三集合容斥非标准公式原理
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
三个对象的容斥原理公式
三个对象的容斥原理公式我们来看一下三个对象的容斥原理公式是怎样的。
对于三个集合A、B、C，容斥原理公式可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|X|表示集合X的元素个数，∪表示并集，∩表示交集。
这个公式的含义是，三个集合的并集的元素个数等于三个集合个别元素个数之和减去它们的交集个数，再加上它们的三个集合的交集个数。
在实际问题中，我们经常需要解决多集合之间的交集和并集问题。
而容斥原理可以帮助我们计算这些交集和并集的大小，从而得到最终的答案。
下面我们以一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有三个班级A、B、C，每个班级都有学生参加了数学竞赛和英语竞赛。
我们想要知道参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数。
我们可以分别计算出参加了数学竞赛的学生人数，记为|A|；参加了英语竞赛的学生人数，记为|B|；以及参加了数学竞赛和英语竞赛的学生人数，记为|C|。
然后，我们可以利用容斥原理公式计算出参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数。
根据公式，我们有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∪B|表示参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，|A∩B|表示参加了数学竞赛和英语竞赛的学生人数。
接下来，我们可以利用容斥原理公式进一步计算出参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数。
我们可以定义集合D表示参加了体育比赛的学生，那么根据容斥原理公式，我们有：|A∪B∪D| = |A∪B| + |D| - |(A∪B)∩D|其中，|A∪B∪D|表示参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数，|(A∪B)∩D|表示既参加了数学竞赛或英语竞赛，又参加了体育比赛的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数。
这个例子展示了容斥原理在计算交集和并集问题中的应用。
三集合容斥非标准公式原理
三集合容斥非标准公式原理三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。
这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。
三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。
A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。
【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。
调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。
容斥原理三集合公式
容斥原理三集合公式
容斥原理是概率与组合数学中常用的一种计数方法，用于解决集合之间的关系和求解交集、并集、补集问题。
容斥原理主要通过对给定集合的补集进行计算，并排除重复计数的情况，得到准确的结果。
容斥原理可以推广到三个集合的情况，即计算三个集合的交集、并集和补集的元素个数。
容斥原理的三集合公式可以表示为：
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩
B ∩ C|
其中，A、B、C表示三个集合，|A∪B∪C|表示三个集合的并
集的元素个数，|A|表示集合A的元素个数，|A ∩ B|表示集合
A和B的交集的元素个数，依此类推。
该公式的含义是：计算三个集合的并集的元素个数，等于计算这三个集合的元素个数之和，减去计算两两集合交集的元素个数之和，再加上计算三个集合交集的元素个数。
容斥原理的三集合公式的推导可以通过先考虑两个集合的交集，再加上第三个集合的方法得到。
具体推导过程在此不再赘述。
使用容斥原理的三集合公式，可以方便地计算三个集合的交集、并集和补集的元素个数。
在实际应用中，可以用于解决组合数
学和概率相关的问题，例如计算具有某些属性的组合的个数、计算多个事件同时发生的概率等。
需要注意的是，在应用容斥原理的三集合公式时，要确保集合之间满足一定的条件，例如集合互斥或集合的交集满足某种关系等，这样才能保证得到的结果是准确的。
三集合容斥非标准公式原理
三集合容斥非标准公式原理宽容与排他性原则一直是省级考试的重点，尤其是三套排他性原则。
这次，陕西华图教育将带您深入了解有关三组包含和排除原则的当前问题和一般概念。
首先，我们应该有一个清晰的认识。
根据套数，测试中的容忍和排除原则可以分为两组排除原则和三组排除原则。
今天，我们关注三集排除原则。
其次，根据问题的类型，将三组包含和排除的原理分为两种，一种是标准公式，另一种是变式。
接下来，我们将重点介绍三集包含排除原理的标准公式。
设置I，II，III，并满足标准公式三组包含排除原理的标准公式为：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ。
Ⅱ-Ⅰ。
Ⅲ-Ⅱ。
Ⅲ+Ⅰ。
Ⅱ。
