三角函数定义全面版
三角函数三角函数的定义
02
正弦函数
定义
直角三角形中，正弦函数定义为一条直角边的比值：sin(A) = 直角边/斜边 在直角坐标系中，单位圆上任意一点的x轴投影就是该点的正弦值 正弦函数是周期性的，周期为2π
性质
01
02
03
正弦函数是周期性的，这意味着它会 在固定的间隔内重复其形状和大小
正弦函数的最大值为1，最小值为-1
正割函数
定义
正割函数是函数f(x)在区间 (0,π/2)上的倒数，记作sec x
。即：sec x = 1/cos x。
图像
正割函数的图像与正弦函数的图 像类似，只是振幅不同。
性质
正割函数是周期函数，其周期为2π 。其定义域为{x|x≠π/2 + kπ， k∈Z}。
余割函数
定义
01
余割函数是函数f(x)在区间(0,π/2)上的倒数，记作csc x。即：
THANK YOU.
这些函数按照角度范围可以分为三类：锐角三角函数、任意 角三角函数和反三角函数
功能
1
三角函数在数学、物理、工程和计算机科学等 多个领域都有广泛的应用
2
它们可以用于解决直角三角形中的角度和边长 问题，以及极坐标系中的位置和运动问题
3
同时，三角函数也是解决许多其他问题的重要 工具，例如信号处理、图像处理、交流电、振 动分析等
几何
三角形计算
三角函数在三角形计算中有着广泛应用，如正弦定理、余弦定理和勾股定理 等。
圆和极坐标系
三角函数还可以用于描述圆和极坐标系中的相关几何量，如半径、角度和距 离等。
金融
复利计算
三角函数在复利计算中有着应用，如连续复利公式中涉及到指数函数和三角函数 。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的概念之一，它们是描述角度与三角形之间关系的函数。
在数学和物理学中，三角函数广泛应用于各种领域，包括几何、导数、微积分、辐射传输等。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin表示。
对于任意角度θ，正弦函数的值定义为对边与斜边的比值：sin(θ) = 对边/斜边。
正弦函数的定义域为整个实数集，值域为[-1,1]。
二、余弦函数余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
对于任意角度θ，余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值：cos(θ) = 邻边/斜边。
余弦函数的定义域为整个实数集，值域也为[-1,1]。
三、正切函数正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，通常用tan表示。
对于任意角度θ，正切函数的值定义为对边与邻边的比值：tan(θ) = 对边/邻边。
正切函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。
四、余切函数余切函数是余弦函数与正弦函数的比值，通常用cot表示。
对于任意角度θ，余切函数的值定义为邻边与对边的比值：cot(θ) = 邻边/对边。
余切函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。
五、正割函数正割函数是正弦函数的倒数，通常用sec表示。
对于任意角度θ，正割函数的值定义为斜边与邻边的比值：sec(θ) = 斜边/邻边。
正割函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
六、余割函数余割函数是余弦函数的倒数，通常用csc表示。
对于任意角度θ，余割函数的值定义为斜边与对边的比值：csc(θ) = 斜边/对边。
余割函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
三角函数除了以上六种基本函数外，还有诸如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等反三角函数，它们的定义域和值域不同于基本三角函数。
三角函数在数学上有丰富的性质和运算规律，如正弦函数和余弦函数的和差公式、倍角公式等，这些规律在解决实际问题时起着重要的作用。
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
1.2任意角的三角函数((不知年级))全面版
2 若lg(sintan)有意义，则是（C）
A 第一象限角
B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a3 。
例3 若是是第二象限角, 且|cos(/2)|=- cos(/2), 问/2是第几象限角？
公式一：sin(α ＋ k·2π )＝sinα cos(α ＋ k·2π )＝cosα
tan(α ＋ k·2π)＝tanα
(k∈Z)
说明：
1 运用公式时， k∈Z不能省略！ 2 α ＋ k·2π， k∈Z表示任意
与 α终边相同的角。 3 此公式表明求任意角的三角函数
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
练习 已知是第三象限角，且sin(/2)<0， 则( B ) A cos(/2)<0 B cos(/2)>0 C tan(/2)>0 D cot(/2)>0
