第三章 离散傅里叶变换
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第三章 离散傅立叶变换
第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。
把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M Wk x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。
3．某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。
则频域抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔∆Ω ______。
判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。
（ ）计算题8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。
9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。
现将)(n x 按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）（1）⎩⎨⎧-=)4()()(1n x n x n y 7~43~0==n n（2）⎩⎨⎧=0)()(2n x n y 7~43~0==n n（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0)2()(3n x n y 奇数偶数==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：)()(n x N n x =+另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m
x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )
n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x
信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT
拓展延伸：其他相关变换方法简介
要点一
拉普拉斯变换
要点二
Z变换
用于分析线性时不变系统的稳定性及频率响应特性。
用于分析离散时间线性时不变系统的稳定性及频率响应特 性。
THANKS
感谢观看
高频谱利用率
OFDM技术通过采用正交子载 波的方式，实现了频谱资源的 有效利用，提高了系统的频谱 利用率。
03
抗多径干扰能力强 04
由于OFDM系统采用了多载波调 制方式，每个子载波上的符号周 期相对较长，因此具有一定的抗 多径干扰能力。
适用于高速数据传 输
OFDM技术通过将高速数据流分 解成多个低速子数据流进行传输 ，降低了对单个载波的传输速率 要求从而适用于高速数据传输 场景。
共轭对称性
若x[n]为实序列，则其DFT满足 X[k]=X*[N-k]，其中*表示共轭。
周期性与非周期性信号处理方法
周期性信号处理方法
对于周期性信号，可以通过截取一个周期的信号进行DFT分析，得到该信号的频谱特性。由于DFT具有周期性， 因此可以通过对截取信号的DFT结果进行周期延拓得到整个周期信号的频谱。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
离散傅立叶变换（DFT）定义及性质
02
DFT是将连续时间信号在时域和频域上都进行离散化处理的一 种变换方法。
03
DFT具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等基本性质。
关键知识点总结回顾
直接计算法
根据DFT定义直接进行计算，但计算量大，不实用。
快速傅立叶变换（FFT）
仿真实验：不同窗函数对信号重构影响
实验目的
说明本实验的目的在于研究不同 窗函数对信号重构的影响，以便 在实际应用中选择合适的窗函数。
第三章离散傅里叶变换(DFT)
3.1.1 有限长序列的离散频域表示
我们已学过三种傅里叶分析工具，它们 分别应用于不同性质的信号。
1. 应用于连续周期信号——傅里叶级数展开
j2 kt
xa t Cke T
k
Ck
1 T
T２ －T２
xα
(t
－ｊ２
)e T
kt
dt
其中，T是信号 xa t的周期，Ck 表示了xa (t)的
离散傅里叶变换定义为
X (k)
N 1
x nWNkn
n0
0
0 k N 1 其他
西北大学信息科学与技术学院 2007年
反变换公式为
x(n)
N 1
X
k
W kn N
0 n N 1
k 0
0
其他
DFT是借用了DFS，这样就假定了序 列的周期性，但定义式本身对区间作了强制 约束，以符合有限长特点，这种约束不改变 周期性的实质，或者说，DFT隐含了周期 性。
fc n xn yn
M 1 m0
x
m
y
n m
l
RL
n
M 1 m0
x
m
r
y
n
m
rL
RL
n
r
M 1 m0
x
m
y
n
rL
m
RL
n
r
f
n
rL
Rl
n
西北大学信息科学与技术学院 2007年
圆周卷积fc (n) 等于一个周期序列的主值 序列，该周期序列是线性卷积f (n)以L为周期 进行周期延拓的结果，因此，当L ≥ L1满足 时， fc (n)必然等于f (n)，但是，如果L < L1 ， 则fc (n)不等于f (n) 。