Ⅲ=总数-都不满足通过观察公式，我们可以看到公式中有9个数量，并且该公式的适用前提是知道8来找到1，即在标题中，如果我们看到8个已知数量并且需要1个未知数量，我们需要使用此公式（注意：有时在标题中，我们还需要知道7才能找到1，其中三个不满意的数目可能为零）。
具体主题如下：（陕西2015）对100名旅游爱好者的调查发现，泰山28人，华山30人，黄山42人，黄山和黄山8人，泰山和黄山10人，华山和黄山5人，三人三个景点，而（）人们不喜欢三个景点中的任何一个。
A.20B.18C.17D.15E.14F.13G.12H.10解决方案：通过观察，我们发现了八个已知数量，并且我们还需要找到另一个未知数量。
因此，我们可以使用上述公式将数据一一替换为：28 + 30 + 42-8-10-5 + 3 = 100-x，其中x是我们需要的数量，x = 20，并且答案是接下来，让我们看一下三个集合变量的公式，如下图所示：从上面的公式可以看出，要使用变体公式，标题中必须只有两种情况，这与标准公式最大的不同（广东2015年）在一个乡镇举行了一场运动会，包括三项活动：长跑，跳远和短跑。
49人参加了长跑比赛，36人参加了跳远比赛，28人参加了短跑比赛，13人仅参加了两项赛事，9人参加了所有赛事。
那么，运动会的参加者总数为（）。
2018国考行测：数量关系之容斥原理
2018国考行测：数量关系之容斥原理容斥原理问题是公务员考试中一类常考题型，常见的容斥原理问题有三种：两集合容斥原理，三集合容斥原理标准型，三集合容斥原理非标准型。
在审题时大家要牢牢把握住题型的特征：当题目中出现“都满足”，“都不满足”时，就可以归为容斥问题。
河北省考中容斥问题相对来说不是太难，基本上直接套用公式就能解决，属于易于拿分的题型。
下面给大家整理一下容斥原理这三种题型的公式以及用法。
一、两集合容斥原理公式：A+B-AB=总个数- 两者都不满足的个数。
其中A、B分别代表满足不同条件的数量，AB代表两个条件都满足的数量。
【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两者都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？（）A．28人B．26人C．24人D．22人D【解析】这是一道两集合的容斥问题。
根据公式：60-20=30+32-两者都参加的人，解得答案为D。
二、三集合容斥原理标准型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总个数-都不满足的个数。
其中A、B、C代表满足不同条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足其中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。
【例2】100个学生只有2人没学过外语，学过英语的有40人，学过德语的有45人，学过法语的有43人，学过英语也学过德语的有15人，学过英语也学过法语的有12人，学过法语也学过德语的有10人。
问：三种语言都学过的有多少人？（）A．4 B．6C．7 D．5C【解析】运用容斥原理可得：40+45+43-（15+12+10）+三种语言都学过的人数＝100-2。
解得三种语言都学过的数量为7，因此，本题答案为C选项。
三、三集合非标准型容斥原理公式：A+B+C-只满足两个条件的数量-2×满足三个条件的数量=总个数-都不满足的个数。
【例3】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。
三集合容斥原理
三集合容斥原理
三集合容斥原理是一种常见的概率理论，它有助于解决一些复杂的概率问题。
它可以用来解释一些现象，如天气预报中的概率降雨或概率暴风雨。
三集合容斥原理的核心思想是：如果有三个互不相交的集合A，B 和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C 的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C 的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
用数学表示，三集合容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
三集合容斥原理可以被用来研究一些概率问题。
例如，假设有三个不同的事件A，B和C，计算它们的概率的总和，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
另一个例子是，假设有三个不同的事件A，B和C，那么在这三个事件中，有多少种可能的组合，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=2^3-1=7 。
总之，三集合容斥原理是一种有用的概率理论，它可以帮助我们解决一些复杂的概率问题。
它的核心思想是：如果有三个互不相交的
集合A，B和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
三个集合容斥原理公式
三个集合容斥原理公式好的，以下是为您生成的文章：咱今天就来好好唠唠这三个集合容斥原理公式！话说我之前在给学生们讲这部分内容的时候，发生了一件特别有意思的事儿。
有个叫小明的同学，那小脑瓜转得可快了，但就是对这容斥原理有点迷糊。
咱先来说说这第一个公式：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C -B∩C + A∩B∩C 。
这个公式看着有点复杂，其实就像我们分糖果一样。
比如说 A 盒子里有一些巧克力，B 盒子里有一些水果糖，C 盒子里有一些奶糖。
