直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备：投影仪、PPT等教具。
教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。
3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。
Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，所求的角度为60°。
2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。
Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。
Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
直线与平面所成角方法归纳教案
直线与平面所成角方法归纳教案一、知识点概述二、教学目标1.掌握直线与平面所成角的概念。
2.理解直线与平面所成角的几种方法。
3.能够根据图形确定直线与平面所成角的大小和性质。
4.能够用所学方法解决与直线与平面所成角相关的几何问题。
三、教学活动活动一：直线与平面所成角的定义与性质介绍（10分钟）1.提问：直线与平面的关系是什么？回答：直线与平面可以相交、平行或共面。
2.几何名词解释：直线与平面的交线称为直线与平面所成角。
3.展示相关性质：垂直平面与其所包含直线所成角为90°；与平面平行的直线与该平面所成角为1/2周角；与同一平面垂直的两直线所成角相等。
活动二：直线与平面所成角方法归纳（20分钟）1.归纳讨论：学生们结合示意图，总结直线与平面所成角的几种方法。
2.教师点拨：引导学生归纳出直线与平面所成角的四种方法：直线与平面的夹角；直线与平面法线的夹角；直线与平面的斜角；两面角的一种特殊形式。
3.小组讨论：学生自由组成小组，根据已归纳的方法讨论一些具体例题，加深对每种方法的理解。
活动三：练习与应用（30分钟）1.整理复习：教师给学生几分钟时间，让他们来回忆已学内容，并整理复习笔记。
2.练习题：教师出示一些具体图形，让学生根据所学方法计算直线与平面所成角的大小，并分析角的性质。
3.实际应用：教师设计一些与直线与平面夹角相关的实际问题，让学生灵活运用所学方法解决。
活动四：总结与展望（10分钟）1.小结归纳：学生们通过讨论、练习和应用，总结直线与平面所成角的几种方法。
2.展望拓展：教师引导学生思考，这些方法还可以延伸到哪些几何问题中，如何应用于实际生活中。
四、教学资源1.教学准备：电脑、投影仪、教学PPT、白板、笔等。
2.学生用具：课本、笔、纸等。
五、教学评价与反思1.教学评价：通过课堂讨论、学生练习和实际应用等方式，教师可以对学生的掌握程度进行评价。
2.教学反思：本教案通过明确教学目标，合理设计学习活动，促进了学生对直线与平面所成角的理解和掌握。
高中数学选修2—1直线和平面所成的角教案
直线和平面所成的角（一）学习目标：（1）知道直线和平面所成的角定义生成过程及其合理性.（2）明确定义法求直线和平面所成角的方法和步骤.了解三余弦定理推导过程，并记忆定理内容（3）会在具体几何体中求直线与平面所成的角； 自学指导：1、直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：3线所成的角的关系如何？4、如图，怎样刻画不同斜线1l 与2l 相对同一平面α角的概念是什么？ 5、重要结论：（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .(2)一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角 6、规定：（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 . （3）直线和平面所成的角的范围是 . （4）三余弦公式是自学检测：1、在单位正方体1111ABCD A BC D -中，（1）试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角. （2）试求直线1BA 与平面1BC 所成的角.2、在长方体1111ABCD A BC D -中，a AD AA ==1，1与长方体各面所成角的余弦.3、已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角是︒60，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角是︒45，求斜线与平面所成角的大小。
合作探究：在单位正方体1111ABCD A BC D -中，求直线11AC 与截面11ABC D 所成的角.小结：定义法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法 （1）求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.（2）求直线和平面所成的角的关键是作（找）斜线在平面内的射影.A（3）下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
①定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 让学生掌握向量法求直线与平面所成的角的基本概念和原理。
2. 培养学生运用向量法解决直线与平面所成角的能力。
3. 提高学生对空间几何向量知识的运用和解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与平面所成的角的定义。
2. 向量法求直线与平面所成的角的原理。
3. 向量法求直线与平面所成的角的步骤。
4. 实例分析：求直线与平面所成的角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面所成的角的定义，向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 教学难点：向量法求直线与平面所成的角的步骤和实例分析。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实例，让学生更好地理解向量法求直线与平面所成的角的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生提问、讨论，提高学生对知识点的理解和运用能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作相关的教学课件，包括直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤等内容。
2. 实例：准备一些直线与平面所成的角的实例，用于讲解和分析。
3. 教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便进行板书和讲解。
