《理论力学》第一章 力的分解与力的投影解析
高中物理必修一-力的分解
力的分解知识集结知识元力的分解知识讲解力的分解一、力的分解1．力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解.2．分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平形四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力.3．力的分解方法：根据力F产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力F1和F2的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小二、力的分解的解的问题1．已知两分力方向（1）两分力方向在一条直线上时当两力与合力同向时，无论是同向还是反向，均有无数组解．（2）两分力不在一条直线上时要使问题有解，合力必夹在两分力之间，仅有一组解．2．已知一个分力的大小和方向合力与一个确定的分力已经确定了三角形的三个顶点（三力在一条直线上的情况可看成是压扁的三角形），由三角形定则知，解是唯一的．3．已知两个分力的大小要使问题有解，两个分力的代数和不能小于合力的大小；差的绝对值不能大于合力的大小．在这个前提下讨论，可以做图得到结果．（1）当时在平面内有两解，在空间中有无数解．（如图所示）（2）当时，有唯一解（3）当时，有唯一解4．已知其中一分力F1的方向和另一分力F2的大小时（1）已知方向的分力与合力成锐角时（2）已知方向的分力与合力成直角或钝角时当时，无解．当时，有唯一解．按力的效果进行分解一、按效果分在实际问题中一个力究竟该分解成怎样的两个力，要看力的实际作用效果二、分解方法：1．根据力的实际作用效果确定两个分力的方向2．根据两个分力的方向做平行四边形3．根据平行四边形和相关的数学知识，求出两个分力的大小和方向．正交分解法正交分解法是把力沿着两个经选定的互相垂直的方向作分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法，其步骤如下：1．正确选定直角坐标系.通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴方向的选择则应根据实际问题来确定，原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即：使向两坐标轴投影分解的力尽可能少.在处理静力学问题时，通常是选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其他方向较为简便时也可选用.2．分别将各个力投影到坐标轴上，分别求出x轴和y轴上各力的投影的合力F x和F y：F x=F1x+F2x+F3x+……；F y=F1y+F2y+F3y+……（式中的F1x和F1y是F1在x轴和y轴上的两个分量，其余类推.）这样，共点力的合力大小为：F=.3．设合力的方向与x轴正方向之间的夹角为α，因为tanα=，所以，通过查数学用表，可得α数值，即得出合力F的方向.特别的：若F=0，则可推得F x=0，F y=0.这是处理多个力作用下物体平衡问题的常用的好办法.例题精讲力的分解例1.关于力的分解，下列说法中不正确的是（）A．一个力可以分解成两个比它大的分力B．一个力可分解成两个大小跟它相等的力C．如果一个力和它的一个分力的大小方向确定，那么另一个分力就是唯一的D．如果一个力以及它的一个分力大小和另一个分力的方向确定，这两个分力就完全确定了例2.如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则（）A．当F1>F sinα时，一定有两解B．当F1=F sinα时，有唯一解C．当F1<F sinα时，无解D．当F sinα<F1<F时，一定有两解例3.如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成53°角时，物块也恰好做匀速直线运动．则物块与桌面间的动摩擦因数为（不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（）A．B．C．D．当堂练习单选题练习1.在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如甲图用斧子把木桩劈开的图，已知两个侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，由乙图可得下列关系正确的是（）A．B．C．D．练习2.如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ．下列说法正确的是（）A．当m一定时，θ越大，轻杆受力越小B．当m一定时，θ越小，滑块对地面的压力越大C．当θ一定时，M越大，滑块与地面间的摩擦力越大D．当θ一定时，M越小，可悬挂重物C的质量m越大练习3.将一个有确定方向的力F=10N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6N，则在分解时（）A．有无数组解B．有两组解C．有唯一解D．无解练习4.为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是（）A．减小上山车辆受到的摩擦力B．减小上山车辆的重力C．减小上山车辆对路面的压力D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力练习5.关于力的分解，下列说法中不正确的是（）A．一个力可以分解成两个比它大的分力B．一个力可分解成两个大小跟它相等的力C．如果一个力和它的一个分力的大小方向确定，那么另一个分力就是唯一的D．如果一个力以及它的一个分力大小和另一个分力的方向确定，这两个分力就完全确定了练习6.已知两个共点力F的合力为2N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为N．