0，接受H1，只说明g个总体均数不全相等，如果想要进一步了解那两个组均数不等，需要进行两两比较或称多重比较，即post-hoc检验。
ANOVA与T test的关系：.。
医学统计学 方差分析
100.66
110.31
4
367.60
5
80.57
97.90
115.76
103.56
4
397.79
6
102.77
81.20
90.30
138.54
4
412.81
ni
6
6
6
6
24( n )
Xi
550.01
537.30
618.19
726.28
2431.78( X )
Xi
91.67
89.55
103.03
2 =32 得： F0.05(2,32) 3.30, F0.01(2,32) 5.34 ，P<0.01。按 =0.05 水准，拒绝 H0 ，
差别有统计学意义，可以认为喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数的总体均数不 全相同。
随机区组设计的两因素方差分析
例9.2 利用随机区组设计研究不同温
度对家兔血糖浓度的影响，某研究者进行 了如下实验：将 24只家兔按窝别配成6个 区组， 每组 4 只， 分别随机分配到温度 15℃、 20℃、 25℃、 30℃的4个处理组 中，测量家兔的血糖浓度值(mmol/L)，结 果如下表9.4所示，分析4种温度下测量家 兔的血糖浓度值是否不同？
23
3742.5521
3
1247.5174 8.2717
1491.2744
5
298.2549 1.9776
2262.2511
15
150.8167
P
<0.01 >0.05
3. 确定 P 值，作出统计推断
根据处理组 F 值的分子的自由度处理 ，分母的自由度 误差 ；区组 F 值的分子的 自由度区组 ，分母的自由度 误差 查 F 界值表(附表 4)，得到处理组和区组的 P 值。 根据表 9.6，按 =0.05 水准，对于不同区组间，不拒绝 H0 ，尚不能认为不同窝 别家兔血糖浓度值不同；对于不同处理组间，拒绝 H0 ，接受 H1 ，差异具有统 计学意义，可以认为 4 种温度下家兔血糖浓度值不全相同，即处理组 4 个总体 均数中至少有 2 个不同。
医学统计学(方差分析)
24名患者与健康人的血磷值大小不等，称这种
变异为总变异。可以用总离均差平方和
SS总＝
及N来反映，总自由度 νT=N-1。
2个组各组内部血磷值也不等，这种变异称为 组内变异，其大小可用2组组内离均差平方和 SS组内＝ ( xij xi ) ＝(ni
k 2 i 1 j 1 nj
1)s
教学内容提要
重点讲解：
方差分析的基本思想
完全随机设计的单因素方差分析
多个样本均数间的多重比较
介绍：方差分析的原理与条件
与前面讲过的假设检验相同的是：
不同的是：方差分析用于多个均数的比较。 t检验是用 t值进行假设检验，方差分析则用 F值进行假设检验
方差分析的任务：统计量F的计算 F＝MS1/MS2
SS总
( x
i j
x ) ij
2
SS总=SS组间+SS组内 v总=ν组间+ν组内
直观意义
SS组间
检验统计量
MS组间 (k 1) F MS组内 SS组内 (N k)
F统计量具2个自由度: v1, v2
MS组间 1 H 0成立时 F ＝ MS组内 1 H1成立时
SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
SS组间 组间 MS组间
统计量F 的计算及其意义
F=MS组间/MS组内 自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，查表求
出对应的P值，与进行比较，以确定是否
为小概率事件。
各种符号的意义
xij第i 个组的第j 个观察值
i=1,2,…k
医学统计学(课件)方差分析
要点二
原理
通过将因变量和协变量之间的关系线 性化，进行线性回归分析，并控制其 他因素的影响。
要点三
应用
医学研究中用于研究疾病与基因型、 环境因素之间的关系，社会科学中用 于研究收入和教育水平的关系等。
多重比较方法
01
定义
多重比较方法是方差分析的一种补充 方法，用于比较多个组之间的差异。
02
原理
通过比较每个组与对照组或其他组之 间的差异，推断各组之间的差异是否 具有统计学显著性。
重复测量方差分析
定义
重复测量方差分析是方差分析的另一种拓展，用于比较多次测量或重复观测的差异。
原理
通过将多次测量视为不同的观察对象，对测量误差进行控制和调整。
应用
医学研究中常用于比较不同治疗方案的效果，以及社会科学中研究时间序列数据的变化等。
协方差分析
要点一
定义
协方差分析是方差分析与其他统计方 法的结合，通过控制一个或多个协变 量对因变量的影响。
偏度检验
