考研概率论复习
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理概率论是考研数学中的一大重点，掌握好概率论的基本公式和解题思路对于备考考研数学非常重要。
本文将对考研数学概率论的备考重点公式和解题思路进行整理，帮助考生更好地备考概率论。
一、基本概率公式1.1 事件的概率公式对于一个随机试验，其所有样本点组成的样本空间为S，一个事件A是样本空间S的一个子集。
那么，事件A发生的概率P(A)定义为： P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A包含的样本点的个数，n(S)表示样本空间S 中所有样本点的个数。
1.2 事件的互斥与独立若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是互斥的：- 事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B = ∅- 事件A和事件B的概率相加等于1，即P(A∪B) = P(A) + P(B)若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是独立的：- 事件A和事件B发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)二、常用的概率公式2.1 全概率公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到全概率公式：P(B) = P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) * P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
2.2 贝叶斯公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai) * P(B|Ai) / (P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) *P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An))其中，P(Ai|B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率。
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
考研数学概率论复习重要知识点
考研数学概率论复习重要知识点一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小，用于量化不确定性。
而随机事件是指在一次试验中，不能事先确定出现的结果。
概率的数学定义：对于任意事件A，P(A)表示事件A发生的可能性大小，0 ≤P(A)≤ 1。
同时，P(Ω) = 1，其中Ω是样本空间。
二、加法公式概率公式若A1和A2是两个互不相容的事件，则有：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$容斥原理当两个事件不互不相容时，可以用容斥原理求出其概率：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \\cap A_2)$其中，$P(A_1 \\cap A_2)$ 表示事件A1和A2同时发生的概率。
三、条件概率条件概率是指已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的公式：$P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$其中，$P(A \\cap B)$ 表示事件A和B同时发生的概率。
四、乘法公式用乘法公式计算两个事件的概率，即：$P(A \\cap B) = P(A|B)P(B)$五、独立事件若事件A和事件B满足以下条件，则称它们是独立的：$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$六、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果在样本空间Ω中，有一个有限或无限个互不相交的事件序列B1,B2,…,B n，且对Ω的任意一个子集A有：$A = (A \\cap B_1) \\cup (A \\cap B_2) \\cup \\cdots \\cup (A \\cap B_n)$则称事件序列B1,B2,…,B n是一组划分，其全概率公式为：$P(A) = P(A \\cap B_1) + P(A \\cap B_2) + \\cdots + P(A \\cap B_n)$贝叶斯公式如果事件B1,B2,…,B n是一组划分，并对每个$i=1,2,\\cdots,n$，有P(B i)>0，则贝叶斯公式为：$P(B_i|A) = \\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$其中，P(B i|A)表示在事件A发生的条件下，事件B i发生的概率。
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理1500字概率论作为考研数学中的一部分，是考生备考的重点之一。
下面将对概率论的各章节知识点进行梳理，帮助考生进行复习备考。
1. 随机事件与概率概率论的基本概念是随机事件和概率。
随机事件是随机现象的结果，概率是事件发生的可能性大小。
在这一章节中，主要涉及到随机事件的定义、事件的性质、事件间的关系等内容。
2. 随机变量及其分布随机变量是随机现象的数值描述，它分为离散随机变量和连续随机变量。
这一章节主要涉及随机变量的定义、分布函数、概率密度函数等内容。
同时还包括常见的离散随机变量和连续随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
3. 随机事件的数学描述随机事件可以用随机变量的取值区间来表示，也可以用事件的概率来描述。
这一章节主要包括随机事件的和、差、积等概念，以及离散随机变量和连续随机变量的概率函数之间的关系。
4. 多维随机变量及其分布多维随机变量是指由多个随机变量组成的向量。