六、教学过程1. 导入：通过复习前期学习的直线与平面基础知识，引导学生进入本节课的主题——用向量法求直线与平面所成的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的定义，解释其意义。
3. 讲解向量法求直线与平面所成的角的原理，阐述其适用范围和优势。
4. 讲解向量法求直线与平面所成的角的步骤，通过板书和课件演示每个步骤的操作。
5. 分析实例，引导学生运用向量法求直线与平面所成的角，解答过程中注意引导学生思考和讨论。
七、课堂练习1. 布置一些直线与平面所成的角的练习题，让学生运用向量法求解。
2. 引导学生独立思考和解决问题，及时给予指导和解答疑问。
3. 强调练习过程中需要注意的问题和方法，提醒学生巩固知识点。
中职数学(高教版)教案：直线与平面所成的角
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 4.3.3 直线与平面所成的角教学目标1.知道直线在平面内的射影的定义，会找出直线在平面内的射影；2.知道直线与平面所成角的定义，会找出直线与平面所成的角，会解决直线与平面所成角的简单问题.重点直线与平面所成的角难点直线与平面所成角的求法教法数形结合，讲练结合，教学设备多媒体教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示，斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交，但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？教学内容二、探索新知1.直线在平面内的射影如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.如图所示，直线m是平面α的斜线，点P为斜足，A∈m且AB⊥α,垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线AP与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度.2.直线与平面所成的角一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为2π于是,直线与平面所成的角的范围为02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.三、例题巩固例7如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)找出BC1在底面ABCD上的射影；(2)求BC1与底面ABCD所成角的大小；(3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值.解(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都是正方形，所以CC1⊥DC，CC1⊥BC，且DC∩BC=C，从而，CC1⊥平面ABCD且垂足为C.又BC1∩平面ABCD=B，故BC是BC1在平面ABCD上的射影.教学内容(2)由(1)知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C1BC.因为BC1是正方形BCC1B1的对角线，所以∠C1BC=4π.于是，BC1与底面ABCD所成角为4π. (3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为DD1⊥AD，DD1⊥DC，且AD∩DC=D，所以DD1⊥底面ABCD，从而BD是BD1在平面ABCD上的射影，且DD1⊥BD.因为DD1=a，BD=2a，所以tan D1BD=122DDBD=，即BD1与底面ABCD所成角的正切值是22.例8 中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示，为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响，牵拉绳接地点A到电杆与地面的交点C的距离是 2.5m.若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.解由题意可知电杆与地面是垂直的，所以BC⊥AC，且AC是AB在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.在RtΔABC中，因为AC=2.5m，所以BC=AC tan ∠BAC=2.5tan60°=332255=(m)⨯.因此，牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离是325m .。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线间的夹角,直线与平面间的夹角参考教案
直线间的夹角,直线与平面间的夹角 教案一、教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题二、教学重点：异线角与线面角的计算；教学难点：异线角与线面角的计算。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 （二）、探析新课1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且b a ⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+==21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅1715||||,cos 111111=>=<DF BE DF BE DF BE解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝151715||||,cos 111111=<DF BE DF BE DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小 解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题： 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB |=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习：课本P45练习题1、2（四）、回顾总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，回顾总结方法。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案教案：用向量法求直线与平面所成的角一、教学目标1.知识目标：了解用向量法求直线与平面所成角的基本原理和方法。
2.技能目标：能够运用向量法求解直线与平面所成角的问题。