检查数据分布的偏斜程度。
峰度检验
检查数据分布的峰态。
正态性检验
通过图形和统计量判断数据是否符合正态分布。
方差齐性检验
• 方差齐性检验：通过Levene's Test或Bartlett's Test检验各组方差是否相等。
主效应检验
将数据按照分组变量进行分组，并 对每个分组变量的平均值进行计算 。
方差分析还可以与其他统计方法结合 使用，例如与回归分析结合可进行协 方差分析和混合线性模型分析等。
02
方差分析基本原理
数学模型
数学模型的假设
假定每个总体均数之间有差异，且每个总体均数与模型中其他变量的关系已知。
医学统计学方差分析
定义与原理
方差分析适用于多个组间的均值比较。当数据不符合正态分布或方差不齐时，可以经过适当的转换或采用非参数方法进行比较。
方差分析可以用于实验设计中的多因素分析，例如研究不同药物、剂量、时间等因素对生物指标的影响。
方差分析的数学模型与假设
02
线性模型
方差分析常用于处理一个或多个分组间的均值差异，因此需要构建线性模型来描述数据。线性模型中，每个组的观察值与该组的均值呈线性关系。
随机误差项
在方差分析中，每个观察值被认为是由固定效应（组均值）和随机效应（随机误差项）组成的。随机误差项是随机变量，且独立同分布，服从正态分布。
《医学统计学方差分析》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
方差分析概述方差分析的数学模型与假设方差分析的步骤与实例方差分析的优缺点与注意事项方差分析在医学中的应用与案例方差分析的发展趋势与未来展望
方差分析概述
01
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多组数据的均值差异。其原理是通过将数据的总变异分解为组间变异和组内变异，然后比较这两部分的变异是否具有显著性。
要点一
要点二
精度高
方差分析通过将每个观察值与各组均值进行比较，能够更准确地确定组间差异。
适用于多因素分析
方差分析可以同时考虑多个因素对实验结果的影响，适用于多因素的研究设计。
要点三
缺点
对数据正态性和独立性要求较高
方差分析要求数据符合正态分布，且各组观察值独立，否则可能导致分析结果的偏差。
对样本含量要求较高
方差分析对样本含量要求较高，样本含量过小可能导致统计效能较低。
医学统计学--方差分析
举例： 对例5.1方差分析的基础上，对不同大鼠模型 的IL-2水平进行SNK法的多重比较。 先将样本均数从小到大排序，对比组次从1-4，即
均数排序(从小到大) 处理组（原组号） 均 例 数: 数： 甲 0.2913 8 1 乙 1.0200 8 2 3 丙 2.1488 8 丁 2.2650 8 4
排序号（组次）:
1)建设假设，确定检验水准 H0: μA=μB H1: μA≠μB 2）计算统计量q值。 由于各组的例数都一样，均为8例，而且在进 行方差分析时，已知=0.175。 所以，任意两个比较组的标准误均为：
s x A x B MS 组内 1 1 （ ) 2 n A nB
=0.1479
0.05
2、计算检验统计量F值 计算过程见课本，P72。 将上述结果列成表5-10。
只是由于公式的分子（ X A X B ）各组不同 ，所以会得出不同的q值 。经计算，各两两比 较组算得q值，见表5-5。
查附表4
第(5)、(6)两栏是由附表4，q界值表， 当自由度在表中能找到时，直接选择 P=0.05和P=0.01时对应q值， 当自由度在表中不能找到时，根据a和自由 度用内插值法计算出的P=0.05和P=0.01对应的 q值。
第二节
完全随机设计的方差分析
设计方法
A组 随机
Hale Waihona Puke 将条件相似 的研究对象B组 C组
效 应
例如：P63 例5-1
二、完全随机设计方差分析的步骤
例 5-1
变异的分解
SS总
＝
SS组内
＋ SS组间
总 组内 组间
分析步骤：
1、 建立检验假说和确定检验水准 H0: 1 2 3 4 （ 四组血清IL-2水平总体均数相等） H1:四组血清IL-2水平总体均数不等或不全相等
医学统计学方差分析
三者关系：
1. SS总= SS组间＋ SS组内 2. 总 = 组间 ＋组内
通常SS组内按下式求得： SS组内= SS总－ SS组间
检验统计量：
结果的判断
若处理因素不起作用，则F值接近于1； 若处理因素有起作用，则F值远大于1。
F值多大才有意义，要根据组间自由 度（ 1）和组内自由度（ 2）查F界值 表作出判断。
7712
X
26
18
6
22.8
H0: 1 = 2 = 3 H1: 1 2 3或不全相等 = 0.05
SS总= x X 2
SS总=7712－5440.19=2271.81