这一章节主要包括多维随机变量的定义、联合分布、边缘分布等内容。
同时还包括多维随机变量的独立性、相关性等概念。
5. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、协方差等。
这一章节主要涉及到随机变量的数学期望、方差和协方差的定义、性质以及计算方法。
6. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数的增加，随机事件的频率趋向于事件的概率。
中心极限定理是指当随机事件的样本量足够大时，其均值的分布接近于正态分布。
这一章节主要涉及到大数定律和中心极限定理的数学表达和推导。
7. 参数估计与假设检验参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，假设检验是根据样本数据对总体参数是否符合某个假设进行检验。
这一章节主要包括点估计、区间估计和假设检验的概念、方法和步骤。
8. 有序与无序排列的计数问题有序排列是指考虑元素的排列顺序，无序排列是指不考虑元素的排列顺序。
这一章节主要涉及到有序与无序排列的计数问题，如排列、组合、多重集合等。
数学考研复习资料概率论重点公式整理
数学考研复习资料概率论重点公式整理概率论是数学考研中的重要考点之一，掌握概率论的基本概念和公式对于考生来说至关重要。
在本文中，将对数学考研概率论部分的重点公式进行整理，以便考生能够更好地复习和应对考试。
请注意，以下公式仅供参考，考生在复习过程中应结合教材和习题进行深入理解和练习。
一、基本概念在进一步讨论公式之前，首先了解一些概率论中的基本概念是必要的。
1. 事件与样本空间事件是指随机试验中可以观察到的结果，样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合。
2. 概率的定义概率是对一个事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的实数表示。
3. 事件的互斥与独立互斥事件是指两个事件不能同时发生，独立事件是指两个事件的发生与否互不影响。
二、概率公式了解了基本概念后，我们来看一些重要的概率公式。
1. 加法定理加法定理用于计算两个事件的并的概率。
如果事件A和事件B是两个事件，那么它们的并的概率可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)2. 乘法定理乘法定理用于计算两个事件的交的概率。
如果事件A和事件B是两个事件，那么它们的交的概率可以表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件的概率。
如果事件A可以被划分为有限个互斥事件B₁、B₂、...，那么事件A的概率可以表示为：P(A) =P(A∩B₁) + P(A∩B₂) + ...4. 贝叶斯定理贝叶斯定理用于计算已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
如果事件A和事件B是两个事件，那么在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A|B) = (P(B|A)×P(A)) / P(B)三、重要概率分布公式除了上述基本的概率公式外，还需要掌握一些重要的概率分布公式，以便解决具体的问题。
1. 二项分布二项分布用于描述重复进行n次伯努利试验，且每次试验的结果只有两种可能的情况下，成功的次数的概率分布。
考研数学概率论重要考点总结
考研数学概率论重要考点总结概率论是考研数学中的重要考点之一。
下面是概率论中的一些重要考点总结。
一、概率基本概念1. 随机试验与样本空间2. 事件与事件的关系3. 概率的定义、性质和运算法则4. 条件概率及其性质二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念及其分类2. 离散型随机变量与连续型随机变量3. 随机变量的分布函数和密度函数4. 两个随机变量的独立性5. 随机变量的函数及其分布三、数学期望与方差1. 数学期望的概念及其性质2. 数学期望的计算3. 方差的概念及其性质4. 方差的计算5. 协方差和相关系数四、大数定律与中心极限定理1. 大数定律的概念及其性质2. 切比雪夫不等式3. 中心极限定理的概念及其性质4. 泊松定理5. 极限定理的应用五、随机变量的常见分布1. 二项分布、泊松分布2. 均匀分布、指数分布3. 正态分布4. 伽马分布、贝塔分布5. t分布、F分布、卡方分布六、矩母函数与特征函数1. 矩母函数的概念及性质2. 矩母函数的计算3. 特征函数的概念及性质4. 特征函数的计算5. 中心极限定理的特征函数证明七、样本与抽样分布1. 随机样本的概念及其性质2. 样本统计量的概念及其性质3. 样本均值和样本方差4. 正态总体抽样分布5. t分布，x^2分布，F分布的定义及其应用八、参数估计与假设检验1. 点估计的概念及性质2. 极大似然估计3. 置信区间的概念及计算4. 参数假设检验的概念及流程5. 正态总体均值的假设检验九、回归与方差分析1. 回归分析的概念及方法2. 多元回归模型、回归模型的检验3. 方差分析的概念及方法4. 单因素方差分析、双因素方差分析以上是概率论中的一些重要考点总结。
在备考过程中，需要对这些知识点有一定的掌握，并进行大量的练习和习题训练，只有充分理解和掌握这些知识，并能运用到实际问题中，才能在考试中取得好成绩。
考研数学概率论复习必备知识点
第一章随机事件和概率重点内容是：事件的关系：包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立;事件的运算：并，交，差;运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律;概率的基本性质及五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;利用独立性进行概率计算，伯努力试验计算。
近几年单独考查本章的考题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核。
第二章随机变量及其分布本章的主要内容是：随机变量及其分布函数的概念和性质，分布律和概率密度，随机变量的函数的分布，一些常见的分布：0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用。