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
三角函数定义及三角函数公式大全
三角函数定义及三角函数公式大全三角函数是数学中重要的概念，它们与三角形的角度和边长之间的关系密切相关。
在此，我们将介绍三角函数的定义以及一些重要的三角函数公式。
三角函数的定义：三角函数是用来描述角度与边长之间关系的函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数描述了一个角的对边与斜边之间的比值，即 sin(A) = a/c，其中A为角A的弧度值，a为角A的对边长度，c为角A的斜边长度。
2. 余弦函数（cos）余弦函数描述了一个角的邻边与斜边之间的比值，即 cos(A) = b/c，其中A为角A的弧度值，b为角A的邻边长度，c为角A的斜边长度。
3. 正切函数（tan）正切函数描述了一个角的对边与邻边之间的比值，即 tan(A) = a/b，其中A为角A的弧度值，a为角A的对边长度，b为角A的邻边长度。
4. 余切函数（cot）余切函数描述了一个角的邻边与对边之间的比值，即 cot(A) = b/a，其中A为角A的弧度值，b为角A的邻边长度，a为角A的对边长度。
5. 正割函数（sec）正割函数描述了一个角的斜边与邻边之间的比值，即 sec(A) = c/b，其中A为角A的弧度值，c为角A的斜边长度，b为角A的邻边长度。
6. 余割函数（csc）余割函数描述了一个角的斜边与对边之间的比值，即 csc(A) = c/a，其中A为角A的弧度值，c为角A的斜边长度，a为角A的对边长度。
下面列出了一些重要的三角函数公式，包括诱导公式、和差公式、倍角公式、半角公式以及倒数公式。
1.诱导公式：sin(-A) = -sin(A)cos(-A) = cos(A)tan(-A) = -tan(A)cot(-A) = -cot(A)sec(-A) = sec(A)csc(-A) = -csc(A)2.和差公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))3.倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))4.半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + co s(A)) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / (1 + cos(A))]5.倒数公式：sin(A) = 1 / csc(A)cos(A) = 1 / sec(A)tan(A) = 1 / cot(A)这些三角函数的定义和公式是数学中计算角度和边长之间关系的基础，它们被广泛应用于几何、物理、工程等领域的问题求解中。
三角函数详细讲解
三角函数详细讲解
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（最常用的单位是弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
它也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的。
这些函数的定义可以通过直角三角形来解释，其中θ是要找的角度，对边是指与θ所对应的直角三角形中的最短边，邻边是指与θ所对应的直角三角形中的最长边，斜边是指三角形的最长边。
正弦函数的定义为sinθ=对边/斜边，余弦函数的定义为cosθ=邻边/斜边，正切函数的定义为tanθ=对边/邻边。
这些函数的值是固定的，不会因为三角形的大小改变而改变。
例如，tan45°的值总是等于1，无论三角形的大小如何变化。
这是因为我们用的是直角三角形，所以每个三角形都有成比例的关系。
三角函数不仅用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
另外，以三角函数为模版，可以定义一
类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
以上是关于三角函数的详细讲解，如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
三角函数的定义与性质
有界性
三角函数的有 界性是指它们 在一定范围内 取值有限
有界性的证明 通常需要利用 三角函数的定 义和性质，如 周期性、对称 性等
有界性是三角函 数在解决实际问 题中非常重要的 性质之一，例如 在信号处理、控 制系统等领域
有界性还可以 帮助我们理解 三角函数的其 他性质，如单 调性、周期性 等
图像与性质
PART 05
三角函数的和差 化积公式
和差化积公式的基本形式
正弦和差化积公式： sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
余弦和差化积公式： cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB
正切和差化积公式 ：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1tanAtanB)
性质：余弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
图像：余弦函数的图像是一个正弦曲线，其最大值为1，最小值为-1。
