测量平差

• DXY为观测向量X关于Y的互协方差阵。 •DYX为观测向量Y关于X的互协方差阵。
DXY = DYX
n, m m ,n
T
•两个向量组合的协方差阵 设两个观测向量组：
n ,1
X = ( X1 X 2 X n )
T
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
T
则有：
DZZ DXX = DYX

σx x
展开
1 ,1
n 2
σ x1 xn k 1 σ x2 xn k2 2 σ xn kn
2 2 2 2 DZZ = σ Z = k12σ x + + k nσ n + 2k1 k2σ x1 ,x2 + 2k1 k3σ x1 ,x3 1
称DXX为向量X的方差-协方差阵，简称为方差阵或 协方差阵 方差阵为对称方阵 独立观测时，方差阵为对角阵
协方差阵 设观测向量组
y11 y Y = 21 m ,m yn1
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
2 σy 1 σ y2 y1 = σ y x m1
2 2 k ∑ i σ ii i =1 n
当Xi 独立时
DZZ = [ k1 k2
展开
1 ,1
2 2 2 2 DZZ = σ Z = k12σ 12 + k2 σ 2 + + k12nσ n =
线性函数
= Z K X + K0
r1 rn r1
= Y F X + F0
r1 rn r1
各自的协方差阵
T

y12 y1m y22 y2 m
ymm
σ y1 y1
2 σy
2
DYY
m ,m
xn 2

σ ym y2
σ y1 ym σ y2 ym 2 σy m
称DYY为向量Y的协方差阵
互协方差阵 设两个观测向量组：
n ,1
n ,1
ห้องสมุดไป่ตู้
X = ( X1
X2 Xn )
2 σx 1 σ x2 x1 = σ x x n1
T
x12 x1n x22 x2 n

σ x1 x1 σ x1 xn σ
2 x2
xn 2
xnn
DXX
n, n

σ xn x2
σ x2 xn 2 σx n
线性函数组合 协方差阵
Z = [ F1
X F2 ] Y
DZZ = [ F1
DXX F2 ] DYX
DXY F1T T DYY F2
DZZ = F1 DXX F1T + F1 DXY F2T + F2 DYX F1T + F2 DXX F2T
真误差：观测值与真值（或数学期望）之差。或 者称为误差。 平均误差（θ）：在一定的观测条件下，一组独立 偶然误差绝对值的数学期望。
lim
n→∞
∑∆
i =1
n
i
当为偶然误差时： θ ≈ 0.7979σ 或然误差：在一定的观测条件下，误差出现在 (ρ, +ρ)之间的概率为0.5。即
ρ ≈ 0.6745σ
+ + 2k1knσ x1 ,xn + + 2kn−1knσ xn−1 ,xn
协方差传播率-2
= Z K X + K0
r ,1 1 ,n n,n 1 ,1
2 T σ = D= KD K ZZ Z XX
K = [ k1
k2 kn ]
σ 12 0 2 0 σ 2 kn ] 0 0 0 k1 0 k2 2 σ n kn
X = ( X1 X 2 X n )
T
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
T
DXY
n,m
σ x1 y1 σ x1 y1 σ x1 ym T σ x2 y1 σ x2 y2 σ x2 ym = D YX m ,n σ xn y1 σ xn y2 σ xn ym
n
极限误差：在一定观测条件下偶然误差出现的最大 值。 ∆ 限＝3σ 相对误差：指的是测量所造成的绝对误差与测量真 值之比。 相对中误差：相对中误差=相对误差/观测值，在 测量中一般将分子化为1 σ 1
L = N
一般情况角度，高差用中误差作为衡量精度的标准 ；量距用相对误差作为衡量精度的标准。
精度：指误差分布的密集或离散程度，就是 离散度的大小。 精度的指标：中误差，协方差阵，相对误差。 一般情况角度，高差用中误差作为衡量精度 的标准；量距用相对误差作为衡量精度的标准。 准确度：指随机变量X的真值与其数学期望 − E(X) E(X)之差。 ε = X 精确度：观测值与其真值的接近程度。 2 MSE = ( X ) E ( X − X ) 它是精度与准确度的合成。
数学期望：随机变量X 取值的概率平均值，记作 E(X )。 在观测值有限时，采用算术平均值代替数学期望 n 值。 2 ∆ ∑ i 方差： σ 2 = lim i =1 ∆→∞ n 中误差(标准差):
σ = lim
∆→∞
∑∆
i =1
n
2 i
n
协方差：
σ XY＝ lim
∆→∞
∆ ( ∑ =
i 1
n
xi
DZX F1 DXX + F2 DYX 互协方差阵 =
= DZY F1 DXY + F2 DYY
当 X，Y 独立观测时
T D = D = 0 XY YX
= DZZ F1 DXX F1T + F2 DYY F2T DZX = F1 DXX DZY = F2 DYY
非线性函数 Z=f ( X1, X2, …, Xn ) ， Y=f ( X1, X2, …, Xt )
协方差传播率-1
= Z K X + K0
r ,1 1 ,n n,n 1 ,1
2 T σ = D= KD K ZZ Z XX
K = [ k1
k2 kn ]
2 σx 1 σ x2 x1 kn ] σ x x n1
σx x
2 σx
2
1 2
DZZ = [ k1
1 ,1
k2
∆ yi
)
n
=σ YX
协方差：
设两个观测向量：
n ,1
X = ( x1 x2 xn )
n
T
Y = ( y1
n ,1
y2 yn )
T
σ XY＝ lim
∆→∞
∆ ( ∑ =
i 1
xi
∆ yj
)
n
=σ YX
结果是个数
X，Y维数相同
协方差阵 设观测向量组
x11 x X = 21 n, n x n1
X Z= Y
DXY 其中： DXY n, m DYY
σ x1 y1 σ x2 y1 = σ xn y1
σ x1 y1 σ x1 ym σ x2 y2
σ x2 ym σ xn ym
σ xn y2
DZZ的协方差阵
dZ = KdX
各自的协方差阵
dY = FdX
DZZ = KDXX K T
它们的互协方差阵
DYY = FDXX F T
DYZ = FDXX K
T
DZY = KDXX F
T
DZZ = K DXX K T
t ,t t ,n n,n n,t
DYY = F DXX F T
r ,r r ,n n,n n,r
它们的互协方差阵
DYZ = F DXX K T= DZY r ,n n, t
r ,t n, n
t ,r T T = FD K K D F ( XX ) XX t ,n n,n n,r