而重点要求会计算与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，以及随机变量简单函数的概率分布。
近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。
第三章二维随机变量及其分布本章是概率论重点部分之一，尤其是二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。
第四章随机变量的数字特征本章内容是：随机变量的数字特征：数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数，常见分布的数字特征。
而重点是利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。
第五章大数定律和中心极限定理本章内容包括三个大数定律：切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律，以及两个中心极限定理：棣莫弗——拉普拉斯定理、列维——林德伯格定理。
本章的内容不是重点，也不经常考，只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了。
常见题型有1.估计概率的值2.与中心极限定理相关的命题第六章数理统计的基本概念数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩。
重点是正态总体的抽样分布，包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布。
考研数学概率论重点公式速记
考研数学概率论重点公式速记概率论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
对于考研数学概率论的学习来说，熟悉并掌握相关的重点公式是非常必要的。
本文将为大家提供一些概率论中的重点公式，帮助大家更好地进行复习和备考。
一、基本概念1. 概率的加法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 概率的乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)，其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
3. 全概率公式：若{B1, B2, ..., Bn}为样本空间的一个划分，即满足Bi与Bj互不相容且它们的并集为样本空间，同时假设P(Bi) > 0，那么对于任意一个事件A，有：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bn) = P(B1)P(A|B1) +P(B2)P(A|B2) + ... + P(Bn)P(A|Bn)二、常用概率分布1. 二项分布：设试验成功的概率为p，则n次试验中成功次数的概率为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)为组合数，表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
2. 泊松分布：设单位时间（或单位面积）内某事件发生的次数的平均值为λ，则单位时间（或单位面积）内某事件发生k次的概率为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中e为自然对数的底数（约等于2.71828）。
3. 正态分布：对于服从正态分布N(μ,σ^2)的随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))三、常用性质1. 期望：对于离散随机变量X，其期望值E(X)为：E(X) = Σ(x * P(X=x))对于连续随机变量X，其期望值E(X)为：E(X) = ∫(x * f(x)) dx，其中f(x)为概率密度函数。
如何高效备考考研数学概率论
如何高效备考考研数学概率论备考考研数学概率论需要掌握一定的基础知识，并通过适当的学习方法和技巧来提高备考效率。
下面是一些高效备考考研数学概率论的方法和建议。
1.确定备考目标：在备考之前，要明确自己的备考目标和计划，包括想要达到的分数目标、备考时间表以及备考方法。
这样可以使备考更加有针对性和有条理。
2.温习基础知识：数学概率论是建立在一定的数学基础知识之上的，所以在备考之前要确保对相关基础知识有一定的了解。
可以通过复习相关教材、课堂笔记等方式来温习基础知识。
3.制定学习计划：制定详细的学习计划是高效备考的基础。
可以将备考时间分配为不同的模块，每个模块都配有具体的学习内容和时间。
同时，要合理安排时间，避免过度劳累和学习压力过大。
4.多练习题：数学概率论更加注重实际应用，所以带有一定实例的练习题对于备考至关重要。
可以通过做历年真题、模拟题或参考资料中的练习题来提高对知识点的理解和应用能力。
5.多做综合题：数学概率论的题型种类繁多，综合题在考试中占有一定的比例。
因此在备考过程中，要多做一些综合题，提高解题能力和应变能力。
6.分清重点：在备考数学概率论的过程中，要分清重点和难点知识点，对重点知识点进行深入学习和掌握。
可以通过查阅相关教材和资料来了解考点的权重和难度，从而合理安排备考时间。
7.注重总结归纳：备考过程中，要善于总结、归纳和整理所学知识点。
可以通过做笔记、制作思维导图、总结考点等方式来帮助记忆和复习。
8.与他人讨论：备考过程中，可以与同学、老师或备考群友一起讨论习题和解题方法。
通过与他人的交流和讨论，可以互相借鉴和补充知识点，提高对知识的理解和掌握。
9.保持积极心态：备考考研是一项艰辛的任务，要保持积极的学习态度和心态。
在备考过程中，可能会遇到挫折和困难，但要坚持下去，并相信自己的能力和努力，相信自己一定能够取得好成绩。
总之，备考考研数学概率论需要充分利用时间，通过合理的学习方法和技巧来提高备考效率。
考研数学概率论重点整理
考研数学概率论重点整理概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的规律性。
考研数学中的概率论是一个重要的考点，在准备考试时需要重点整理和复习。