信号与系统复习资料第3章离散傅立叶变换(DFT)
1 2
1 e 12
j 2 ( k 11)
1 e 12
B
Ak
6, 6,
1k 21 k 6 101
…11…22…rr…
10 0
11 0
B 0, 0其 0它 的…k… x(n) Xc(oks)6 n 6 0 ……
0 0
6 6, k 112r 6X~(k) 6, k 1112r
NT
T0
1 f0
T0 2 f0
N
1
fs
时域离散化==>频域周期化
时域周期化==>频域离散化
N NΩ0
NT0 fs s T f0 0
-7-
§3.3 离散傅里叶级数DFS
( Discrete Fourier Series )
连续周期信号:
~xa(t) ~xa(t kT0) 基频：0 2/T0
x2 m … 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 … 10
x2 1m … 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 … 8 x2 2m … 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 … 6 x2 3m … 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 … 10
n 0
n 0
x ( n ) I D F S [ X ( k ) ] N 1 N k 0 1 X ( k ) e j2 N n k N 1 N k 0 1 X ( k ) W N n k
其中：
WN
j 2
e N
-9-
X k 与 z 变 换 的 关 系 ：
x (n ) x (n )R N (n )
x(n) x(nrN)
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
第三章离散傅里叶变换
不变，F减小N增加，又因增加 因此，和N可按下面两式选择 例1 有一频谱分析用FFT处理器，抽样点数为2的幂，假定没有采用 任何 特殊的数据处理，已给条件为 ①频率分辨率 ②信号的最高频率 求：①最小记录长度 ②抽样点的最大间隔T ③在一个记录中最小点数N 解： ① ② ③ 取 （2）频域泄露（截短产生误差）
●任何有限长序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量 之和，即 ………… ……….(3-2) 对（3-2）式n换成N-n，并取复共轭得 (3-3) 联立（3-2），（3-3）可得：
●任何序列也可以表示实部和虚部 (3-4) 其中 (3-5) (3-6) （3）DFT的共轭对称性 ●对（3-4）进行DFT得： (3-7) ① 对（3-5）进行DFT得： .(3-8) ② 对（3-6）进行DFT得 (3-9) 结论：由（3-7），（3-8），（3-9）可得 其中 ● 任何序列可以表示为共轭对称和共轭反对称分量： (3-10) (3-11) (3-12) ① 对(3-10)进行DFT得 ② 对(3-11)进行DFT得 ③ 对(3-12)进行DFT得 结论: 其中 ●是长度为N的实序列，且，则 ① 共轭对称，即
2 (a) n,m 3 1 0
(b) 1 2 3 n,m
-2 6 5
2 1 -3 N=4 (c) m
m 3 2 n=0 (d)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m 3 0 n=1 (e)
m 1 0 n=2 (f)
2 m 1 n=3 (g)
2 3 2 m 1 (h) 1
图4
4、复共轭序列的DFT
设是的复共轭序列，长度为N，则 (3-1) 且。 证明：根据DFT的唯一性，只要证明（3-1）式右边等于左边即可。 又由的隐含周期性有 。 同理可证 。
数字信号处理第三版第三章
第三章．离散傅里叶变换（DFT ）一 离散傅里叶变换的定义及物理意义1 DFT 定义设x(n)是一个长度为M 的有限长序列10()[()]()0,1,,1N kn N n X k D FT x n x n Wk N -====-∑ 逆变换：101()[()]()N kn N k x n ID FT X k X k W N --===∑2 DFT 与傅里叶变换和z 变换的关系2()()j kN z e X k X z π== 3 DET 的隐含周期性在进行DFT 时，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来考虑的。
因此，凡是涉及DFT 关系，都隐含有周期性意义二：离散傅里叶变换的基本性质1. 线性性质1212[()()]()()D FT ax n bx n aX k bX k +=+ a ，b 为常数2. 