则（）A．F2的方向是唯一的B．F2有无数个可能的方向C．F1的大小是唯一的D．F1的大小可取N练习7.如图中按力的作用效果分解正确的是（）B．C．D．A．练习8.如图所示，被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球．若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G，则G的两个分力的方向分别是图中的（）A．1和4 B．3和4 C．2和4 D．3和2练习9.如图，研究物体沿斜面下滑时，常把物体所受的重力分解为（）A．斜面支持力和下滑力B．沿斜面向下的下滑力和垂直在斜面上的压力C．平行于斜面向下的分力和垂直于斜面向下的分力D．下滑力和垂直于斜面向下的分力练习10.如图所示，倾角为θ的斜面上固定有一竖直挡板，重为G的光滑小球静止时对斜面的压力为N，小球的重力按照产生的作用效果可分解为（）A．垂直于斜面的分力和水平方向的分力，且B．垂直于斜面的分力和水平方向的分力，且N=G cosθC．垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，且D．垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，且N=G cosθ练习11.如图所示，倾角为15°的斜面上放着一个木箱，现有一个与水平方向成45°角的拉力F斜向上拉着木箱．分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立坐标系，把F分解为沿着两个坐标轴的分力．则分力F x和F y的大小分别为（）A．F cos15°、F sin15°B．F cos30°、F sin30°C．F cos45°、F sin45°D．F cos60°、F sin60°练习12.如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为m1、m2的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为θ．在m1左端施加水平拉力F，使m1、m2均处于静止状态，已知m1下表面光滑，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．弹簧可能处于压缩状态B．弹簧弹力的大小为C．地面对m2的支持力可能为零D．地面对m2的摩擦力大小为F练习13.如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成53°角时，物块也恰好做匀速直线运动．则物块与桌面间的动摩擦因数为（不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（）A．B．C．D．多选题练习1.如图所示是骨折病人的牵引装置示意图，绳的一端固定，绕过定滑轮和动滑轮后挂着一个重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的脚，整个装置在同一竖直平面内．为了使脚所受的拉力减小，可采取的方法是（）A．只增加绳的长度B．只减小重物的质量C．只将病人的脚向左移动D．只将两定滑轮的间距增大练习2.将一个力F分解为两个分力F1和F2，则下列说法中正确的是（）A．F1和F2的代数和等于FB．F1和F2两个分力在效果上可以取代力FC．F是F1和F2的合力D．物体受到F1、F2和F三个力的作用练习3.图1为斧子劈开树桩的实例，树桩容易被劈开是因为形的斧锋在砍进木桩时，斧刃两侧会对木桩产生很大的侧向压力，将此过程简化成图2的模型，已知斧子是竖直向下且对木桩施加一个竖直向下的力F，斧子形的夹角为θ，则（）A．斧子对木桩的侧向压力大小为B．斧子对木桩的侧向压力大小为C．斧锋夹角越大，斧子对木桩的侧向压力越大D．斧锋夹角越小，斧子对木桩的侧向压力越大练习4.如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则（）A．当F1>F sinα时，一定有两解B．当F1=F sinα时，有唯一解C．当F1<F sinα时，无解D．当F sinα<F1<F时，一定有两解练习5.将力F分解为两个共点力，已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ，则（）A．若已知另一个分力的方向，就可得到确定的两个分力B．若已知F1的大小，就可以得到确定的两个分力C．若已知另一个分力的大小，一定可以得到确定的两个分力D．另一个分力的最小值为F sinθ练习6.已知两个共点力的合力为60N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为35N，下列说法中正确的有（）A．F1的大小是唯一的B．F1的大小有两个可能的值C．F2有两个可能的方向D．可能任意方向填空题练习1.如图所示，重10N的物体静止在倾斜的长木板上，按照重力的实际作用效果将重力分解为：沿_____________方向的分力和沿____________方向的分力．请准确画出两个分力的图示（要求保留作图痕迹），由图示可读得：F1=______N，F2=______N．（精确到0.1N）按照重力作用的实际效果，可以将重力沿垂直木板方向和平行木板方向进行分解．木板上物体的重力，按效果分解的力图如图．解答题练习1.'已知共点力F1=10N，F2=10N，F3=5（1+）N，方向如图所示．求：（1）F1、F2的合力F合的大小和方向（先在图甲中作图，后求解）；（2）F1、F2、F3的合力F合的大小和方向（先在图乙中作图，后求解）．'练习2.'如图一大人拉着装有货物的木箱匀速前进，用的拉力为200N，车和货物的总重为500N．F与水平线的夹角为37°，（sin37°=0.6、cos37°=0.8）求：（1）F沿水平方向的分力和竖直方向的分力是多少？（2）地面对木箱的摩擦力是多少？方向向哪？（3）地面对木箱的支持力是多少？（4）画出木箱受力图．'练习3.'如图所示，一物块置于水平地面上．当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成60°角的力F2推该物块时，物块仍做匀速直线运动．已知物块与地面间的动摩擦因数为，求F1与F2的大小之比．'练习4.'如图1用水平拉力F刚好能使质量为m的物块在静止水平木板上做匀速直线运动，已知重力加速度为g，求：（1）物块与木板间的动摩擦因数μ是多少？（2）若将水平拉力F改为与水平方向斜向上成θ角度的拉力F1拉物块如图2，仍使物块沿该水平木板做匀速直线运动，则拉力F1为多大？（3）如图3若将木板一端固定，另一端抬高，使木板与水平面成α角度，形成一斜面，现用平行于斜面向上的力F2沿斜面向上拉物块，仍能使物块做匀速直线运动，则拉力F2又是多大？'。
