运筹学复习题

工作名称 正常时间 最短时间 直接费率 （百元／天）
A B C D E G
4 3 5 6 6 8
2 2 4 4 4 7
6 3 2 1 2 3
给出使工期仍为 18 天且增加赶工费最少的方案 （要求写出每步调整的工作， 调整的天数及最后方案的网络计划， 并在最后方案的网络计划中标出关键线路） 。
七、一复合系统的结构如下图示意，它由 4 个部件串联组成。第k个部件的 功能由该部件专用的元件E k 完成，为提高系统的可靠性，第k个部件可由x k 个相 同的元件 E k 并联构成，若每个元件的可靠度为 p k ，则第 k 个部件的可靠度为 rk = 1 − (1 − pk ) x 。
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
C 5
4
A
1
4 E6
G 8
6
3
B
3
H D 6
5
3
1．监理工程师在审查该图时发现工作 D 的紧前工作除 B 外还应有 A，请在 图中把这一关系正确表示出来，并指出该网络计划的关键线路（在图上用双线或 色笔标出）和（计算）工期； 2．当上述网络计划尚未实施时，建设单位提出需增加工作 M，它的紧前工 作为 A 和 B，紧后工作为 E 和 G，M 工作所需时间为 9 天。画出增加 M 后的网 络计划，并指出此时的关键线路（在图上用双线或色笔标出）和（计算）工期； 3．增加工作 M 后，如工期仍要求 18 天，施工单位经分析后，考虑有些工 作可以适当赶工，并估算出赶工 1 天所需增加的费用（直接费率） ，如下表所示 （表中未列出的工作不能赶工） ：
运筹学期末习题课
三、已知线性规划问题 max z = (c1 + t1 ) x1 + c 2 x 2 + c3 x3 + 0 x 4 + 0 x5 a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + x 4 = b1 + 3t 2 st. a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + x5 = b2 + t 2 x j ≥ 0 ( j = 1, ,5) 当 t1 ＝ t 2 ＝0 时，用单纯形法求得最终表如下： x1 x3 5/2 x1 5/2 cj − zj 0 1 0 x2 1/2 -1/2 -4 x3 1 0 0 x4 1/2 -1/6 -4 x5 0 1/3 -2
k
1 E1 E1
2 E2 E2
3 E3 E3
4 E4 E4
• • •
已知 4 种元件的可靠度及价格见下表：
• • •
• • •
• • •
元件 E1 E2 E3 E4
单价c k （元/个） 35 20 25 10
可靠度p k 0.95 0.90 0.85 0.80
要求设计中所用元件的总费用不超过 150 元，又因空间限制，第 3、4 个部件最 多由 3 个元件并联，应如何设计使整个串联系统的总可靠性最大？要求： 1．以x k (k=1,2,3,4)为变量，列出该问题的数学规划模型。 2．若用动态规划方法求解，选取状态变量s k 为安排至第k个部件前的总可用 费用，x k 为决策变量，写出以下表达式： （1）第 1 阶段状态集合 S1 ； （2）第 3 阶段状态为s 3 时的允许决策集合 D3 ( s3 ) ； （3）状态转移方程； （4）阶段指标 vk ( sk , xk ) ； （5）递推方程（逆序递推，含终端条件） 。 3．按动态规划方法计算第 3 阶段状态为 75 时的最优指标函数f 3（75）和最 优决策x* 3 (75)。 八、某投资者拟对A与B两种基金进行投资，投资期限 5 年。该投资的收益 有两部分： 一是长期的至第 5 年末的红利收入， 年利率分别为I A =0.06 和I B =0.04， 计复利且 5 年间利率不变（例如，第 1 年初投入A基金 1 元，5 年后红利收入 ；二是短期的每年利息收入，两种基金在不同年份的利率i Ak 和 i Bk (1+0.06)5 元） 见下表（例如，第 1 年初投入A基金 1 元，除 5 年后的红利收入外，一年后还有 0.02 元的利息收入） 。
0 x4 4
0 x5 -1
3
x2 cj − zj
2
0 0
1 0
2 -3
-1 -5
1 -1