3.情感目标：培养学生思维的灵活性和创造性，激发学生对数学的兴趣。
二、教学内容1.概念讲解：直线与平面的基本概念和相互关系。
2.原理讲解：用向量法求解直线与平面的夹角的基本原理和方法。
3.实例分析：通过实例分析，引导学生掌握运用向量法求解直线与平面所成角的技巧。
4.练习与检测：组织学生进行练习和检测，巩固所学知识。
三、教学过程1.导入：通过引入直线与平面的关系，让学生初步了解直线与平面的基本概念，并激发学生的探究兴趣。
2.概念讲解：向学生介绍直线与平面的定义和相互关系，并引导学生认识直线与平面所成角的概念。
3.原理讲解：详细讲解用向量法求解直线与平面所成角的基本原理和方法，并给出相关的公式和推导过程。
4.实例分析：通过具体的例子，引导学生运用向量法求解直线与平面所成角的过程，并解析每个实例中的要点和思路。
5.练习与检测：组织学生进行一些练习题和习题检测，检测学生对于向量法求解直线与平面所成角的掌握程度。
6.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生拓展思考，探究其他与向量法求解直线与平面所成角相关的问题。
四、教学辅助1.教具：黑板、彩色笔。
2.教材：《高中数学教材》。
3.多媒体设备：电脑、投影仪。
五、板书设计用向量法求直线与平面所成的角1.直线与平面的基本概念和相互关系直线的定义：直线是两个方向相同的无限延伸的点的集合。
平面的定义：平面是一个无限延伸的二维几何体。
2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义：直线与平面的夹角是指直线与平面之间的最小角度。
3.用向量法求解直线与平面所成角的原理和方法向量法求解直线与平面所成角的基本原理：两个向量的夹角等于它们的点乘结果除以它们的模的乘积的反余弦函数。
高中数学教案——直线与平面所成的角和二面角 第一课时
课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程： 一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角 直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB<AC ，所以AOACAO AB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此AOC ∠<θ 4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO=1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB=2cos ϕ.在直角△ABP 中，APAB=θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO 所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，AP 是平面α的斜线，A 是斜足，PO 垂直于平面α，O 为垂足，则直线AO 是斜线在平面α内的射影设AB 是平面α内的任意一条直线，且OB AB ⊥，垂足为B ，又设AP 与AO 所成角为1θ，AB 与AO 所成角为2θ，AP 与AB 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ= ，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos AB AP θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1 如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角，又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos601cos cos cos 45222ABC ABO CBO ∠∠===÷=∠， ∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ， ∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112A O AB =，∴130A BO ∠= ． 解法二：由法一得1A BO ∠是1AB 与对角面11BB D D 所成的角，又∵11cos cos 45A BB ∠==，11cos B B B BO BO ∠== ∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=． 说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ，∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则3CO a =，CA∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，∴cos 3ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 例4 如图，已知AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.解：∵AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∴AP ⊥PBC连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31217cos ==∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 31217四、课堂练习：1 选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，E1A 3cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 . 答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心. 分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由P A =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．解：（1）设正方体的边长为a，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B =. ∴1cos D BD ∠==. （2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略）八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。