理论力学-力的分解与力的投影以及平面力系中的力矩
cos Fx
F
cos Fy
F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
F R F 1 F 2 L L F nF
F R F x i F y j,F i F x ii F y ij( i 1 ,2 ,L n )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
合力的大小：
FR Fx2Fy217.31N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos Fx 0 .754
FR
cos F y 0 .656
FR
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99
49.01
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F2 y
三、力在空间坐标轴上的投影
力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算
直接投影法
z
Fx F cos
F
y
F
cos
F z F c o s
F
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
O
y
x
第一章 静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
•
•
v Fn
=
X niv
•
+ Yn
vj
+
v Znk
z
Fn O x
Fi
F1 y
F2
∑ X1 + X 2 +L+ X n = X
∑ Y1 + Y2 + L + Yn = Y
∑ Z1 + Z2 + L + Zn = Z
v FV
=
(∑
X
)iv
+ (∑Y )vj
+ (∑ Z )kv
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
合力解析表达式Fv形R式= (−153.6iv −170.5 vj )N
合力的大小和方向
∑ ∑ FR = ( X )2 + ( Y )2 = 229.5N
θ
=
arctan
∑Y ∑X
= 47.98°
y
θO x
FR
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 2、汇交力系合成的几何法
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
理论力学完整讲义
理论力学一 静力学(平衡问题)01力的投影与分力 02约束与约束力 03二力构件04平面汇交力系的简化 05力矩与力偶理论06平面一般力系的简化：主矢和主矩 07平面一般力系的平衡方程 08零杆的简易判断方法 09刚体系统的平衡问题 10考虑摩擦时的平衡问题01力的投影与分力 基本概念：刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。
平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。
集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：N 。
分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q 表示，单位N/m ，若均布荷载q 作用的桥梁的长度是L ，则均布荷载q 的合力就等于q ×L ，合力的作用点就在桥梁的中点位置。
力的投影和分力 1)在直角坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos y F F β=分力(矢量)cos x F F i α=u u r r cos y F F j β=u u r r2)在斜坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos()y F F ϕα=-分力(矢量)(cos sin cot )x F F F i ααϕ=-u u r rsin sin y F F j αβ=u u r r02约束与约束力约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。
约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点处。
约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。
(1)柔索约束：柔索约束：由绳索、皮带、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。
特点：只能承受拉力，不能承受压力。
约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。
(2)光滑面约束光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。
约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。
