数值积分模板

少具有n次代数精度。所以，只须证明当n为偶数时，对
f ( x ) x , 有Rn Rn ( f ) 0。 由 f ( n1) ( x ) (n 1)!及公式(6.3.2), 得
n Rn h t ( t 1) ( t n)dt (令 t u ) 0 2 n n n n n n 2 2 h n (u )( u 1) ( u 1)u( u 1) ( u 1)( u )du 2 2 2 2 2
注意： 代数精度这个概念只是定性地描述一个求积公式 的精度高低，并不能定量地表示求积公式的误差大小。
上讲，代数精度越高，求积公式对积分结果的逼近越好。
判断以下两个求积公式的代数精度 1 1 (1) f ( x )dx f ( 1) 2 f (0) f (1) 1 2 1 1 1 (2) f ( x )dx f () f( ) 1 3 3 1 1 解 (1) R2 (1) 1dx - 1 2 1 1 =2 2=0 -1 2 1 1 R2 ( x ) xdx - 1 2 0 1 =0 0=0 -1 2 1 1 2 2 2 2 2 R2 ( x ) x dx - ( 1) 2 0 1 = 1 0 -1 2 3 1 1 求积公式 1 f ( x )dx 2 f (1) 2 f (0) f (1) 只具有1次代数精度。
jk
( 1) h n n ( n) ( b a ) c ( t j )d t k k !( n k )! 0 j 0 jk k 0,1, , n
其中 c
(n) k n n ( 1)n k ( t j )dt , k 0,1, 0 k !( n k )! n j 0 jk
§ 6.1 求积公式及其代数精度
数值Fra Baidu bibliotek积公式的一般形式为

b a
f ( x )dx k f ( xk )
k 0
n
(6.1.1)
式中的xk (k 0,1, , n)称为求积结点，并且有 a x0 x1 xn b k (k 0,1, , n)称为求积系数，且与被积函数f ( x )无关。 数值求积公式(6.1.1)通常简称为求积公式。当求积结点
例如，在土地丈量中会遇到各种各样不规则地块， 由于我们无法知道其边缘曲线满足何种函数关系，因 此计算它的面积存在一定的困难。 又如，求定积分

b
a
b sin x 1 1 1 sin x x2 x2 dx , dx , e dx ,由于 、 和e 的原函 a 0 ln x x ln x x
数不能用初等函数解析地表示出来，因此这些定积分 都不能用 Newton-Leibniz 公式求出，只能用数值方法 求 其近似值 。
插值公式及其余项表达式，我们有 n f ( n1) ( ) n f ( x ) = lk ( x ) f ( x k ) (x xj ) ( n 1)! j 0 k 0
其中 ( x ) (a , b)。 所以插值型求积公式(6.2.1)的截断误差 ( n1) n n b b f ( ) Rn f ( x )dx k( n ) f ( xk ) ( x x j )dx a a ( n 1)! j 0 k 0 (6.2.3) 其中 ( x ) ( a, b)。
例1
(2)
1 1 R1 ( x ) xdx - =0 0=0 -1 3 3 2 2 1 1 1 2 2 2 2 R1 ( x ) x dx - = 3 3 =0 -1 3 3 3 3 1 1 1 3 3 R1 ( x ) x dx - =0 0=0 -1 3 3
推论 对于n 1个结点的插值型求积公式的求积系数
k( n) ( k 0,1, , n), 必满足
( n) k ba k 0 n
其中 a 和 b 分别是积分下限和上限。
定理2 n 1 个结点的求积公式如果具有 n 次或大于n次 的代数精度，则它是插值型求积公式。
§6.3 Newton-Cotes求积公式 若在公式(6.2.1)中取等距结点 xk a kh, k 0,1, , n, ba h ， 则相应的插值型求积公式(6.2.1)变为 n n b ba ( n) k f ( a k ) (6.3.1) a f ( x )dx n k 0 式(6.3.1)称为Newton-Cotes求积公式，相应的求积系数
k( n ) (由(6.2.2)式确定)称为Newton-Cotes 求积系数。
截断误差为
Rn
b a n f ( n1) ( ) n hn 2 n ( n1) [ ( x x j )]dx = f ( )[ ( t j )]dt 0 ( n 1)! j 0 ( n 1)! j 0
故求积公式为