直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：了解线线、线面、面面所成交的概念能力目标：（1）会找出线线、线面、面面所成的角；（2）利用线线、线面、面面所成的角，解释生活空间的一些实例；（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）经历对线线、线面、面面所成的角及对应直观图形的认知，发展空间想象思维．（2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．（4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】9.3.1题图在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察． 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做所示，在二面角α−l 为垂足，在面α与面β内分别作就是这个二面角的平面角．创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因．动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此图9−40CD（2）（1）平面角是直角的二面角叫做直二面角继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】第9章立体几何（教案）。
4.3.3 直线与平面所成的角(教案)(2课时)-【中职专用】高二数学同步精品课堂(高教版2021·
4.3.3 直线与平面所成的角（教案）（2课时）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一上册）教学目标：1. 掌握直线与平面所成的角的概念。
2. 熟练掌握求解直线与平面所成角的方法及其应用。
3. 发扬创新精神，加强对角度概念的理解和应用。
教学重点及难点：1. 直线与平面所成角的概念、性质和求解方法。
2. 熟练掌握解题方法，提高解题实际运用能力。
3. 加深学生对角度概念的理解和应用，并提高综合解决问题的能力。
4. 尽量培养学生自主思考的能力，以达到创新的目的。
教学方法：由教师主讲、学生自主探究、小组讨论、分组合作等多种教学方法相结合，帮助学生掌握和应用所学知识。
教学准备：1. 教师准备多媒体硬件设备、课堂黑板和彩笔等教学用品。
2. 准备灵活多样的教学材料如图示、小组合作练习、复习测试等。
教学过程：课时一1. 导入：通过几何图形或实物运用，让学生概括直线与平面所成角的基本含义。
2. 概念阐述：直线与平面所成的角指的是由一条直线与一个平面所构成的角度。
在平面与直线相交的点，其中所成的夹角即为直线与平面所成的角。
3. 求解方法：（1）首先要确定所成角的顶点、边线与平面。
（2）利用已知的角度公式求解所成角，例如余弦定理、正弦定理等等。
（3）运用图形的性质和几何推理法来求解所成角。
4. 示例讲解：通过多项的图形举例，让学生进一步理解所成角的概念和求解方法。
5. 小组练习：学生分组进行多次小组练习，看哪个组的速度最快，做对的数量最多。
6. 练习：让学生进行各种类型的练习，从影响最大的开始到影响较小的练习题。
7. 总结：回顾本节课内容，总结课堂重点，学生可以发表一些自己对所成角概念的理解与感悟。
8. 作业：布置作业，要求学生按时完成并且思考作业当中的相关问题。
课时二1. 温故再练：利用课堂当天的课堂练习和作业，对学生进行一些简单的温故再练，帮助学生对所成角的概念和求解方法进一步理解与掌握。
高二数学教案：斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角
斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角一、素质教育目标（一）知识教学点1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段．2．有关平面的斜线的几个概念．3．有关射影的几个概念．4．射影定理．5．有关直线和平面成角的几个概念．（二）能力训练点1．加深对数学概念的理解掌握．2．初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念．2．教学难点：定理的理解及有关直线与平面成角的练习．3．教学疑点及解决方法：（1）“斜线在平面上的射影”是“直线和平面所成的角”的基础；“斜线在平面上的射影”这一小节出现概念较多，为了便于学生理解和记忆，可以边画出课本的图形1-30边讲解，结合图形记忆，快而且准．教学中，一般先画出斜线AC与平面α斜交于C，再过AC上一点A引AB⊥α，垂足为点B，连结BC，然后指出AC是平面α上的斜线；线段AC是点A到平面α的斜线段，线段AB是点A到平面α的垂线段，点B是点A到平面α的垂线的垂足，直线BC是线段AC在平面α上的射影．（2）斜线段在平面上的射影是一条线段，斜线在平面上的射影是直线，垂线和垂线段在平面上的射影退化成一个点．（3）为照顾一般习惯说法，课本中定义射影是用“在平面上”，而说点、直线“在平面内”，并非不同．（4）射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的，否则，结论不成立．（5）直线和平面相交，它们的相互位置与两条相交直线一样，仍需用角来表示，但过交点在平面内可以作许多条直线，与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不相等的，为了定义的准确性，所以取这些角中有确定值的最小角，也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角；（6）直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之，由直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置：②直线和平面平行或直线在平面内，θ＝0°．③直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°．三、课时安排1课时．四、学生活动设计常规活动．（略）五、教学步骤（一）新课概念教学1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影．这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段．2．平面的斜线的有关概念一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．3．射影的有关概念过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．说明：教师边画出课本图形1-30，边讲解．点B—点A在平面上的射影AB—点A到平面的垂线段AC—平面的一条斜线C—斜足线段AC—斜线段直线BC—斜线AC在平面上的射影线段BC—斜线段AC在平面上的射影（板书）（1）．点在平面上的射影．