特点：只能受压不能受拉，约束力F 沿接触面公法线指向物体。
理论力学-第一章基本概念和物体受力分析
§1.2静力学公理三（力的可传性）
公理3 加减平衡力系公理 在已知力系上加上或减去任意平衡力系，并不 改变原力系对刚体的作用。
推理1 力的可传性原理 作用 在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体 内任意一点，而不改变该力对刚体的作用效果。
§1.3 约束和约束反力(定义)
引言： 物体受到的力一般可以分为两类： 一类是使物体运动或使物体有运动趋势 的力，称为主动力，如重力、水压力等，主 动力在工程上称为(工作)荷载； 另一类是对物体的运动或运动趋势起限制 作用的力，称为被动力。在工程上 一般称 为约束反力。 通常主动力是已知的，约束反力是未知的。
物体受力分析及受力图的概念
•受力分析：就是分析物体（即研究对象）受到的 全部主动力和约束反力 •分离体：就是解除所有约束后得到的物体，又称 为隔离体或脱离体。
•受力图：在分离体上画出其所受的全部主动力和约 束反力。
§1.4 物体的受力分析
例 画弯杆受力图
取 隔 离 体
F1
F2
FAy
F3
FAx
FRB
圆柱铰链的约束反 力在与销钉轴线垂 直的平面内并通过 销钉中心，但方向 未定。如图(a)示 固定铰支座约束的简图和约束反力
3.中间铰约束
中间铰
中间铰约束的简图和约束反力
4.可动铰支座
在固定铰支座的座体 与支承面之间加辊轴 就成为可动铰支座。 其约束反力必垂直于 支承面。
可动铰支座约束的简图和约束反力
• 【例1.3】如图（a）所示，梁AC与CD在C处铰接， 并支承在三个支座上，画出梁AC、CD及全梁AD的
【解】取梁CD为研究对象并画出分离体，如图（b）所示 取梁AC为研究对象并画出分离体， 如图（c）所示。 以整个梁为研究对象，画出分离体，如图（d）所示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力学受力分析之力的分解分析课件
力的分解可以通过力的平行四边 形法则或三角形法则来实现，这 些法则在解决实际工程问题中具
有广泛的应用。
力的分解有助于深入理解力的作 用效果和物体运动状态的变化， 是解决力学问题的重要手段之一。
力的正交分解
力的正交分解是将一个力按照正交坐 标系的方向进行分解，得到若干个分 力。
在正交分解时，应注意各个分力的正 负号，以便正确地表示力的方向和大 小。
感您的 看
THANKS
在建筑设计时，需要对建筑物的结构进行 受力分析，将外力分解为各个方向的力， 以确定建筑物的安全性和稳定性。
04
受力分析的方法
隔离法
总结词
将研究对象从其周围物体中隔离出来，分析它受到的力。
详细描述
隔离法是受力分析中最常用的方法之一。通过将研究对象从 其周围物体中隔离出来，可以单独分析研究对象的受力情况， 从而确定每个力的作用点和方向。这种方法有助于我们清晰 地理解物体的运动状态和受力关系。
合力和分力是替代关系，即它们 在分析中可以互相替代。
合力和分力不一定是实际存在的 力，它们可以是虚拟的力。
06
及解析
基础习题
基础习题1
一个物体受到两个力F₁和F₂的 作用，这两个力的大小分别为 3N和5N，求它们的合力大小。
答案
合力大小为8N。
基础习题2
一个物体受到三个力F₁、F₂和 F₃的作用，这三个力的大小分 别为2N、3N和4N，求这三个 力的合力大小。
详细描述
假设法是一种基于逻辑推理的受力分析方法。根据已知的运动状态，我们可以假设某些 力存在或不存在，然后通过牛顿第二定律等力学原理进行逻辑推理，验证假设的正确性。
这种方法在解决一些复杂的动力学问题时非常有效，可以帮助我们快速找到解题思路。
理论力学 第一张详述
合力(合力的大小与方向) FR F1 F2 亦可用力三角形求得合力矢
(矢量的和)
公理2 二力平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条 件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。
A
A A
A
A
FA
（a）
（b）
（c）
约束特点：在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装
有光滑辊轴而成。
约束力：构件受到垂直于光滑面的约束力，指向待定。
(2) 球铰链
约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球 心任意转动，但构件与球心不能有任何移动。
约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题。 约束力通过接触点，并指向球心，是一个不能预先确 定的空间力，可用三个正交分力表示。
Fx
Fy
当主动力尚未确定时，约束力的方向预先不能确定。 可用二个通过轴心的正交分力 Fx, Fy 表示。
（2）光滑圆柱铰链
约束特点：由两个各穿孔的 构件及圆柱销钉组成，如剪 刀。
约束力：光滑圆柱铰链亦为孔与轴的配合问题，与 轴承一样，可用两个正交分力表示。
Fcx F 'cx, Fcy F 'cy
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化 为刚体，其平衡状态保持不变。
柔性体（受拉力平衡） 反之不一定成受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
思考
只适用于刚体的公理有哪些？ 二力平衡条件和加减平衡力系公理
§1-2 约束和约束力
自由体：位移不受任何限制的物体。 非自由体：位移受到限制的物体。
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
vj
+
v Fz k
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 二、力系的主矢量
1、力系的主矢量定义
z F1
力系的各个力的矢量和。
Fn O
y
∑ v
FV
=
v F
=
v F1
+
v F2
