勾股定理(手拉手模型)(人教版)

人教版八年级下册期中备考提升训练

勾股定理

➢知识点睛

旋

转

结

构

（

手

拉

手

：等线段共端点，考虑旋转，借助全等整合条件．常见手拉手模型举例

如图，△ABC，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE 等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE，即把

△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE．

➢精讲精练

1.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，△ACB

的顶点A在△ECD 的斜边D E 上．若A E=8，AD=15，则A B= ，AC= ．

2.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 在BC 边上，连接AD，过

点A 作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，AF 平分∠DAE 交BC 于F，连接BE．若D F=10，BE=6，则A B 的长为．

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17 3. 如图，已知 CA =CB ，CF =CE ，∠ACB =∠FCE =90°，且 A ，F ，E 三点共线，

AE 与 CB 交于点 D ．

（1） 求证：AF 2+AE 2=AB 2；

（2） 若 A C = ，BE =3，则 C E = ．

4. 如图，E 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边

作一个正方形 AEFG ，线段 GB 与线段 ED ，AD 分别交于点 H ，M ．

（1） 求证：ED =GB ；

（2） 判断 ED 与 GB 的位置关系，并说明理由；

（3） 若 AB =2，AE = ，则 G B =

．

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2

5.（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA，OB，OC，且OA=3，OB=4，OC=5，

将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．

①旋转角是度；

②线段O D 的长为；

③求∠BDC 的度数．

（2）如图2 所示，O 是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB=135°，OA=1，OB=2，求OC 的长．

小明同学借用了图1 的方法，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．

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6.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 为直线BC 上的动点（不与

点B，C 重合），连接AD，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．

（1）如图1，当点D在线段B C 上时，请直接写出线段D B，DC，DE 之间的数量关系：．

（2）如图2，当点D 在BC 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点D 在CB 延长线上时，若∠DAB=30°，BD=2，请直接写出AB 的长．

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7.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB 于点D，点E 是直线

AC 上一动点，连接DE，过点D 作FD⊥ED，交直线BC 于点F．

（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，

①求证：△CDE≌△BDF；

②直接写出B F2，CF2，DF2 之间的数量关系：．

（2）如图2，当点E 在线段AC 的延长线上时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）

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8.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD 中，

AB=6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合，三角板的一边交AB 于点P，另一边交BC 的延长线于点Q．

（1）求证：DP=DQ；

（2）如图2，小明在图1 的基础上作∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E，连接PE，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明．（3）如图3，固定三角板直角顶点在D 点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB 的延长线于点P，另一边交BC 的延长线于点Q，仍作∠PDQ 的平分线DE 交BC 延长线于点E，连接PE，若AB:AP=3:4，请帮小明算出

△DEP 的面积（直接写出答案即可）．

6 参考答案：