（2）．点到平面的垂线段．（3）．斜线、斜足、斜线段．（4）．斜线在平面上的射影．（5）．线段在平面上的射影．（二）射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短．关于射影定理说明如下：设A为平面α外一点，AO⊥α，AB、AC为任意两条斜线，O为垂足，则OB 和OC分别是AB和AC的射影．则AB和AC分别为Rt△ABO和Rt△ACO的斜边；由勾股定理可知AB2＝AO2+OB2；AC2＝AO2+OC2；比较上面两个等式，得还可以得到AB＞AO，AC＞AO．所以，AO过点A向平面α所引线段中最短的一条．（三）直线与平面成角1．定义：（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．（2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．（3）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°度的角．2．按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：（1）直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0°角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；（3）直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．3．斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．（让学生看书3分钟，加以理解）（四）例题分析1．如图1-82，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求：（1）D1B1与面AC所成角的余弦值；（2）EF与面A1C1所成的角；（3）EF与面AC所成的角．解：（2）45°．（3）45°．2．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内，AC和BC与M所成的角分别是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．分析：作出CD与平面M所成的角，然后去解含这个角的三角形．解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，∴∠CDC1＝60°．3．可让学生完成课后练习1、2．（五）归纳小结这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．六、布置作业作为一般要求，完成习题四9、10．补充：1．AB是直角三角形ABC的斜边，三个顶点在平面M的同侧，它们在M内的射影分别是A1、B1、C1，如果三角形A1B1C1是正三角形，且AA1＝3cm，BB1＝5cm，CC1＝4cm．求三角形A1B1C1的面积．解：设正三角形A1B1C1的边长为x．则AC2＝x2+1BC2＝x2+1AB2＝x2+22∵AC2+BC2=AB2，2．已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为60°，45°，30°，PO⊥平面α，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求PO 的长．参考答案：。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 理解向量法求直线与平面所成角的原理。
2. 学会运用向量法求直线与平面所成的角。
3. 能够运用向量法解决实际问题。
二、教学内容1. 向量法求直线与平面所成角的原理。
2. 向量法求直线与平面所成角的步骤。
3. 向量法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
2. 教学难点：如何运用向量法解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析向量法在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论和练习。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引发学生对直线与平面所成角的兴趣。
2. 讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
3. 案例分析：分析向量法在实际问题中的应用，如在几何、物理、工程等领域中的应用。
4. 课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调向量法在解决直线与平面所成角问题中的应用。
6. 作业布置：布置一些有关的作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习的完成情况：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对向量法求直线与平面所成角的理解和掌握程度。
2. 作业的完成情况：检查学生作业的完成质量，评估他们对课堂所学知识的巩固情况。
3. 学生提问和参与讨论的情况：鼓励学生在课堂上提问和参与讨论，通过他们的提问和讨论了解他们对知识的掌握程度。
七、教学反思在课后，对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足之处，并根据学生的反馈调整教学方法和内容，以便更好地满足学生的学习需求。
八、教学拓展1. 向量法在立体几何中的应用：引导学生进一步学习向量法在立体几何中的其它应用，如求直线与直线、直线与球、球与球等所成的角。
2. 向量法在实际问题中的应用：引导学生关注向量法在其他学科和实际问题中的应用，如物理学、工程学等。
直线与平面所成角方法归纳教案
求直线与平面所成角的方法归纳和典例分析一．三余弦定理法例1：如图，已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，∠ABC=045，求斜线AB和平面α所成60，∠OBC=0的角。
二．定义法例2 如图四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
练习：三．等体积法例3 如图四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求SC与平面ABC所成的角。
课外作业：1.如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．（Ⅰ）求证：PC⊥DE；（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为，求PA的值．2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角。