SS组内= SS总－ SS组间=2271.81－1523.81=748.00 组间 = K – 1 = 3－1 = 2 组内= N－K = 21－3 = 18
1. A、B和C三种方法疗效有无差别？ 2. 各区组血红蛋白增加量有无差别？
表 5.3 区组
1 2 3 4 5 6 7 8 Σ jΧ Σ jΧ 2 Xj
三 种 方 法 治 疗 后 血 红 蛋 白 增 加 量 （ g/L ）
A 疗 法 B 疗 法 C 疗 法 合 计 Σ iΧ
16
18
18
52
15
16
MS组间= 1523.81/2 = 761.91
MS组内= 748.00/18 = 41.56 F = MS组间/ MS组内= 761.91/41.56 = 18.33
根据组间自由度（ 1）和组内自由度（ 2）查 F界值表，P807，得F 0.01（2，18）=6.01 所以 P < 0.01 结论：
3
表示“处理＋随机误差”作 用
26
19
医学统计学方差分析
医学统计学方差分析方差分析是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上的组之间的平均值是否存在显著差异。
在医学研究中，方差分析常用于比较不同治疗方法或不同个体群体之间的差异，以确定是否存在统计学上的显著差异。
方差分析的基本原理是比较组间离散程度与组内离散程度的比值，即组间均方与组内均方的比值。
组间方差表示不同组之间的差异性，组内方差表示同一组内个体之间的变异程度。
如果组间离散程度显著大于组内离散程度，即组间均方大于组内均方，就可以得出组间存在显著差异的结论。
在医学研究中，方差分析可以应用于很多不同的情况。
举例来说，我们可以使用方差分析来比较不同药物对同一疾病的治疗效果，或者比较不同药物剂量对同一疾病的治疗效果。
我们还可以使用方差分析比较不同年龄组、性别组或不同地区患者之间的其中一种疾病发病率。
方差分析的核心是比较组间差异与组内差异。
组间差异可以通过计算组间均方来得到。
组间均方的计算公式为组间平方和除以组间自由度。
组间平方和是每个组内数据与该组均值之差的平方的总和。
组间自由度等于组数减1、组内差异可以通过计算组内均方来得到。
组内均方的计算公式为组内平方和除以组内自由度。
组内平方和是每个组内数据与该组均值之差的平方的总和。
组内自由度等于总体样本量减去组数。
计算得到组间均方和组内均方之后，即可计算F值。
F值等于组间均方除以组内均方。
F值的计算结果可以与F分布的临界值进行比较，以判断组间均方是否显著大于组内均方。
如果F值大于F分布的临界值，就可以得出组间存在显著差异的结论。
除了F值，方差分析还可以计算一些其他的统计量。
例如，可以计算每个组的均值和标准差，以了解不同组之间的差异程度。
还可以计算方差分析表，其中包含了组间平方和、组间自由度、组间均方、组内平方和、总平方和、总自由度、组内自由度和组内均方等统计量。
需要注意的是，在进行方差分析之前，需要检验数据的正态性和方差齐性。
正态性检验可通过绘制正态概率图、Shapiro-Wilk检验或Kolmogorov-Smirnov检验进行。
医学统计学(课件)方差分析
汇报人：
日期:
目录
• 方差分析概述 • 方差分析的数学模型与步骤 • 方差分析在医学中的应用 • 方差分析的局限性及注意事项 • 方差分析的软件实现 • 方差分析案例解析
01
方差分析概述
定义与原理
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多组间的均值差异，以此确定因素对 因变量的影响。
案例三
总结词
通过方差分析，可以比较不同品牌疫苗接种后不良反 应发生率的差异，为选择安全可靠的疫苗提供参考。
详细描述
在疫苗接种研究中，不同品牌疫苗接种后不良反应发 生率可能存在差异。方差分析可以用于比较不同品牌 疫苗接种后不良反应发生率的差异，以评估不同疫苗 的安全性。结果可以为疫苗选择提供参考依据，以最 大程度地减少不良反应的发生。
VS
例如，研究不同治疗方案对某疾病患 者疗效的影响、不同地区居民收入差 异等。
02
方差分析的数学模型与步骤
数学模型
方差分析（ANOVA）的数学模型
F = MS组间 / MS组内。其中，MS组间是各组间的均方，MS组内是各组内的均方。
方差分析的基本思想
将总的变异分解为组间变异和组内变异两部分，并计算它们的比值，即F值。
03 多重比较
在多个因素之间进行多重比较，确定各因素之间 的差异以及治疗效果的差异。
方差分析的局限性及注意事
04
项
样本量与效应指标的选择
样本量
方差分析对样本量有一定的要求，过小的样本量可能导致统计结果不稳定。在实验设计时，应充分考虑样本量对 结果的影响，并合理选取样本量。
效应指标
方差分析主要关注多个组间的均值差异，因此应选择合适的效应指标，如均数、中位数等，来反映各组的平均水 平。