试分析下列各种条件下最优解(基)的变化： (1)目标函数中变量x 3 的系数变为 6； (2)分别确定目标函数中变量x l 和x 2 的系数c 1 、c 2 在什么范围内变动时最优解 不变； 1 2 （3）约束条件右端项由 3 变为 3 ； 1 （4）增加一个新的变量 x6 , P6 = 1 , c6 = 7 ； 十六、 某服装厂设计了一款新式女装准备推向全国，如直接大批生产与销 售，主观估计成功与失败概率各为 0.5，其分别的获利为 1200 万元与-500 万元， 如果取消生产销售计划，则损失设计与准备费用 40 万元。为稳妥起见，可先小 批试销，试销的投入需 45 万元，根据历史资料与专家估计，试销成功与失败的 概率分别为 0.6 和 0.4，又据过去情况大批生产销售为成功的例子中，试销成功 的占 84%，大批生产销售失败的事例中试销成果的占 36%。试根据以上数据， 先计算在试销成功与失败两种情况下， 进行大批量生产与销售时成功与失败的各 自概率，再画出决策树按 EMV 准则确定最优决策。 十三、某航空公司在 A 市到 B 市的航线上用波音 737 客机执行飞行任务。 已知该机有效载客量为 138 人。按民用航空有关条例，旅客因有事或误机，机票 可免费改签一次，也有在飞机起飞前退票的。为避免由此发生的空座损失，该航 空公司决定每个航班超量售票（即每班售出票数为 138+S 张） 。但由此会发生持 票登机旅客多于座位数的情况，这种情况下，航空公司规定，对超员旅客愿改乘 本公司后续航班的，机票免费（即退回原机票款） ；若换乘其他航空公司航班的， 按机票价的 150%退款。据统计前一类旅客（改乘本公司）占超员中的 80%，后 一类（换乘他公司）占 20%。又据该公司长期统计，每个航班旅客退票和改签发 生的人数 i 的概率 p（i）如表 3 所示。
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 19923.08 VARIABLE X1 X2 X3 X4 ROW 2) VALUE 230.769226 100.000000 1238.461548 0.000000 SLACK OR SURPLUS 0.000000 REDUCED COST 0.000000 0.000000 0.000000 4.384615 DUAL PRICES 1.384615
根据以上计算结果，分析并回答以下问题： （1）最优生产方案和最大总利润是什么？按此方案生产，现有的原料是否 还有剩余？哪一种有剩余？余多少？ （2）如果市场上甲原料的价格为 4.5（百元/公斤） ，那么从市场上购得 1000 公斤的甲原料扩大生产是否合算（即总利润是否增加）？为什么？ （ 3） 若 D 产品的价格系数增大到 34 （百元/公斤） ， 原最优解会否发生变化？ 为什么？ （4）在原考虑的 A、B、C、D 四种型号产品基础上，如果又提出产品 E， 它对甲、乙、丙的消耗系数分别为 5、6、2，价格系数为 74（百元/公斤） ，那么 原最优方案是否要改变，为什么？ （5）若在本题已有已知条件基础上，还要考虑各产品的生产准备费用（视 为固定成本） ，其中 A 产品的生产准备费为 1000（百元） ，B 产品的生产准备费 为 800（百元） ，C 产品的生产准备费为 950（百元） ，D 产品的生产准备费为 750 （百元） ，而且由于某些原因，A、B、C 三种产品至多生产其中的两种。写出考 虑这些新增条件下（不考虑产品 E） ，使生产利润最大的生产计划模型（不解） 。 五、某化学制药厂有 m 种有害副产品，它们的数量为 bi(i=1,…,m)。按照 规定，必须经过处理，制成 n 种无害物后才能废弃。设 aij 为每制成一单位第 j （j=1,…n）种无害物可以处理掉第 i 种有害物的数量，cj 为制成一单位第 j 种 无害物的费用。 1．现欲求各无害物的产量 xj 以使总的处理费用为最小， 请写出此问题的 线性规划模型； 2．写出此问题的对偶规划模型，并解释对偶规划模型的经济意义。 六 给出线性规划问题 max z = 2 x1 + 3 x 2 + x3 1 1 1 3 x1 + 3 x 2 + 3 x3 ≤ 1 4 7 1 x1 + x 2 + x 2 ≤ 3 3 3 3 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3) 用单纯形法求解得最终单纯形表见下表。 2 3 1 CB 基 B x1 x2 x3 2 x1 1 1 0 -1