正切函数
定义：正切函数是三角函数之一，表示单位圆上某点与x轴正方向的夹角。 公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) 性质：正切函数在定义域内是连续的，但在某些点处不可导。 应用：正切函数在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
THANK YOU
汇报人：
数学竞赛：诱 导公式是数学 竞赛中常见的 题型，掌握诱 导公式有助于 提高解题能力
特殊角度的三角函数值
0 °： s i n ( 0 °) = 0 , co s ( 0 °) = 1 , ta n ( 0 °) = 0
4 5 °： s i n ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , co s ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , ta n ( 4 5 °) = 1
三角函数基本概念与图形意义
三角函数基本概念与图形意义一、三角函数的定义与基本概念1.三角函数的定义：三角函数是描述直角三角形各边长度与角度之间关系的函数。
2.基本三角函数：主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
3.角度制与弧度制：角度制是度、分、秒的单位，弧度制是以圆的半径为1，以弧长等于半径的圆心角所对应的弧度值为1。
4.象限与坐标系：平面直角坐标系分为四个象限，第一象限（x>0,y>0）、第二象限（x<0, y>0）、第三象限（x<0, y<0）、第四象限（x>0,y<0）。
5.周期性：三角函数具有周期性，周期是指函数值重复出现的最小正数。
正弦函数、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
6.奇偶性：根据函数的定义，可以判断三角函数的奇偶性。
正弦函数、余弦函数为偶函数，正切函数、余切函数为奇函数。
二、三角函数的图形意义1.正弦函数的图形意义：正弦函数表示单位圆上某一点的纵坐标值，随着角度的增大，正弦函数的值在-1与1之间波动。
2.余弦函数的图形意义：余弦函数表示单位圆上某一点的横坐标值，随着角度的增大，余弦函数的值在-1与1之间波动。
3.正切函数的图形意义：正切函数表示直角三角形中，对边与邻边的比值，随着角度的增大，正切函数的值在-∞与∞之间波动。
4.余切函数的图形意义：余切函数表示直角三角形中，邻边与对边的比值，随着角度的增大，余切函数的值在-∞与∞之间波动。
5.正割函数的图形意义：正割函数表示直角三角形中，斜边与对边的比值，随着角度的增大，正割函数的值在1与∞之间波动。
6.余割函数的图形意义：余割函数表示直角三角形中，斜边与邻边的比值，随着角度的增大，余割函数的值在1与∞之间波动。
三、三角函数的性质与变化规律1.奇偶性：正弦函数、余弦函数为偶函数，正切函数、余切函数为奇函数。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
三角函数的概念 完整版PPT课件
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
三角函数的定义ppt课件
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
三角函数的定义
三角函数的定义三角函数是数学中一类重要的函数，经常用于描述角度和长度之间的关系。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
1. 正弦函数（sine function）正弦函数是一个以角度为自变量的周期函数，用sin表示，定义如下：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ为一个锐角，对边指与角θ的其中一条直角边，斜边指与角θ挂接的斜边。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数也是一个以角度为自变量的周期函数，用cos表示，定义如下：cosθ = 临边 / 斜边其中，θ为一个锐角，临边指与角θ的另一条直角边，斜边同样指与角θ挂接的斜边。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是一个以角度为自变量的周期函数，用tan表示，定义如下：tanθ = 对边 / 临边其中，θ为一个锐角，对边和临边同正弦函数和余弦函数的定义一样。
三角函数在数学中有许多重要的性质和应用。
下面介绍一些常见的性质和应用：1. 周期性三角函数都是以角度为自变量的周期函数，其周期长度为360度（或2π弧度）。
即sin(x+360°) = sinx，cos(x+360°) = cosx，tan(x+360°) = tanx。
2. 正弦函数和余弦函数的关系根据勾股定理，sin^2θ + cos^2θ = 1，这意味着对于任意的θ值，正弦函数和余弦函数的平方和等于1。
同时，由于sinθ = cos(90°-θ)，因此正弦函数和余弦函数是相互关联的。
3. 三角函数的图像特点正弦函数和余弦函数的图像在坐标系中表现为以原点为中心的正弦曲线和余弦曲线。
它们的图像都是周期性的波动，且形状相似，只是相位不同。