医学统计学方差分析
i1 j1
X甲 X乙
X ij X丙
甲
乙
丙
基本思想：总变异的分解
SS总=SS组间+SS组内 自由度的分解
总组间组内
第一节 完全随机设计的方差分析
基本思想：各变异的平均变异，即均方
组间均方：
MS组间
SS组间
组间
组内（误差）均方：MS组内
SS组内
组内
第一节 完全随机设计的方差分析
基本思想：统计量F值
变异分解
110
总变异（SS总）
100
全部测量值大小不同 90
，这种变异称为总变异 80
，以各测量值Xij与总均
数间的差异度量。
70 60
50
40
k ni
SS总
(XijX)2
30
i1 j1
X
甲
乙
丙
组间变异（SS组间） • 组内均值 与总均值 之差的平方和
110
k
SS组间 ni(Xi X)2
100 90
F处理
MS处理 MS误差
F处理>Fα（k-1,(k-1)(m-1)），P<α，认为比较组总体均值不 全相同
F处理<Fα（k-1,(k-1)(m-1)），P>α，尚不能认为比较组总体 均值不同
第二节 随机区组设计的方差分析
基本思想：统计量F值
F区组
MS区组 MS误差
F区组>Fα（m-1,(k-1)(m-1)），P<α，认为各区组总体均值不 全相同
Sidak t检验 Bonferroni t 检验
第三节 多个样本均数的两两比较
SNK (Student－Newman－Keuls) 法的检验统计量 为q ，故又称为q检验
医学统计学：第九章 方差分析
目 录
第一节 方差分析的基本思想
第二节
第三节
单因素方差分析
双因素方差分析
第四节
多个样本均数间的两两比较
学习要求
1、掌握方差分析的基本思想； 2、掌握单因素方差分析的应用条件、意义
及计算方法；
第一节 方差分析的基本思想
一、方差分析的用途及应用条件 1. 方 差 分 析 （ analysis of variance ，
即要求检验假设为 H 0 : 1 2 k 此假设的意义为，在某处理因素的不同水平下，各样本的 总体均数相等。
3、设某因素有多个水平，即试验数据产生多个样本。由
多个样本的全部数据可以计算出总变异，称为总的离均差 平方和。即SS总。
4、数理统计证明，SS总可以由几个部分构成。单因素方差
该结论的意义为，至少有两种组织的 PCNA 表达指数不 同。如果想确切了解哪两个组织的PCNA表达指数有差异， 可进一步作多个样本均数的两两比较。
表4－3 方差分析表
变异来 源
（1） SS （ 2） 自由度 （3） 均方 （4） F值 （5） F0.05 （6） F0.01 P值
（7） （8）
SS总
PCNA在三种不同胃组织中的表达结果
不同胃组织Xi
A 56 46 39 57 61 54 70 64 50 B 30 37 20 17 37 36 16 13 15 221 9 24.56 6273 100 8 12.5 1672 874 （∑X） 27 （ N） 32.37（总均值） 39236（ ∑X2） C 21 14 27 8 9 6 10 5
ANOVA）是常用的统计分析方法之一。其应
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变异来源 SS
ν MS
F
组 间 2.0276
3 0.6759 10.24
组 内 0.7918
12 0.0660
总
2.8194
15
P ＜0.01
思考：①F >>1或Ｆ 值靠近１，可以
分别得到怎样的提示？②造成组间 变异和组内变异的原因分别是什么？
F – 分布
⑶ 确定P 值，判断结果
以 ν 组间为 ν1，ν 组内为 ν2，查表 9-12 F 界值表， 得 F0.05(3，12)＝3.49，F0.01(3，12)＝5.95 。
离均差平方和
自由度
均方
SS
ν
MS
ΣX2-C
N-1
组间 (处理组间)
组内 (误差)
X i 2 C ni SS 总-SS 组间
k-1 N-k
SS 组间∕ν 组间 SS 组内∕ν 组内
表中：C＝X 2 ，
N
N＝Σni ，
k 为处理组数。
F MS 组间∕MS 组内
⑵选择检验方法，计算检验统计量F值
表 9-15 例 9-19 的方差分析表
2.76 3.02 3.00
2.36
2.43 3.28 3.32
2.40
2.73 3.18 3.04
2.4025 2.6850 3.0975 3.3200 2.8763 ( X )
单因素方差分析的变异分解
SST
(Xij X )2
ij
SSB ni ( X i X )2
i
SSW
( X ij X i )2
ij
SST = SSB + SSW
单因素方差分析
MS B
SS B
B
MSW
SSW
W
单因素方差分析