+⋅⋅⋅+
v Fn
x
F2 Fi
力系的主矢是自由矢量（大小、方向）
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
2、FvFv2力1 ==系XX的21iviv主++矢YY21的vvjj ++计ZZ算12kkvv
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
⎟⎟⎠⎞
F4
O
F1
E x
F3
C
v F2
=
F ⎜⎜⎝⎛ −
z F1
Fn O
y
x
一个复杂的力系（任意F力2 系）两个特征量即主矢、主矩。
二.力系的简化
z
z
F1
Fn O
y＝
MO O
FR y
x
x
F2
一个复杂的力系（任意力系）化简为力—力偶系统。
理论力学 第一部分 总结
第三章 空间力系
小结
1.力在空间直角坐标轴上的投影 (1)直接投影法
Fx F cos F,i , Fy F cos F, j , Fz F cos F, k
(2)间接投影法(即二次投影法)
Fx F sin cos, Fy F sin sin , Fz F cos
2
第二章 平面力系
小结
1.平面汇交力系的合力
(1)几何法:根据力多边形法则，合力矢为 FR Fi
合力作用线通过汇交点。
(2)解析法:合力的解析表达式为
FR Fxii Fyi j
FR
2
Fxi
2
Fyi
cos FR,i
Fxi , cos FR
物体滚动时，滚动摩阻力偶矩近似等于M max 。
21
5.空间任意力系平衡方程的基本形式
Fx 0 Fy 0 Fz 0
MxF0 My F0 Mz F0
6.几种特殊力系的平衡方程 (1)空间汇交力系
Fx 0 Fy 0 Fz 0
(2)空间力偶系
MxF0 My F0 Mz F0
10
12.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力 的两种方法:
(1)节点法: 逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的 平衡方程求出各杆的内力。 (2)截面法: 截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的 一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被 截割各杆件的内力。
11
点O的主矩，即
n
n
MO MO Fi xi Fyi yi Fxi
i 1
i 1
7
理论力学 学习指南
1第1章 静力学基础 1.1 主要内容静力学研究作用在物体上力系的平衡。
具体研究以下三个问题。
1.物体的受力分析： 2.力系的等效替换： 3.力系的平衡条件及其作用。
1.1.1 力与力的投影力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体运动状态发生变化或使物体产生变形。
前者称为力的运动效应，后者称为力的变形效应。
力的作用效应由力的大小、方向和作用点决定，称为力的三要素。
力是定位矢量。
作用在刚体上的力可沿作用线移动，是滑动矢量。
刚体是在力作用下不变形的物体，它是实际物体的抽象化模型。
在静力学中把物体看成刚体，从而简化了平衡问题的研究。
等效 若两力系对物体的作用效应相同，称两力系等效。
静力学基本公理是力学的最基本、最普遍的客观规律。
概括了力的基本性质，是建立静力学理论的基础。
力的平行四边形法则给出了力系简化的一个基本方法，是力的合成法则,也是一个力分解成两个力的分解法则。
二力平衡公理是最简单的力系平衡条件。
加减平衡力系公理是研究力系等效变换的主要依据。
作用反作用定律概括了物体间相互作用的关系。
刚化公理给出了变形体可看作刚体的条件。
力在轴上的投影定义为力与该投影轴单位矢量的标量积，是代数量。
力在直角坐标轴上的投影有一次（直接）投影法和二次（间接）投影法。
应用力的投影概念，将力的合成由几何运算转换为代数运算。
1.1.2 力矩与力偶力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量,是代数量。
可按定义或下述解析式计算。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=-=x y z z x y y z x yF xF M xF zF M zF yF M )()()(F F F式中x 、y 、z 为力F 作用点的坐标，F x 、F y 、F z 为力矢在轴上的投影。
当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。
2力对点之矩是力使物体绕该点转动效果的度量，是定位矢量。
用矢积式表示=⨯=F r F M )(O zy xF F F z y xk j ik j i )()()(x y z x y z yF xF xF zF zF yF -+-+-=平面问题中力F 对O 点之矩记为()h F M O ⋅±=F是代数量。
理论力学 第1章 静力学基本概念和受力分析汇总
公理4
作用力和反作用力定律
两物体间的相互作用力即作用力与反作用力，总是大小相等、 方向相反、作用线重合，并分别作用在这两个物Байду номын сангаас上。
[例] 吊灯
公理5
刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成
刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处
于平衡状态的变形体， 可用刚体静力学的平
压力等。
二类是：被动力，即约束反力。
(3)在去掉约束的地方 根据约束性质逐一画出作用在脱离体 上的约束力。
[例1]用力 F 拉动压路的碾子。已知碾子重 P ，并受到固定
石块A的阻挡，如图所示。试画出碾子的受力图。
F P
NA
NB
三、画受力图应注意的问题