A∩B 呢，就是既在 A 盒子又在 B 盒子里的那种混合糖，A∩C 、B∩C 也是同样的道理。
而A∩B∩C 就是三种糖都有的那种超级混合糖。
咱们拿一个班级的兴趣小组来举例吧。
比如参加数学兴趣小组的有A 个人，参加语文兴趣小组的有B 个人，参加英语兴趣小组的有C 个人。
有的同学既参加了数学又参加了语文，这就是A∩B ；有的既参加了数学又参加了英语，这是A∩C ；还有既参加语文又参加英语的，那就是B∩C 。
而三种都参加的就是A∩B∩C 。
再看第二个公式：A∪B = A + B - A∩B 。
这个就简单多啦，就像我们去超市买东西。
A 是买水果的人数，B 是买零食的人数，A∩B 就是既买了水果又买了零食的那些人。
比如说一个班级组织活动，要统计参加唱歌和跳舞的人数。
参加唱歌的有 20 人，参加跳舞的有 15 人，但是有 5 个人既参加了唱歌又参加了跳舞，那总的参加人数就是 20 +15 - 5 = 30 人。
第三个公式：Card(A∪B∪C) = Card(A) + Card(B) + Card(C) -Card(A∩B) - Card(A∩C) - Card(B∩C) + Card(A∩B∩C) 。
这个看起来好像很高级，其实本质和前面差不多。
比如说学校组织运动会，报名跑步的、跳远的、跳高的分别有一定人数，然后通过这个公式就能算出参加至少一项运动的总人数。
行测备考三集合容斥非标准公式原理
行测备考三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。
这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。
三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。
A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。
【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。
调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。
容斥原理及公式的证明
=50-(28+24+18)+(10+8+5) =3(人) 答：三个场馆都参观的有3人。
或：N=Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc。
四年级奥数之容斥原理及公示的证明
பைடு நூலகம்
A
B
N1 Na
N4
N2
Nab Nb
Nabc
Nca N6
N7
Nbc N5
Nc
N3 C
定理： |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C| 或：N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc
证明：设Na、Nb、Nc分别表示图A、B、C覆盖的 面积；Nab、Nbc、Nca分别表示图A和B、B和C、C和 A共同覆盖的面积；Nabc表示图A、B、C共同覆盖的面 积。再设N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7分别表示7个 互不覆盖区域的面积；N表示7个互不覆盖区域的面积 总和。
则：N1=Na-Nab-Nca+Nabc， N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc， N3=Nc-Nbc-Nca+Nabc N4=Nab-Nabc N5=Nbc-Nabc N6=Nca-Nabc N7=Nabc
五年级奥数之容斥原理及公示的证明
容斥问题
某班50名学生前往上海世博会 参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。 参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数 分别是28、24、18人，其中既参观 丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观 丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参 观法国馆又参观西班牙馆的5人。
巧用公式秒解容斥原理题型-2023国家公务员考试行测解题技巧
巧用公式秒解容斥原理题型-2023国家公务员考试行测解题技巧在行测考试中，数量关系科目有许多的解题技巧、方法和公式。
尤其是利用公式法解题，只需大家把握公式，考试时直接套用公式，就可以快速精确地解题。
比如数量关系中常考的一种题型容斥原理，就可以用公式法解题。
今日我们就一起来学习一下用公式法解决三集合容斥原理的题目。
三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种：1、三集合标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－满意条件1和2的个数－满意条件1和3的个数－满意条件2和3的个数＋三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数；2、三集合非标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－“只”满意两个条件的个数－2×三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数。
那么下面我们一起看几个例题，应用一下公式法去求解三集合容斥原理。
