2020-2021学年湖北省高三高考调研考试数学试卷(理)及答案解析

湖北省高三调考

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅= A. 0 B. 2 C. 2 D.2i

2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y =

=+=+=，则A

B 中的元素个数为

A.0个

B. 1个

C. 2个

D.无数个

3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 24

4.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，

ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为

A. 22

14y x -= B. 2212y x -= C.22

1x y -= D.2212

y x -= 5.6

21x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的展开式，6x 的系数为

A. 15

B. 6

C. -6

D. -15

6.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是

A. ()()5,5E D ηη=-=

B. ()()4,4E D ηη=-=-

C. ()()5,5E D ηη=-=-

D. ()()4,5E D ηη=-= 7.设,,a b c 均为非零向量，已知命题:p a c =是

a c

b

c ⋅=⋅的必要不充分条件，命题:1q x >是

1x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命

题的是

A. p q ∧

B. p q ∨

C. ()()p q ⌝∧⌝

D.()p q ∨⌝ 8.已知函数()()cos 0,,2x

x f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫

=

><∈ ⎪⋅⎝⎭

在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a

ω

可取 A. 4π B. 2π C.π D.

2

π 9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

10.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A. 2

B. 4

C.

22

3

D. 213+

11.已知实数,x y 满足()2

221x y +-=2

2

3x y

+的取值范围是

A.

3,2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2 D. 3⎤

⎥⎝⎦

12.过圆22

25x y +=

内一点)

P

作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，

则四边形ABCD 的面积的最大值为

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .

14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和

为n S ，若()()

111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫

-⎨

⎬⎩⎭

的最大项为第 项.

15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪

-<⎨⎪<⎩

，则该单

位集合栽种这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫

=++

⎪⎝

⎭

的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）

在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b

=

（1）求B ；

（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.

18.（本题满分12分）

如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O. （1）求证：AC OM ⊥； （2）当M 为1BB 的中点，且4

π

θ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.

19.（本题满分12分）

在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名

女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:

（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值； （2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.

20.（本题满分12分）

已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9

- （1）求动点P 的轨迹方程；

（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为

1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求

1

2

S S 的值.

21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.x

x f x x x g x e ==

（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；

（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为()()(){}

0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈在()1,+∞内有两个不等的实根