正切函数的图像类似于一条渐近线，它在每个π/2（90°）的整数倍位置有一个奇点。
4. 应用领域三角函数在许多领域有广泛的应用。
三角函数大全
三角函数大全三角函数是数学中的重要概念，它在几何、代数、物理等方面都有着广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握三角函数的知识。
一、三角函数的定义。
1. 正弦函数。
正弦函数是最基本的三角函数之一，它描述了直角三角形中对边与斜边的比值。
在直角三角形ABC中，角A的正弦定义为sinA=对边/斜边。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 余弦函数。
余弦函数也是常见的三角函数，它描述了直角三角形中邻边与斜边的比值。
在直角三角形ABC中，角A的余弦定义为cosA=邻边/斜边。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
3. 正切函数。
正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，它描述了直角三角形中对边与邻边的比值。
在直角三角形ABC中，角A的正切定义为tanA=对边/邻边。
正切函数的定义域为实数集，但在某些角度上可能不存在。
二、三角函数的性质。
1. 周期性。
三角函数具有周期性，即在一定范围内，函数值会重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
2. 奇偶性。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数则既不是奇函数也不是偶函数。
3. 单调性。
在定义域内，三角函数具有不同的单调性。
例如，正弦函数在[0,π]上是单调递增的，而在[π,2π]上是单调递减的。
4. 互余关系。
正弦函数和余弦函数之间存在互余关系，即sinA=cos(π/2-A)，cosA=sin(π/2-A)。
三、三角函数的应用。
1. 几何应用。
三角函数在几何中有着广泛的应用，例如通过正弦定理和余弦定理可以解决三角形的边长和角度问题。
2. 物理应用。
三角函数在物理学中也有重要的应用，例如在描述波动、振动、周期运动等方面起着关键作用。
3. 工程应用。
在工程领域，三角函数常常用于测量、建筑、导航等方面，帮助解决实际问题。
结语。
通过本文的介绍，相信读者对三角函数有了更深入的了解。
三角函数作为数学中的重要概念，不仅有着丰富的性质，还在现实生活中有着广泛的应用。
三角函数的基本概念知识点总结
三角函数的基本概念知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
要学好三角函数，首先要对其基本概念有清晰的理解。
一、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点。
角的度量通常有两种方式：角度制和弧度制。
角度制是把一个周角等分成 360 份，每一份叫做 1 度，记为 1°。
弧度制则是以长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示。
如果弧长为 l，半径为 r，圆心角的弧度数为α，那么α＝ l ／ r 。
在实际应用中，弧度制在很多数学计算中更加方便。
二、三角函数的定义在平面直角坐标系中，设点 P(x, y)是角α终边上任意一点，且点 P到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²) ），则有以下六个三角函数的定义：正弦函数：sinα ＝ y ／ r ；余弦函数：cosα ＝ x ／ r ；正切函数：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0 ）；余切函数：cotα ＝ x ／ y （y ≠ 0 ）；正割函数：secα ＝ r ／ x （x ≠ 0 ）；余割函数：cscα ＝ r ／ y （y ≠ 0 ）。
三角函数的值与角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关。
例如，对于特殊角 0°、30°、45°、60°、90°等，它们的三角函数值是固定的，需要牢记。
三、三角函数的符号根据角所在的象限，三角函数的符号有不同的情况。
在第一象限，所有三角函数值都是正的；在第二象限，正弦函数值是正的，其余为负；在第三象限，正切函数值是正的，其余为负；在第四象限，余弦函数值是正的，其余为负。
记忆口诀为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
四、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1 。
30°,45°,60°角的三角函数值(2015年初三数学第一章 第二节 )全面版
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余 等于它的余角的正弦);
因此更一般地有 :
si9n 0 0 c o ,c s9 o0 0 s s i,n
想一想
本领大不大 悟心来当家
如图,观察一副三角板:
同角之间的三角函数的关系
平方和关系: si2n A1co 2A s.或 siA n 1co2A s.