1、不要漏画力 除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受 力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触， 接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
[例2]画图示结构各构件及整体受力图。设接触处摩擦不计， 结构自重不计。
[例3]结构自重不计，试画结构整体及 各部件受力图。 （1）设轮C带销钉，此时杆AC、BC互 不接触，都与销钉（即轮C）接触， 杆AC、BC对销钉的作用力都作用在轮 C上。
[例4]重为W的均质圆柱体O由杆及墙支
撑如图，不计杆重及各处摩擦，试画 各物体的受力图。
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的
②对变形体来说，上面的条件只是必要条件(或多体中)
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
[证 ]
∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系，
∴ R , F3 也为平衡力系。 又∵ 二力平衡必等值、反向、共线， ∴ 三力 F1 , F2 , F3 必汇交，且共面。
力的投影ppt课件
Y
F2
60°
，
F1
，
F3
60°
F4
X F5
45°
32
试用几何法求以下4个力的合力
33
求出以下4个力的投影
34
例：已知各力均为200N，求其在坐标轴上的投影
F2 F3 60°
y
F1
60° x
F4
①F1x=F1.cos60
F1y=F1.sin60°
② F2x= F2.cos0° F2y= F2.sin0°
37
28
一、知识回顾
平面力系分类（4种）
几何法——求解合力
力的 投影
判断力是哪个象限
投影为代数量投影符号判断
角α代表什么
投影的性质
投影计算公式
29
力的投影的计算思路如下： 1.建立直角坐标系，确定力F所在象限和X轴 的夹角α（ 0°≤ α≤90°）
2.进行力的投影，判断正负号
3.运用计算公式
Fx=±Fcosα Fy=±Fsinα
F2x F2 cos 30o 150N 0.866 = 129.9N
F2y F2 sin 30o 150N0.5 = 75N
F3x F3 cos 90o 0 F3y F3 sin 90o 200N1.0 = 200N
F4x F4 cos 60o 200N 0.5 = 100N
1. 先判断力是第几象限，从而确定投影的正负号
2. 判断力，只看方向，不看位置
21
力在坐标轴上的投影
y
a′
A α
FX
FY
b′
FY
F B
o
a FX b x
注意：
已知F和 α，求投
理论力学课件(第一章)
刚体平衡条件是变形体平衡 的必要条件而非充分条件。
hห้องสมุดไป่ตู้
h
变形体平衡问题特例
分析：
FA FB F 2sin
A
B
C
FA A F FB B
h h L A LB , cos cos 1 1 FA FB c L A ch( ) cos cos
二力平衡公理（公理2 ）
作用在刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分 条件是：两个力的大小相等，方向相反，作用线沿同一 直线。
F1 F2
· 此公理揭示了最简单的力系平衡条件。·
加减平衡力系公理（公理3 ）
在已知力系上加或减去任意平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用。 · 此公理是研究力系等效的重要依据。 · 由此公理可导出下列推理：刚体上力的可传性
杆AB所受的力。
解：1. 选活塞杆为研究对象，受力分析如图。
E D
列平衡方程
B A l
F F
C
x
0, 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
y
F
y
l
解方程得杆AB，BC所受
的力
F FBA FBC 11.35 kN 2 sin
—— 能和一个力系等效的一个力。 —— 一个力等效于一个力系，则力系中的各
力称为这个力（合力）的分力。
§1-2 共点力系、刚体上力系的等效及平衡
汇交力系 是指各力的作用线汇交于一点的力系。 共点力系 ：（一种特殊的汇交力系）是指力系
中各力的作用线作用交于一点，且作用点相同。
F
理论力学第一章物体的受力分析
力偶定义
力偶的性质
两个大小相等、方向相反且不在同一直线 上的力组成的力系称为力偶。
力偶对刚体的转动效应与力矩相同，但力 偶不能与一个单独的力等效，因为它们在 平移时对刚体的作用效果会发生变化。
05
牛顿运动定律
牛顿第一定律
总结词
描述物体不受外力作用时的运动状态 。
详细描述
牛顿第一定律，也被称为惯性定律， 指出一个不受外力作用的物体将保持 静止状态或者匀速直线运动状态不变 。
感谢您的观看
THANKS
理论力学的重要性
理论力学是物理学专业学生的必修课程之一，是后续课程的基础。
理论力学在工程、航空、航天、机械等领域有广泛应用，是解决实际问题的关键工 具。
掌握理论力学的基本原理和方法，有助于提高学生的科学素养和解决实际问题的能 力。
02
物体的受力分析
力的概念
总结词：力的定义
详细描述：力是物体之间的相互作用，是改变物体运动状态的原因。在理论力学 中，力是一个有向线段，表示作用点、大小和方向。
04
力的合成与分解
力的合成
力的合成定义
根据力的平行四边形法则，将两 个或两个以上的力合成一个力的
过程。
力的合成方法
通过力的平行四边形，利用几何学 的方法求得合力的方向和大小。
共线力合成
当两力共线时，它们的合力方向与 两力方向相同或相反，合力的大小 为两力大小之和或差。
力的分解
力的分解定义
正交分解法
力的三要素
总结词
力的三要素
详细描述
力的三要素包括力的作用点、大小和方向。其中，力的作用点决定了力矩的大小和方向，而力的大小和方向则决 定了物体运动状态的变化。
理论力学
题型 空间汇交力系 空间平行力系 传动轴 六力矩式平衡方程
例3 空间支架由三根直杆组成，如图所示，已知W=1kN。α=30° β=60°，φ=45°，试求杆AB、BC、BD所受的力。 解 取B铰为研究对象。