3．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝21PA，点O、D 分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；(Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．4.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．(I)求证：CM ⊥EM：(Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值．C。
用向量法求直线与平面所成的角教案
第二讲: 立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道, 立体几何是高中数学学习的一个难点, 以往学生学习立体几何时, 主要采取“形到形”的综合推理方法, 即根据题设条件, 将空间图形转化为平面图形, 再由线线, 线面等关系确定结果, 这种方法没有一般规律可循, 对人的智力形成极大的挑战, 技巧性较强, 致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中, 向量知识的引入, 为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题, 体现了数形结合的思想。
并且引入向量, 对于某些立体几何问题提供通法, 避免了传统立体几何中的技巧性问题, 因此降低了学生学习的难度, 减轻了学生学习的负担, 体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要, 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值, 激发学生学习向量的兴趣, 从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角, 不需要繁杂的推理, 只需要将几何问题转化为向量的代数运算, 方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角, 下面对线面角的求法进行总结。
教学目标1.使学生学会求平面的法向量与直线与平面所成的角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解直线与平面所成的角的向量法.教学难点求解直线与平面所成的角的向量法.教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾有关知识:1.直线与平面所成的角: （范围: ）思考：设平面 的法向量为 , 则 与 的关系？2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:（1）建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉与的点、直线、A B θαO n平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以与它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
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直线与平面所成的角的教案
一、教学目标
（一）知识目标：
（1）掌握斜线与平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角；（二）能力目标：
（1）培养学生的观察思考能力和空间想象能力；
（2）培养学生的立体感，数学美感；
（3）能熟练求解直线与平面所成角.
（三）情感目标：
让学生体验主动探究、合作学习的成功和喜悦，激发他们学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：斜线与平面所成角的概念及利用概念分步求角；
难点：在一个具体的立体图形中去找某条直线与平面所成的角。
三、教学方法：探究、合作、讲练结合
四、学法指导：对于立体几何的学习，学生已初步入门，本课时让学
生自己探究问题、发现问题、获取新知，并解决相关问题
五．教学过程
复习引入
直线与平面有几种关系？
1.直线在平面内；
2.直线相交于平面;
3.直线平行于平面;
自主预习
1.什么是平面的斜线？斜足？斜线段？斜线在这个平面内的射影？
斜线和平面所成的角？(请同学回答)
平面的斜线：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，
那么这条直线叫做这个平面的斜线．
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫
做斜线在这个平面上的射影．
斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)．
（利用自做模型让学生参与，并自己来总结如何找直线与平面所成的角）
斜线
垂线斜线与射影所成的角斜线与平面所成的角
射影
如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90︒)
如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0︒角．
例题讲解
如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝1，BC＝1，AA1＝√2．求对角线
A1C 与平面ABCD 所成的角．
解：因为A1C是斜线；
A1A垂直于平面AC
AC是斜线A1C的射影
所以∠A1CA就为线A1C与平面ABCD所成
的角。
又因为AC=√2
三角形A1A C是等腰直角三角形
所以∠A1CA=450
既线A1C与平面ABCD所成的角为450。
课内练习：
一.直线l与平面α的交点为B，点P在直线l上，且PB= √2，点P到平面α的距离为2，那么直线l与平面所成的角为
多少度？
二．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1与平面AC，平面BA1，
平面BC1 所成的角，并求这些角的余弦值．
小组探究
直线与平面所成角的取值范围是什么？
（注：利用几何画板演示）[00,900]
课堂小结
1.如何寻找直线与平面所成的角？
垂线，斜线和射影
2.如何求解直线所成的角？
利用勾股定理和三角函数对角度进行求解。
课后作业
课本第131练习A组题
教后录
本堂课从整体上讲，个人较满意，知识点讲的透彻仔细，学生参与度高，课后学生的反应较好反应对本堂课掌握很好。
个人觉得不好的地方，首先是在讲例题1的时候讲到最后求角度的时候有学生提出直接利用等腰直角三角形可以求出角度，我还是用了三角函数来求把问题复杂化了，以后要多注意学生的言语表情。
再者，个人感觉讲到某些细节的时候略显紧张，导致会疙疙瘩瘩，需要课前多自己酝酿几遍。