本文将从概率的基本概念、常见的概率分布以及概率计算方法等方面进行重点整理，帮助考生更好地复习概率论知识。
一、概率的基本概念1.随机试验和样本空间随机试验是指在相同的条件下可以重复进行的实验，其结果不确定。
样本空间是随机试验的所有可能结果构成的集合。
2.随机事件和事件的概率随机事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的某种结果。
事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
3.频率与概率的关系频率是指随机事件在大量重复试验中出现的次数与总试验次数的比值。
当试验次数趋于无穷时，频率趋近于概率。
二、常见的概率分布1.离散型随机变量离散型随机变量是只取有限或可列无限个数值的随机变量，其概率分布可以用概率函数或概率分布列表示。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
2.连续型随机变量连续型随机变量是取值范围为一段连续区间的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数表示。
常见的连续型随机变量包括正态分布、指数分布等。
三、概率计算方法1.加法定理与乘法定理加法定理适用于求两个事件的并、或概率。
乘法定理适用于求两个事件的交概率。
2.条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理是由条件概率推导出来的计算公式，用于计算两个事件之间的概率关系。
3.独立性和互斥性独立事件是指两个事件之间相互不影响的事件，其概率计算有简化的特点。
互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件。
四、重点题型解析1.题型一：概率计算题概率计算题是考试中的常见题型，主要涉及到加法定理、乘法定理、条件概率等知识点的应用。
解答此类题目时，需要准确理解题目要求，运用相应的概率计算方法进行计算。
2.题型二：随机变量的分布函数与密度函数求解此类题目主要考察对于离散型随机变量和连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的求解能力。
考研概率论复习-大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理一．车贝雪夫不等式若随机变量X 的数学期望EX 和方差DX 存在,则对于任意给定的0>ε,必有 2)(εεDX EX X P ≤≥- 或21)(εεDXEX X P -><-二．大数定律1. 辛钦大数定律设 ,,,,21n X X X 为一列互相独立的随机变量,服从相同的分布，μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ,则对于任意正数ε，有1}|1{|lim 1=<-∑=∞→εμni i n X n P 2. 贝努利大数定律设n u 是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中出现的概率,则对于任意给定的0>ε,必有1}|{|lim =<-∞→εp nu P n n 三．中心极限定理1. Levy-Lindeberg 中心极限定理：设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量序列，若μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ，则当n 充分大时，∑=ni i X 1近似服从正态分布),(2σμn n N ， 即lim )n i n X n P x μ→∞-≤=∑du e xu ⎰∞--2221π。
2. 德莫佛尔-拉普拉斯极限定理：在贝努利试验中，若事件A 发生的概率为p 又设X 为n 次独立重复试验中事件A 发生的频数，则当n 充分大时，X 近似服从正态分布),(npq np N 。
例1：某保险公司有10000个同一年龄的人参加人寿保险,在一年里这些人的死亡率为1‰,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡时,家属可以从保险公司领取元2000抚恤金求(1) 险公司一年中获利不小于40000元的概率。
(2) 保险公司亏本的概率。
(9993.0)163.3(,1)3271.6(=Φ=Φ,9993.0)164.3(,1)654.12(=Φ=Φ)解：一年中死亡的人数为X ,则X ～)001.0,10000(B(1) 保险公司一年中获利不小于40000元的概率}30{≤=X P }3271.6999.0001.01000010{≤⨯⨯-=X P)3271.6(Φ=1=。
2024考研数学概率论重要考点总结
2024考研数学概率论重要考点总结概率论是数学的一个分支，研究随机现象的规律性和统计属性。
在2024年的考研数学中，概率论是一个重要的考点。
下面将总结一些2024考研数学概率论的重要考点。
1. 概率基本概念：- 随机试验和随机事件：随机试验是在相同条件下重复进行的试验，随机事件是随机试验可能出现的结果。
- 样本空间和事件：样本空间是随机试验所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集。
- 概率和概率公理：概率是事件发生的可能性大小的度量，满足非负性、规范性和可列可加性的概率公理。
- 概率的性质：互斥事件的概率、必然事件和不可能事件的概率。
2. 条件概率和乘法公式：- 条件概率：条件概率是在已知某些信息的条件下，某个事件发生的概率。
- 独立事件：两个事件A和B相互独立，就是指事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响。
- 乘法公式：乘法公式是计算多个事件同时发生的概率的方法。
3. 全概率公式和贝叶斯公式：- 全概率公式：全概率公式是用来计算一个事件发生的概率的方法，通过将事件拆分为一系列互斥事件的并集来计算。
- 贝叶斯公式：贝叶斯公式是由全概率公式推导而来的，它可以根据已知的条件概率来计算逆条件概率。
4. 随机变量和概率分布：- 随机变量：随机变量是描述随机试验结果的数值函数。
- 离散随机变量和连续随机变量：离散随机变量的取值是有限的或可列的，连续随机变量的取值是无限的。