【例1】某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别支配了三场讲座。
该机关共有139人，有42人报名参与第一场讲座，51人报名参与其次场讲座，88人报名参与第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参与两场讲座的有30人。
问没有报名参与其中任何一场讲座的有多少人？A.12B.14C.24D.28答案：A【解析】第一步，本题考查容斥原理，用公式法解题。
其次步，设没有报名参与其中任何一场讲座的有x人。
依据三集合非标准型容斥原理公式，可列方程42＋51＋88－30－2×12＝139－x，解得x＝12。
（或者使用尾数法解题）因此，选择A选项。
【例2】某班参与学科竞赛人数40人，其中参与数学竞赛的有22人，参与物理竞赛的有27人，参与化学竞赛的有25人，只参与两科竞赛的有24人，参与三科竞赛的有多少人？A.2B.3C.5D.7答案：C【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。
其次步，设参与三科竞赛的有x人，依据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。
《三集合容斥原理》
三集合容斥原理华图教育梁维维我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。
之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。
三集合容斥原理公式：三者都不满足的个数。
总个数-=+---++=||||||||||||||||CBACBCABACBACBA有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。
【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少?( )A.15B.16C.14D.18【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。
近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。
【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（）A. 148B. 248C. 350D. 500【解析】本题属于容斥原理问题。
设三种上网方式都使用的客户有X个，则使用两种上网方式的客户有(352－X )个，根据题意1258＋1852＋932=3190＋2×（352－X）＋3X,解得X=148，因此答案选择A选项。
三者容斥问题3个公式
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
核心公式：
（1）两个集合的容斥关系公式：
A＋B＝A∪B＋A∩B
（2）三个集合的容斥关系公式：
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
原理一
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B)
原理二
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A 类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B 类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个
数。
（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。
三集合容斥原理公式
三集合容斥原理公式三集合容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合的交集和并集问题。
它是一种通过排除重复计数来求解集合元素个数的方法，可以帮助我们简化复杂的计数问题。
在实际应用中，三集合容斥原理常常被用于计算概率、统计学、组合优化等领域。
本文将介绍三集合容斥原理的基本概念和公式，并通过实例演示其应用方法。
三集合容斥原理公式如下：设 A、B、C 为三个集合，|A|、|B|、|C| 分别表示集合 A、B、C 的元素个数，|A∩B|、|A∩C|、|B∩C| 分别表示集合 A 和 B、A 和 C、B 和 C 的交集元素个数，|A∩B∩C| 表示三个集合的交集元素个数，则三集合容斥原理公式可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
其中，|A∪B∪C| 表示集合 A、B、C 的并集元素个数。
在使用三集合容斥原理时，我们可以通过这个公式来计算三个集合的并集元素个数，从而解决集合的交集和并集问题。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示三集合容斥原理的应用方法。
假设有三个集合 A、B、C，它们的元素个数分别为 |A| = 5，|B| = 6，|C| = 7，交集元素个数分别为 |A∩B| = 2，|A∩C| = 3，|B∩C| = 4，三个集合的交集元素个数为 |A∩B∩C| = 1。
我们需要计算三个集合的并集元素个数。
根据三集合容斥原理公式，我们可以进行如下计算：|A∪B∪C| = 5 + 6 + 7 2 3 4 + 1 = 10。
因此，三个集合的并集元素个数为 10。
通过以上实例，我们可以看到三集合容斥原理的应用方法。