检验统计量F：
F MSB MSW
检验步骤：
⑴建立假设，确定检验水准
H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4 , 即四个组的总体均数相同 H1：μ1、μ2、μ3、μ4不同或不全相同
α ＝0.05
变异来源 总
表 9-13 单因素方差分析的计算公式
一、完全随机设计资料的方差分析
例9-19 用四种不同的饲料喂养大白鼠， 每组4只，30天后测其肝脏湿重占体重 的比值（肝/体比值，%）（见表9-14）。 试比较四组均数间有无差异。
何谓“完全随机”？
表 9-14 四组大白鼠肝/体比值的比较 (%)
A
B
C
D
2.62
2.82 2.91 3.92
2.23
8.53
2
199.5 4999 19.00 99.00
9.55 30.82
6.94 18.00
5.79 13.27
5.14 10.92
4.74 9.55 4.46 8.65 4.26 8.02 4.10 7.56 3.89 6.93 3.74 6.51 3.63 6.23
表 9-12 F 界值表（方差分析用） 上行：P＝0.05 下行：P＝0.01
98.50 3 3 10.13
34.12 4 4 7.71
21.20 5 பைடு நூலகம் 6.61
16.26 6 6 5.99
13.75 7 7 5.59
12.25 8 8 5.32
11.26 9 9 5.12
10.56 10 10 4.96
10.04 12 12 4.75
9.33 14 14 4.60
8.86 16 16 4.49
方差分析（analysis of variance， 简写为ANOVA）能用于两个或两 个以上样本均数的比较，还可分析 两个或多个研究因素的交互作用以 及线性回归方程的假设检验等。
多个均数比较时为什么不能直 接两两之间作t 检验？
以五个样本均数的比较为例：
进行t 检验时，α=0.05，则5个均数的两
两比较将发生10次，这时，10次比较都 不犯（Ⅰ类）错误的概率为0.9510=0.599， 有（Ⅰ类）错误发生的概率则为10.599=0.401。远大于设定的检验水准
（α=0.05）
应用方差分析的条件:
1. 各样本是相互独立的随机样本； 2. 各样本都来自正态总体； 3. 各个总体方差相等。
方差分析的基本思想是首先将总 变异分解为组间变异和误差变异，然 后比较平均变异MSB和MSE，比较时 采用两者的比值F值，即
第九章
数值变量资料的统计分析
第五节 方差分析
方差（个体值的变异度）
数学计算：离均差平方的均值
2 ( xi )2
N
S 2 (xi x)2
n 1
* 2为总体方差，S2为样本方差 * 方差利用了所有数据的信息，反映平均 差别。
* 式（9-7）中“n－1”为自由度，数理统 计认为用自由度作分母较好（无偏估 计）。
本例 F＝10.24，10.24＞5.95，故 P＜0.01。
因此按 α＝0.05 的水准拒绝 H0，接受 H1，可
认为经四种不同饲料喂养后大白鼠肝/体比值的均 数不全相同。
思考：上述均数,指的是样本均数, 还是总体均数 ?
分母的 自由分度母
1 ν2 ν2 1 1 161.4
4052 2 2 18.51
分子的自由度，ν1
3
4
5
6
7
8
215.7 5403 19.16 99.17
9.28 29.46
6.59 16.69
5.41 12.06
4.76 9.78 4.35 8.45 4.07 7.59 3.86 6.99 3.71 6.55 3.49 5.95 3.34 5.56 3.24 5.29
224.6 5625 19.25 99.25
F MSB
MS E
30位跳高的“苗苗” —— 2000年9月1日进入广东省体校
1.1m
A
X A 1.36m
2年后A组的跳高成绩
C XC 1.58m
B X 1.47m
A
X B 1.45m
X A 1.36m
2002年9月1日，三组各自的情形
湖南省的情形
X 1.47m
X A 1.42m X B 1.46m XC 1.50m
9.12 28.71
6.39 15.98
5.19 11.39
4.53 9.15 4.12 7.85 3.84 7.01 3.63 6.42 3.48 5.99 3.26 5.41 3.11 5.04 3.01 4.77
230.2 5764 19.30 99.30
9.01 28.24
6.26 15.52
5.05 10.97
4.39 8.75 3.97 7.46 3.69 6.63 3.48 6.06 3.33 5.64 3.11 5.06 2.96 4.69 2.85 4.44
234.0 5859 19.33 99.33
8.94 27.91
6.16 15.21