si2n Aco 2A s1.
co 2A s1si2n A .或 coAs 1si2nA.
商的关系:
tanA sinA. cosA
直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.
由感性知识上升到理性知识: 在Rt△ABC中,sinA和cosB有什么关系?
sin A a , cos A b ,
c
c
sin B b , cos B ห้องสมุดไป่ตู้ a ,
c
c
sinA=cosB或cosA=sinB. A
B c
┌
b
C
回顾与思考
互余两角之间的三角函数关系
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34
随堂练习
八仙过海,尽显才能
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为
7m,扶梯的长度是多少?
B
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
c
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1 老师期望:
┌
A
b
C
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数
O
解:如图,根据题意可知,
什么是三角函数的基本定义
什么是三角函数的基本定义三角函数可是咱们数学学习中的一个重要角色呀！那到底什么是三角函数的基本定义呢？咱先来说说正弦函数（sin）。
简单来讲，对于一个锐角三角形，正弦函数就是一个角的对边与斜边的比值。
比如说，有个三角形 ABC，角 A 是我们关注的角，它的对边是 a，斜边是 c，那角 A 的正弦值就是sin A ＝ a ／ c 。
余弦函数（cos）呢，就是这个角的邻边与斜边的比值。
还是这个三角形 ABC，角 A 的邻边是 b，那角 A 的余弦值就是 cos A ＝ b ／ c 。
正切函数（tan）是角的对边与邻边的比值，即 tan A ＝ a ／ b 。
就拿我之前给学生们上课的经历来说吧。
有一次，我在课堂上给大家讲三角函数。
我画了一个大大的三角形在黑板上，然后指着角问大家：“同学们，你们猜猜这个角的正弦值是多少呀？”大家都一脸懵地看着我。
我就开始引导他们：“来，咱们先找找这个角的对边和斜边。
”然后有个同学小心翼翼地举起手说：“老师，我好像找到了。
”我就让他上来指给大家看。
结果呀，他指错啦，把邻边当成了对边。
同学们都哈哈大笑起来。
我笑着说：“别着急，咱们再仔细看看。
”经过一番引导，大家终于都找对了，算出了正确的正弦值。
再说回来，咱们通过这些比值关系，可以解决很多实际问题呢。
比如测量建筑物的高度。
假如你站在离建筑物一段距离的地方，测量出你看建筑物顶部的仰角，再知道你和建筑物之间的距离，就能通过三角函数算出建筑物的高度啦。
还有余切函数（cot），它是邻边与对边的比值，也就是 cot A ＝ b ／ a 。
反正啊，三角函数就是通过这些边的比值关系来描述角的特征的。
在数学里，它们的用处可大了，无论是解决几何问题，还是物理中的波动问题等等，都离不开三角函数。
同学们在学习三角函数的时候，可别被那些字母和比值给吓住了，多画画图，多做做练习题，慢慢就能掌握啦。
就像我那次课上的同学们一样，一开始可能会出错，但只要多琢磨，多思考，肯定能搞明白的。
高中数学必修4三角函数优质课件：三角函数的定义
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 利用三角函数的定义求值的策略
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 三角函数值的符号规律
(1)当角 θ 为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0 或 sin θ>0， tan θ>0 或 cos θ>0，tan θ>0，反之也成立；
(2)当角 θ 为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0 或 sin θ>0， tan θ<0 或 cos θ<0，tan θ<0，反之也成立；
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例 3] 计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin－116π＋cos125π·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°) ＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
R
cos α
R
tan α
αα≠π2＋kπ，k∈Z
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
4．三角函数值的符号
5.终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值 相等． (2)公式：sin(α＋k·2π)＝ sin α ， cos(α＋k·2π)＝ cos α ， tan(α＋k·2π)＝ tan α，其中 k∈Z.