在实际问题中，我们可以根据具体情况，利用三集合容斥原理来简化计算，解决集合的交集和并集问题。
同时，我们也可以根据实际需求，将三集合容斥原理扩展到更多集合的情况，从而应对更复杂的计数问题。
总之，三集合容斥原理是组合数学中的重要方法，它通过排除重复计数来求解集合元素个数，可以帮助我们简化复杂的计数问题。
三集合容斥原理非标准型a+b+c=总数
一、概述集合容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，常用于解决各种计数问题。
它的基本思想是通过对不同集合的交集和并集进行计算，从而得到所需计数的结果。
在集合容斥原理的应用中，有一类特殊问题是求解满足某些条件的非标准型a+b+c=总数的问题。
本文将就这一类问题展开讨论。
二、基本概念在应用集合容斥原理解决a+b+c=总数的问题时，我们首先需要了解几个基本概念：1. 集合：在该问题中，集合通常代表满足某种条件的对象的集合。
集合A表示满足条件A的对象的集合，集合B表示满足条件B的对象的集合，集合C表示满足条件C的对象的集合。
2. 交集：两个集合的交集指的是同时属于这两个集合的对象组成的集合。
在集合容斥原理中，交集的计算是重要的一步。
3. 并集：两个集合的并集指的是属于其中任意一个集合的对象组成的集合。
在集合容斥原理中，并集的计算也是必不可少的。
三、集合容斥原理的应用在解决a+b+c=总数的问题时，我们可以将集合A、B、C分别代表满足条件A、B、C的对象的集合。
根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A|表示集合A的大小，|A ∩ B|表示集合A和B的交集的大小，依此类推。
根据这个公式，我们可以通过分别计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，进而求解满足a+b+c=总数的问题。
四、示例分析为了更好地理解集合容斥原理在求解a+b+c=总数的问题中的应用，我们以一个具体的例子进行分析。
假设有一组数{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，我们希望找出其中满足以下条件的数字组合：a+b+c=15。
我们可以将集合A表示满足条件a的数字的集合，集合B表示满足条件b的数字的集合，集合C表示满足条件c的数字的集合。
根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|我们逐一计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，得到最终满足条件的数字组合。
三个集合的容斥原理
三个集合的容斥原理在概率论和组合数学中，容斥原理是一种用于计算多个集合交集元素个数的方法。
它可以帮助我们在计算交集元素个数时避免重复计数，从而得到准确的结果。
容斥原理通常适用于三个或三个以上的集合，下面我们将详细介绍三个集合的容斥原理。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的交集元素个数。
首先，我们可以使用传统的方法计算它们的交集，即分别计算A∩B、A∩C、B∩C以及A∩B∩C的元素个数，然后将它们相加，并减去重复计数的部分。
但是，这种方法在处理多个集合时会变得非常复杂，而容斥原理可以帮助我们简化计算过程。
容斥原理的核心思想是通过对每个集合的元素进行分类，然后根据分类的情况来计算交集元素个数。
具体来说，我们可以按照以下步骤来应用容斥原理：1. 首先，我们计算单个集合的元素个数，即|A|、|B|和|C|；2. 然后，我们计算两个集合的交集元素个数，即|A∩B|、|A∩C|和|B∩C|；3. 接下来，我们计算三个集合的交集元素个数，即|A∩B∩C|；4. 最后，根据容斥原理的公式，我们可以得到三个集合的交集元素个数为，|A ∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
通过这个公式，我们可以很方便地计算三个集合的交集元素个数，而不需要逐个计算它们的交集。
容斥原理的应用大大简化了计算过程，提高了计算的效率。
除了计算交集元素个数，容斥原理还可以应用于其他问题，比如计算集合的并集元素个数、计算满足某些条件的元素个数等。
在实际问题中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等方面的问题，具有非常重要的应用价值。
总之，容斥原理是一种十分有用的计算方法，它可以帮助我们简化计算过程，避免重复计数，得到准确的结果。
在实际问题中，我们可以根据具体情况灵活运用容斥原理，从而更加高效地解决各种计算问题。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用容斥原理。
三个集合的容斥原理公式
三个集合的容斥原理公式容斥原理是概率论和组合数学中的一种重要方法，用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。
它通过减去重复计算的部分来得到准确的结果。
假设有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的交集和并集的元素个数。
容斥原理告诉我们，可以通过如下的公式来计算：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|这个公式看起来可能有些复杂，下面我将逐步解释每一部分的含义。
|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|C|表示集合C的元素个数。
这是最基本的计算方法，没有什么特殊之处。