循环移位性质2,1序列的循环移位长度为N 的有限长序列x (n )的圆周移位定义为N N y(n )x ((n m ))R (n )=+2.2 时域循环移位定理设x (n )是长度为N 的有限长序列，y (n )为x (n )圆周移位则圆周移位后的DFT 为()[()][(())()]()m k N N N Y k D FT y n D FT x n m R n W X k -==+=2.3频域循环移位定理频域有限长序列X (k )，也可看成是分布在一个N 等分的圆周上由于频域与时域的对偶关系，有如下性质若 ()[()]X k DFT x n =则 2[(())()]()()j nl nl N N N N IDFT X k l R k W x n ex n π-+==3 循环卷积定理3.1定义：设x 1(n )和x 2(n )都是点数为N 的有限长序列（0≤n ≤N -1），且有：1122[()]()[()]()DFT x n X k DFT x n X k ==若12()()()Y k X k X k =则11201210()[()]()(())()()(())()N N N m N N N m y n ID FT Y k x m x n m R n xm x n m R n -=-===-=-∑∑上式所表示的运算称为x 1(n )和x 2(n )的N 点圆周卷积3.2 循环卷积定理若12()()()y n x n x n = x 1(n )，x 2(n )皆为N 点有限长序列则 1120121012()[()]1()(())()1()(())()1()()N N N l N N N l Y k D FT y n X l X k l R k NX l X k l R k NX k X k N -=-===-=-=∑∑ 3.3 复共轭序列的DFT设x *(n )为x (n )的共轭复序列，已知X (k )= DFT[x (n )]则DFT ［x *(n )］=X *(N-k ) 0≤k ≤N -1且 X (N )=X (0)3.4 共轭对称性三 频域采样1频域采样定理如果序列x (n )长度为M ，则只有当频域采样点数N>M 时，才有()()()()()()N N N N r x n x n R n x n rN R n x n ∞=-∞==+=∑即由频域采样X (k )恢复原序列x (n )，否则产生时域混叠现象。
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
第3章离散傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换
二.序列的圆周移位 1.定义 一个有限长序列 x( n )的圆周移位定义为
xm (n) xn mN RN n
这里包括三层意思： ~ 先将 x( n )进行周期延拓 x (n) xn N 再进行移位 ~ x (n m) x n m N 最后取主值序列：
第3章 离散傅里叶变换
3.共轭对称特性之一
如果X ( k ) DFT [ x( n )]，则 DFT [ x* ( n )] X * (( k ))N RN ( k )
证明：
X * (( N k ))N RN ( k )
nk DFT [ x ( n )] x* ( n )WN RN ( k ) * n 0 nk * nk * [ x( n )WN ] RN ( k ) [ x( n )WNNnWN ] RN ( k ) n 0 n 0 ( N k )n * [ x( n )WN ] RN ( k ) X * (( N k ))N RN ( k ) n 0 N 1 N 1 N 1 N 1
*复数序列实部的DFT 该序列DFT的圆周共轭对称分量。
5.共轭对称 特性之三
第3章 离散傅里叶变换
6.共轭对称 如果 X ( k ) DFT [ x( n )]，则 DFT{ j Im [x( n )]} 特性之四 1 [ X (( k ))N X * (( N k ))N ] RN ( k ) X op ( k ) 2 1 * j Im [ x ( n )] [ x ( n ) x ( n )] 证明： 2 1 DFT{ j Im [x( n )]} { DFT [ x( n )] DFT [ x* ( n )]} 2 1 [ X ( k ) X * (( N k ))N RN ( k )] 2 1 [ X (( k ))N X * (( N k ))N ] RN ( k ) X op ( k ) 2
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即
X4 (k) {3, 2 j,5, 2 j}
n = 0:3; x = [1,0,3,-1];
% 序列x(n)
k = 0:999; w = (pi/500)*k;
% [0,2*pi]区间划分成1000个等分频点
X = x*exp(-j*pi/500*n'*k);
% 计算离散时间傅里叶变换
magX = abs(X); angX = angle(X);
MATLAB计算DFT和IDFT
设 x 和 X分别表示序列 x(n) 和 X(k) 的列向量, 则有：
X =WN x
x
=
1 N
W
* N
X
DFT的实现
function [Xk] = DFT(xn,N)
n = [0:1:N-1];
% n的行向量
k = [0:1:N-1];
% k的行向量
WN = exp(-j*2*pi/N); % WN因子
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
离散傅里叶变换的物理意义
第一种物理意义（离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系）
由离散傅里叶变换的定义，可知长度为 M 的有限长序列 x(n) 的 N 点离散傅里叶变换为
N 1
X (k)
DFT[ x(n)]N
n0
x(n)WNkn =X (e j )
= 2 k N
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
幅度部分 5
4
3
2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 以 为 单 位 的 频 率 相位部分
4 2 0 -2
hold on;
plot(n*2/4,magXk,'o');grid
subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid
xlabel('以\pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')
hold on
plot(n*2/4,angXk,'o');grid
幅度
k 0,1,
, N 1
上式表明 X(k) 为 x(n) 的傅里叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ] 上
的 N 点等间隔采样。
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
离散傅里叶变换的物理意义
第二种物理意义（离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的 关系）
x(n) x((n))N x(n) x(n)RN (n)
第三章 离散傅里叶变换
主要内容
离散傅里叶变换的定义和性质 频谱采样 循环卷积 快速傅里叶变换 快速傅里叶变换的计算误差 时频分析与多尺度几何分析
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
离散傅里叶变换的定义
设x(n)是一个长度为 M 的有限长序列，则定义x(n)的N 离散傅 里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)为
xn = (Xk * IWNnk)/N; % 求出逆离散傅里叶变换系数的行向量
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
MATLAB计算DFT和IDFT
例：试求有限长序列 x(n) [1,0,3, 1] 的离散时间傅里叶变换 (Discrete time Fourier Transform, DTFT)和4点离散傅里叶变换， 并在图上将离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换进行比较。
周期延拓 加窗操作
X (k) X ((k))N X (k) X (k)RN (k)
有限长序列 x(n) 的离散傅里叶变换 X(k) 正好是 x(n) 的周期 延拓序列 x(n) 的离散傅里叶级数X (k) 的主值序列。X(k) 实 质上是 x(n) 的周期延拓序列 x(n) 的频谱特性。
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
X =WN x
x
=
1 N
W
* N
X
IDFT的实现
function [xn]= IDFT(Xk,N)
n = [0:1:N-1]; % n的行向量
k = [0:1:N-1]; % k的行向量
WN = exp(-j*2*pi/N); % WN因子
nk = n'*k;
% 生成一个N*N的含nk值的矩阵
IWNnk = WN.^(-nk); % 求出逆离散傅里叶变换矩阵
解：按定义 x(n) 的离散时间傅里叶变换为:
X (e jw ) x(n)e- jwn 1 3e-2 jw e-3 jw n-
而 x(n) 的离散傅里叶变换用MATLAB函数实现如下：
x = [1,0,3,-1]; N = 4;
Xk = DFT(x,N)
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
运行结果: Xk = 3.0000 -2.0000 - 1.0000i 5.0000 + 0.0000i -2.0000 + 1.0000i
式中，WN
j 2
e N
,
N
称为离散傅里叶变换的变换区间长度。
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
离散傅里叶变换的Байду номын сангаас义
例： 试求有限长序列
x(n)
cos(
n
6
)
0 n 11的12点离散
傅里叶变换。
0 其它
解：由题意知变换区域 N=12, 则
11
X (k) x(n)W1n2k , k 0,1, 2, ,11 n0 6 k 1,11 X (k) 0 其它k
% X的幅度和相位(DTFT)
Xk = DFT(x,4);
% 计算离散傅里叶变换
magXk = abs(Xk); angXk = angle(Xk); % Xk的幅度和相位(离散傅里叶变
换)
subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid
xlabel('以\pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅度');
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn k 0,1, , N 1 n0
X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform,
IDFT)为
x(n)
IDFT[ X (k)]
1 N
N 1 k 0
X
(k )WNkn
n 0,1,
, N 1
nk = n'*k;
% 生成一个N*N的含nk值的矩阵
WNnk = WN.^nk;
% 求出离散傅里叶变换矩阵
Xk = xn*WNnk;
% 求出离散傅里叶变换系数的行向量
3.1 离散傅里叶变换的定义和性质
MATLAB计算DFT和IDFT
设 x 和 X分别表示序列 x(n) 和 X(k) 的列向量, 则有：