- 概率质量函数和概率密度函数：概率质量函数是描述离散随机变量概率分布的函数，概率密度函数是描述连续随机变量概率分布的函数。
- 期望和方差：期望是描述随机变量平均取值的指标，方差是描述随机变量取值的离散程度的指标。
5. 常见概率分布：- 二项分布：描述n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
- 泊松分布：描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
- 正态分布：具有钟形曲线的概率分布，应用广泛。
6. 大数定律和中心极限定理：- 大数定律：大数定律指出，随着随机试验次数的增加，其结果的平均值趋近于数学期望。
2025年考研概率论知识点重点解析
2025年考研概率论知识点重点解析考研数学中的概率论是许多考生感到棘手的一部分，但只要掌握了重点知识点，就能事半功倍。
以下为大家详细解析 2025 年考研概率论的重点知识。
一、随机事件与概率这部分是概率论的基础。
首先要理解随机事件的概念，包括必然事件、不可能事件和随机事件。
对于概率的定义，要熟悉古典概型和几何概型的计算方法。
条件概率和事件的独立性也是常考的内容。
在计算概率时，要善于运用排列组合的知识。
例如，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数为 A(n,m)，组合数为 C(n,m)。
同时，要注意区分互斥事件和独立事件。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，其概率加法公式为 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)（A、B 互斥）；独立事件指的是一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率，其乘法公式为P(AB) ＝ P(A)P(B)。
二、随机变量及其分布随机变量是概率论中的重要概念。
离散型随机变量要掌握其概率分布列，常见的离散型随机变量有 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。
连续型随机变量则要理解其概率密度函数，以及分布函数的性质和计算。
对于正态分布，它在概率论中具有极其重要的地位。
要记住正态分布的概率密度函数表达式，以及其期望和方差。
正态分布的标准化也是常考的知识点，通过标准化可以将一般的正态分布转化为标准正态分布，从而方便计算概率。
三、多维随机变量及其分布在二维随机变量中，要掌握联合分布函数、联合概率密度函数的性质和计算。
边缘分布和条件分布也是重点，要能通过联合分布求出边缘分布，以及在已知边缘分布和条件分布的情况下求出联合分布。
另外，相互独立的二维随机变量的性质也需要牢记。
对于两个独立的随机变量，其联合概率密度等于边缘概率密度的乘积。
四、随机变量的数字特征期望和方差是最基本的数字特征。
期望反映了随机变量取值的平均水平，方差则反映了随机变量取值的离散程度。
要掌握离散型和连续型随机变量期望和方差的计算方法，以及常见分布的期望和方差。
江西省考研数学概率论复习
江西省考研数学概率论复习概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象的规律和特性。
江西省考研中，概率论作为一门必考的数学基础课程，对考生来说是一个重要的考点。
为了帮助考生更好地复习概率论，本文将从几个方面介绍江西省考研数学概率论的复习内容和注意事项。
一、基本概念和定义1.1 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，用P(A)表示事件A发生的概率。
在复习中，要掌握概率的性质和计算方法，包括基本概率公式、条件概率、乘法定理等。
1.2 随机变量与概率分布随机变量是描述随机现象结果的变量，可以是离散型或连续型。
在复习中，要熟悉随机变量的定义和性质，以及常见的离散型和连续型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
二、事件的概率计算2.1 排列与组合排列和组合是概率计算中常用的方法，要掌握排列组合的定义和计算公式，以及在概率计算中的应用。
2.2 基本事件与复合事件的概率计算基本事件是最简单的事件，复合事件则是由基本事件组成。
在复习中，要学会计算基本事件和复合事件的概率，掌握事件的互斥性和独立性的概念，以及如何计算互斥事件和独立事件的概率。
三、随机变量的概率计算3.1 离散型随机变量的概率计算离散型随机变量具有可数的取值，概率可以通过概率分布函数或概率质量函数来描述。
在复习中，要掌握离散型随机变量的概率计算方法，如求期望、方差等。
3.2 连续型随机变量的概率计算连续型随机变量的取值是连续的，概率可以通过概率密度函数来描述。
在复习中，要熟悉连续型随机变量的概率计算方法，如求概率密度函数、求期望、方差等。
四、常用概率分布4.1 二项分布二项分布描述了n重伯努利试验中成功次数的概率分布。
在复习中，要了解二项分布的性质和计算方法，如二项分布的概率质量函数、期望和方差的计算公式等。
4.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
在复习中，要了解泊松分布的性质和计算方法，掌握泊松分布的概率质量函数、期望和方差的计算公式。
2024考研数学概率论重要考点总结
2024考研数学概率论重要考点总结2024考研数学考试中的概率论部分是一个非常重要的考点，对于考生来说，掌握好概率论的相关知识点是非常关键的。
下面是2024考研数学概率论重要考点的总结，希望能够帮助到考生。
一、概率基本概念：1. 随机试验、样本空间、随机事件；2. 古典概型、几何概型、随机变量概型；3. 定义域、值域、事件域；4. 频率与概率的关系。
二、概率公理与概率的性质：1. 概率公理；2. 概率的性质（非负性、规范性、可列可加性）；3. 条件概率、乘法公式；4. 全概率公式、贝叶斯公式。
三、随机变量的概念：1. 随机变量的定义；2. 离散型随机变量与连续型随机变量；3. 离散型随机变量的概率分布律、累积分布函数；4. 连续型随机变量的概率密度函数、累积分布函数；5. 随机变量的数学期望、方差、标准差。