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三个比值都不会随P在a终边上的位置变化而改变
a的终边
y
P( x，y ) ｒ ox
y ｒ
o
a的终边 P(ｘ，ｙ)
x
设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P，则这
一点的坐标就确定了设为P(x,y)，Py 与原点的距离 r x2 y2 0
y
r
y
x
x
ｒo
o
ｒ
P( x，y )
P( x，y )
x
x
M
a的终边
y
y
a的终边
P( x，y )
r P1 (x1,y1)
y
r1
y1
o
xo
x
x x1
比值 ｙ ｒ
ｙ 称为ａ的正弦，记作sinａ，即sinａ＝ｒ
P(ｘ，ｙ)
y
x
M
y y1 r r1
ｘ
比值
ｒ 比值 ｙ
ｘ
称为ａ的余弦，记作cosａ，即cosａ＝
ｘ ｒ
ｙ
称为ａ的正切，记作tanａ，即tanａ＝ ｘ
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的 函数，它们统称为三角函数
三角函数
定义域
sina
R
cosa tana
R
{a∣ａ≠ 2＋ｋ ，ｋ ｚ}
例1 如图所示，已知角ａ终边上一点P的坐标为（4，－3），求 角ａ的三角函数值。
y
解：∵ ｘ＝4，ｙ＝－3
0
x
∴ r x2y242(3)2
＝5
siany33 r5 5
c osa x 4 r5
ta any33 x4 4
P(4,-3) ａ的终边
3．三角函数的符号 正弦为正 其余为负
y
三角函数全为 正
x o
正切为正
余弦为正
其余为负
其余为负
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
比值叫做的余切 比值叫做的正割
角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数
值相等。即：诱导公式一
sin(+2k)=sin cos(+2k)=cos tan(+2k)=tan,
csc(+2k)=csc, sec(+2k)=sec cot(+2k)=cot
例4．（课本第19页）求下列各三角函数值：
§4.3任意角的三角函数
复习:
什么叫做锐角三角函数（即直角三角形中的三角 函数）？
以锐角为自变量，以比值为函数值的函数叫做锐
角三角函数。
y
设是一个任意角，在的终边上任取
（异于原点的）一点P，则这一点的
坐标就确定了设为P(x,y)，P与原点的
距离 r x2 y2 0
o
a的终边
r
P(ｘ，ｙ)
y
(1) sin11500
(2) cos 9
(3) tg ( 7 )
4
6
诱导公式（一）的作用：能把任意角的三角函数化为0~360（或
0~2）间的角的三角函数。其方法是先在0~360（或0~2）内找
出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一），然后得出结
果。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
a的终边
a的终边
若角的值组成一个集合，每一个比值的大小组成一个集合，因此，
这些比值都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，故称上述
函数为任意角α的三角函数。
a的终边
P( x,y )
y
ｒ ox
ｙ 正弦sinａ＝ ｒ
ｘ 余弦cosａ＝ ｒ
ｙ 正切tanａ＝ ｘ
ｘ=0
当ａ＝＋ｋ（ｋｚ），
2
ｘ = 0，tana无意义
x y
记作： cot x
r x
记作：
y
sec r
x
比值叫做的余割
r y
记作：
csc r
y
例3．（课本第18页）确定下列各三角函数值的符号：
①cos250 ②
sin( )
4
③tg(-67210’) ④
4．诱导公式一
ctg 11 3
角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三