第九章 真空中的静电场习题

第九章 真空中的静电场

9–1 如图9-1所示，电量为+q 的三个点电荷，分别放在边长为a 的等边三角形ABC 的三个顶点上，为使每个点电荷受力为零，可在三角形中心处放另一点电荷Q ，则Q 的电量为 。

解：由对称性可知，只要某个顶点上的电荷受力为零即可。C 处电荷所受合力为零，需使中心处的点电荷Q 对它的引力F 与A ，B 两个顶点处电荷的对它的斥力F 1，F 2三力平衡，如图9-2所示，即

)21(F F F +-=

因此

12cos30F F ︒=

即

22

02

cos304πq a ε=︒

解得

q Q 3

3=

9-2 真空中两条平行的无限长的均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ 和-λ，点P 1和P 2与两带电线共面，其位置如图9-3所示，取向右为坐标x 正向，则1

P E = ，2P E = 。

解：（1）P 1点场强为无限长均匀带电直线λ，-λ在该点产生的场强的矢量和，即

λλ-+=E E E 1

P 其大小为

i i i E d

d d P 000ππ2π21ελ

ελελ=+=

方向沿x 轴正方向。

（2）同理可得

i i i E d

d d P 000π3π2)

3(π22ελ

ελελ

-=-

=

方向沿x 轴负方向。

图9–2

图9-3

图9–1

9-3 一个点电荷+q 位于一边长为L 的立方体的中心，如图9-4所示，则通过立方体一面的电通量为 。如果该电荷移到立方体的一个顶角上，那么通过立方体每一面的电通量是 。

解：（1）点电荷+q 位于立方体的中心，则通过立方体的每一面的电通量相等，所以通过每一面的通量为总通量的1/6，根据高斯定理

01

d in S q ε⋅=∑⎰⎰E S ，其中S 为立方体的各面所

形成的闭合高斯面，所以，通过任一面的电通量为0

d 6S

q ε⋅=

⎰⎰E S 。

（2）当电荷+q 移至立方体的一个顶角上，与+q 相连的三个侧面ABCD 、ABFE 、BCHF 上各点的E 均平行于各自的平面，故通过这三个平面的电通量为零，为了求另三个面上的电通量，可以以+q 为中心，补作另外7个大小相同的立方体，形成边长为2L 且与原边平行的大立方体，如图9–5所示，这个大立方体的每一个面的电通电都相等，且均等于

6εq ，对原立方体而言，每个面的面积为大立方

体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也为大立方体一个面的电通量的1/4，即此时通过立方体每一面的电通量为0

111d 4624S q

ε⋅⋅=⎰⎰E S 。

9-4 如图9-6所示，在场强为E 的匀强静电场中，A ，B 两点距离为d ，AB 连线方向与E 方向一致，从A 点经任意路径到B 点的场强线积分

l E d ⎰⋅AB = 。

解：电场强度E 沿闭合路径ACBD 的环流为零，即有

0d d d =⋅+

⋅=

⋅⎰⎰⎰l E l E l E BDA ACB

ACBD

因此

Ed Ed d d BDA ACB

=--=⋅-

=⋅⎰⎰)(l E l E

9-5 如9-7图，在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点A 处为电势零点，则离点电荷q 为r 的B 处的电势为 。

解：以点电荷q 为中心，作半径为r 的球面为高斯面，利用高斯定理

01

d in

S

q ε⋅=

∑⎰E S ，有

2π4εq

r E =

图

9-6

d 图9-4

q

L

q

L

图9-5

q

2L

B C D E

F

A

2L

2L

G

H

图9-7

得电场强度大小为

2

0π4r

q E ε=

则B 处的电势为

)1

1(π4d π4d d 02

0R

r q r r q r E V V R r

R

r

A B

A

B -=

=

=

+⋅=

⎰⎰⎰εεl E 9-6 真空中有两无限大的均匀带电平面A ，B ，电荷面密度分别为+σ，-σ，如图9-8所示。若在两平面的中间插入另一面电荷密度为+σ的无限大平面C 后，P 点场强的大小将为[ ]。

A ．原来的1/2

B ．不变

C ．原来的2倍

D ．零 解：每块无限大均匀带电平面均在空间产生均匀电场，

2εσ=P E 。当只有A 和B 两个带电平面时，因A ，B 面在P 点产生

的场强大小、方向均相同，根据场强叠加原理，0

022εσ

εσ==P E ，方向水平向右。

当在A ，B 面间插入C 板后，A ，C 两带电平面在P 点产生的场

强相抵消。于是P 点场强就等于平面B 产生的场强，变为0

2εσ

=P E ，

因此，A ，B 面间插入C 板后，P 点场强大小变为原来的1/2，且方向不变。故应选（A ）。

9-7 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是[ ]。 A ．如高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷 B ．如高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零 C ．如高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷 D ．如高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零 E ．高斯定理对变化电场不适用

解：高斯面上E 处处为零，则只能肯定面内电荷的代数和为零，不能肯定面内一不定无电荷；如高斯面内无电荷，只能说明穿过高斯面的E 通量为零，即d 0S

⋅=⎰⎰E S ，而一

个函数的面积分为零，不能说这个函数一定为零；如高斯面上E 处处不为零，但有可能穿过高斯面的总通量为零，如作一个高斯面包围一个电偶极子，则在高斯面上的场强处处不为零，但面内电荷的代数和为零；高斯定理不仅适用于恒定的场，也适用于变化的场。由此可见（A ）、（B ）、（C ）和（E ）项都是错误的。根据高斯定理0

1

d in S

q ε⋅=

∑⎰⎰E S 可知（D ）

项是正确的，故应选（D ）。

*9-8以下说法中正确的是[ ]。 A ．电场强度相等的地方电势一定相等

B ．电势变化率绝对值大的地方场强的绝对值也一定大

C ．带正电的导体上电势一定为正

D ．电势为零的导体一定不带电

解：电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，

电场强度为零表示试验电荷在该点

图9-8