四、常见概率分布：1. 二项分布；2. 泊松分布；3. 均匀分布；4. 正态分布。
五、多维随机变量与联合分布：1. 二维随机变量的联合分布律、联合分布函数；2. 边缘分布；3. 条件分布。
六、独立性与随机变量的函数的分布：1. 独立性的概念；2. 独立随机变量的数学期望、方差；3. 独立连续型随机变量的函数的分布；4. 独立离散型随机变量的函数的分布。
七、大数定律与中心极限定理：1. 大数定律的概念与几种形式；2. 切比雪夫不等式；3. 中心极限定理的概念；4. 利用中心极限定理进行概率近似计算。
八、随机过程：1. 随机过程的概念；2. 马尔可夫性；3. 随机过程的平稳性。
九、统计量与抽样分布：1. 统计量的概念；2. 抽样分布与大样本正态分布近似；3. 正态总体均值与方差的推断。
以上就是2024考研数学概率论部分的重要考点总结，希望对考生有所帮助。
考生要多进行习题的练习和考点的整理与总结，提高自己的概率论水平，为考试做好准备。
祝考生取得好成绩！。
2024年考研数学概率论重要考点总结范文
2024年考研数学概率论重要考点总结范文概率论是数学的一个分支，研究随机现象的定量描述和分析。
概率论在现代科学、工程和金融等领域有着广泛的应用。
对于考研的数学专业学生来说，概率论是一个重要的考点。
下面将对____年考研数学概率论的重要考点进行总结，以供考生复习参考。
一、基本概念与基本原理1. 随机试验、样本空间、事件.2. 基本运算法则：事件的包含关系、和、积、余事件.3. 概率的公理化定义.4. 完全事件组与加法定理.5. 条件概率与乘法定理.6. 全概率公式与贝叶斯公式.二、随机变量及其分布1. 随机变量的概念与分类.2. 离散随机变量与概率分布、分布函数.3. 连续随机变量与概率密度函数、分布函数.4. 随机变量的函数的分布.5. 两个随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布.6. 随机变量的独立性.三、数字特征1. 数学期望及其性质.2. 方差与标准差.3. 协方差与相关系数.4. 切比雪夫不等式.5. 大数定律与中心极限定理.6. 矩母函数及其性质.四、随机过程1. 随机过程的概念与分类.2. 马尔可夫性质与马尔可夫链.3. 随机过程的极限定理.4. 平稳随机过程.5. 线性时不变系统与随机过程.五、统计推断1. 统计参数与估计.2. 点估计与区间估计.3. 抽样分布及其性质.4. 大样本估计.5. 假设检验及其原理.6. 方差分析与回归分析.以上是____年考研数学概率论的重要考点的总结，希望对考生们的复习有所帮助。
在复习过程中，除了掌握上述的知识点，还要通过大量的习题进行巩固和理解，提高解题能力。
此外，注意理论与实际应用的结合，了解概率论在各个领域的具体应用情况，有助于深入理解概率论的概念和原理。
最后，祝愿所有考生能够在考试中取得好成绩！。
2025考研概率论重点知识总结
2025考研概率论重点知识总结概率论是考研数学中的重要组成部分，对于考生来说，掌握好概率论的重点知识至关重要。
以下是对 2025 考研概率论重点知识的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件及其运算随机事件的定义：在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
事件的关系：包含、相等、互斥、对立。
事件的运算：并、交、差。
2、概率的定义与性质概率的古典定义：若某试验的样本空间中样本点总数为 n，事件 A 包含的样本点个数为 m，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n。
概率的公理化定义：满足非负性、规范性、可列可加性。
概率的性质：包括0 ≤ P(A) ≤ 1、P(Ω) ＝ 1、P(∅）＝ 0、P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) P(AB) 等。
3、条件概率与乘法公式条件概率的定义：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(A) ＞ 0。
乘法公式：P(AB) ＝ P(A)P(B|A) ＝ P(B)P(A|B)。
4、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：设 B1, B2,， Bn 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0 （i ＝ 1, 2,， n)，则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)。
贝叶斯公式：在全概率公式的基础上，已知事件 A 已经发生，求事件 Bi 发生的概率，即 P(Bi|A) ＝ P(Bi)P(A|Bi) ／ΣP(Bj)P(A|Bj)。
二、随机变量及其分布1、随机变量的概念定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量。
2、离散型随机变量概率分布列：P(X ＝ xi) ＝ pi （i ＝ 1, 2,），且Σpi ＝ 1。
常见的离散型随机变量：0 1 分布、二项分布、泊松分布。
3、连续型随机变量概率密度函数：f(x)，满足f(x) ≥ 0 且∫f(x)dx ＝ 1。
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研数学备考：概率论各章节知识点梳理第一局部：随机事件和概率(1)样本空间与随机事件(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)(3)条件概率与概率的乘法公式(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)(5)全概公式与贝叶斯公式(6)伯努利概型其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。
第二局部：随机变量及其概率分布(1)随机变量的概念及分类(2)离散型随机变量概率分布及其性质(3)连续型随机变量概率密度及其性质(4)随机变量分布函数及其性质(5)常见分布(6)随机变量函数的分布其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且纯熟。