产品 原料 甲 乙 丙 单位产品价格 （百元/公斤） A 1 .5 4 2 45 B 2 1 3 35 C 4 2 1 40 D 3 1 2 30 原料成本 （百元/公斤） 4 5 2 原料限量 （公斤） 5500 3500 2000
1．为解决“在现有原料量限制下，如何安排A、B、C、D四种产品的产量， 使总利润（这里利润简化为销售收入与原料成本之差）最大”这一问题，可建立 一线性规划模型，令x 1 、x 2 、x 3 、x 4 依次表示各型号产品的计划产量，试列出这 个模型，并记该模型为模型 1； 2．利用一解线性规划的程序解上述问题（模型 1） ，得到的部分结果如下：
表3 i p(i) 0 0.18 1 0.25 2 0.25 3 0.16 4 0.06 5 0.04 6 0.03 7 0.02 8 0.01
试确定该航空公司从 A 市到 B 市的航班每班应多售出的机票张数 S，使预期的 收益最大。 九、 某汽车公司有两家汽车配件制造厂 A 和 B， 负责向两个服务配送中心 C 和 D 供应汽车配件。运送的道路网络及各路段的允许通过容量如下图所示。设 配件制造厂的供应数量无限制，求向 C、D 的供应量最大的运送方案和相应的最 大供应量（求解的主要过程可在图上标出） 。
1
40 30 5 10 60 40 6 40 80 50 7 70 D 20 C
60
A
20 50
2
B
70 40
3
4
30
十．一双代号网络计划如图，图中箭线下不带括弧的数值表示正常工作时间，括 弧内的数值表示最短工作时间，箭线上的数值表示直接费率（赶工单位时间增加 的费用） ，箭线上没有数字表示该工作不能赶工（即在现有条件下不能缩短工作 时间） 。设起始时间为 0，要求：
C4 4(3) A 4
4
E2 3(2) G7 3(2)
1
2
6
7
D9 3(2) B8 8(6)
5
F3 4(2) H9 4(3)
3
(1) 对上述网络计划进行审查时，发现少了一项工作 M，它的紧前工作为 A， 紧后工作为 G，M 工作所需时间为 5 天，且不能赶工。画出增加 M 后的网络计 划（可在原图上添加） ； (2) 在图上标出（增加 M 后）正常工作时间下的关键线路（用双线或其它色 笔）并写出以下时间参数 ①工作D的最早完成时间EF 2-5 = ②工作H的最迟开始时间LS 3-7 = ③工作E的自由时差FF 4-6 = ④工作A的总时差TF 1-2 = ⑤此时的计算工期= (3) 如果要求工期比原计划提前 2 天，并要求以尽可能小的总费用实现该工 期，哪些工作应赶工，赶工几天？ 调整后该网络计划有几条关键线路（要求具 体说明调整的过程和调整后各条关键线路） 十二、某施工单位提交的一项目的网络计划如下图所示，箭线下面的数字为 该工作（工序）的正常工作时间（天） ，要求工期 18 天。
3) 4)
0.000000 0.000000
1.230769 4.000000
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED ROW 2 3 4 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE RHS INCREASE 5500.000000 1499.999878 3500.000000 500.000000 2000.000000 6192.307617 ALLOWABLE DECREASE 4025.000000 749.999939 250.000000
要求：1. 确定 c1 , c 2 , c3 , b1 , b2 , a11 , a12 , a13 , a 21 , a 22 , a 23 的值； 2. 当 t 2 ＝0 时， t1 在什么范围内变化上述最优解不变； 3. 当 t1 ＝0 时， t 2 在什么范围内变化上述最优基不变。 四、某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产 A、B、C、D 四种型号的产品， 每一单位产品对各原料的消耗系数、价格系数及原料成本等已知条件如下表：