∑ Fz = 0
FBD
∑ Fy = 0
FBD cos α W = 0 W W 2 = = = W = 1.155 kN cos α cos α 3 FBC sin β FBD sin α cos = 0
（2） R ≠0，主矩MO≠0，且 F′ ⊥M ′ FR O，得作用于O’点的一个合力 。 FR
其作用线离简化中心O的距离为： d =
MO FR
。
R R R
R
R
a)
b)
c)
3.空间力系简化为力螺旋的情形 空间力系简化为力螺旋的情形 力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。
R R R
60m m
例 2 如图所示，铅直力F=500N， 作用于曲柄上。试求此力对轴x、y、z 之矩及对原点O之矩。
30 0m m
30°
36 0m m
解：F对x、y、z之矩 分别为：
M x (F ) = F (300+ 60) = 500× 360 = 180×103 N mm = 180N m M y (F ) = F × 360cos30° = 500× 360× = 155.9 N m M z (F ) = 0
4、Mz(F)为零情况 、 为零情况 力的作用线与轴平行（Fxy=0）或相交（h=0）时，力对该轴的矩为零。 即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩为零。
5、力对轴之矩合力矩定理 、 定理： 定理：合力FR对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。 即：M z ( FR ) =
专升本理论力学部分
第一篇静力学本篇介绍力的一般性质、力系的平衡规律及合成法则。
重点是刚体、力、力矩、力偶、力系及其分类、等效、简化、平衡、约束、摩擦等有关概念、静力学公理、受力分析及力的投影、力矩、力系的主矢与主矩等的计算和力系的平衡及简化问题的解法。
难点是约束与约束反力、力系的等效、摩擦角与自锁等概念的建立以及物系（包括具有摩擦时）平衡问题的解法，在反复学习阅读练习中体会理解。
第一章静力学基本概念与公理本章是静力学最基本内容的论述，概念较多。
介绍了刚体、力、力矩、力偶和力系及其分类、等效、平衡等有关概念；静力学公理、力矩关系定理、力系等效定理、力偶性质、合力矩定理等规律；力的投影、力矩、力系的主矢与主矩等的计算；汇交力系与力偶系的合成。
这些都是静力学基本知识，也是整个理论力学的基础，需要认真理解和熟练掌握。
§1-1静力学基本概念本节介绍了静力学研究对象、主要内容、刚体、力和力系及其分类、等效、平衡等有关概念；是静力学基本知识，需要认真理解和熟练掌握。
一、静力学的研究对象：物体的平衡规律、力的一般性质及合成法则。
二、静力学的主要内容：力系简化；力系平衡。
三、力: 物体间的相互作用。
1. 力的效应：⑴力的外效应：力可使物体的运动状态发生变化。
⑵力的内效应：力可使物体的形状发生变化。
理论力学主要研究力的外效应。
力的内效应则由变形体力学如材料力学等来研究。
2.力的三要素：大小、方向、作用点（作用位置）。
力的三要素决定了力对物体的作用效应。
其中，力的大小反映了力的作用强度；力的方向由力的作用线方位和指向联合表示；力的作用点即作用位置，一般作用位置是物体的一部分面积或体积，当作用面积或体积很小时可抽象为点即力的作用点，这时力称为集中力，否则力称为分布力。
既然力有大小、方向，就可由矢量来表示。
3.力的矢量表示：⑴印刷物如书中：黑体英文大写字母表示，如F ；⑵手写如作业和练习中：白体英文大写字母并在其上加一箭头表示，如F ；不加箭头时表示大小，如F 。
试说明力的分力与力的投影的区别
思考题1.1 试说明力的分力与力的投影的区别？1.2 哪几条静力学公理只适应于刚体？1.3 常见约束有哪几种，约束反力有何特点？1.4 何谓荷载？怎样分类？1.5 杆件有哪几种基本变形形式？1.6 杆系结构可分为那几种类型？1.7 画受力图的步骤及要点？1.8 试说明下列式子的意义和区别。
（1）F1 = F2；（2）F1 = F2；（3）力F1等于F2。
1．9 二力平衡公理和作用力与反作用力定理中，都说是二力等值、反向、共线，其区别在哪里？1.10 判断下列说法是否正确，为什么？（1）刚体是指在外力作用下变形很小的物体；（2）凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆；（3）如果作用在刚体上的三个力共面且汇交于一点，则刚体一定平衡；（4）如果作用在刚体上的三个力共面，但不汇交于一点，则刚体不能平衡。
2.1 什么是力矩？什么是力偶？有何异同？举例说明。
2.2 力偶有哪几条性质？2.3 力偶的三要素是什么？2.4 怎样的力偶才是等效力偶？等效力偶是否两个力偶的的力和力臂都应该分别相等？2.5 图中轮子在力偶（F，F′）和力P的作用下处于平衡。
能否说力偶（F，F′）被力P所平衡？为什么？思题2.5图思题2.7图2.6 组成力偶的两个力在任一轴上的投影之和为什么必等于零？2.7 如图所示，在物体上作用两力偶（F1，F1′）和（F2，F2′），其力多边形闭合，此时物体是否平衡？为什么？3.1 何谓力的平移定理？3.2 平面汇交力系、平面力偶系、平面一般力系、平面平行力系的合成结果是什么？它们的平衡条件是什么？平衡方程是什么？3.3主矢与主矩同简化中心的关系如何？3.4物体系的平衡条件应该如何考虑？3.5在建立平衡方程组时，这样才能做到建列最多的独立方程？举例说明。
3.6平面一般力系的平衡方程的其它形式有哪几种？有何限制条件？3.7有三个单独物体组成的一物体系。
它最多能建列几个独立的平衡方程？3.8 分力与投影有什么不同？什么情况下它们相同？3.9 用几何法研究平面汇交力系的合成与平衡时，作图时作用力的顺序不同点对计算结果有否影响？3.10 如果平面汇交力系的各力在任意两个互不平行的坐标轴上投影的代数和等于零，该力系是否平衡？3.11平面一般力系向简化中心简化时，可能产生几种结果？3.12为什么说平面汇交力系、平面平行力系已包括在平面一般力系中？3．13不平行的平面力系，已知该力系在Y轴上投影的代数和等于零，且对平面内某一点之矩的代数和等于零。