第三局部：二维随机变量及其概率分布(1)多维随机变量的概念及分类(2)二维离散型随机变量结合概率分布及其性质(3)二维连续型随机变量结合概率密度及其性质(4)二维随机变量结合分布函数及其性质(5)二维随机变量的边缘分布和条件分布(6)随机变量的独立性(7)两个随机变量的简单函数的分布其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视!第四局部：随机变量的数字特征(1)随机变量的数字期望的概念与性质(2)随机变量的方差的概念与性质(3)常见分布的数字期望与方差(4)随机变量矩、协方差和相关系数其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。
第五局部：大数定律和中心极限定理(1)切比雪夫不等式(2)大数定律(3)中心极限定理其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。
第六局部：数理统计的根本概念(1)总体与样本(2)样本函数与统计量(3)样本分布函数和样本矩其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵敏运用解决此类问题不在话下第七局部：参数估计(1)点估计(2)估计量的优良性(3)区间估计。
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二维随机变量及概率分布一、 二维随机变量的联合概率分布表示 (一). 二维随机变量的联合概率分布函数 1. 概念设),(Y X 为一个二维随机变量，y x ,为任两个实数，则称),(),(y Y x X P y x F ≤≤=为),(Y X 的联合概率分布函数。
2. 性质(1). ≤0),(y x F 1≤(2). ),(y x F 关于x 或y 单调递增(3). =-∞-∞),(F =-∞),(x F 0),(=-∞y F ，1),(=+∞+∞F (4). ),(y x F 关于x 或y 右连续，即=+),0(y x F ),(y x F ，=+)0,(y x F ),(y x F 。
(5). 对于任意4个实数d c b a ,,,，其中d c b a <<,，均有),(d b F ),(c b F -),(d a F -),(b a F +0≥如有),(y x F 满足(1) ～ (5)，则),(y x F 一定可成为某一个二维随机变量),(Y X 的联合概率分布函数。
例：问),(y x F ⎩⎨⎧<+≥+=1011y x y x ，能否作为某二维随机变量),(Y X 的联合概率分布函数？解：取)5.0,5.0(),5.0,4(),4,4(),4,5.0(D C B A ，因)(B F )(A F -)(C F -)(D F +010111<-=+--=，不能 (二). 二维离散型随机变量的联合概率分布表 1.概念设),(Y X 为一个二维随机变量，且),(Y X 的取值仅有有限对数或可列对数，则称),(Y X 为二维离散型随机变量。
二维离散型随机变量),(Y X 可用联合概率分布表或联合概率分布列表示。
),(Y X ～或),(Y X ～ ,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i 2.性质(1). 0≥ij p (2). 1,=∑ji ij p(三). 二维连续型随机变量的联合概率密度函数 1.概念设),(Y X 为一个二维随机变量，),(y x f 为一非负函数，若对任意实数,,,,d c b a 其中),(d c b a <<，事件),(d Y c b X a ≤≤≤≤的概率),(d Y c b X a P ≤≤≤≤dy y x f dx dcba⎰⎰=),(，则称),(Y X 为二维连续型随机变量，称),(y x f 为),(Y X 的联合概率密度函数。
2.性质(1). 0),(≥y x f(2). 1),(=⎰⎰∞+∞-+∞∞-dy y x f dx3. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数与联合概率分布函数的关系 若),(Y X 的概率分布函数为),(y x F ，),(Y X 的概率密度函数为),(y x f ，则(1). ),(),(y x f y x F xy='' (2). ),(y x F dv v u f du v x ⎰⎰∞-∞-=),(4. 设),(21X X X =的概率密度为),(21x x f X ，若⎩⎨⎧==),(),(21222111x x g y x x g y 具有唯一的反函数，⎩⎨⎧==),(),(21222111y y h x y y h x且),(211y y h ，),(212y y h ，),(211x x g ，),(212x x g 都有一阶连续偏导数，记 22122111y x y x y x yx J ∂∂∂∂∂∂∂∂=，⎩⎨⎧==),(),(21222111X X g Y X X g Y , 则设),(21Y Y Y =的概率密度为),(21y y f Y =J y y h y y h f X ⋅)],(),,([212211例：设二维随机变量),(V U ～),21,1,4;2,2(N ⎩⎨⎧=-=VY bVU X ,问?=b 时，Y X ,独立？解：⎩⎨⎧=-=V Y bVU X ，且01101≠=-=b J ，所以),(Y X ～二维正态分布，因此Y X , 独立等价于Y X ,不相关，从而等价于Cov ),(Y X =0 Cov ),(Y X =Cov ),(V bV U -= Cov ),(V U - b Cov ),(V V= Cov ),(V U - b DV 021=-=b ，.21=⇒b二、 二维随机变量的边缘概率分布表示 (一). 二维随机变量的边缘概率分布函数若),(Y X ～),(y x F ，则X ～),()(+∞=x F x F X ，Y ～),()(y F y F Y +∞=。
(二). 二维离散型随机变量的边缘概率分布表若),(Y X ～或),(Y X ～ ,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i 则X ～ ,2,1,)(===∑i p x X P jij iY ～ ,2,1,)(===∑j p y Y P iij j(三). 二维连续型随机变量的边缘概率密度函数 若),(Y X ～),(y x f ，则X ～=)(x f X ⎰∞+∞-dy y x f ),(，Y ～=)(y f Y ⎰∞+∞-dx y x f ),(。