接下来，|A∩B|表示集合A和集合B的交集的元素个数，|A∩C|表示集合A和集合C的交集的元素个数，|B∩C|表示集合B和集合C 的交集的元素个数。
这些交集的元素个数需要减去，因为它们被重复计算了。
|A∩B∩C|表示集合A、B和C的交集的元素个数。
这个交集的元素个数需要加上，因为它在前面的计算中被减去了两次。
通过这个公式，我们可以准确地计算三个集合的交集和并集的元素个数，而不会出现重复计算的情况。
这在概率论和组合数学中是非常有用的。
举个例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个班级，有60个学生，其中30个学生会打篮球，40个学生会踢足球，50个学生会打乒乓球。
我们希望知道至少会其中一项运动的学生有多少人。
根据容斥原理，我们可以先计算每个运动的人数，然后减去重复计算的部分。
首先，篮球和足球的交集是20个人，篮球和乒乓球的交集是10个人，足球和乒乓球的交集是10个人，篮球、足球和乒乓球的交集是10个人。
所以，至少会其中一项运动的学生有30 + 40 + 50 - 20 - 10 - 10 + 10 = 90个人。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理的计算方法和应用。
它可以帮助我们准确地计算多个集合的交集和并集的元素个数，避免重复计算的问题。
总结一下，容斥原理是计算多个集合的交集和并集的元素个数的一种方法。
三集合的容斥原理
三集合的容斥原理在概率论和组合数学中，三集合的容斥原理是一种用于计算三个集合的并集、交集和补集关系的方法。
它可以帮助我们更好地理解三个集合之间的关系，解决相关问题。
接下来，我们将详细介绍三集合的容斥原理及其应用。
首先，我们来了解一下三集合的容斥原理的基本概念。
假设我们有三个集合A、B、C，我们希望计算它们的并集、交集和补集之间的关系。
三集合的容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。
其中，|A| 表示集合A的元素个数，|A ∩ B| 表示集合A和B的交集的元素个数，依此类推。
这个公式的意义在于，我们首先计算三个集合的并集，然后依次减去它们的交集，最后再加上它们的三个集合的交集，从而得到三个集合并集的元素个数。
三集合的容斥原理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在概率论中，当我们需要计算三个事件同时发生的概率时，就可以利用容斥原理来进行计算。
在组合数学中，容斥原理也常常用于计算组合的个数，解决排列组合的相关问题。
除了计算三个集合的并集之外，容斥原理还可以帮助我们计算三个集合的交集和补集。
通过适当的变换和组合，我们可以利用容斥原理来得到三个集合交集和补集的元素个数，从而更好地理解它们之间的关系。
总之，三集合的容斥原理是一种重要的计算方法，它可以帮助我们更好地理解三个集合之间的关系，解决相关问题。
在实际应用中，我们可以灵活运用容斥原理，解决各种与三个集合相关的计算和组合问题。
通过本文的介绍，相信大家对三集合的容斥原理有了更深入的理解。
在今后的学习和工作中，希望大家能够灵活运用容斥原理，解决各种与三个集合相关的问题，提高自己的计算和组合能力。
同时，也希望本文能够对大家有所帮助，谢谢大家的阅读！。
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三集合容斥非标准公式原理
容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。
这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。
三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法
1.解题步骤
涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧
三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数
【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。
A.20
B.18
C.17
D.15
【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。
【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。
调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）
A.310
B.360
C.390
D.410
【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。
【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?
A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
【解析】A。
根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数。
100=58+38+52-{18+16+(12+x)｝+12+0，因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得：x=14。
52=x+12+4+y=14+12+4+y，得到
y=22人。
由此可见，行测的考题已经越来越灵活，希望大家可以仔细审题，搞清楚题目的问题和特征，从而可以从容解析，笑傲公考。