1
0
截断误差 11 1 3 R1 f ( )( x )( x )dx 0 2 4 4
1 1 3 f ( x )dx f ( ) f ( ) 2 4 4
( x ) (0,1)。
插值型求积公式的代数精度
定理 1 n+1个结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。
pn ( x ) lk ( x ) f ( xk ),
k 0 n
构造插值多项式
x xi 其中lk ( x ) ( k 0,1, i 0 xk xi
i k
, n)是Lagrange插值基函数，
用pn ( x )近似代替f ( x )在区间 a , b 上作定积分，得
和求积系数确定之后，一个求积公式就被确定了。称
Rn ( f ) f ( x )dx k f ( xk )
b a k 0
n
(6.1.2)
为求积公式(6.1.1)的截断误差或余项。
截断误差公式往往与被积函数及其导数信息有关， 代数精度的概念 因而无法直接用来衡量求积公式本身的好坏。通常我们 用求积公式的代数精度来说明求积公式的好坏。
(n) ck
1 6 3 8 2 15 25 144 9 280 1323 17280 928 28350
1 8 16 45 25 144 34 105 2989 17280 10496 283 50
7 90 25 96 9 280 1323 17280 45440 28350
19 288 9 35 3577 17280 10496 28350
n 2
n 1

n
h
n n 2 2 n 2

u( u2 1)( u2 4)
2 n ( u2 )du 0 4
证毕。
梯形公式：n 1的Newton-Cotes求积公式
ba a f ( x )dx 2 [ f (a) f (b)] y 称为梯形公式。
b
(6.3.5) f ( x)
1
4 4 1 1 2 2 4 4 R1 ( x ) x dx - = 5 9 0 -1 3 3 1 1 1 公式 f ( x )dx f () f ( )具有三次代数精度。 1 3 3 1
R1 (1) 1dx - 1 1 =2 2=0
41 840 750 17280 928 28350
5888 28350
989 28350
Newton-Cotes求积公式的代数精度 定理3 当n为偶数时，n 1个结点的Newton-Cotes公式的 代数精度至少是n 1。 证 由定理1可知，n 1个结点的Newton-Cotes求积公式至
(6.3.3)
, n (6.3.4)
( n) ck 称为Cotes系数，它只与k和n有关，与被积函数f ( x )以
及积分区间 a , b 都无关。
表6-1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 1 6 1 8 7 90 19 288 41 840 751 17280 989 28350 1 2 4 6 3 8 16 45 25 96 9 35 3577 17280 5888 28350

其中
b a
f ( x )dx k( n ) f ( xk )
n

( n) k
称公式(6.2.1)为插值型求积公式。
lk ( x )dx , k 0,1,
a
b
k 0
(6.2.1)
n
(6.2.2)
截断误差估计
若函数f ( x )在区间 a , b 上具有n+1阶导数，则由Lagrange
x a O b 推论1 若f ( x )在区间[a, b]上有二阶连续导数。则梯形公式
的截断误差
(b a)3 R1 f ( ), ( a, b ) 12 而其代数精度为1。
(6.3.6)
n 2的Newton-Cotes求积公式 b b-a ab (6.3.7) f ( x ) d x [ f ( a ) 4 f ( ) f ( b )] a 6 2 称为Simpson(辛普生)公 y p2 ( x ) 式，又叫抛物线公式。 f ( x)
第六章 数值积分
引言
数值积分是数值分析的重要内容，也是函数插值
的直接应用。在工程计算中，由于许多函数的不定积
分无法用简单函数解析地表达出来，甚至被积函数本 身都无法详尽地描述，而只能以简单的表格形式给出 一些离散点上的函数值,或者定义为某个无法用显示形 式表达的微分方程的解。在上述这些情况下，我们只 能用数值方法求函数的定积分。
的积分值去近似f (x)在区间[a ,b]上的积分值。最常用的
近似函数p(x) 是f (x)在区间[a ,b]上插值多项式函数。
§ 6.2 插值型求积公式及其代数精度 方法： 在区间 a , b 内选定求积结点xk ( k 0,1, , n), 满足
a x0 x1
n
xn b， 以所给求积结点为插值结点，
1 3 例2 给定求积结点 x0 , x1 , 试推出计算积分 4 4

1
0
f ( x )dx 的插值型求积公式，并写出它的截断误差。
解 由公式(6.2.2)计算求积系数 1 1 x x 1 1 1 (1) 1 0 l0 (x)dx = dx (4 x 3)dx 0 0 x x 0 2 2 0 1 1 1 x x 1 1 1 (1) 0 1 l1 (x)dx dx (4 x 1)dx 0 0 x x 2 0 2 1 0
其中 ( a th) ( a, b)。
(6.3.2)
令x a th,由式(6.2.2)得

( n) k
lk ( x )dx
a
n k
b
b
a

j 0 jk
n
Cotes系数 n n x xj t j dt dx h 0 xk x j j 0 k j
1 -1
数值积分的基本问题 针对某类函数，选择合适的求积结点和求积系数， 使得求积公式(6.1.1) 具有尽可能小的截断误差或尽可能 高的代数精度。 求积公式的构造方法 寻找被积函数 f (x)在区间[a ,b]上的一个容易求积的
近似函数(如某个多项式)p(x)，然后用p(x)在区间[a ,b]上
定义 如果存在正整数m ,使得
Rn ( x k ) 0, k 0,1,2,
, m, Rn ( x m 1 ) 0
(6.1.3)
则称求积公式 (6.1.1)具有m次代数精度。
容易看出，若求积公式具有m次代数精度，则对任何次
数不高于m的多项式函数p( x )均有Rn ( p) 0, 从这种意义