三、 两个随机变量的独立性的判断1．若Y X ,的联合概率分布函数为),(y x F ，边缘概率分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y ，则Y X ,相互独立的充要条件为：),(y x F =)(x F X )(y F Y 。
2. 若Y X ,的联合概率分布列为 ,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i 边缘概率分布列为X ～,2,1,)(====∑•i p p x X P ji ij iY ～ ,2,1,)(====•∑j p p y Y P j iij j则Y X ,相互独立的充要条件为：),(j i y Y x X P ==)(i x X P == ,2,1,,)(==j i y Y P j3. 若Y X ,的联合概率密度函数为),(y x f ，边缘概率密度函数分别为)(x f X ，)(y f Y ，则Y X ,相互独立的充要条件为：),(y x f =)(x f X )(y f Y 。
四. 常用的二维随机变量 1. 二维均匀分布)(D U),(Y X ～)(D U ， ),(Y X 的概率密度函数为DS y x f 1),(=， D y x ∈),( 2. 二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN (1). ),(Y X ～),,,,(222121ρσσμμN ， ),(Y X 的概率密度函数为),(y x f =]})())((2)[()1(21exp{12122222112112221σμσμσμρσμρρσπσ-+-------y y x x (2).若),(Y X ～),,,,(222121ρσσμμN ，则X ～),(211σμN ，Y ～),(222σμN 。
五．条件概率分布例1. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<=-其它0),(xy e y x f x求(1). 条件概率密度函数)(x y f X Y ，(2). 条件概率)11(≤≤Y X P 解：(1). X 的密度函数为X ～=)(x f X ⎰∞+∞-dy y x f ),(，当0≤x ，=)(x f X ⎰∞+∞-dy y x f ),(=00=⎰∞+∞-dy ，当0>x 时，=)(x f X ⎰∞+∞-dy y x f ),(x xx xe dy e --==⎰0，所以X ～)(x f X ⎩⎨⎧≤>=-0x x xe x， 所以，当0>x 时，)(x y f X Y )(),(x f y x f X =⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=001x x y x(2). Y 的密度函数为 Y ～=)(y f Y ⎰∞+∞-dx y x f ),(⎩⎨⎧≤>=-0y y e y， )11(≤≤Y X P )1()1,1(≤≤≤=Y P Y X P ⎰⎰⎰∞-∞-∞-=111)(),(dyy f dyy x f dx Y ⎰⎰⎰--=11dyedye dx yxx 12--=e e 例2. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为2222),(y xy xAe y x f -+-=，+∞<<∞-y x ,求(1).A ，(2).条件概率密度函数)(x y f X Y 解：(1). X 的密度函数为X ～=)(x f X ⎰∞+∞-dy y x f ),(⎰∞+∞--+-=dy e A y xy x 2222⎰∞+∞----=dy eA x y x 22)(⎰∞+∞----=dy e Aex y x 22)(2x e A -=π 又⎰∞+∞-dx x f X )(⎰∞+∞--=dx eA x 2ππA =⎰∞+∞--dx ex 21=πA ，所以π1=A(2). )(x y f X Y )(),(x f y x f X =22222x y xy x eA Ae --+-=π222x xy y -+-= 六实例例1. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形}3,1),{(≤≤=y x y x G 上的均匀分布，试求随机变量Y X U -=的概率密度)(u f 。
解： 据题意，),(Y X ～⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它03,141),(y x y x f 。
先求Y X U -=的概率分布函数)(u F 。
显然20≤≤U ，所以 (1).0<u ，0)()()(=≤-=≤=u Y X P u U P u F ， (2).2≥u ，1)()()(=≤-=≤=u Y X P u U P u F (3).20<≤u ，=≤-=≤=)()()(u Y X P u U P u F ⎰⎰≤-uy x dxdy y x f ),(])2(4[412u --=，所以)(u f ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它020)2(21u u 。
例2. 设随机变量i X ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.05.025.0101，2,1=i ，且满足1)0(21==X X P ，求)(21X X P =。
解：先求),(21X X 的联合概率分布列因1)0(21==X X P 0)0(21=≠⇒X X P由联合分布和边缘分布的关系得所以0)(21==X X P 。
例3. 设随机变量X 和Y 的联合分布是矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布，试求以Y X ,为边长的矩形面积S 的概率密度)(s f 。
解： 据题意，),(Y X ～⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它10,2021),(y x y x f 。