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一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
F2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
F cos x 0.754 FR cos Fy FR 0.656
F1
60
O
45
30
45
x
F3
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
F4
40.99
第一章
49.01
静力学的基本公理与受力分析
例题
或
合力的大小：
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
计算图示力F对点O之 矩。F与水平线夹角 为，杆OA长r，与水 平线夹角为。
平面力系中的力矩
解：
M O ( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
静力学的基本公理与受力分析
一、平面力系中的力矩
力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心
h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心 逆时针转向时为正，反之为负。
Mo(F)=±Fh=±2AOAB
力矩为零的情况：当h=0即力的作用线通过矩心时 力矩单位 牛顿米（Nm） 千牛顿米（KNm）
平面基本力系
Fx 129.3 N
Fy 112.3 N
F2
FR Fx2 Fy2 171.3 N
y
合力的方向： Fy 112.3 tan 0.8685 Fx 129.3 FR Fy
40.97
o
F1
60
O
45
30
45
x
Fx
第一章 静力学的基本公理与受力分析
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
Fxy
x
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx cos( F , i ) F Fy cos( F , j ) F Fz cos( F , k ) F
投影是代数量
x
力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向 间夹角的余弦。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
Fx=F cos Fy=F cos=F sin
Fx和Fy是力F在x，y轴上的投影
力的解析式：
F Fx i Fy j
力的大小与方向为：
F Fx Fy
22Fx cFra biblioteks F第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面力系中的力矩
M O (Fx ) M O (Fy ) xFy - yFx
Fr(sincos - cossin ) Frsin ( - ) M O (F )
M O (F ) M O (Fx ) M O (Fy )
O
45
30
45
x
129.3 N
F3
Fy Fyi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F4
例题
合力的大小：
平面基本力系
FR Fx2 Fy2 171.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
已知：Fn，，r
平面力系中的力矩
r
O
求：力 Fn 块对轮心O的力矩。
解：（1）直接计算
F Fn
h
M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力定理计算
Fr
M O ( Fn ) M O ( Fr ) M O ( F ) M O (F ) Fn r cos
例题
平面基本力系
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， F2 y F = 300 N，F = 100 N，F = 250 N。
2 3 4
解：
根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
F1
60
Fx Fxi F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45
Fx i Fy j (Fxi i ) (Fyi j ) ( Fxi )i ( Fyi ) j
合力的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 Fy Fx cosα , cos FR FR
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F3
F4
三、力在空间坐标轴上的投影 力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算 直接投影法
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
z
O
F
y
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
§ 1 –4
力对物体可以产生
力 矩
移动效应--取决于力的大小、方向; 转动效应--取决于力矩的大小、方向.
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章
cos
Fy F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FR F1 F2 Fn F
FR Fx i Fy j , Fi Fxi i Fyi j (i 1, 2,n)